控制論3.5 線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解教學課件.ppt

1、Ch.3 線性系統(tǒng)的時域分析,目錄(1/1),目 錄 概述 3.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 3.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣及其計算 3.3 線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 3.4 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化 3.5 線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 3.6 Matlab問題 本章小結,線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(1/2),3.5 線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 本節(jié)研究線性定常離散系統(tǒng)方程的解,需解決的主要問題: 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì) 狀態(tài)方程的求解 狀態(tài)方程解的各部分的意義 輸出方程的解,線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(2/2),線性定常離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程求解有遞推法和Z變換法兩種主要方法: Z變換法

2、只能適用于線性定常離散系統(tǒng), 遞推法可推廣到時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。 下面將分別討論 線性定常離散系統(tǒng) 線性時變離散系統(tǒng) 的狀態(tài)空間模型求解。,線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(1/1),3.5.1 線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 下面介紹線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程求解的 遞推法和 Z變換法。 最后討論輸出方程的解,遞推法(1/10),1. 遞推法 遞推法亦稱迭代法。 用遞推法求解線性定常離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) 時,只需在狀態(tài)方程中依次令k=0,1,2,從而有 x(1)=Gx(0)+Hu(0) x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2x(0)+GHu(0)+Hu(1

3、) ,遞推法(2/10),上述遞推計算公式中的第2項為離散卷積,因此有如下另一形式的線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解表達式,若給出初始狀態(tài)x(0),即可遞推算出x(1),x(2),x(3),重復以上步驟,可以得到如下線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的遞推求解公式:,遞推法(3/10),或,若初始時刻k0不為0,則上述狀態(tài)方程的解可表達為:,遞推法(4/10),與連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程求解類似,對線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程求解,亦可引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 該狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是下列差分方程初始條件的解: (k+1)=G(k) (0)=I 用遞推法求解上述定義式,可得 (k)=Gk 因此,可得線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程另一種解表示形式:,

4、遞推法(5/10),比較連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解的表示形式: 連續(xù)系統(tǒng),離散系統(tǒng),初始狀態(tài)的影響,初始時刻后輸入的影響,為脈沖響應函數(shù)與輸入的卷積,遞推法(6/10),對上述離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解公式,有如下幾點說明: 1. 與連續(xù)系統(tǒng)類似,離散系統(tǒng)狀態(tài)響應也由兩部分組成, 一部分為由初始狀態(tài)引起的響應,與初始時刻后的輸入無關,稱為系統(tǒng)狀態(tài)的零輸入響應; 另一部分是由初始時刻后的輸入所引起的響應,與初始時刻的狀態(tài)值無關,稱為系統(tǒng)狀態(tài)的零狀態(tài)響應。 2. 引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣概念和表示之后,線性連續(xù)系統(tǒng)和線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程的求解公式在形式上一致,都由零輸入響應和零狀態(tài)響應疊加組成, 只是相

5、應的零狀態(tài)響應在形式上略有不同,一為求積分(卷積),一為求和(離散卷積),但本質(zhì)是一致的。,遞推法(7/10),3. 在由輸入所引起的狀態(tài)響應中,第k個時刻的狀態(tài)只取決于此采樣時刻以前的輸入采樣值,而與該時刻的輸入采樣值u(k)無關。 這即為計算機控制系統(tǒng)固有的一步時滯。,遞推法(8/10),(2) 塊對角矩陣。 當G為如下塊對角矩陣: G=block-diagG1 G2 Gl 其中Gi為mimi維的分塊矩陣,則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為,下面討論幾種特殊形式的系統(tǒng)矩陣G的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 (1) 對角線矩陣。 當G為如下對角線矩陣: G=diag1 2 n 則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為,遞推法(9/10),其中kj=k

6、!/(k-j)!j!為二項式系數(shù)。,(3) 約旦塊矩陣。 當Gi為特征值為i的mimi維約旦塊,則分塊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)為,遞推法(10/10),(4) 對系統(tǒng)矩陣G,當存在線性變換矩陣P,使得 G=P-1GP 則有,Z變換法(1/7),2. Z變換法 已知線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) 對上式兩邊求Z變換,可得 zX(z)-zx(0)=GX(z)+HU(z) 于是 (zI-G)X(z)=zx(0)+HU(z) 用(zI-G)-1左乘上式的兩邊,有 X(z)=(zI-G)-1zx(0)+(zI-G)-1HU(z) 對上式進行Z反變換,有 x(k)=Z-1(z

7、I-G)-1zx(0)+Z-1(zI-G)-1HU(z),Z變換法(2/7),其中W1(z)和W2(z)分別為w1(k)和w2(k)的Z變換。 將上述公式推廣到向量函數(shù)和矩陣函數(shù),則可得,還記得自控原理嗎?,離散卷積,在Z反變換中對標量函數(shù)存在下述公式和性質(zhì):,Z變換法(3/7)例3-14,該表達式與前面遞推法求解結果一致。 例3-14 已知某系統(tǒng)的狀態(tài)方程和初始狀態(tài)分別為,試求系統(tǒng)狀態(tài)在輸入u(k)=1時的響應。,因此,離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程的解為:,Z變換法(4/7)例3-14,類似地,可繼續(xù)遞推下去,直到求出所需要的時刻的解為止。 2. 用Z變換法求解。先計算(zI-G)-1,解 1. 用遞

8、推法求解。分別令k=1,2,3,則由狀態(tài)方程有,Z變換法(5/7)例3-14,因此,有,Z變換法(6/7)例3-14,由Z變換,有 u(k)=1 U(z)=z/(z-1) 因此,有 X(z)=(zI-G)-1zx(0)+HU(z),Z變換法(7/7)例3-14,令k=0,1,2,3代入上式,可得,輸出方程的解(1/2),3. 輸出方程的解 將狀態(tài)方程的解代入如下線性定常離散系統(tǒng)的輸出方程: y(k)=Cx(k)+Du(k) 中,可得輸出y(k)的解為,輸出方程的解(2/2),或,線性時變離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(1/6),3.5.2 線性時變離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 設線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

9、 式中,初始時刻為k0;初始狀態(tài)為x(k0)。 假定系統(tǒng)狀態(tài)方程的解存在且惟一,則解為 式中, (k ,k0)稱為線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。,線性時變離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(2/6),線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(k ,k0)滿足如下矩陣差分方程及初始條件： 其解為,線性時變離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(3/6),與線性定常離散系統(tǒng)類似,線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)求解公式可用迭代法證明。 對線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程，依次令k= k0, k0+1, k0+2, ,從而有,線性時變離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(4/6),因此有,線性時變離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(5/6),由上述狀態(tài)方程解公式可知,線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程的解也包括兩項。其中, 第1項是由初始狀態(tài)激勵的,為零輸入響應,描述了輸入向量為零時系統(tǒng)的自由運動。 第2項對應初始狀態(tài)為零時,由輸入向量激勵的響應