第十章 練習題

1、第十章 練習題練習一一、 填空題1、設L為上半圓周：x2+y2 = R2，則=_ 2、設L是由x = 0，y = 0，x = 4，y = 2所圍成矩形的邊界，則= 二、 計算下列對弧長的曲線積分1、 ，其中L為由直線y = x及拋物線y = x2所圍成的整個邊界。2、 ，其中L是圓周：x2 +y2 = 1。3、 ，其中L為擺線的一拱：x = a (t sin t )，y = a (1- cos t ) (0t2 ) 4、 ，其中L為右半個單位圓。5、 ，其中L為圓周x2 +y2 = a x (a 0)*三、均勻曲線弧 (0t)的線密度為，求曲線關于z軸的轉(zhuǎn)動慣量. 四、 擇題設是從O (0,0

2、)到點M (1,1)的直線段，則與曲線積分不相等的積分是_（A）；（B）；（C）；（D）練習二一、 填空題1、 計算，其中O為坐標原點，A為點 (1,1) 。 （1）若OA為直線段y = x，則I = ； （2）若OA為拋物線段y = x2，則I = ； （3）若OA為x = 0，y = 1的折線段，則I = 2、 第二類曲線積分化為第一類曲線積分是_。 其中為有向曲線弧上點(x, y, z)處的_的方向角。二、 計算下列對坐標的曲線積分1、 ，式中L是從點A (-2, 0 )沿到B (2,0 )的曲線段。2、 ，其中L為圓周x2 + y2 = 2ax (a 0)，取逆時針方向。*3、 ，其中

3、L是由點A (0,0)沿經(jīng)B (1,1)到C (2,0)的折線。4、 計算，AB是從點A (1,1,1)到點B (2,3,4)的直線段。三、 設方向依oy軸的負方向，且大小等于作用點的橫坐標平方的力構成一力場，求質(zhì)量為m的質(zhì)點沿拋物線，從點A (1,0 )移到點B (0,1)時力場所作的功。四、 將下列對坐標的曲線積分化為對弧長的曲線積分：，L為曲線上從A (-1,-1)到B (1,1)的一段弧。練習三一、 利用格林公式計算下列曲線積分1、 ，式中L是以A (1,1)到B (3,2)，C (3,5)為頂點的三角形域D的正向周界。2、 ，L為點O (0,0)到點A (a,0 ) 的上半圓周 x2

4、 + y2 = ax (a 0 )二、 計算I =，L為正向圓周x2 + (y-1)2 = R2 (R1)（提示：需分別討論0R1的情形）三、 求變力=3x+y, 2y-x將質(zhì)點沿橢圓4x2 +y2 = 4的正向轉(zhuǎn)動一周所做的功。四、 驗證(y-2e2xcosy)dx+(x+e2xsiny)dy = du(x, y)，并求原函數(shù)u (x, y)五、 驗證曲線積分在整個xoy面內(nèi)與路徑無關，并計算積分值。六、 利用曲線積分求星形線x = a cos3 t，y = a sin3t所圍面積。七、 具有連續(xù)偏導數(shù)的f (x, y)應滿足怎樣的條件，才使與積分路徑無關。練習四一、 填空題1、設是錐面被平

5、面z = 1所截部分，則= 2、設球面x2+y2+z2 =R2上任一點的密度與該點到原點的距離成正比，則球面的質(zhì)量 m = 二、 計算下列對面積的曲面積分1、 ，是平面在第一卦限部分。2、 ，為球面x2+y2+z2 = a 2上zh的部分（0 h 0)之間的部分。（提示：將分為前后兩塊1及2）三、 求拋物面殼(0z1)的質(zhì)量，曲面上每點的面密度等于該點到平面的距離。四、 設半球面：上點(x, y, z)處的面密度與該點到z軸的距離成正比，求此半球面的重心。練習五一、 填空題1、設是球面x2+y2+(z-R )2 = R2的外側，則：（1）= _；（2）=_；（3）=_。2、第二類曲面積分化成第

6、一類曲面積分是 ，其中是有向曲面上點(x, y, z)處_的方向角。二、 計算下列對坐標的曲面積分1、 ，是平面x+y+z = 1在第一卦限部分的上側。2、 ，其中是柱面x2+y2 =1被平面z = 0及z = 3所截得的在第一卦限部分的前側。3、 ，其中是球面x2+y2+z2 =R 2下半部分的下側。三、 已知f (x, y, z)連續(xù)，是平面x-y+z = 1在第四卦限部分的上側，計算提示：利用兩類曲面積分間的聯(lián)系，化為第一類曲面積分計算四、 將對坐標的曲面積分化成對面積的曲面積分，是平面在第一卦限部分的上側。練習六一、 填空題1、 設是球面x2+y2+z2 =a2的外側，則=_。2、 設

7、是光滑封閉曲面的內(nèi)側，已知所圍成立體體積為V，則=_。二、 利用高斯公式計算下列曲面積分1、 ，其中為平面x+y+z = 1與三個坐標平面所圍立體表面之內(nèi)側。2、 ，是柱面x2+y2 =1與平面z = 0，z =2所圍立體表面之外側。3、 ，其中f (u)具有連續(xù)的導函數(shù)，為球面x2+y2+z2 =R 2的外側。三、 計算，是被z = 0所截部分的上側。四、 已知為立方體0xa，0ya，0za的全表面的外側，且向量，求：穿過流向外側的通量。五、 利用斯托克斯公式，計算下列曲線積分1、 ，其中為圓周x2+y2+z2 =a2，x+y+z = 0，若從x軸的正向看去，圓周取逆時針方向。2、 ，其中為

8、x+y+z = 1在第一卦限部分的三角形邊界，從y軸正向看去，方向取順時針方向。復習題一、 計算下列各題1、 ，是從點(1,1,1)到點(4,4,4)的一段直線。2、 ，式中L為圓周x2+y2 =1。3、 ，式中L是從O (0,0 )沿至點B (2,0 )的上半橢圓。4、 ，其中L是從A (2,1)沿曲線到點B (10,4)的一段。5、 ，其中是柱面x2+y2 = a 2在0zh之間的部分。6、 ，其中是被z = 1割下的部分。（提示：利用對稱性，只須計算在y0的部分1上的積分）7、 ，為錐面及z = 1，z = 2所圍立體表面的外側。8、 ，是被z = 0所截部分的上側。二、 求力場= yz

9、, - zx, 2xy沿曲線L：x =2t-1，y =2t3，z = t 3從A (-1,0,0 )到B (3,8,8 )所做的功。*三、在xoy平面上有一段曲線，其方程為，1x4，求此曲線繞oy軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面面積。五、 證，并求原函數(shù)u (x, y)及六、 證明題1、 若f (u)連續(xù)可導，則沿光滑的任意閉路L的線積分= 02、 證明面密度為1的圓錐體的側面1，繞其對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I1與其底面2繞此軸的轉(zhuǎn)動慣量I2之比為常數(shù)。（提示：首先取坐標系，建立圓錐面方程）3、設L是光滑的正向簡單閉曲線，是L的單位法向量，u (x, y)具有二階連續(xù)偏導，D是L所圍區(qū)域，求證：3、 設L為包含坐

10、標原點在內(nèi)的任意正向閉曲線，證明：自測題一、 填空題（每小題3分，共12分）1、 設L是任意簡單閉曲線，a，b為常數(shù)，則=_2、設L是橢圓周的順時針方向，其周長為s，則：=_3、 設：x2+y2+z2 =a2，則=_4、 設是球面x2+y2+z2 =a2的內(nèi)側，則=_二、 選擇題（每小題4分，共8分）1、 設MEN是由M (0,-1)沿經(jīng)E (1,0 )到N (0,1)的曲線段，則=_ （A）0； （B）； （C）； （D）2、 下列結論正確的是_D1：x + y1，x0，y0D：| x | + | y |1（A）， ；（B），：x2+y2+z2 R 2的表面；（C），：x2+y2+z2 =R2所圍立體；（D），D：x2+y2 = R2所圍區(qū)域.三、 計算下列各題（每小題8分，共48分）1、 ， L：，| x |a2、 ，其中L是由y = | x | 及y = x 2所圍區(qū)域的正向邊界。3、 ，其中L為圓周x2+y2 = R2上從點A (R , 0 )經(jīng)第一象限到點B (0, R )的一段。4、 （1）L是橢圓 (x-2)2 +4(y-1)2 = 4，順時針方向一周。 （2）L是星形線，順時針方向一周。5、 ，其中為錐面介于z = 0及z = 1之間的部分。6、 ，