注冊土木工程師(巖土)基礎(chǔ)考試各科常用公式

1、公式一、 高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式：基本積分表：(tgx)sec2 x1(arcsin x)x2(ctgx)csc2 x1(arccos x)1(secx)secx tgxx21(cscx)cscx ctgx1(ax)axln a(arctgx )1 x2(loga x)11x ln a(arcctgx )x21三角函數(shù)的有理式積分：tgxdxctgxdxsecxdxcscxdxdxa2x2dxx2a2dx22axln cosxCln sin xCln secxtgxCln cscxctgxC1 arctg x Caa1 ln xaC2axa1ax2alnCaxdx2cos2 xsec xdxtgxC

2、dx2sin 2 x csc xdx ctgx C secx tgxdx secx Ccscx ctgxdxcscxCa xdxa xCln ashxdxchxCchxdxshxCdxx2arcsin xCa2a2sin n xdx2cosn xdxI n00x2a2 dxxx2a 22x2a2 dxxx2a22dxln( xx 2a2 ) Cx 2a 2n1I n2na2ln( xx2a2)C2a 2ln xx2a2C2a2x 2 dxxa2x2a2arcsin xC22asin x2u2 ， cos x1u 2ux2duu1u2，tg ，dxu2121一些初等函數(shù)：雙曲正弦 : shx雙曲

3、余弦 : chxexe x2exe x2兩個(gè)重要極限：lim sin x1x 0xlim (11) xe 2.718281828459045.x xxxshxeearshxln( xx2）1archxln( xx21)arthx1 ln 1x2 1x三角函數(shù)公式：誘導(dǎo)公式：函數(shù)角 A- 90- 90+180 -180 +270 -270 +360 -360 +和差角公式：sincostgctg-sincos-tg-ctgcossinctgtg cos-sin-ctg-tgsin-cos-tg-ctg-sin-costg ctg-cos-sinctgtg -cossin-ctg-tg-sinco

4、s-tg-ctgsincostg ctg和差化積公式：sin()sincoscossinsinsin2sincoscos()coscossinsin22sinsin2 cossintgtgtg ()221 tgtgcoscos2coscosctgctg1ctg ()22ctgctgcoscos2 sinsin22倍角公式：sin 22 sincos4 sin3cos22 cos21 1 2 sin2cos2sin2sin 33sinctg2ctg 21cos34 cos33cos2ctg3tgtg3tg32tg1 3tg 2tg 2tg 21半角公式：sin1coscos1cos2222tg1

5、cos1 cossinctg1cos1 cossin1cossin1 cos1cossin1 cos22正弦定理：abc2Rsin Asin Bsin C反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinxxarccos2高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz）公式：n( uv ) ( n )C nk u ( n k ) v ( k )k0u ( n ) vnu ( n 1) vn( n 1) u ( n 2 ) vn (n2!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：余弦定理：c 2a 2b22ab cosCarctgxarcctgx21) ( n k 1) u ( n k ) v ( k )uv ( n )k!拉格朗日中值定理：f (

6、b)f ( a)f ( )( ba )柯西中值定理：f (b )f ( a)f()F (b )F (a )F()當(dāng) F( x)x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds1y 2 dx , 其中 ytg平均曲率： Ks.: 從 M 點(diǎn)到 M點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；s： M M 弧長。M 點(diǎn)的曲率：Klimdy.sds2s 0(1 y)3直線：K0;半徑為a 的圓：K1 .a定積分的近似計(jì)算：bba ( y0 y1矩形法：f ( x)yn 1 )anbba 1 ( y 0梯形法：f ( x)yn )y1yn 1 an2bba ( y 0拋物線法：f ( x)y n )2( y

7、2y4yn 2 )4( y1 y 3yn 1 )a3 n定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功： WF s水壓力： FpA引力： Fkm1 m2, k為引力系數(shù)r21b函數(shù)的平均值： yf ( x)dxba a1b均方根：a af 2 (t )dtb多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dzz dxz dyduu dxu dyu dzxyxyz全微分的近似計(jì)算：z dzf x ( x , y )xf y ( x , y )y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：zf u ( t ), v(t )dzzuzvdtutvtzf u ( x, y ), v( x, y )zzuzvxuxvx當(dāng)u，v( x, y)時(shí)，u( x, y ) vd

8、uu dxu dydvv dxv dyxyxy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：隱函數(shù)F ( x, y )，dyF x，d 2 y(F x(Fx)dy0dxF ydx 2xF y)dxyF y隱函數(shù)F ( x, y, z)，zF x，zF y0xF zyF zF ( x, y , u , v ) 0( F , G )FFF uF v隱函數(shù)方程組：JuvG ( x, y , u , v ) 0( u , v)G uG vGGuvu1( F ,G )v1( F ,G )xJ( x, v)xJ(u , x)u1( F ,G )v1( F , G )yJ( y, v)yJ(u , y )多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè) f

9、 x (x0 , y0 )f y ( x0 , y0 )0，令： f xx ( x0 , y0 )A,f xy ( x0 , y0 )B,f yy (x0 , y0 ) CACB 2A 0, (x0 , y0 )為極大值0時(shí)，A 0, (x0 , y0 )為極小值則： ACB 20時(shí)，無極值A(chǔ)CB 20時(shí) ,不確定重積分及其應(yīng)用：f ( x, y )dxdyf ( r cos, r sin)rdrdDD曲面 zf ( x, y )的面積A平面薄片的重心：xMM2z2zdxdy1yDxx ( x, y) dM yy ( x, y) dxD,D( x, y) dy( x, y ) dMDD平面薄片

10、的轉(zhuǎn)動慣量：對于 x軸 I xy2( x, y) d ,對于y軸 I yx 2( x, y ) dDD平面薄片（位于xoy 平面）對z軸上質(zhì)點(diǎn) M (0 ,0, a ), ( a0 )的引力：F F x , F y , Fz ，其中：Fxf( x, y) xd3 ，F(xiàn) yf( x, y) yd3 ，F(xiàn) zfa( x, y) xd3D ( x 2y 2a 2 ) 2D ( x2y 2a 2 ) 2D ( x 2y 2a 2 ) 2常數(shù)項(xiàng)級數(shù)：等比數(shù)列：1qq 2q n11q n1q等差數(shù)列：123(n1) nn2調(diào)和級數(shù)：1111 是發(fā)散的23n級數(shù)審斂法：、正項(xiàng)級數(shù)的審斂法 根植審斂法（柯西判

11、別法）：1時(shí)，級數(shù)收斂1設(shè)：limnu n，則時(shí)，級數(shù)發(fā)散1n時(shí)，不確定12、比值審斂法：時(shí)，級數(shù)收斂U n 1 ，則1設(shè)：lim時(shí)，級數(shù)發(fā)散U n1n時(shí)，不確定1、定義法：3snu1 u2un ; lim sn 存在，則收斂；否則發(fā)散。n交錯級數(shù) u1u2u3u4(或 u1 u 2u3,un0)的審斂法 萊布尼茲定理：如果交錯級數(shù)滿足un un1 ，那么級數(shù)收斂且其和s u1 ,其余項(xiàng) rn的絕對值 rnun 1。lim un0n絕對收斂與條件收斂：(1) u1u 2un，其中 un 為任意實(shí)數(shù)；( 2 ) u1u2u3u n如果 ( 2)收斂，則(1)肯定收斂，且稱為絕對收斂級數(shù)；如果 (

12、 2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱(1)為條件收斂級數(shù)。調(diào)和級數(shù)：1 發(fā)散，而( 1) n 收斂；nn級數(shù)：1收斂；n 2p級數(shù)：1 時(shí)發(fā)散p1時(shí)收斂n p冪級數(shù)：x 2x 3x nx1時(shí)，收斂于11 x1 xx1時(shí)，發(fā)散對于級數(shù)(3) a 0a1 xa 2 x2a n x n，如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全x R時(shí)收斂數(shù)軸上都收斂，則必存在 R，使xR時(shí)發(fā)散 ，其中R稱為收斂半徑。x R時(shí)不定求收斂半徑的方法：設(shè)函數(shù)展開成冪級數(shù)：函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：余項(xiàng)： Rnf (n 1) ( ) (x(n 1)!10時(shí)， Rliman1，其中 a n， a n 1是 ( 3 )的系數(shù)，則0時(shí)， Ra n

13、n時(shí)， R 0f ( x) f (x0 )( x x0 )f (x0 )2f (n ) ( x0 )n( x x0 )(x x0 )2!n!x0 ) n 1, f ( x)可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是： lim Rn0nx0 0時(shí)即為麥克勞林公式： f ( x)f ( 0)f (0) xf(0) x2f (n) (0) xn2!n!一些函數(shù)展開成冪級數(shù)：(1 x) m1mx m( m1) x2m(m1) ( mn1) x n( 1 x 1)2!n!sin x xx3x5( 1) n 1 x2n1(x)3!5!( 2n1)!歐拉公式：eixeixcosx2或e cosx i sin xeeix

14、sin x2ixix三角級數(shù)：f (t) A0An sin( n ta0(an cosnxbn sin nx)n )n 12n 1其中， a0aA0， an An sinn， bnAn cos n， tx。正交性：1,sin x,cos x,sin 2x, cos2xsin nx, cosnx 任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積在 , 上的積分 0。傅立葉級數(shù)：f ( x )a0( an cos nx bn，周期22sin nx )n 1an1f ( x) cos nxdx(n0,1,2)其中1bnf ( x) sinnxdx( n1,2,3)112111211（相加）325 282 23242611121

15、1121（相減）224 26 22 232422412正弦級數(shù)：an0，2f ( x ) sin nxdxn1,2,3f ( x)bn sin nx是奇函數(shù)bn0余弦級數(shù)：bn，2f ( x ) cos nxdxn0,1,2a0an cos nx是偶函數(shù)0a nf ( x)02周期為 2l 的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)：一、 向量代數(shù)1、向量的有關(guān)概念：向量間的夾角、向量的方向角、方向余弦、向量在數(shù)軸上的投影rrrr向量的坐標(biāo)aax, ay , azax iayj az k在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影模長： aax2ay2az2方向余弦： cosaxax， cosayay，| a |ax2ay2az2| a

16、 |ax2ay2az2azazcosax2ay2az2r 0| a |,cos,cos單位向量 acos2 、向量的運(yùn)算：線性運(yùn)算：加法ab 、 減法ab 、數(shù)乘a乘積運(yùn)算：數(shù)量積、向量積-向量的數(shù)量積 a ba ba b cosax bxaybyazbz幾何意義； a b0a a 在 b 上的投影b2性質(zhì)：（ 1） a aaaax2a y2az2（ 2） a b 0a bax bxa yby a zbz 0微分方程的相關(guān)概念：一階微分方程： yf (x, y)或P( x, y)dx Q(x, y)dy0可分離變量的微分方程 ：一階微分方程可以化 為g ( y)dy的形式，解法：f (x)dx

17、g ( y)dyf (x)dx得： G( y)F (x) C稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方 程可以寫成 dyf ( x, y)，即寫成 y 的函數(shù)，解法：dx(x, y)xy ，則 dydu，du， dxduy 代替 ，設(shè)(u)分離變量，積分后將uuxux(u) uuxdxdxdxx即得齊次方程通解。一階線性微分方程：1、一階線性微分方程：dyP ( x ) yQ( x)dx當(dāng) Q( x)0時(shí) ,為齊次方程，yCeP ( x ) dx當(dāng) Q( x)0時(shí)，為非齊次方程，y( Q( x)eP ( x ) dxP ( x ) dxdx C ) e、貝努力方程：dyP ( x ) yQ( x )

18、yn，2dx( n 0,1)全微分方程：如果 P(x, y)dxQ( x, y)dy0中左端是某函數(shù)的全微 分方程，即：du(x, y)P(x, y) dx Q( x, y) dy0，其中： uP( x, y)，uQ( x, y)xyu( x, y)C應(yīng)該是該全微分方程的 通解。二階微分方程：2ydy， f ( x)時(shí)為齊次d0dx2P(x)dxQ( x) yf (x)時(shí)為非齊次f ( x)0二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*) y py qy 0，其中p, q為常數(shù)；求解步驟：、寫出特征方程：)r2pr q，其中2，的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是(*)式中的系數(shù)；1(0rry , y , y2、

19、求出()式的兩個(gè)根r1,r23、根據(jù) r1 ,r2的不同情況，按下表寫出(*) 式的通解：r1， r2的形式(*)式的通解兩個(gè)不相等實(shí)根 ( p24q0)yc1er1 xc2 er2 x兩個(gè)相等實(shí)根 ( p 24q0)y(c1c2 x) er1 x一對共軛復(fù)根 ( p 24q0)ye x (c1 cos x c2 sin x)r1i，r2ip ，4qp222二階常系數(shù)非齊次線性微分方程ypyqyf ( x)， p,q為常數(shù)f ( x)e x Pm ( x)型， 為常數(shù)；f ( x)e x Pl ( x) cosxPn ( x) sinx型二、空間解析幾何（一）空間直角坐標(biāo)系（三個(gè)坐標(biāo)軸的選取符

20、合右手系）空間兩點(diǎn)距離公式PQ(x2x1 )2( y2y1 ) 2( z2 z1 ) 2（二）空間平面、直線方程1、 空間平面方程a、 點(diǎn)法式A( xx0 )B( yy0 )C ( zz0 )0b、 一般式AxByCz D0c、 截距式xyz1abcd、 點(diǎn)到平面的距離 dAx0By0Cz0DA2B 2C 22、 空間直線方程a、 一般式A1 x B1 y C1 z D10A2 x B 2 y C2 z D20b、 點(diǎn)向式（對稱式）xx0yy0zz0（分母為0，相應(yīng)的分子也理解為0）lmnxx0ltc、 參數(shù)式y(tǒng)y0mtzz0kt3、空間線、面間的關(guān)系a、 兩平面間的夾角：兩平面的法向量n1

21、， n2 的夾角（通常取銳角）兩平面位置關(guān)系：1 /2n1 /A1B1C1n2B2C 2A212n1n2A1 A2B1B2C1C 2 0平面1 與2 斜交 ，b、兩直線間的夾角：兩直線的方向向量的夾角（取銳角）兩直線位置關(guān)系： L1 /L2a1 /l1m1n1a2m2n2l 2L1L2a1a2l1l 2m1m2n1n2 0b、 平面與直線間的夾角線面夾角：當(dāng)直線與平面不垂直時(shí)，直線與它在平面上的投影直線之間的夾角角）稱為直線與平面的夾角。當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，（22線面位置關(guān)系：L /anlAmBnC 0La / nlmnABCa0( an cosnxnx ，周期2lf ( x )lbn sin

22、)2n 1lan1 lf ( x) cosnx(n0,1,2)lldx其中l(wèi)1 lf ( x ) sin nx dxbn( n1,2,3)lll（取銳）二、 物理一、熱學(xué)1、 PVM RT ； PnkT ； P2 n ；3 kT ；i kT ； EMi RT32222、麥?zhǔn)戏植迹?fvdN，表示單位速度間隔的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。Ndv最概然速率 v p 1.4RT ；平均速率 v1.6RT ；方均根速率 v21.7RT3、平均碰撞次數(shù)Z2d 2 vn ；平均自由程12 d2 n4、等溫過程 PVC ；等壓過程 VC ；等容過程PC ；絕熱過程比等溫線陡。V2TV 2TM RT ln V2

23、 ， EMi R T總功 APdV；等溫過程A TPdVV1V1V12熱一律的應(yīng)用：功是過程曲線下面的面積，QEA等容 A0 ， Q VEM iRT；等壓EM i R T ， QPM i1 R T222等溫 E0 ， Q TM RT ln V2；絕熱過程 Q0V15、順時(shí)針：正循環(huán)，熱機(jī)效率A 凈Q放1 -Q吸Q吸卡諾循環(huán)1 - T2 ；T2T1T1 - T2二、波動1、簡諧振動表達(dá)式 yAcost0，2/Tkm波動方程 yAcosxAcost2 xt00ux - x0yAcost0u2、波的能量：動能和勢能的大小相等，方向、相位相同；波能量不守恒；平均能量密度1A 2223、駐波：振幅相同，方向相反的兩列波的疊加。相鄰波腹（波節(jié)）距離為半波長。4、多普勒效應(yīng)：uv 0，其中 為觀察者接收的頻率，為波源頻率， v0 為觀察者uv s速度， v s 為波源速度。觀察者向著聲源運(yùn)動時(shí)，v0 前取正號，遠(yuǎn)離取負(fù)號；波源向著觀察者運(yùn)動時(shí)，v s前取負(fù)號，遠(yuǎn)離取正號。三、光學(xué)1、干涉：光程差n2 r2 - n1r1k22k，