2016挑戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題圖形運動中由面積產(chǎn)生的函數(shù)關系問題

1、 由面積產(chǎn)生的函數(shù)關系問題 例1 2015年上海市徐匯區(qū)中考模擬第25題如圖1，在RtABC中，ACB90，AC4，cosA，點P是邊AB上的動點，以PA為半徑作P （1）若P與AC邊的另一個交點為D，設APx，PCD的面積為y，求y關于x的函數(shù)解析式，并直接寫出函數(shù)的定義域；（2）若P被直線BC和直線AC截得的弦長相等，求AP的長；（3）若C的半徑等于1，且P與C的公共弦長為，求AP的長圖1 備用圖動感體驗請打開幾何畫板文件名“15徐匯25”，拖動點P在AB上運動，觀察MN的度量值，可以體驗到，MN1.41的時刻只有一個，MN與圓心距CP相交思路點撥1PCD的底邊CD上的高，就是弦AD對應的

2、弦心距2若P被直線BC和直線AC截得的弦長相等，那么對應的弦心距相等3C的半徑等于1，公共弦MN，那么CMN是等腰直角三角形在四邊形CMPN中，利用勾股定理列關于x（P的半徑）的方程滿分解答（1）如圖2，在RtABC中， AC4，cosA，所以AB16，BC設弦AD對應的弦心距為PE，那么AEAPx，PEAPx所以ySPCD定義域是0x8（2）若P被直線BC和直線AC截得的弦長相等，那么對應的弦心距PFPE因此四邊形AEPF是正方形（如圖3），設正方形的邊長為m由SABCSACPSBCP，得ACBCm(ACBC)所以m此時AE，AP4AE圖2 圖3（3）如圖4，設C與P的公共弦為MN，MN與C

3、P交于點G由于CMCN1，MN，所以CMN是等腰直角三角形，CGNG如圖5，作CHAB于H，由AC4，那么AH1，CH215所以CP因此PG（如圖4）如圖4，在RtPNG中，由勾股定理，得整理，得2x264x2570解得，（舍去）圖4 圖5考點伸展第（2）題也可以這樣計算：由于PFBP，由PEPF，得解得例2 2014年黃岡市中考第25題如圖1，在四邊形OABC中，AB/OC，BCx軸于點C，A(1,1)，B(3,1)，動點P從O出發(fā)，沿著x軸正方向以每秒2個單位長度的速度移動過點P作PQ垂直于直線OA，垂足為Q設點P移動的時間為t秒（0t2），OPQ與四邊形OABC重疊部分的面積為S（1）求

4、經(jīng)過O、A、B三點的拋物線的解析式，并確定頂點M的坐標；（2）用含t的代數(shù)式表示點P、Q的坐標；（3）如果將OPQ繞著點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90，是否存在t，使得OPQ的頂點O或Q在拋物線上？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；（4）求出S與t的函數(shù)關系式圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“14黃岡25”，拖動點P從O開始向右運動，可以體驗到，重疊部分的形狀依次為等腰直角三角形、等腰梯形和五邊形點O和點Q各有一次機會落在拋物線上思路點撥1OPQ在旋轉(zhuǎn)前后保持等腰直角三角形的形狀2試探取不同位置的點P，觀察重疊部分的形狀，要分三種情況討論滿分解答（1）由A(1,1)、B(3,1)，可知拋物線

5、的對稱軸為直線x1，點O關于直線x1的對稱點為(4,0)于是可設拋物線的解析式為yax(x4)，代入點A(1,1)，得3a1解得所以頂點M的坐標為（2）OPQ是等腰直角三角形，P(2t, 0)，Q(t,t)（3）旋轉(zhuǎn)后，點O的坐標為(2t,2t)，點Q的坐標為(3t,t)將O(2t,2t)代入，得解得將Q(3t,t)代入，得解得t1因此，當時，點O落在拋物線上（如圖2）；當t1時，點Q落在拋物線上（如圖3）圖2 圖3（4）如圖4，當0t1時，重疊部分是等腰直角三角形OPQ此時St2如圖5，當1t1.5時，重疊部分是等腰梯形OPFA此時AF2t2此時S圖4 圖5如圖6，當1.5t2時，重疊部分是

6、五邊形OCEFA此時CECP2t3所以BEBF1(2t3)42t所以S圖6考點伸展在本題情景下，重疊部分的周長l與t之間有怎樣的函數(shù)關系？如圖4，如圖5，如圖6，例3 2013年菏澤市中考第21題如圖1， ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點A、C分別是一次函數(shù)的圖像與y軸、x軸的交點，點B在二次函數(shù)的圖像上，且該二次函數(shù)圖像上存在一點D使四邊形ABCD能構成平行四邊形（1）試求b、c的值，并寫出該二次函數(shù)的解析式；（2）動點P從A到D，同時動點Q從C到A都以每秒1個單位的速度運動，問：當P運動到何處時，由PQAC？當P運動到何處時，四邊形PDCQ的面積最??？此時四邊形PDCQ的面積是多少？圖

7、1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“13菏澤21”，拖動點P由A向D運動，觀察S隨P變化的圖像，可以體驗到，當S最小時，點Q恰好是AC的中點請打開超級畫板文件名“13菏澤21”，拖動點P由A向D運動，觀察S隨P變化的圖像，可以體驗到，當S最小時，點Q恰好是AC的中點思路點撥1求拋物線的解析式需要代入B、D兩點的坐標，點B的坐標由點C的坐標得到，點D的坐標由ADBC可以得到2設點P、Q運動的時間為t，用含有t的式子把線段AP、CQ、AQ的長表示出來3四邊形PDCQ的面積最小，就是APQ的面積最大滿分解答（1）由，得A(0,3)，C(4,0)由于B、C關于OA對稱，所以B(4,0)，BC8因為AD/

8、BC，ADBC，所以D(8,3)將B(4,0)、D(8,3)分別代入，得解得，c3所以該二次函數(shù)的解析式為（2）設點P、Q運動的時間為t如圖2，在APQ中，APt，AQACCQ5t，cosPAQcosACO當PQAC時，所以解得圖2 圖3如圖3，過點Q作QHAD，垂足為H由于SAPQ，SACD，所以S四邊形PDCQSACDSAPQ所以當AP時，四邊形PDCQ的最小值是考點伸展如果把第（2）題改為“當P運動到何處時，APQ是直角三角形？”除了PQAC這種情況，還有QPAD的情況這時，所以解得（如圖4所示）圖4例4 2012年廣東省中考第22題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，聯(lián)

9、結(jié)BC、AC（1）求AB和OC的長；（2）點E從點A出發(fā)，沿x軸向點B運動（點E與點A、B不重合），過點E作BC的平行線交AC于點D設AE的長為m，ADE的面積為s，求s關于m的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)CE，求CDE面積的最大值；此時，求出以點E為圓心，與BC相切的圓的面積（結(jié)果保留）圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12廣東22”，拖動點E由A向B運動，觀察圖象，可以體驗到，ADE的面積隨m的增大而增大，CDE的面積隨m變化的圖象是開口向下的拋物線的一部分，E在AB的中點時，CDE的面積最大思路點撥1ADE與ACB相似，面積比等于對應邊的比的平方2C

10、DE與ADE是同高三角形，面積比等于對應底邊的比滿分解答（1）由，得A(3,0)、B(6,0)、C(0,9)所以AB9，OC9（2）如圖2，因為DE/CB，所以ADEACB所以而，AEm，所以 m的取值范圍是0m9圖2 圖3（3）如圖2，因為DE/CB，所以因為CDE與ADE是同高三角形，所以所以當時，CDE的面積最大，最大值為此時E是AB的中點，如圖3，作EHCB，垂足為H在RtBOC中，OB6，OC9，所以在RtBEH中，當E與BC相切時，所以考點伸展在本題中，CDE與BEC能否相似？如圖2，雖然CEDBCE，但是BBCAECD，所以CDE與BEC不能相似例5 2012年河北省中考第26題

11、如圖1，圖2，在ABC中，AB13，BC14，探究 如圖1，AHBC于點H，則AH_，AC_，ABC的面積SABC_拓展 如圖2，點D在AC上（可與點A、C重合），分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足為E、F設BDx，AEm，CFn（當點D與點A重合時，我們認為SABD0）（1）用含x，m或n的代數(shù)式表示SABD及SCBD；（2）求(mn)與x的函數(shù)關系式，并求(mn)的最大值和最小值；（3）對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D，指出這樣的x的取值范圍發(fā)現(xiàn) 請你確定一條直線，使得A、B、C三點到這條直線的距離之和最?。ú槐貙懗鲞^程），并寫出這個最小值圖1 圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“

12、12河北26”，拖動點D由A向C運動，觀察(mn)隨x變化的圖象，可以體驗到，D到達G之前，(mn)的值越來越大；D經(jīng)過G之后，(mn)的值越來越小觀察圓與線段AC的交點情況，可以體驗到，當D運動到G時（如圖3），或者點A在圓的內(nèi)部時（如圖4），圓與線段AC只有唯一的交點D圖3 圖4答案 探究 AH12，AC15，SABC84拓展 （1）SABD，SCBD（2）由SABCSABDSCBD，得所以由于AC邊上的高，所以x的取值范圍是x14所以(mn)的最大值為15，最小值為12（3）x的取值范圍是x或13x14發(fā)現(xiàn) A、B、C三點到直線AC的距離之和最小，最小值為例6 2011年淮安市中考第28

13、題如圖1，在RtABC中，C90，AC8，BC6，點P在AB上，AP2點E、F同時從點P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個單位長度的速度向點A、B勻速運動，點E到達點A后立刻以原速度沿AB向點B運動，點F運動到點B時停止，點E也隨之停止在點E、F運動過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與ABC在線段AB的同側(cè)設E、F運動的時間為t秒(t0)，正方形EFGH與ABC重疊部分的面積為S （1）當t1時，正方形EFGH的邊長是_；當t3時，正方形EFGH的邊長是_；（2）當1t2時，求S與t的函數(shù)關系式；（3）直接答出：在整個運動過程中，當t為何值時，S最大？最大面積是多少？圖1動感體驗請打開幾何

14、畫板文件名“11淮安28”，拖動點F由P向B運動，可以體驗到，點E在向A運動時，正方形EFGH越來越大，重疊部分的形狀依次為正方形、五邊形、直角梯形；點E折返以后，正方形EFGH的邊長為定值4，重疊部分的形狀依次為直角梯形、五邊形、六邊形、五邊形在整個運動過程中，S的最大值在六邊形這個時段請打開超級畫板文件名“11淮安28”，拖動點F由P向B運動，可以體驗到，點E在向A運動時，正方形EFGH越來越大，重疊部分的形狀依次為正方形、五邊形、直角梯形；點E折返以后，正方形EFGH的邊長為定值4，重疊部分的形狀依次為直角梯形、五邊形、六邊形、五邊形在整個運動過程中，S的最大值在六邊形這個時段思路點撥1全程運動時間為8秒，最好的建議就是在每秒鐘選擇一個位置畫8個圖形，這叫做磨刀不誤砍柴工2這道題目