16種求極限的方法及一般題型解題思路分享

1、精選文庫(kù)首先說下我的感覺,假如高等數(shù)學(xué)是棵樹木得話,那么極限就是他的根,函數(shù)就是他的皮。樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見這一章的重要性。為什么第一章如此重要？各個(gè)章節(jié)本質(zhì)上都是極限，是以函數(shù)的形式表現(xiàn)出來的，所以也具有函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的性質(zhì)表現(xiàn)在各個(gè)方面：首先對(duì)極限的總結(jié)如下：極限的保號(hào)性很重要,就是說在一定區(qū)間內(nèi)函數(shù)的正負(fù)與極限一致。極限分為一般極限,還有個(gè)數(shù)列極限,（區(qū)別在于數(shù)列極限是發(fā)散的，是一般極限的一種）。 解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了！你還能有補(bǔ)充么？）1、等價(jià)無窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時(shí)候使用，但是不是說一定在加減時(shí)候不能用,前提是必須證明拆分后極限依

2、然存在,e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等價(jià)于Ax等等。全部熟記（x趨近無窮的時(shí)候還原成無窮?。?、洛必達(dá)法則（大題目有時(shí)候會(huì)有暗示要你使用這個(gè)方法）。首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提！必須是X趨近而不是N趨近?。ㄋ悦鎸?duì)數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件（還有一點(diǎn)數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的，不可能是負(fù)無窮?。┍仨毷呛瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)要存在?。偃绺嬖V你g（x）,沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用，無疑于找死！）必須是0比0無窮大比無窮大！當(dāng)然還要注意分母不能為0。洛必達(dá)法則分為3種情況：0比0無窮比無窮時(shí)候直接用；0乘以無窮，無窮減去無窮（應(yīng)為

3、無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后這樣就能變成第一種的形式了；0的0次方，1的無窮次方，無窮的0次方。對(duì)于（指數(shù)冪數(shù)）方程方法主要是取指數(shù)還取對(duì)數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時(shí)候他的冪移下來趨近于0，當(dāng)他的冪移下來趨近于無窮的時(shí)候，LNX趨近于0）。3、泰勒公式(含有e的x次方的時(shí)候,尤其是含有正余弦的加減的時(shí)候要特變注意?。〦的x展開sina，展開cosa,展開ln1+x,對(duì)題目簡(jiǎn)化有很好幫助。4、面對(duì)無窮大比上無窮大形式的解決辦法,取大頭原則最大項(xiàng)除分子分母！

4、看上去復(fù)雜,處理很簡(jiǎn)單！5、無窮小于有界函數(shù)的處理辦法,面對(duì)復(fù)雜函數(shù)時(shí)候,尤其是正余弦的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候,一定要注意這個(gè)方法。面對(duì)非常復(fù)雜的函數(shù)，可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了！6、夾逼定理（主要對(duì)付的是數(shù)列極限！）這個(gè)主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴(kuò)大。7、等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對(duì)付數(shù)列極限）（q絕對(duì)值符號(hào)要小于1）。8、各項(xiàng)的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對(duì)付的還是數(shù)列極限）可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡(jiǎn)函數(shù)。9、求左右極限的方式（對(duì)付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下,xn的極限與xn+1的極限時(shí)一樣的，因?yàn)闃O限去掉有限項(xiàng)目

5、極限值不變化。10、兩個(gè)重要極限的應(yīng)用。這兩個(gè)很重要！對(duì)第一個(gè)而言是X趨近0時(shí)候的sinx與x比值。第2個(gè)就如果x趨近無窮大，無窮小都有對(duì)有對(duì)應(yīng)的形式（第2個(gè)實(shí)際上是用于函數(shù)是1的無窮的形式）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1的時(shí)候要特別注意可能是用地兩個(gè)重要極限）11、還有個(gè)方法，非常方便的方法,就是當(dāng)趨近于無窮大時(shí)候,不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的！x的x次方快于x！快于指數(shù)函數(shù)，快于冪數(shù)函數(shù)，快于對(duì)數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）!當(dāng)x趨近無窮的時(shí)候，他們的比值的極限一眼就能看出來了。12、換元法是一種技巧,不會(huì)對(duì)單一道題目而言就只需要換元，而是換元會(huì)夾雜其中。13、假如要算的話四則運(yùn)算法則也算一種方法，

6、當(dāng)然也是夾雜其中的。14、還有對(duì)付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對(duì)題目實(shí)在是沒有辦法，走投無路的時(shí)候可以考慮轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。15、單調(diào)有界的性質(zhì)，對(duì)付遞推數(shù)列時(shí)候使用證明單調(diào)性！16、直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時(shí)候，在分子上f（x加減某個(gè)值）加減f（x）的形式,看見了要特別注意）（當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時(shí)候f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時(shí)候，就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義！函數(shù)是表皮,函數(shù)的性質(zhì)也體現(xiàn)在積分微分中。例如他的奇偶性質(zhì)他的周期性。還有復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)：1、奇偶性，奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱偶函數(shù)左右2邊的圖形一樣（奇函數(shù)相加為0）；2、周期性也

7、可用在導(dǎo)數(shù)中在定積分中也有應(yīng)用定積分中的函數(shù)是周期函數(shù)積分的周期和他的一致；3、復(fù)合函數(shù)之間是自變量與應(yīng)變量互換的關(guān)系；4、還有個(gè)單調(diào)性。(再求0點(diǎn)的時(shí)候可能用到這個(gè)性質(zhì)?。梢詫?dǎo)的函數(shù)的單調(diào)性和他的導(dǎo)數(shù)正負(fù)相關(guān)）:o再就是總結(jié)一下間斷點(diǎn)的問題（應(yīng)為一般函數(shù)都是連續(xù)的所以間斷點(diǎn)是對(duì)于間斷函數(shù)而言的）間斷點(diǎn)分為第一類和第二類剪斷點(diǎn)。第一類是左右極限都存在的（左右極限存在但是不等跳躍的的間斷點(diǎn)或者左右極限存在相等但是不等于函數(shù)在這點(diǎn)的值可取的間斷點(diǎn)；第二類間斷點(diǎn)是震蕩間斷點(diǎn)或者是無窮極端點(diǎn)（這也說明極限即使不存在也有可能是有界的）。下面總結(jié)一下，求極限的一般題型：1、求分段函數(shù)的極限，當(dāng)函數(shù)含有絕

8、對(duì)值符號(hào)時(shí)，就很有可能是有分情況討論的了！當(dāng)X趨近無窮時(shí)候存在e的x次方的時(shí)候，就要分情況討論應(yīng)為E的x次方的函數(shù)正負(fù)無窮的結(jié)果是不一樣的！2、極限中含有變上下限的積分如何解決嘞？說白了，就是說函數(shù)中現(xiàn)在含有積分符號(hào)，這么個(gè)符號(hào)在極限中太麻煩了你要想辦法把它搞掉！解決辦法：1、求導(dǎo)，邊上下限積分求導(dǎo)，當(dāng)然就能得到結(jié)果了，這不是很容易么？但是！有2個(gè)問題要注意！問題1：積分函數(shù)能否求導(dǎo)？題目沒說積分可以導(dǎo)的話，直接求導(dǎo)的話是錯(cuò)誤的！問題2：被積分函數(shù)中既含有t又含有x的情況下如何解決？解決1的方法：就是方法2微分中值定理！微分中值定理是函數(shù)與積分的聯(lián)系！更重要的是他能去掉積分符號(hào)！解決2的方法：

9、當(dāng)x與t的函數(shù)是相互乘的關(guān)系的話，把x看做常數(shù)提出來，再求導(dǎo)數(shù)！當(dāng)x與t是除的關(guān)系或者是加減的關(guān)系,就要換元了?。〒Q元的時(shí)候積分上下限也要變化?。?、求的是數(shù)列極限的問題時(shí)候:夾逼或者分項(xiàng)求和定積分都不可以的時(shí)候,就考慮x趨近的時(shí)候函數(shù)值,數(shù)列極限也滿足這個(gè)極限的,當(dāng)所求的極限是遞推數(shù)列的時(shí)候:首先:判斷數(shù)列極限存在極限的方法是否用的單調(diào)有界的定理。判斷單調(diào)性不能用導(dǎo)數(shù)定義！數(shù)列是離散的,只能用前后項(xiàng)的比較（前后項(xiàng)相除相減），數(shù)列極限是否有界可以使用歸納法最后對(duì)xn與xn+1兩邊同時(shí)求極限,就能出結(jié)果了！4、涉及到極限已經(jīng)出來了讓你求未知數(shù)和位置函數(shù)的問題。 解決辦法：主要還是運(yùn)用等價(jià)無窮小或

10、者是同階無窮小。因?yàn)槔?當(dāng)x趨近0時(shí)候f（x）比x=3的函數(shù),分子必須是無窮小，否則極限為無窮,還有洛必達(dá)法則的應(yīng)用,主要是因?yàn)楫?dāng)未知數(shù)有幾個(gè)時(shí)候,使用洛必達(dá)法則,可以消掉某些未知數(shù)，求其他的未知數(shù)。5、極限數(shù)列涉及到的證明題，只知道是要構(gòu)造新的函數(shù)，但是不太會(huì)！:o最后總結(jié)一下間斷點(diǎn)的題型：首先，遇見間斷點(diǎn)的問題、連續(xù)性的問題、復(fù)合函數(shù)的問題，在某個(gè)點(diǎn)是否可導(dǎo)的問題。主要解決辦法一個(gè)是畫圖，你能畫出反例來當(dāng)然不可以了，你實(shí)在畫不出反例，就有可能是對(duì)的，尤其是那些考概念的題目，難度不小，對(duì)我而言證明很難的！我就畫圖！我要能畫出來當(dāng)然是對(duì)的，在這里就要很好的理解一階導(dǎo)的性質(zhì)2階導(dǎo)的性質(zhì)，函數(shù)圖

11、形的凹凸性，函數(shù)單調(diào)性函數(shù)的奇偶性在圖形中的反應(yīng)?。ㄔ谶@里尤其要注意分段函數(shù)?。ɡ绶侄魏瘮?shù)導(dǎo)數(shù)存在還相等但是卻不連續(xù)這個(gè)性質(zhì)就比較特殊！應(yīng)為一般的函數(shù)都是連續(xù)的）；方法2就是舉出反例?。ㄔ谶@里也是尤其要注意分段函數(shù)！）例如一個(gè)函數(shù)是個(gè)離散函數(shù)，還有個(gè)也是離散函數(shù)他們的復(fù)合函數(shù)是否一定是離散的嘞？答案是NO，舉個(gè)反例就可以了；方法3上面的都不行那就只好用定義了，主要是寫出公式，連續(xù)性的公式，求在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的公式:o最后了，總結(jié)一下函數(shù)在某一點(diǎn)是否可導(dǎo)的問題：1、首先函數(shù)連續(xù)不一定可導(dǎo)，分段函數(shù)x絕對(duì)值函數(shù)在（0，0）不可導(dǎo)，我的理解就是：不可導(dǎo)=在這點(diǎn)上圖形不光滑?？蓪?dǎo)一定連續(xù)，因?yàn)樗袀€(gè)前

12、提，在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，假如沒有這個(gè)前提，分段函數(shù)左右的導(dǎo)數(shù)也能相等；主要考點(diǎn)1：函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)，他的絕對(duì)值函數(shù)在這點(diǎn)是否可導(dǎo)？解決辦法：記住函數(shù)絕對(duì)值的導(dǎo)數(shù)等于f（x）除以（絕對(duì)值（f（x）再乘以F（x）的導(dǎo)數(shù)。所以判斷絕對(duì)值函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)，首先判斷函數(shù)等于0的點(diǎn)，找出這些點(diǎn)之后，這個(gè)導(dǎo)數(shù)并不是百分百不存在，原因很簡(jiǎn)單分母是無窮小，假如分子式無窮小的話，絕對(duì)值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)依然存在啊，所以還要找出f（a）導(dǎo)數(shù)的值，不為0的時(shí)候，絕對(duì)值函數(shù)在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是無窮，所以絕對(duì)值函數(shù)在這些點(diǎn)上是不可導(dǎo)的啊?？键c(diǎn)2：處處可導(dǎo)的函數(shù)與在，某一些點(diǎn)不可導(dǎo)但是連續(xù)的函數(shù)相互乘的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)的判斷，直接使用導(dǎo)數(shù)的定義就能證明，我的理解是f（x）連續(xù)的話但是不可導(dǎo)，左右