01屆 普通高等學校春季招生考試數(shù)學試卷（上海卷）(附解答)

1、絕密啟用前2001年普通高等學校春季招生考試（上海卷）數(shù)學考生注意：本試卷共有22道試題，滿分150分一、填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題只要求直接填寫結果，每題填對得4分，否則一律是零分1函數(shù)的反函數(shù)_2若復數(shù)滿足方程（是虛數(shù)單位），則=_3函數(shù)的最小正周期為_4二項式的展開式中常數(shù)項的值為_5若雙曲線的一個頂點坐標為（3，0），焦距為10，則它的標準方程為_6圓心在直線上且與軸相切于點（1，0）的圓的方程為_7計算：=_8若向量，滿足，則與所成角的大小為_9在大小相同的6個球中，2個紅球，4個是白球若從中任意選取3個，則所選的3個球中至少有1個紅球的概率是_（結果用分數(shù)表示）10

2、若記號“*”表示求兩個實數(shù)與的算術平均數(shù)的運算，即，則兩邊均含有運算符號“*”和“+”，且對于任意3個實當選、都能成立的一個等式可以是_11關于的函數(shù)有以下命題： （1）對任意的，都是非奇非偶函數(shù)； （2）不存在，使既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)； （3）存在，使是奇函數(shù)； （4）對任意的，都不是偶函數(shù) 其中一個假命題的序號是_因為當=_時，該命題的結論不成立12甲、乙兩人于同一天分別攜款1萬元到銀行儲蓄，甲存五年期定期儲蓄，年利率為2.88%乙存一年期定期儲蓄，年利率為2.25%，并在每年到期時將本息續(xù)存一年期定期儲蓄按規(guī)定每次計息時，儲戶須交納利息的20%作為利息稅，若存滿五年后兩人同時從銀行取出

3、存款，則甲與乙所得本息之和的差為_元（假定利率五年內(nèi)保持不變，結果精確到1分）二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)，選對得4分，不選，選錯或者選出的代號超過一個（不論是否都寫在圓括號內(nèi)），一律得零分13若、為實數(shù)，則是的（ ）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既非充分條件也非必要條件14若直線的傾斜角為，則（ ）（A）等于0（B）等于（C）等于（D）不存在15若有平面與，且，則下列命題中的假命題為（ ）（A）過點且垂直于的直線平行于（B）過點且垂直于

4、的平面垂直于（C）過點且垂直于的直線在內(nèi)（D）過點且垂直于的直線在內(nèi)16若數(shù)列前8項的值各異，且對任意的都成立，則下列數(shù)列中可取遍前8項值的數(shù)列為（ ）（A）（B）（C）（D）三、解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟17（本題滿分12分）已知為全集，求18（本題滿分12分）已知，試用表示的值19（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分9分用一塊鋼錠澆鑄一個厚度均勻，且全面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器（如圖），設容器的高為米，蓋子邊長為米（1）求關于的函數(shù)解析式；（2）設容器的容積為立方米，則當為何值時，最大？求出的最大值（求解本

5、題時，不計容器的厚度）20（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分9分 在長方體中，點、分別、上，且， （1）求證：；（2）若規(guī)定兩個平面所成的角是這兩個平面所組成的二面角中的銳角（或直角），則在空間中有定理：若兩條直線分別垂直于兩個平面，則這兩條直線所成的角與這兩個平面所成的角相等試根據(jù)上述定理，在，時，求平面與平面所成的角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)值表示）21（本題滿分16分）本題共有2個小題，第1小題滿分9分，第2小題滿分7分已知橢圓的方程為，點的坐標滿足過點的直線與橢圓交于、兩點，點為線段的中點，求： （1）點的軌跡方程；（2）點的軌跡與坐標軸的交點的個數(shù)22（本題

6、滿分18分）本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分13分已知是首項為2，公比為的等比數(shù)列，為它的前項和（1）用表示；（2）是否存在自然數(shù)和，使得成立數(shù)學試卷答案要點及評分標準說明：1本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評分標準的精神進行評分2評閱試卷，應堅持每題評閱到底，不要因為考生的解答中出現(xiàn)錯誤而中斷對該題的評閱，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時，可視影響程度決定后面部分的給分，這時原則上不應超過后面部分應給分數(shù)之半，如果有較嚴重的概念性錯誤，就不給分3給分或扣分均以1分為單位答案及評分

7、標準一、（第1至12題）每一題正確的給4分，否則一律得零分123420567890910 11（1），；（1），；（4），等 （兩個空格全填對時才能得分，其中也可以寫成任何整數(shù)）12219.01二、（第13至16題）每一題正確的給4分，否則一律得零分13A 14C 15D 16B三、（第17至22題）17解 由已知因為為減函數(shù)，所由解得所以由，解得所以于是故18解 因為 所以 因而 又，于是因此19解（1）設為正四棱錐的斜高 由已知 解得 （2） 易得 因為，所以 等式當且僅當，即時取得故當米時，有最大值，的最大值為立方米20證（1）因為，所在平面上的射影為由，得，同理可證因為所以 解（2）過

8、作的垂線交于，因為，所以設與所成的角為，則即為平面與平面所成的角由已知，計算得如圖建立直角坐標系，則得點，因為與所成的角為所以 由定理知，平面與平面所成角的大小為21解（1）設點、的坐標分別為、，點的坐標為當時，設直線的斜率為，則的方程為由已知 （1） （2）由（1）得， （3）由（2）得， （4）由（3）、（4）及，得點Q的坐標滿足方程 （5）當時，k不存在，此時l平行于y軸，因此AB的中點Q一定落在x軸上，即Q的坐標為（a，0）顯然點Q的坐標滿足方程（5）綜上所述，點Q的坐標滿足方程設方程（5）所表示的曲線為L，則由得因為，由已知，所以當時，=0，曲線L與橢圓C有且只有一個交點P（a，b）

9、當時，0，曲線L與橢圓C沒有交點因為（0，0）在橢圓C內(nèi)，又在曲線L上，所以曲線L在橢圓C內(nèi)故點Q的軌跡方程為（2）由 解得曲線L與y軸交于點（0，0），（0，b）由 解得曲線L與x軸交于點（0，0），（a，0）當a=0，b=0，即點P（a，b）為原點時，（a，0）、（0，b）與（0，0）重點，曲線L與坐標軸只有一個交點（0，0）當a=0且，即點P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點的y軸上時，點（a，0）與（0，0）重合，曲線L與坐標軸有兩個交點（0，b）與（0，0）同理，當b=0且，即點P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點的x軸上時，曲線L與坐標軸有兩個交點（a，0）與（0，0）當且，即點P（a，b）在橢圓C內(nèi)且不在坐標軸上時，曲線L與坐標軸有三個交點（a，0）、（0，b）與（0，0）22解（