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1、絕密啟用前2001年普通高等學(xué)校春季招生考試(上海卷)數(shù)學(xué)考生注意:本試卷共有22道試題,滿分150分一、填空題(本大題滿分48分)本大題共有12題只要求直接填寫結(jié)果,每題填對(duì)得4分,否則一律是零分1函數(shù)的反函數(shù)_2若復(fù)數(shù)滿足方程(是虛數(shù)單位),則=_3函數(shù)的最小正周期為_4二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)的值為_5若雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),焦距為10,則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為_6圓心在直線上且與軸相切于點(diǎn)(1,0)的圓的方程為_7計(jì)算:=_8若向量,滿足,則與所成角的大小為_9在大小相同的6個(gè)球中,2個(gè)紅球,4個(gè)是白球若從中任意選取3個(gè),則所選的3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率是_(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)10
2、若記號(hào)“*”表示求兩個(gè)實(shí)數(shù)與的算術(shù)平均數(shù)的運(yùn)算,即,則兩邊均含有運(yùn)算符號(hào)“*”和“+”,且對(duì)于任意3個(gè)實(shí)當(dāng)選、都能成立的一個(gè)等式可以是_11關(guān)于的函數(shù)有以下命題: (1)對(duì)任意的,都是非奇非偶函數(shù); (2)不存在,使既是奇函數(shù),又是偶函數(shù); (3)存在,使是奇函數(shù); (4)對(duì)任意的,都不是偶函數(shù) 其中一個(gè)假命題的序號(hào)是_因?yàn)楫?dāng)=_時(shí),該命題的結(jié)論不成立12甲、乙兩人于同一天分別攜款1萬元到銀行儲(chǔ)蓄,甲存五年期定期儲(chǔ)蓄,年利率為2.88%乙存一年期定期儲(chǔ)蓄,年利率為2.25%,并在每年到期時(shí)將本息續(xù)存一年期定期儲(chǔ)蓄按規(guī)定每次計(jì)息時(shí),儲(chǔ)戶須交納利息的20%作為利息稅,若存滿五年后兩人同時(shí)從銀行取出
3、存款,則甲與乙所得本息之和的差為_元(假定利率五年內(nèi)保持不變,結(jié)果精確到1分)二、選擇題(本大題滿分16分)本大題共有4題,每題都給出代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)結(jié)論,其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的,必須把正確結(jié)論的代號(hào)寫在題后的圓括號(hào)內(nèi),選對(duì)得4分,不選,選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過一個(gè)(不論是否都寫在圓括號(hào)內(nèi)),一律得零分13若、為實(shí)數(shù),則是的( )(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既非充分條件也非必要條件14若直線的傾斜角為,則( )(A)等于0(B)等于(C)等于(D)不存在15若有平面與,且,則下列命題中的假命題為( )(A)過點(diǎn)且垂直于的直線平行于(B)過點(diǎn)且垂直于
4、的平面垂直于(C)過點(diǎn)且垂直于的直線在內(nèi)(D)過點(diǎn)且垂直于的直線在內(nèi)16若數(shù)列前8項(xiàng)的值各異,且對(duì)任意的都成立,則下列數(shù)列中可取遍前8項(xiàng)值的數(shù)列為( )(A)(B)(C)(D)三、解答題(本大題滿分86分)本大題共有6題,解答下列各題必須寫出必要的步驟17(本題滿分12分)已知為全集,求18(本題滿分12分)已知,試用表示的值19(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分5分,第2小題滿分9分用一塊鋼錠澆鑄一個(gè)厚度均勻,且全面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如圖),設(shè)容器的高為米,蓋子邊長為米(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式;(2)設(shè)容器的容積為立方米,則當(dāng)為何值時(shí),最大?求出的最大值(求解本
5、題時(shí),不計(jì)容器的厚度)20(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分5分,第2小題滿分9分 在長方體中,點(diǎn)、分別、上,且, (1)求證:;(2)若規(guī)定兩個(gè)平面所成的角是這兩個(gè)平面所組成的二面角中的銳角(或直角),則在空間中有定理:若兩條直線分別垂直于兩個(gè)平面,則這兩條直線所成的角與這兩個(gè)平面所成的角相等試根據(jù)上述定理,在,時(shí),求平面與平面所成的角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)值表示)21(本題滿分16分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分9分,第2小題滿分7分已知橢圓的方程為,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),點(diǎn)為線段的中點(diǎn),求: (1)點(diǎn)的軌跡方程;(2)點(diǎn)的軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)22(本題
6、滿分18分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分5分,第2小題滿分13分已知是首項(xiàng)為2,公比為的等比數(shù)列,為它的前項(xiàng)和(1)用表示;(2)是否存在自然數(shù)和,使得成立數(shù)學(xué)試卷答案要點(diǎn)及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明:1本解答列出試題的一種或幾種解法,如果考生的解法與所列解法不同,可參照解答中評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行評(píng)分2評(píng)閱試卷,應(yīng)堅(jiān)持每題評(píng)閱到底,不要因?yàn)榭忌慕獯鹬谐霈F(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對(duì)該題的評(píng)閱,當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤,影響了后繼部分,但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時(shí),可視影響程度決定后面部分的給分,這時(shí)原則上不應(yīng)超過后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半,如果有較嚴(yán)重的概念性錯(cuò)誤,就不給分3給分或扣分均以1分為單位答案及評(píng)分
7、標(biāo)準(zhǔn)一、(第1至12題)每一題正確的給4分,否則一律得零分123420567890910 11(1),;(1),;(4),等 (兩個(gè)空格全填對(duì)時(shí)才能得分,其中也可以寫成任何整數(shù))12219.01二、(第13至16題)每一題正確的給4分,否則一律得零分13A 14C 15D 16B三、(第17至22題)17解 由已知因?yàn)闉闇p函數(shù),所由解得所以由,解得所以于是故18解 因?yàn)?所以 因而 又,于是因此19解(1)設(shè)為正四棱錐的斜高 由已知 解得 (2) 易得 因?yàn)椋?等式當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得故當(dāng)米時(shí),有最大值,的最大值為立方米20證(1)因?yàn)?,所在平面上的射影為由,得,同理可證因?yàn)樗?解(2)過
8、作的垂線交于,因?yàn)椋栽O(shè)與所成的角為,則即為平面與平面所成的角由已知,計(jì)算得如圖建立直角坐標(biāo)系,則得點(diǎn),因?yàn)榕c所成的角為所以 由定理知,平面與平面所成角的大小為21解(1)設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、,點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí),設(shè)直線的斜率為,則的方程為由已知 (1) (2)由(1)得, (3)由(2)得, (4)由(3)、(4)及,得點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程 (5)當(dāng)時(shí),k不存在,此時(shí)l平行于y軸,因此AB的中點(diǎn)Q一定落在x軸上,即Q的坐標(biāo)為(a,0)顯然點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程(5)綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程設(shè)方程(5)所表示的曲線為L,則由得因?yàn)椋梢阎?,所以?dāng)時(shí),=0,曲線L與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P(a,b)
9、當(dāng)時(shí),0,曲線L與橢圓C沒有交點(diǎn)因?yàn)椋?,0)在橢圓C內(nèi),又在曲線L上,所以曲線L在橢圓C內(nèi)故點(diǎn)Q的軌跡方程為(2)由 解得曲線L與y軸交于點(diǎn)(0,0),(0,b)由 解得曲線L與x軸交于點(diǎn)(0,0),(a,0)當(dāng)a=0,b=0,即點(diǎn)P(a,b)為原點(diǎn)時(shí),(a,0)、(0,b)與(0,0)重點(diǎn),曲線L與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)(0,0)當(dāng)a=0且,即點(diǎn)P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的y軸上時(shí),點(diǎn)(a,0)與(0,0)重合,曲線L與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)(0,b)與(0,0)同理,當(dāng)b=0且,即點(diǎn)P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的x軸上時(shí),曲線L與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)(a,0)與(0,0)當(dāng)且,即點(diǎn)P(a,b)在橢圓C內(nèi)且不在坐標(biāo)軸上時(shí),曲線L與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)(a,0)、(0,b)與(0,0)22解(
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