數(shù)學(xué)物理方法課件：13_1 三類數(shù)理方程推導(dǎo)

1、數(shù)學(xué)物理方程,1、基本方程的推導(dǎo)及基本概念(1周) 2、分離變量法(2周) 3、線性偏微分方程的分類與化簡(jiǎn)(1周) 4、行波法(1周) 5、格林函數(shù)法(1周) 6、積分變換法(1周),數(shù)理方程是指在物理學(xué)、力學(xué)、工程技術(shù)等問(wèn)題中經(jīng)過(guò)一些簡(jiǎn)化后所得到的、反映客觀世界物理量之間關(guān)系的一些偏微分方程。,數(shù)量方程之概述,常微分方程（組）描述的是孤立質(zhì)點(diǎn)(系)的運(yùn)動(dòng)或演變規(guī)律。 連續(xù)體的變化規(guī)律如何描述？ 含有某未知多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的方程稱為偏微分方程。 表示物理量在空間或時(shí)間中變化規(guī)律的偏微分方程稱為數(shù)學(xué)物理方程。,數(shù)量方程之基本任務(wù),數(shù)理方程的基本任務(wù) 以物理學(xué)、力學(xué)及工程技術(shù)中的具體問(wèn)題為研究對(duì)象，

2、基本任務(wù)有： （1）建立描繪某類物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，并提供這些問(wèn)題的求解方法； （2）通過(guò)理論分析，研究客觀問(wèn)題變化發(fā)展的一般規(guī)律。,數(shù)量方程之特點(diǎn),數(shù)學(xué)物理方程的顯著特點(diǎn) （1）廣泛運(yùn)用了數(shù)學(xué)諸多領(lǐng)域的成果。 研究的問(wèn)題也是復(fù)雜的、多樣的 要應(yīng)用不同的數(shù)學(xué)工具來(lái)解決性質(zhì)不同的問(wèn)題。 （2）數(shù)學(xué)物理方程源于工程實(shí)際問(wèn)題 自然現(xiàn)象所蘊(yùn)含的規(guī)律，對(duì)求解思路有著重要的啟迪 許多求解方法，都可在自然現(xiàn)象中找到來(lái)源。,問(wèn)題描述和分析 如果空間某物體G內(nèi)各點(diǎn)處的溫度不同，則熱量就會(huì)從溫度較高的點(diǎn)向溫度較低的點(diǎn)流動(dòng)，這種現(xiàn)象就叫做熱傳導(dǎo)。 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示：由于熱量的傳導(dǎo)過(guò)程總是表現(xiàn)為溫度隨時(shí)間和空間的變化，

3、因此，熱傳導(dǎo)問(wèn)題求解本質(zhì)上是求溫度的分布。 若用u(x, y, z, t)表示物體G內(nèi)一點(diǎn)(x, y, z)在t時(shí)刻的溫度, 記為u(M, t), 點(diǎn)M(x, y, z) 熱傳導(dǎo)問(wèn)題的建模即是建立溫度函數(shù)u(x, y, z, t)所滿足的偏微分方程。,熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo),熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo),建模采用的等量關(guān)系 熱量守恒：任意時(shí)段內(nèi)t1,t2，溫度變化所需的熱量Q2 +流出區(qū)域的熱量Q1 區(qū)域自身產(chǎn)生的熱量Q3。,建模采用的方法 微（單）元體方法，考慮任意一個(gè)區(qū)域，其表面是S。,流出熱量Q1 ：根據(jù)Fourier定律表示,溫度變化所需的熱量Q2 ：與物體的比熱有關(guān),自身產(chǎn)生的熱量Q3： 本身是熱源,

4、Q2 +Q1 Q3,熱傳導(dǎo)方程：溫度變化與熱量的關(guān)系,溫度變化需要的熱量Q2,熱量（吸收或釋放）,溫度差,密度,比熱,t, t+dt時(shí)間內(nèi)，區(qū)域溫度變化所需熱量為,在t1, t2時(shí)間內(nèi)，溫度變化所需要的熱量為,熱傳導(dǎo)方程：流進(jìn)（出）的熱量Q1,比例系數(shù)k0稱為導(dǎo)熱率，與材料有關(guān)，一般視為常數(shù) 符號(hào)表示熱流方向和溫度增大的方向相反。,傅立葉定律 溫度梯度的定義： 熱流強(qiáng)度矢量：q（單位時(shí)間流經(jīng)單位面積的熱量）,計(jì)算t到t+dt時(shí)間內(nèi)，在點(diǎn)(x, y, z)流經(jīng)微元面積dS的熱量,其中，n為微元面積dS的外法線向量。t1至t2時(shí)間內(nèi)流出S的熱量為,兩處dS的區(qū)別，前者是微元面積，后者向量,熱傳導(dǎo)方

5、程：自身產(chǎn)生熱量Q3,假設(shè)在單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的熱量F(x, y, z, t),則時(shí)間段t1, t2內(nèi)、在中所產(chǎn)生的熱量為,建模采用的等量關(guān)系： Q1+Q2=Q3,曲面積分和體積分的關(guān)系（奧高公式），將曲面積分Q1化為體積積分,最終導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程（擴(kuò)散方程）,Laplace方程、位勢(shì)方程,考慮無(wú)熱源的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)了相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間后，溫度趨于穩(wěn)定，則,熱傳導(dǎo)方程變?yōu)?稱為L(zhǎng)aplace方程，或位勢(shì)方程，記為,波動(dòng)方程（弦的橫振動(dòng)方程）,弦的微小橫振動(dòng)方程 問(wèn)題設(shè)有一根理想化的細(xì)弦，其橫截面的直徑與弦的長(zhǎng)度相比非常小。研究弦作微小橫向振動(dòng)的規(guī)律。,弦的振動(dòng)方程,弦振動(dòng)如何描述 弦是連續(xù)的而非

6、離散的質(zhì)點(diǎn)組， 弦是橫向振動(dòng)的，在時(shí)刻t，弦的形狀是曲線u(x, t) 它的運(yùn)動(dòng)應(yīng)符合牛頓運(yùn)動(dòng)定律，簡(jiǎn)化假設(shè)如下： 設(shè)弦在未受擾動(dòng)時(shí)平衡位置是x軸； 兩端分別固定在x=0及x=l處，而其上各點(diǎn)均以該點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示； 輕，忽略重力；質(zhì)量均勻分布； 柔軟，張力方向與弦相切；無(wú)內(nèi)力抵抗,受力分析 水平方向（x軸） 豎直方向（u軸，牛頓第二定律）,弦的振動(dòng)方程,線密度,外力，方向和u一致,張力的方向和弧的切線一致,應(yīng)用模型假設(shè)得到的結(jié)論：,弦的振動(dòng)方程,經(jīng)化簡(jiǎn)：,平衡方程,最后的結(jié)論： 進(jìn)一步假設(shè)： 弦的橫振動(dòng)方程,弦的振動(dòng)方程,一維： 二維： 三維： 自由振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng),波動(dòng)方程,三類典型的數(shù)理方程,三種典型方程簡(jiǎn)析,物理量關(guān)于時(shí)間的變化率 1、波動(dòng)方程