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1、數(shù)學(xué)物理方程,1、基本方程的推導(dǎo)及基本概念(1周) 2、分離變量法(2周) 3、線性偏微分方程的分類與化簡(jiǎn)(1周) 4、行波法(1周) 5、格林函數(shù)法(1周) 6、積分變換法(1周),數(shù)理方程是指在物理學(xué)、力學(xué)、工程技術(shù)等問題中經(jīng)過一些簡(jiǎn)化后所得到的、反映客觀世界物理量之間關(guān)系的一些偏微分方程。,數(shù)量方程之概述,常微分方程(組)描述的是孤立質(zhì)點(diǎn)(系)的運(yùn)動(dòng)或演變規(guī)律。 連續(xù)體的變化規(guī)律如何描述? 含有某未知多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的方程稱為偏微分方程。 表示物理量在空間或時(shí)間中變化規(guī)律的偏微分方程稱為數(shù)學(xué)物理方程。,數(shù)量方程之基本任務(wù),數(shù)理方程的基本任務(wù) 以物理學(xué)、力學(xué)及工程技術(shù)中的具體問題為研究對(duì)象,
2、基本任務(wù)有: (1)建立描繪某類物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型,并提供這些問題的求解方法; (2)通過理論分析,研究客觀問題變化發(fā)展的一般規(guī)律。,數(shù)量方程之特點(diǎn),數(shù)學(xué)物理方程的顯著特點(diǎn) (1)廣泛運(yùn)用了數(shù)學(xué)諸多領(lǐng)域的成果。 研究的問題也是復(fù)雜的、多樣的 要應(yīng)用不同的數(shù)學(xué)工具來解決性質(zhì)不同的問題。 (2)數(shù)學(xué)物理方程源于工程實(shí)際問題 自然現(xiàn)象所蘊(yùn)含的規(guī)律,對(duì)求解思路有著重要的啟迪 許多求解方法,都可在自然現(xiàn)象中找到來源。,問題描述和分析 如果空間某物體G內(nèi)各點(diǎn)處的溫度不同,則熱量就會(huì)從溫度較高的點(diǎn)向溫度較低的點(diǎn)流動(dòng),這種現(xiàn)象就叫做熱傳導(dǎo)。 用數(shù)學(xué)語言表示:由于熱量的傳導(dǎo)過程總是表現(xiàn)為溫度隨時(shí)間和空間的變化,
3、因此,熱傳導(dǎo)問題求解本質(zhì)上是求溫度的分布。 若用u(x, y, z, t)表示物體G內(nèi)一點(diǎn)(x, y, z)在t時(shí)刻的溫度, 記為u(M, t), 點(diǎn)M(x, y, z) 熱傳導(dǎo)問題的建模即是建立溫度函數(shù)u(x, y, z, t)所滿足的偏微分方程。,熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo),熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo),建模采用的等量關(guān)系 熱量守恒:任意時(shí)段內(nèi)t1,t2,溫度變化所需的熱量Q2 +流出區(qū)域的熱量Q1 區(qū)域自身產(chǎn)生的熱量Q3。,建模采用的方法 微(單)元體方法,考慮任意一個(gè)區(qū)域,其表面是S。,流出熱量Q1 :根據(jù)Fourier定律表示,溫度變化所需的熱量Q2 :與物體的比熱有關(guān),自身產(chǎn)生的熱量Q3: 本身是熱源,
4、Q2 +Q1 Q3,熱傳導(dǎo)方程:溫度變化與熱量的關(guān)系,溫度變化需要的熱量Q2,熱量(吸收或釋放),溫度差,密度,比熱,t, t+dt時(shí)間內(nèi),區(qū)域溫度變化所需熱量為,在t1, t2時(shí)間內(nèi),溫度變化所需要的熱量為,熱傳導(dǎo)方程:流進(jìn)(出)的熱量Q1,比例系數(shù)k0稱為導(dǎo)熱率,與材料有關(guān),一般視為常數(shù) 符號(hào)表示熱流方向和溫度增大的方向相反。,傅立葉定律 溫度梯度的定義: 熱流強(qiáng)度矢量:q(單位時(shí)間流經(jīng)單位面積的熱量),計(jì)算t到t+dt時(shí)間內(nèi),在點(diǎn)(x, y, z)流經(jīng)微元面積dS的熱量,其中,n為微元面積dS的外法線向量。t1至t2時(shí)間內(nèi)流出S的熱量為,兩處dS的區(qū)別,前者是微元面積,后者向量,熱傳導(dǎo)方
5、程:自身產(chǎn)生熱量Q3,假設(shè)在單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的熱量F(x, y, z, t),則時(shí)間段t1, t2內(nèi)、在中所產(chǎn)生的熱量為,建模采用的等量關(guān)系: Q1+Q2=Q3,曲面積分和體積分的關(guān)系(奧高公式),將曲面積分Q1化為體積積分,最終導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程(擴(kuò)散方程),Laplace方程、位勢(shì)方程,考慮無熱源的熱傳導(dǎo)問題,經(jīng)過了相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間后,溫度趨于穩(wěn)定,則,熱傳導(dǎo)方程變?yōu)?稱為L(zhǎng)aplace方程,或位勢(shì)方程,記為,波動(dòng)方程(弦的橫振動(dòng)方程),弦的微小橫振動(dòng)方程 問題設(shè)有一根理想化的細(xì)弦,其橫截面的直徑與弦的長(zhǎng)度相比非常小。研究弦作微小橫向振動(dòng)的規(guī)律。,弦的振動(dòng)方程,弦振動(dòng)如何描述 弦是連續(xù)的而非
6、離散的質(zhì)點(diǎn)組, 弦是橫向振動(dòng)的,在時(shí)刻t,弦的形狀是曲線u(x, t) 它的運(yùn)動(dòng)應(yīng)符合牛頓運(yùn)動(dòng)定律,簡(jiǎn)化假設(shè)如下: 設(shè)弦在未受擾動(dòng)時(shí)平衡位置是x軸; 兩端分別固定在x=0及x=l處,而其上各點(diǎn)均以該點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示; 輕,忽略重力;質(zhì)量均勻分布; 柔軟,張力方向與弦相切;無內(nèi)力抵抗,受力分析 水平方向(x軸) 豎直方向(u軸,牛頓第二定律),弦的振動(dòng)方程,線密度,外力,方向和u一致,張力的方向和弧的切線一致,應(yīng)用模型假設(shè)得到的結(jié)論:,弦的振動(dòng)方程,經(jīng)化簡(jiǎn):,平衡方程,最后的結(jié)論: 進(jìn)一步假設(shè): 弦的橫振動(dòng)方程,弦的振動(dòng)方程,一維: 二維: 三維: 自由振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng),波動(dòng)方程,三類典型的數(shù)理方程,三種典型方程簡(jiǎn)析,物理量關(guān)于時(shí)間的變化率 1、波動(dòng)方程
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