【創(chuàng)新課堂】2013高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題02 第3節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與最值課件 文

1、第三節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與最值,1.函數(shù)的單調(diào)性,(1)函數(shù)的單調(diào)性定義:,一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮:,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當(dāng)x1x2時,都有f(x1)f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù);,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當(dāng)x1f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).,知識匯合,計算f(x1)-f(x2),變形成乘積的形式或者是其他可以判斷符號的形式,判斷f(x1)-f(x2)的符號,下結(jié)論(函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性).,(3)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的關(guān)系,奇函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)的對稱的區(qū)

2、間上的單調(diào)性相同;,偶函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)的對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反.,(2)利用定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟:,在區(qū)間D上任取x1,x2,且x1x2,定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性.,概念分析法:利用x增大,逐步推出函數(shù)值y是增大還是減少來判斷函數(shù)的單調(diào)性.,導(dǎo)數(shù)法.,函數(shù)圖象法(涉及平移,對稱問題等).,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.,函數(shù)的性質(zhì)法.,2.函數(shù)的最值,(4)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法:,(1)函數(shù)的最大值的定義:,一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:,對于任意的xI,都有f(x)M;,存在xI,使得f(x)=M.,那么,我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.,(2

3、)函數(shù)的最小值的定義:,一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:,對于任意的xI,都有f(x)M;,存在xI,使得f(x)=M.,那么,我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值.,【例1】判斷并證明函數(shù)f(x) ， x1，)的單調(diào)性,題型一函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,分析： 判斷函數(shù)的單調(diào)性可利用定義法、導(dǎo)數(shù)法、 圖象法或利用已知函數(shù)的單調(diào)性，但是嚴(yán)格證明 需采用定義法或?qū)?shù)法，本題可以先判再證,典例分析,題型二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,【例2】求函數(shù)f(x)x 的單調(diào)區(qū)間,分析：利用定義法或?qū)?shù)法,解：方法一：首先確定定義域x|x0，所以要在(-，0)和(0，+)兩個區(qū)間上分別討任取x1，x2

4、(0，+)且x1x2， 則f(x2)-f(x1)= 要確定此式的正負(fù)只要確定1- 的正負(fù)即可,這樣，又需要 判斷大于1，還是小于1.由于x1、x2的任意性，考慮到要將(0，+)分為(0,1)與(1，+) (1)當(dāng)x1、x2(0,1)時，1- 0， f(x2)-f(x1)0，f(x)為增函數(shù)； 同理可求(3)當(dāng)x1、x2(-1,0)時，f(x)為減函數(shù)； (4)當(dāng)x1、x2(-，-1)時，f(x)為增函數(shù),方法二：f(x)= ， 令f(x)0，得x21，即x1或x-1， 令f(x)0，得x21，即-1x1， f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，+)和(-，-1)， 單調(diào)減區(qū)間為(-1,0)和(0,1),

5、【例3】函數(shù)f(x)對任意的a、bR，都有 f(ab)f(a)f(b)1，并且當(dāng)x0時，f(x)1. (1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)； (2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3.,題型三單調(diào)性的應(yīng)用,分析： 根據(jù)題目中所給的關(guān)系式通過賦值、變形、構(gòu)造， 尋找f(x2)與f(x1)的關(guān)系,解： (1)證明：設(shè)x1，x2R，且x10，f(x2-x1)1， f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-10， f(x2)f(x1)， 即f(x)是R上的增函數(shù) (2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1

6、=5， f(2)=3， 原不等式可化為f(3m2-m-2)f(2) f(x)是R上的增函數(shù)，3m2-m-22， 解得-1m ，則其解集為 .,【例4】已知函數(shù)f(x)對于任意x，yR，總有 f(x)f(y)f(xy)，且當(dāng)x0時，f(x)0， f(1) . (1)求證：f(x)在R上是減函數(shù)； (2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值,題型四函數(shù)的最值,分析：判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的基本方法是定義法， 關(guān)鍵是判斷f(x1)-f(x2)的符號，往往構(gòu)造出x1-x2的 因式就迎刃而解了最值的求解就是利用單調(diào)性,解： (1)證明：設(shè)x1，x2R，且x1x2， 則f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+

7、x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)， 又x0時，f(x)0，而x1-x20， f(x1-x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上是減函數(shù) (2)f(x)在R上是減函數(shù)， f(x)在-3,3上也是減函數(shù)， f(x)在-3,3上的最大值和最小值分別為f(-3)與f(3)， 而f(3)=3f(1)=-2， 由題意知f(0)=f(0)+f(0)，f(0)=0， f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)， f(-x)=-f(x)，故f(x)為奇函數(shù)f(-3)=-f(3)=2. f(x)在-3,3上的最大值為2，最小值為-2.,高考體驗(yàn),下列函數(shù)中，

8、在區(qū)間(0,2)上為 增函數(shù)的是() A. yx1 B. y C. yx24x5 D. y,B解析： 結(jié)合函數(shù)的圖象可知只有選項(xiàng)B對應(yīng)的函數(shù)滿足題意,練習(xí)鞏固,2. f(x)4x2mx5在2，) 為增函數(shù)，f(1)的取值范圍是() A. (，25 B. (25，) C. 25，) D. (，25),C解析： 由題意知對稱軸2，即m16， 所以f(1)9m25.,3. 若函數(shù)yax與y 在(0，)上都是減函數(shù)， 則yax2bx在(0，)上是() A. 增函數(shù) B. 減函數(shù) C. 先增后減 D. 先減后增,B解析： 由題意可知a0，b0， yax2bx的對稱軸方程：x 0， 又a0，yax2bx在

9、(0，)上為減函數(shù),4. 函數(shù)f(x) 在2,3上的最小值為_， 最大值為_,解析：,f(x)在(1，)上為減函數(shù)， f(x)在2,3上單調(diào)遞減， f(x)minf(3) ，f(x)maxf(2)1.,5. 函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是_,(3，)解析：,令u|x3|，則在(，3)上u為x的減函數(shù)， 在(3，)上u為x的增函數(shù)又0 1， 在定義域內(nèi)為減函數(shù)， 在區(qū)間(3，)上y為x的減函數(shù),6.判斷并證明函數(shù)f(x) (a0)在x(1,1) 上的單調(diào)性,方法一(定義法)： 設(shè)10，x1x2+10，(x12-1)(x22-1)0.又a0， f(x1)-f(x2)0，函數(shù)f(x)在(-1,1)上為減函數(shù)

10、,方法二(導(dǎo)數(shù)法)： a0，x2+10，(x2-1)20， f (x)0， 函數(shù)f(x)在(-1,1)上為減函數(shù),7.求函數(shù)ylog0.7(x23x2)的單調(diào)區(qū)間,解析： 由x2-3x+20，得函數(shù)的定義域是(-，1)(2，+)， 令t=x2-3x+2，則y=log0.7t . t=x2-3x+2= ， t=x2-3x+2的單調(diào)減區(qū)間是(-，1)， 增區(qū)間是(2，+)，又y=log0.7t在(0，+)上是減函數(shù)， 函數(shù)y=log0.7(x2-3x+2)的單調(diào)減區(qū)間是(2，+)， 單調(diào)增區(qū)間是(-，1),8.已知偶函數(shù)f(x)在(0，)上為增函數(shù)，且f(2)0， 解不等式flog2(x25x4)

11、0.,f(2)=0， 原不等式可化為flog2(x2+5x+4)f(2) 又f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在(0，+)上為增函數(shù)， f(x)在(-，0)上為減函數(shù)且f(-2)=f(2)=0. 不等式可化為log2(x2+5x+4)2， 或log2(x2+5x+4)-2， 由得x2+5x+44， x-5或x0，,解析：,.,由得0x2+5x+4 x-4或-1x ， 由、得原不等式的解集為,9.求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間， 并指出每一個單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性,解析： 由不等式x2-4x+30，得函數(shù)的定義域?yàn)?(-，1)(3，+) 設(shè)u=x2-4x+3，則 又u=x2-4x+3=(x-2)2-1， 故由二次函數(shù)的性質(zhì)知： 當(dāng)x2時，u=x2-4x+3為增函數(shù)； 當(dāng)x2時，u=x2-4x+3為減函數(shù) 因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?-，1)(3，+) 且 為減函數(shù)， 在(-，1)上為增函數(shù)，在(3，+)上為減函數(shù),10.(2011年浙江寧海模擬)四個函數(shù)中,在(0,1)上為增函數(shù)的是(),(A)y=-log2x. (B)y=sin x.,(C)y=()x.(D)y=.,【解析】y=-log2x=lox為減函數(shù),y=()x為減