數(shù)列專題錯(cuò)位相減求和

1、高一數(shù)學(xué)第七周周考一、解答題1已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和2已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和為3已知數(shù)列滿足， （1）求證:數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；4已知等差數(shù)列的公差大于,且是方程的兩根,數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且.（12分） （1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式； （2） 記,求數(shù)列的前項(xiàng)和5已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn滿足Sn=2n213n（nN*）（1）求通項(xiàng)公式an；（2）令cn=，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn6等差數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，且（）求的通項(xiàng)公式；（

2、）求滿足不等式的的值 7已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a12.當(dāng)n2時(shí)，Sn11，an，Sn1成等差數(shù)列(1)求證：Sn1是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和Tn.8已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且， .（1）求的值；（2）猜想的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.9已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且.（）求的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和.10已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，若且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)之和.11已知等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和12已知數(shù)列的各項(xiàng)均是正數(shù)，其前項(xiàng)和為，滿足.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.

3、13等比數(shù)列an中，已知a12，a416.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若a3，a5分別為等差數(shù)列bn的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.14（本題滿分12分）已知公差不為零的等差數(shù)列的前4項(xiàng)和為10，且成等比數(shù)列. （）求通項(xiàng)公式； （）設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.15已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，. 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16已知數(shù)列，滿足，且.（1）令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式.17（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在二次函數(shù)的圖象上（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和18已知公差不為零的等差數(shù)列，若，且成等比數(shù)列.（

4、1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19已知數(shù)列滿足，令（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式參考答案1（1），（2）【解析】試題分析：（1）求等差與等比數(shù)列通項(xiàng)公式，一般方法為待定系數(shù)法，即根據(jù)條件列關(guān)于公差與公比的方程組：解得，再代入通項(xiàng)公式即得，（2）因?yàn)?，所以利用錯(cuò)位相減法求和，注意作差時(shí)，錯(cuò)項(xiàng)相減，最后一項(xiàng)的符號(hào)變化，中間等比項(xiàng)求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)，最后不要忘記除以試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為（），由題意得解得，或（舍去），（2）由題意得，所以，得，所以 考點(diǎn)：錯(cuò)位相減法求和2（1）；（2）【解析】試題分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)

5、和公式，得到關(guān)于的二元一次方程組，解之，即可得到，則數(shù)列通項(xiàng)公式可求；（2）由（1）可知的通項(xiàng)為，則利用錯(cuò)位相減法即可求出其前項(xiàng)和試題解析：（1）等差數(shù)列an，（2） 考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式,錯(cuò)位相減法3（1）（2）【解析】試題分析：（1）由，變形為，利用等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出（2）由，可得當(dāng)n8時(shí)，0，當(dāng)n9時(shí)，0對n分類討論，去掉絕對值符號(hào)，利用等差數(shù)列的求和公式即可得出試題解析：（1）， ，為等比數(shù)列 （2） ， 當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí), 。設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,則當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí) 所以，綜上， 考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及其求和公式4（1），（2），【解析】解：

6、（）是方程的兩根，且數(shù)列的公差d0，a3=5，a5=9，公差 3分又當(dāng)n=1時(shí)，有b1=S1=1當(dāng)數(shù)列bn是等比數(shù)列， 6分（）由（）知 所以 12分5（1）an=4n15（2）Tn=7【解析】解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=11，當(dāng)n2時(shí)，an=SnSn1=2n213n2（n1）213（n1）=4n15，n=1時(shí)，也適合上式an=4n15（2）cn=（4n15），Tn=+（4n15），=+，得：Tn=+4（+）（4n15）（）n+1=+4（4n15）（）n+1=，Tn=7【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用6（）；（）2，3，

7、4【解析】試題分析：（）已知，要求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可先求得公差，可把已知條件用表示出來，然后寫出通項(xiàng)公式；（）由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式寫出，再解不等式即可試題解析：（）設(shè)數(shù)列的公差為 因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，即，所?（）因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，所以的值為考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式7（1）見解析（2）Tn【解析】解：(1)證明：Sn11，an，Sn1成等差數(shù)列，2anSnSn12(n2)2(SnSn1)SnSn12，即Sn3Sn12，Sn13(Sn11)(n2)Sn1是首項(xiàng)為S113，公比為3的等比數(shù)列(2)由(1)可知Sn13n，Sn3n1.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn123n1.

8、又a12，an23n1(nN*)nan2n3n1Tn2436322(n1)3n22n3n1，3Tn234326332(n1)3n12n3n，由得，2Tn22323223n12n3n2n3n3n12n3n，Tn.8（1）（2）通項(xiàng)為證明：當(dāng)時(shí)，由條件知等式成立，假設(shè)當(dāng)（且）等式成立，即：那么當(dāng)時(shí)，由得由可知，命題對一切都成立【解析】試題分析：，且當(dāng)時(shí)，解得：；當(dāng)時(shí)，解得：由可以猜想的通項(xiàng)為用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)時(shí)，由條件知等式成立；假設(shè)當(dāng)（且）等式成立，即：那么當(dāng)時(shí)，由條件有：； ，即， ，即：當(dāng)時(shí)等式也成立由可知，命題對一切都成立考點(diǎn)：數(shù)列求通項(xiàng)及數(shù)學(xué)歸納法證明點(diǎn)評：已知條件是關(guān)于的關(guān)系式，

9、此關(guān)系式經(jīng)常用到有關(guān)于正整數(shù)的命題常用數(shù)學(xué)歸納法證明，其主要步驟：第一步，n取最小的正整數(shù)時(shí)命題成立，第二步，假設(shè)時(shí)命題成立，借此來證明時(shí)命題成立9（）；（）【解析】試題分析：（）求的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是求等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差即，由已知可知，即，解方程組得，有等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可寫出的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和，首先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由（）可知，從而可得，分母是等差數(shù)列的連續(xù)兩項(xiàng)的積，符合利用拆項(xiàng)相消法求和，故，即可求出試題解析：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為.因?yàn)?，所?解得 4分所以 6分（） 12分考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和10(1) ；(2) 數(shù)列前項(xiàng)之和為【解析】試題分析：（1）由

10、可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和之間的關(guān)系，即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）求出的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法即可求數(shù)列的前項(xiàng)和.試題解析：（1）由題設(shè)得：數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）知： .數(shù)列前項(xiàng)之和為.11（1） （2）【解析】試題分析：（1）由等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為-4，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式建立方程組求出由此能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）由，知，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列的前n項(xiàng)和試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為.由已知得，解得.故.（2）由（1）得， .，兩邊同乘以2得，兩式相減得點(diǎn)睛：求解由一個(gè)等

11、差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的數(shù)列的前項(xiàng)和，一般采用錯(cuò)位相消法，用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解. 12（）. （）詳見解析.【解析】試題分析：（）首先令求出首項(xiàng)，.由兩式相減，得即.所以，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列.由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式便可得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（）證明有關(guān)數(shù)列前項(xiàng)和的不等式，一般有以下兩種思路：一種是先求和后放縮，一種是先放縮后求和.

12、在本題中，由（）可得：，.這顯然用裂項(xiàng)法求和，然后用放縮法即可證明.試題解析：（）由題設(shè)知， 2分由兩式相減，得.所以. 4分可見，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列。所以6分（）， 8分. 10分=. 12分考點(diǎn)：1、等比數(shù)列；2、裂項(xiàng)法；3、不等式的證明.13(1)設(shè)an的公比為q，由已知得162q3，解得q2.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an22n12n.(2)由(1)得a38，a532，則b38，b532.設(shè)bn的公差為d，則有解得，從而bn1612(n1)12n28，所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn6n222n.【解析】略14（1）an=3n5.（）【解析】本試題主要是考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解

13、以及等比數(shù)列求和的綜合運(yùn)用。（1）因?yàn)楣畈粸榱愕牡炔顢?shù)列的前4項(xiàng)和為10，且成等比數(shù)列，聯(lián)立方程組得到首項(xiàng)和公差得到結(jié)論。（2）在第一問的基礎(chǔ)上可知，利用等比數(shù)列的求和公式得到結(jié)論。（1）由題意知3分解得 5分所以an=3n5. 6分（）數(shù)列bn是首項(xiàng)為，公比為8的等比數(shù)列，-9分所以12分15（1）2n（2）【解析】試題分析：解:（1），（2）由已知： -得=.考點(diǎn)：等差數(shù)列，錯(cuò)位相減法點(diǎn)評：主要是考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和的運(yùn)用，屬于中檔題。16（1）（2），【解析】試題分析：（1）兩式相加得，即，根據(jù)等差數(shù)列定義及通項(xiàng)公式得（2）兩式相減得，根據(jù)等比數(shù)列定義及通項(xiàng)公式得，又，解方

14、程組得，最后根據(jù)分組求和得試題解析：解：（1）由題設(shè)得，即，易知是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為（2）由題設(shè)得，令，則，易知是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為解得求和得考點(diǎn)：等差數(shù)列及等比數(shù)列定義及通項(xiàng)公式，分組求和17（1）（2）【解析】試題分析：（1）由數(shù)列前n項(xiàng)和求通項(xiàng)時(shí)主要借助于公式解決（2）將通項(xiàng)整理后根據(jù)特點(diǎn)采用裂項(xiàng)相消的方法求和試題解析：（1）點(diǎn)均在二次函數(shù)的圖象上，（1）（2分）當(dāng)時(shí)，；（4分） 當(dāng)時(shí)，滿足上式（5分）數(shù)列的通項(xiàng)公式是（6分）（2），（7分） （9分） （10分） （12分）考點(diǎn)：1數(shù)列求通項(xiàng)公式；2裂項(xiàng)相消法求和18（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）借助等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求解；（2）借助題設(shè)條件運(yùn)用等差數(shù)