數(shù)學(xué)建模-數(shù)理統(tǒng)計(jì)總結(jié).ppt

1、數(shù)學(xué)建模之 數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)回顧,統(tǒng)計(jì)的基本概念,參數(shù)估計(jì),假設(shè)檢驗(yàn),數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)描述和分析,由樣本值去推斷總體情況，需要對(duì)樣本值進(jìn)行“加工”，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來(lái).,1. 統(tǒng)計(jì)量,這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)量. 它是完全由樣本決定的量.,一、統(tǒng)計(jì)量,定義,請(qǐng)注意 :,常用的統(tǒng)計(jì)量,樣本平均值,樣本方差,樣本標(biāo)準(zhǔn)差,它反映了 總體均值 的信息,它反映了總體 方差的信息,它反映了總體k 階矩的信息,樣本k階原點(diǎn)矩,樣本k階中心矩,k=1,2,它反映了總體k 階 中心矩的信息,統(tǒng)計(jì)量的觀(guān)察值,二、統(tǒng)計(jì)三大抽樣分布,記為,分布,1、,定義: 設(shè)

2、 相互獨(dú)立, 都服從正態(tài)分布 N(0,1), 則稱(chēng)隨機(jī)變量： 所服從的分布為自由度為 n 的 分布.,分布是由正態(tài)分布派生出來(lái)的一種分布.,分布的密度函數(shù)為,來(lái)定義.,其中伽瑪函數(shù) 通過(guò)積分,注,1. 設(shè) 相互獨(dú)立, 都服從正態(tài)分布,則,這個(gè)性質(zhì)叫 分布的可加性.,3若,近似正態(tài)分布N(0,1).,(應(yīng)用中心極限定理可得 ),2設(shè) 且X1,X2相互獨(dú)立，,E(X)=n, D(X)=2n.,概率密度函數(shù)為：,2、t 分布,由定義可見(jiàn)，,3、F分布,F(n2,n1),即它的數(shù)學(xué)期望并不依賴(lài)于第一自由度n1.,1.F分布的數(shù)學(xué)期望為:,若n22,若FF(n1,n2)， F的概率密度為,2.F分布的分

3、位數(shù),抽樣分布定理,樣本均值的分布,樣本方差、均值的分布,兩總體樣本均值差、樣本方差比的分布,例1,解,二、參數(shù)估計(jì),點(diǎn)估計(jì),區(qū)間估計(jì),尋求估計(jì)量的方法,1. 矩估計(jì)法,2. 極大似然法,4. 最小二乘法,5. 貝葉斯方法,3. 順序統(tǒng)計(jì)量法,1. 矩估計(jì)法,矩估計(jì)法是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.皮爾遜 最早提出來(lái)的 .,由辛欽定理 ,若總體 的數(shù)學(xué)期望 有限,則有,其中 為連續(xù)函數(shù) .,這表明 , 當(dāng)樣本容量很大時(shí) , 在統(tǒng)計(jì)上 , 可以用 用樣本矩去估計(jì)總體矩 . 這一事實(shí)導(dǎo)出矩估計(jì)法.,理論依據(jù):,大數(shù)定律,矩估計(jì)法的具體做法如下：,都是這 k 個(gè)參數(shù)的函數(shù),記為：,例1 設(shè)總體 X 在 a , b

4、 上服從均勻分布 , a , b 未知 . 是來(lái)自 X 的樣本 , 試求 a , b 的矩估計(jì)量 .,解,即,解得,于是 a , b 的矩估計(jì)量為,樣本矩,總體矩,矩法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行,并不需要事先知道總體是什么分布 .,缺點(diǎn)是，當(dāng)總體類(lèi)型已知時(shí)，沒(méi)有充分利用分布提供的信息 . 一般場(chǎng)合下,矩估計(jì)量不具有唯一性 .,其主要原因在于建立矩法方程時(shí)，選取那些總體矩用相應(yīng)樣本矩代替帶有一定的隨意性 .,2. 極大似然法,它是在總體類(lèi)型已知條件下使用的一種參數(shù)估計(jì)方法 .,它首先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在 1821年提出的 .,Gauss,Fisher,然而,這個(gè)方法常歸功于英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇 .,費(fèi)歇在19

5、22年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質(zhì) .,極大似然法的基本思想,先看一個(gè)簡(jiǎn)單例子：,一只野兔從前方竄過(guò) .,是誰(shuí)打中的呢？,某位同學(xué)與一位獵人一起外出打獵 .,如果要你推測(cè)，,你會(huì)如何想呢?,只聽(tīng)一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下 .,你就會(huì)想，只發(fā)一槍便打中, 獵人命中的概率一般大于這位同學(xué)命中的概率 . 看來(lái)這一槍是獵人射中的 .,這個(gè)例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了極大似然法的基本思想 .,極大似然估計(jì)原理：,當(dāng)給定樣本X1,X2,Xn時(shí)，定義似然函數(shù)為：,設(shè)X1,X2,Xn是取自總體X的一個(gè)樣本，樣本的聯(lián)合密度(連續(xù)型）或聯(lián)合分布律 (離散型)為 f (x1,x2, ,xn ; ) .

6、,這里 x1, x2 , xn 是樣本的觀(guān)察值 .,似然函數(shù)：,極大似然估計(jì)法就是用使 達(dá)到最大值的 去估計(jì) .,稱(chēng) 為 的極大似然估計(jì)值 .,看作參數(shù) 的函數(shù)，它可作為 將以多大可 能產(chǎn)生樣本值 x1, x2, ,xn 的一種度量 .,而相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量,稱(chēng)為 的極大似然估計(jì)量 .,解：似然函數(shù)為,例2 設(shè)X1,X2,Xn是取自總體X的一個(gè)樣本,其中 0,求 的極大似然估計(jì).,i=1,2,n,對(duì)數(shù)似然函數(shù)為,解：似然函數(shù)為,i=1,2,n,=0 (2),由(1)得,=0 (1),對(duì) 分別求偏導(dǎo)并令其為0,對(duì)數(shù)似然函數(shù)為,(4) 在最大值點(diǎn)的表達(dá)式中, 用樣本值代入就得參數(shù)的極大似然估計(jì)值 .,求

7、極大似然估計(jì)(MLE)的一般步驟是：,(1) 由總體分布導(dǎo)出樣本的聯(lián)合分布率(或聯(lián)合密度);,(2) 把樣本聯(lián)合分布率 ( 或聯(lián)合密度 ) 中自變 量看成已知常數(shù),而把參數(shù) 看作自變量,得到似然 函數(shù)L( );,(3) 求似然函數(shù)L( ) 的最大值點(diǎn)(常常轉(zhuǎn)化為求ln L( )的最大值點(diǎn)) ，即 的MLE;,一、 置信區(qū)間定義,區(qū)間估計(jì),這里有兩個(gè)要求:,可見(jiàn)，,對(duì)參數(shù) 作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè) 只依賴(lài)于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量).,一旦有了樣本，就把 估計(jì)在區(qū)間 內(nèi) .,可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是 在保證可靠度的條件下盡可能提高 精度.,（一）均值 的區(qū)間估計(jì),二、單個(gè)正態(tài)總體置信區(qū)

8、間的求法,方差已知，對(duì)均值 的區(qū)間估計(jì),1、,則所求均值 的 置信區(qū)間為, N(0, 1),選 的點(diǎn)估計(jì)為 ,明確問(wèn)題,是求什么 參數(shù)的置信區(qū)間? 置信水平是多少？,解,尋找一個(gè)待估參數(shù)和 統(tǒng)計(jì)量的函數(shù) ，要求 其分布為已知.,有了分布，就可以求出 U取值于任意區(qū)間的概率.,對(duì)給定的置信水平,查正態(tài)分布表得,對(duì)于給定的置信水平, 根據(jù)U的分布，確定一 個(gè)區(qū)間, 使得U取值于該區(qū)間的概率為置信水平.,使,從中解得,對(duì)給定的置信水平,查正態(tài)分布表得,使,也可簡(jiǎn)記為,于是所求 的 置信區(qū)間為,從例1解題的過(guò)程，我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下:,1. 明確問(wèn)題, 是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?,置信水平

9、 是多少?,2. 尋找參數(shù) 的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì) T(X1,X2,Xn),3. 尋找一個(gè)待估參數(shù) 和估計(jì)量 T 的函數(shù) U(T, ),且其分布為已知.,4. 對(duì)于給定的置信水平 ，根據(jù)U(T, )的分布，確定常數(shù)a, b，使得,P(a U(T, )b) =,于是 就是 的100( )的置信區(qū)間.,可見(jiàn)，確定區(qū)間估計(jì)很關(guān)鍵的是要尋找一個(gè) 待估參數(shù) 和估計(jì)量T 的函數(shù)U(T, ), 且U(T, ) 的分布為已知, 不依賴(lài)于任何未知參數(shù) .,而這與總體分布有關(guān)，所以，總體分布的形式是 否已知，是怎樣的類(lèi)型，至關(guān)重要.,（一）均值 的區(qū)間估計(jì),二、單個(gè)正態(tài)總體置信區(qū)間的求法,方差未知，對(duì)均值 的區(qū)間估計(jì)

10、,1、,則所求均值 的 置信區(qū)間為,（二）方差 的區(qū)間估計(jì),二、單個(gè)正態(tài)總體置信區(qū)間的求法,均值未知，對(duì)方差 的區(qū)間估計(jì),僅討論,則所求 的 置信度為 置信區(qū) 間為,例2 隨機(jī)地取炮彈 10 發(fā)做試驗(yàn)，得炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差 , 炮口速度服從正態(tài)分布. 求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平為0.95 的置信區(qū)間.,由,解,于是得到 的置信水平為 的置信區(qū)間為,這里,可得到 的置信水平為 的置信區(qū)間為,假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和方法 假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟 假設(shè)檢驗(yàn)的兩類(lèi)錯(cuò)誤,假設(shè)檢驗(yàn),假設(shè)檢驗(yàn),參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn),非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn),總體分布已 知，檢驗(yàn)關(guān) 于未知參數(shù) 的某個(gè)假設(shè),總體分布未知時(shí)的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題,一

11、、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和方法,單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)表,條件,拒絕域,成立時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 及其分布,（1）提出假設(shè),（2）選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,（3）確定拒絕域與接受域,二、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟,（4）判斷,例1 某工廠(chǎng)生產(chǎn)的一種螺釘，標(biāo)準(zhǔn)要求長(zhǎng)度是32.5毫米. 實(shí)際生產(chǎn)的產(chǎn)品，其長(zhǎng)度X 假定服從正態(tài)分布 未知，現(xiàn)從該廠(chǎng)生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取6件, 得尺寸數(shù)據(jù)如下:,32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03,問(wèn)這批產(chǎn)品是否合格?,分析：這批產(chǎn)品(螺釘長(zhǎng)度)的全體組成問(wèn)題的總體X. 現(xiàn)在要檢驗(yàn)E(X)是否為32.5.,提出原假設(shè)和備擇假設(shè),第一步：,第二步：,能衡量差異大小且分布已知,第三步：,即“ ”是一個(gè)小概率事件 .,小概率事件在一次 試驗(yàn)中基本上不會(huì) 發(fā)生 .,得否定域 W: |t |4.0322,得否定域 W: |t |4.0322,故不能拒絕H0 .,第四