2012.9概率作業(yè)集(完整版)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計（工科類）作業(yè)班級：學號：姓名：第一節(jié)隨機事件一、用集合的形式表示下列隨機試驗的樣本空間與隨機事件a1. 在平整的桌面上隨機拋骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，設事件a 表示“骰子的點數(shù)是奇數(shù)”，則樣本空間 ， a 。2. 觀察某呼叫臺一個晝夜接到的呼叫次數(shù)，設事件a 表示“一個晝夜接到的呼叫次數(shù)小于2 次”，則樣本空間 ，a 。3. 對目標進行射擊，擊中后便停止射擊，觀察射擊的次數(shù)，事件a 表示“射擊次數(shù)不超過3 次”，則樣本空間 ， a 。二、設 a，b， c 為三個事件，用a， b， c的運算關系表示下列各事件：（ 1） a， b， c 都發(fā)生：（ 2） a， b， c 都不發(fā)生：（

2、 3） a 發(fā)生， b 與 c不發(fā)生：（ 4） a， b， c 中至少有一個事件發(fā)生：（ 5） a， b， c 中至少有兩個事件發(fā)生：（ 6） a， b， c 中恰有一個事件發(fā)生：三、若事件a ， b ， c 滿足等式 acbc ，問 ab 是否成立？若成立，請證明；若不成立，請舉反例說明。1.第二節(jié)隨機事件的概率（ 1）一、選擇題（ 1）設 a 與 b 是兩個對立事件，且p(a)0, p(b)0 ，則下列正確的是（）。（ a） p( a)p(b)1（b） p( ab)1（ c） p( ab)p(a)p(b)（ d） p( a)p( b)（ 2）設 a, b 為兩個互不相容的隨機事件，則下列正

3、確的是（）。（ a） a 與 b 互不相容（ b）（ c） p(ab )p(a)p(b)（ d）p( a)1p(b)p( a u b)p(a)p( b)（ 3）設 a 、 b 是任意兩事件，則p( ab)（）。（a） p( a)p( b)（ b） p(a)p(b)p( ab)（ c） p( a)p( ab)（d） p( a)p( b)p( ab)二、已知 p( ab)0.8， p( a)0.5 ， p(b)0.6 ，求 p( ab) ， p( a b) ， p( ab) 。三、設 a， b 為隨機事件，且p( a)0.7 ， p( ab)0.3 ，求 p( ab ) 。第二節(jié)隨機事件的概率（

4、2）.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（工科類）作業(yè)班級：學號：姓名：1. 一批產(chǎn)品由45 件正品、 5 件次品組成，現(xiàn)從中任取3 件產(chǎn)品，求其中恰有1 件次品的概率。2. 某寢室住有 6 名學生，求至少有兩個同學的生日恰好在同一個月的概率。3.將一枚骰子重復擲n 次，求擲出的最大點數(shù)為5 點的概率。4. 從 0 到 9 這 10 個數(shù)字中不重復的任取 4 個數(shù)排成一行，求能排成一個四位奇數(shù)的概率。5.將 8 名乒乓球選手分為a,b 兩組，每組4 人，求甲、乙兩位選手不在同一組的概率。3.6將 5 個相同的球放入位于一排的8 個格子中，每格至多放一個球，求3 個空格相連的概率。7. 10 人中有一對夫婦，他們

5、隨意的坐在一張圓桌旁，求該對夫婦正好坐在一起的概率。8兩艘輪船都要?？吭谕粋€泊位，它們可能在一晝夜的任意時刻到達，設兩艘輪船停靠泊位的時間分別為 1 h 和 2 h ，求有一艘輪船?？坎次粫r需要等待一段時間的概率。第三節(jié)條件概率.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（工科類）作業(yè)班級：學號：姓名：一、已知 p( a)0.5 ， p(b)0.6 ， p(b a)0.8 ，求 p( a b) 。二、有人來訪，他坐火車、汽車和飛機的概率分別為0.4， 0.5， 0.1，若坐火車，遲到的概率是0.1，若坐汽車，遲到的概率是 0.2，若坐飛機則不會遲到，求他遲到的概率。三、按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學習的學生有90%

6、的可能考試及格，不努力學習的學生有90%的可能考試不及格，據(jù)調(diào)查，學生中有80%的人是努力學習的，試問：考試及格的學生有多大可能是不努力學習的人？四、某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時，一個合格品被誤認為是次品的概率為0.02，一個次品被誤認為是合格品的概率為0.05，求在被檢查后認為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率。5.第四節(jié)獨立性一、選擇題：（ 1）設 p( a) 0.8， p( b)0.7， p( a b) 0.8 ，則下列結(jié)論正確的是（）。（ a） b a（ b） p( a b) p( a) p( b)（ c）事件 a 與事件 b 相互獨立（ d）事件 a 與事件 b 互逆（ 2

7、）設 0 p( a)1， 0p(b)1， p( a b)p( a b) 1，則（）。（ a）事件 a 與 b 互不相容（ b）事件 a 與 b 互逆（ c）事件 a 與 b 不相互獨立（ d）事件 a 與 b 相互獨立二、已知 p( a)， p(b)0.3， p( a b)0.7 ，（ 1）若事件 a 與 b 互不相容，求；（ 2）若事件a 與 b 相互獨立，求。三一射手對同一目標進行四次獨立的射擊，若至少射中一次的概率為80 81，求此射手每次射擊的命中率。四、加工某一零件需要經(jīng)過四道工序，設第一、二、三、四道工序的次品率分別為0.02，0.03，0.05，0.03，假定各道工序是相互獨立的

8、，求加工出來的零件的次品率。.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（工科類）作業(yè)班級：學號：姓名：第一節(jié)隨機變量第二節(jié)離散型隨機變量一、填空題（ 1） 設隨機變量x只能取 0，1， 2，且 x 取這些值的概率依次為1 , 5 , 1 ，則。2c4c4c（ 2）一批產(chǎn)品共100 個，其中有10 個次品，以x 表示任意取出的2 個產(chǎn)品中的次品數(shù)，則x 的分布律為。（用一個表達式表示）(3)某射手對一目標射擊，直至擊中為止，如果每次射擊命中率為p（ 0p1） ，以 x 表示射擊的次數(shù)，則 x 的分布律為。（用一個表達式表示）二、解答題1.一袋中有5 只乒乓球，編號為1，2，3，4，5，在其中同時取3 只，以 x 表示取

9、出的3 只球中的最大號碼，寫出隨機變量x 的分布律。（列表格表示）2. 某樓有供水龍頭5 個，調(diào)查表明每一龍頭被打開的概率為1 ，求恰有 3 個水龍頭同時被打開的概率。103. 設某城市在一周內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)服從參數(shù)為0.3 的泊松分布 , 求該市在一周內(nèi)至少發(fā)生1 次交通事故的概率是多少？4.已知在 5 重貝努里試驗中成功的次數(shù)x 滿足 p x=1= p x=2 ，求概率p x=4 。7.第三節(jié)隨機變量的分布函數(shù)一、單項選擇題（ 1）下列函數(shù)中，可作為某一隨機變量的分布函數(shù)是（）。(a) f (x) 11(b)f (x)11 arctan xx22(c) f ( x)1 (1 e x )

10、,x0(d)f (x)ln(1x) ,x021x0,x00,x0二、解答題a(1 ex ，01. 設隨機變量x 的分布函數(shù)為) x試求 : （ 1）系數(shù) a；（2） p 1 x 3 。f ( x),，x002. 設隨機變量 x 的分布律為 :x0123pk1 163 161 21 4（ 1）求 x 的分布函數(shù)f ( x) ；（ 2）求概率 p x2 。.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（工科類）作業(yè)班級：學號：姓名：第四節(jié)連續(xù)型隨機變量一、單項選擇題1.設 f (x) 和 f (x) 分別為某隨機變量的分布函數(shù)和概率密度，則必有（）。(a) f (x) 單調(diào)不減(b)f ( x)dx 1（ c） f () 0

11、(d) f ( x)f (x)dx2.設 a 是隨機事件，則“p( a)0 ”是“ a 是不可能事件”的（）。(a) 必要非充分條件(b)充分非必要條件(c)充要條件(d) 無關條件二、填空題1.隨機變量 x 的概率密度為 f ( x)e x ,x0 ，若 p x c1，則 c。0,x022.已知 x n (10,32 ) ， p x0.67 ，則。3. 設隨機變量 x 的概率密度為2x, 0x1，記 y 表示對 x 的三次獨立重復觀察中事件f ( x)其他0, x 1 2 出現(xiàn)的次數(shù)，則py2 =。三、解答題1.設隨機變量 x 的概率密度為kx2 ,1x2,f (x),，求（ 1）常數(shù) k

12、；（ 2） x 的分布函數(shù) f (x) 。0其它 ,2. 設某河流每年的最高洪水水位(m) 具有概率密度2/ x3 ,x1,f ( x)x，現(xiàn)要修能夠防御百年一遇的洪0 ,1水（即遇到的概率不超過0.01）的河堤，問河堤至少要修多高？9.3. 設k在 (0 ， 5) 內(nèi)服從均勻分布, 求方程 4x242 0有實根的概率。kx k10004.某種型號的電子管壽命x ( 以小時計 ) 具有以下概率密度f x ( x)x 2 ， x 1000 ， 現(xiàn)有一大批0，其他此種管子（設各電子管損壞與否相互獨立）,任取 5 只，問其中至少有2 只壽命大于1500 小時的概率是多少？5. 將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯

13、存著某種液體的容器內(nèi)，液體的溫度x（以c 記）是一個隨機變量，x n (90,0.4 2 ) , 求液體的溫度x 保持在 89 91 c 的概率。（(2.5)0.9938 ，其中(x) 表示標準正態(tài)分布的分布函數(shù)）.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（工科類）作業(yè)班級：學號：姓名：第五節(jié)隨機變量的函數(shù)的分布1. 設離散型隨機變量 x 的分布律為求 y x 2 1的分布律。2.設隨機變量x u (0,1) ，求 ye x 的概率密度函數(shù)fy ( y) 。11.3.設隨機變量x u (2,3) ，求 yx 3 的概率密度函數(shù)fy ( y) 。4.設隨機變量x n (0,1) ，求 yx 2 的概率密度函數(shù)fy (

14、y) 。.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（工科類）作業(yè)班級：學號：姓名：第一節(jié)二維隨機變量1. 設隨機變量 ( x ,y ) 的聯(lián)合分布律為求（ 1）常數(shù) a；（ 2） p x0, y0 。2.一箱子裝有100 件產(chǎn)品，其中一、二、三等品分別為80 件， 10 件， 10 件. 現(xiàn)從中隨機抽取一件，記1,若抽到一等品;， 若抽到二等品;1x10,其他.x 2，其他.0求隨機變量( x1 , x 2 ) 的聯(lián)合分布律 .3. 設隨機變量( x ,y ) 的聯(lián)合分布函數(shù)為 f ( x, y) a( barctan x)(c arctan y)x, y，（ 1）求常數(shù) a,b,c的值；（ 2）求 ( x , y)

15、 的聯(lián)合概率密度函數(shù)f (x, y) 。13.k (6 xy), 0x 2, 0 y 4,4設隨機變量 (x , y) 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 f ( x, y),（1）求常數(shù) k ；0其他.（ 2）求 p x 1, y 3 。5設隨機變量 ( x ,y ) 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為ke (3 x2 y) , x0, y 0,f ( x, y), 其他 .0（ ）求常數(shù)k；（ ）求 ( x ,y ) 的聯(lián)合分布函數(shù)f (x, y) ；（ ） p xy 。123第二節(jié)邊緣分布.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（工科類）作業(yè)班級：學號：姓名：1. 完成下列表格：yy1y2y3pi .xx10.10.10.3x20.20

16、.3p. j11 e 0.5 xe 0.5 ye 0.5( x y ) , x 0, y 0,2設 ( x ,y) 的聯(lián)合分布函數(shù)為 f ( x, y),，求 ( x ,y) 的邊緣分0其他布函數(shù) fx ( x) 。3二維隨機變量( x ,y ) 在以原點為圓心的單位圓上服從均勻分布，試求( x ,y) 的聯(lián)合概率密度函數(shù)和邊緣概率密度函數(shù)f x ( x) 。(1 2 x)(12 y) / 4 , 0x 1,0 y 1,4. 二維隨機變量 ( x ,y) 的概率密度為 f ( x, y),，求 ( x ,y) 的0其他15.邊緣概率密度函數(shù)f x ( x) 。5. 設二維隨機變量4.8y(2x

17、), 0 x 1,y x,( x ,y) 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 f ( x, y)，求 ( x , y)0, 其他的邊緣概率密度函數(shù)f x (x) 。第三節(jié)條件分布第四節(jié)隨機變量的獨立性.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（工科類）作業(yè)班級：學號：姓名：1二維隨機變量 ( x ,y) 的聯(lián)合分布律為x01y00.30.210.40.1試求在 y = 1的條件下 x 的條件分布律。2. 設 x 和 y 相互獨立且有相同的分布 ( 如右圖所示 ) ，則下列正確的是（）。（ a） x y（ b） p x y 1（ c） p x y 1 / 2（ d） p x y 1 / 43設 x 和 y 是兩個相互獨立的隨機變量，

18、x 在（ 0,1 ）內(nèi)服從均勻分布，y 的概率密度為1ey / 2, y0, ，（ 1）求 ( x ,y) 的聯(lián)合概率密度函數(shù)； （2）設關于 a 的二次方程為f y ( y)20,y0a 22xay0 ，求此方程有實根的概率。4 隨機變量 ( x , y) 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f ( x, y)e ( x y ) ,x 0, y 0 ，（ 1）求條件概率密度0,其他f x |y ( x | y) ； (2 ）說明 x 與 y 的獨立性。17.5隨機變量 ( x ,y ) 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為21x2y,x2y 1, ，（ 1）求條件概率密度函數(shù)f ( x, y)40,其他f y|x ( y

19、| x) ； (2 ）求條件概率 py3 | x1 。42第五節(jié)兩個隨機變量的函數(shù)的分布1設 ( x ,y ) 的聯(lián)合分布律為：xy012.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（工科類）作業(yè)班級：學號：姓名：00.250.10.310.150.150.05求：（ 1） zx y 的分布律；（ 2） vmin( x ,y) 的分布律。6x, 0x 1, y 0, x y 1;x y 的概率密2設隨機變量 ( x ,y) 的概率密度為 f (x, y)，求 z0,其他 .度。3.設 x 和 y 相互獨立，其概率密度分別為1,0 x 1,2 y,0 y 1,f x (x)， f y ( y)0,，求0,其他其他zx y

20、 的概率密度。19.4. 設隨機變量 ( x ,y) 的概率密度為 f ( x, y)e y ,0x y, ，求 zx y 的概率密度。0,其他 .第一節(jié)數(shù)學期望1設 x 的分布律為：求（ 1） e( x ) ；（ 2） e( x 2 ) 。.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（工科類）作業(yè)班級：學號：姓名：2設 ( x ,y ) 的聯(lián)合分布律為：已知 e( x 2y 2 )2.4 ，求常數(shù) a,b 之值。3. 設4. 設xx的概率密度為的分布函數(shù)為f ( x)kxa , 0x 1; 其中 k ， a0 ，又已知 e( x )0.75 ，求 k ， a 的值。0,其它.a3f ( x)1x3 ,xa ，其中 a

21、0 ，求 e( x ) 。0,xa5. 設 ( x ,y ) 服從在 a 上的均勻分布，其中a 為 x 軸， y 軸及直線 xy10 所圍成的區(qū)域，求e( 3x2y) 。21.6.國際市場每年對我國某種商品的需求量x 是一個隨機變量， 它在 2000,4000(單位：噸) 上服從均勻分布，若每售出一噸，可得外匯3 萬美元，若銷售不出而積壓，則每噸需保養(yǎng)費1 萬美元，問應組織多少貨源，才能使期望收益最大。第二節(jié)方差一、單項選擇題1x和y，若 e( xy )e( x ) e(y) ，則（）。（ ）對于任意兩個隨機變量(a)d ( xy ) d ( x ) d (y)(b)d ( xy) d (x

22、)d (y)(c)x 和 y 獨立(d)x 和 y 不獨立（ 2）設 x ( ) ，且 e ( x1)x 21 ，則=（）。.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（工科類）作業(yè)班級：學號：姓名：(a) 1(b) 2(c) 3(d) 0（ 3）設 x , y 相互獨立且 x n (7, 9) ， y n (3, 4) ，則 2xy 服從下列哪個分布（）。(a)n (11,14)(b)n (11,32)（ c） n (11,40)(d)n (11,4)二、填空題（ 1）已知 x n ( 2,0.4 2 ) ，則 e( x 3)2 。（ 2）設 e(x )4 ， e( x 2 )18 ，則 d (2 x 5)。（ 3）

23、設 x n (10,0.6),y n (1,2)，且 x 與 y 相互獨立，則 d (3 xy)。（ 4）設 x 的概率密度為f ( x)1e x2 2x1 ，則 d ( x ) 。（ 5）設隨機變量 x1 , x 2 , x 3相互獨立，其中x1 u 0,6 ,x 2 n (0,22 ) ,x 3 服從參數(shù)為=3 的泊松分布，記yx12 x 23 x3 ，則 d (y) =。（ 6）設 x () ，且 p x1p x 2 ，則 e (x )。（ 7）設 x b( n, p) ，且 e (x )12 ， d ( x ) 8 ，則 n,p。（ 8）設 e( x )2, d( x )4 ，則由切比

24、雪夫不等式知 p| x2 | 4。三、解答題1. 在每次試驗中，事件a 發(fā)生的概率為 0.5 ，利用切比雪夫不等式估計：在1000 次試驗中，事件a 發(fā)生的次數(shù) x 在 400 600 之間的概率 .2. 已知隨機變量x 的密度函數(shù)為 f (x)ax2bx，0.5, d ( x ) 0.15 ，c0 x 1又已知 e( x )，其他0求 a, b,c 。23.12 y 2 , 0y x 13. 設 ( x ,y ) 的概率密度為 f ( x, y), 求 d ( x ) ， d (y ) 。0,其它第三節(jié)協(xié)方差與相關系數(shù)一、單項選擇題（ 1）設 x 與 y 的相關系數(shù)0 ，則（）。(a)x 與

25、 y 相互獨立(b)x 與 y 不一定相關(c)x 與 y 必不相關(d)x 與 y 必相關（ 2）設 x 與 y 的期望和方差存在，且d ( xy )dxdy , ，則下列說法不正確的是（）。(a)d ( xy )dxdy(b)e( xy )exey(c)x 與 y 不相關(d)x 與 y 獨立.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（工科類）作業(yè)班級：學號：姓名：（ 3）設 x , y 是隨機變量，則“x 與 y 不相關”是“x 與 y 相互獨立”的（）。(a) 必要非充分條件(b)充分非必要條件（c）充要條件(d)無關條件二、解答題1. 已知隨機變量 x 與 y 都服從二項分布b (20 ，0.1)，并且 x

26、 與 y 的相關系數(shù)xy =0.5 ，試求 xy 的方差及 x 與 2y x 的協(xié)方差。2. 設二維連續(xù)型隨機變量k,0x 1,0 y x常數(shù) k ；( x ,y) 的聯(lián)合概率密度為： f ( x, y) =，求：0,其他 e xy 及 cov ( x , y ) 。第四節(jié)矩協(xié)方差矩陣第五節(jié)二維正態(tài)分布1. 設隨機變量x 在區(qū)間 (a,b) 上服從均勻分布，求k 階原點矩和三階中心矩。25.2.已知隨機變量x n (1,9) , y n (0,16) , 且 x 與 y 的相關系數(shù)為xy0.5 . （ 1 ）求隨機變量xy；（ 2）求隨機變量x 與 z 的相關系數(shù)xz 。z的數(shù)學期望和方差32

27、第一節(jié)大數(shù)定律第二節(jié)中心極限定理1. 設供電網(wǎng)有 1000盞電燈，夜晚每盞電燈開燈的概率均為0.7 ，并且彼此開閉與否相互獨立，試用切比雪夫不等式和中心極限定理分別估算夜晚同時開燈數(shù)在6800 到 7200之間的概率。.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（工科類）作業(yè)班級：學號：姓名：2. 利用中心極限定理確定當投擲一枚均勻硬幣時，需投擲多少次才能保證使得正面出現(xiàn)的頻率在0.4 到0.6 之間的概率不小于90%。3. 一食品店有三種蛋糕出售， 由于售出哪一種蛋糕是隨機的， 因而售出一只蛋糕的價格是一個隨機變量，它取 1 元, 1.2元 , 1.5元各值的概率分別為 0.3, 0.2, 0.5，若售出300 只蛋

28、糕，求收入至少為 400元的概率。4. 由 100 個相互獨立起作用的部件組成的一個系統(tǒng)在運行過程中，每個部件能正常工作的概率都為90% ，為了使整個系統(tǒng)能正常運行，至少必須有85%的部件在正常工作，求整個系統(tǒng)能正常運行的概率。第六章樣本及抽樣分布一、 填空題（ 1）設 x1, , x6 為總體 x n (0,1)的一個樣本， y( x1x2x2( x4x5223 )x6 )，且 cy 服從分布，則 c。7（ 2）設 x1 , , x 7 為總體 x n (0, 0.52 ) 的一個樣本，則 p(x i24)。i1（ 3）已知 x1 ,l, x15 是取自 n (0,2) 的樣本，則 yx12

29、x22l x102。22l22( x11x12x15 )27.2 ) 的 本 , 求 本方差 s21n2二、 x1 ， x n 是來自正 體 n ( ,( x i x ) 的數(shù)學期1 i 1n望及方差。第一節(jié)點估計第二節(jié)估計量的評選標準一、 體x 具有分布律：x123p22 (1)(1)2其中 (01) 未知參數(shù)，已知取得了 本 x1 1， x22， x31. 求的矩估 和極大似然估 。.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（工科類）作業(yè)班級：學號：姓名：二、設總體x 服從正態(tài)分布n (0,1) ， x1 , x 2 是從此總體中抽取的一個樣本試驗證下面三個估計量：（ 1） ?12 x11 x2 ，（ 2） ?2

30、1 x13 x2 ，（3） ?31 x11 x2 都是的無偏估計，并334422指出哪一個估計量最有效。三、 設總體 x 的概率密度為f (x)( 1)x ,0 x 1, ，0,其它.x1 , x 2 , , x n 是來自總體 x 的樣本，分別用矩估計法和極大似然估計法求的估計量。29.第三節(jié)區(qū)間估計第四節(jié) 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計1. 某批鋼球的重量 x n (, 4), 從中抽取了一個容量為n 16 的樣本且測得 x 22.5, s3.98 （單位 : g ），試在置信度 10.95下，求出的置信區(qū)間 .2.設有一組來自正態(tài)總體n (,2 ) 的樣本觀測值：.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（工科類）作業(yè)班級：學號：姓名：0.497 ， 0.506 ，0.518 ，0.524 ，