《學(xué)案與測評》2011年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十四單元第一節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其概率分布

1、第一節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,基礎(chǔ)梳理,隨機(jī)試驗的結(jié)果,1. 基本概念 (1)隨機(jī)變量：一般地，如果 ，可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量.通常用字母X,Y,等表示. （2）離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量的取值都是離散的，我們把這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量. （3）一般地，假定隨機(jī)變量X有n個不同的取值，它們分別是 ，且P(X= )= (i=1,2,n),則稱表,概率分布表,概率分布,為離散型隨機(jī)變量X的 ，它和都叫做隨機(jī)變量X的 . 2. 離散型隨機(jī)變量的基本性質(zhì) （1） 0(i=1,2,n);(2) . 3. 兩點分布 如果隨機(jī)變量X的分布列為 則稱X服從0-1分布或兩點

2、分布，并記為 ,或 .,X0-1分布,X兩點分布,4. 超幾何分布 一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品數(shù)，則事件X=r發(fā)生的概率為 ,r=0,1,2,l, 其中l(wèi)=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*，稱分布列 為 .如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X .記為XH(n,M,N).并將 記為H(r;n,M,N).,超幾何分布列,服從超幾何分布,題型一 隨機(jī)變量的概念 【例1】寫出下列隨機(jī)變量可能的取值，并說明隨機(jī)變量所表示的意義. （1）一個袋中裝有2個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數(shù); (2)投擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和為X，所

3、得點數(shù)的最大值為Y.,典例分析,分析 (1)所取三個球中，可能有一個白球，也可能有兩個白球，還可能沒有白球. （2）投擲結(jié)果為（i,j）,其中1i6,1j6,其中i,jN,投擲結(jié)果用X,Y表示.,解 (1)可取0,1,2. =0表示所取三球沒有白球; =1表示所取三球是1個白球，2個黑球; =2表示所取三球是2個白球，1個黑球. （2）X的可能取值有2,3,4,5,12,Y的可能取值為1,2,3,6.若以(i,j)表示先后投擲的兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù),則 X=2表示（1，1）; X=3表示（1，2），（2，1）; X=4表示（1，3），（2，2），（3，1）; X=12表示(6,6); Y=1表示

4、（1，1）; Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2）; Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2）; Y=6表示（1，6），（2，6），（3，6），（6，6），（6，5），（6，1）.,學(xué)后反思 研究隨機(jī)變量的取值關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解所定義的隨機(jī)變量的含義，明確隨機(jī)變量所取的值對應(yīng)的試驗結(jié)果是進(jìn)一步求隨機(jī)變量取這個值時的概率的基礎(chǔ).,1. 下列幾個結(jié)果: 某機(jī)場候機(jī)室中一天的游客數(shù)量為X； 某尋呼臺一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)為X； 某水文站觀察到一天中長江的水位為X； 某立交橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)為X. 其中不是離散型隨機(jī)變量的是 .,解析: 、中的隨機(jī)變量X可能取的值，我們都

5、可以按一定次序一一列出，因此，它們都是離散型隨機(jī)變量；中的X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法按一定次序一一列出，故X不是離散型隨機(jī)變量.,答案: ,題型二 求離散型隨機(jī)變量的分布列 【例2】已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個紅球和4個黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球.設(shè)為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求的分布列.,分析 本題主要考查互斥事件、獨立事件離散型隨機(jī)變量的分布列，考查運(yùn)用概率的知識解決實際問題的能力.,解 可能取的值為0,1,2,3, P(=0)= , P(=1)=,又P(=3)= , P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3) = . 的分布列為

6、,學(xué)后反思 求概率分布（分布列）的一般步驟為： （1）明確隨機(jī)變量的取值范圍; （2）搞清楚隨機(jī)變量取每個值對應(yīng)的隨機(jī)事件，求出隨機(jī)變量取每個值對應(yīng)的概率值; （3）列出分布列（一般用表格形式）; （4）檢驗分布列（用它的兩條性質(zhì)驗算）.,舉一反三 2. 盒中裝有大小相同的10個球,編號分別為0,1,2,9,從中任取1個，觀察號碼是“小于5”，“等于5”，“大于5”三類情況之一，并求其概率分布.,解析： 分別用 表示“小于5”，“等于5”，“大于5”三種情況，設(shè)是隨機(jī)變量，其可能取值分別是 則 P(= )= ,P(= )= , P(= )= , 故的概率分布為,題型三 超幾何分布 【例3】某校

7、高三年級某班的數(shù)學(xué)課外活動小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學(xué)競賽考試，用X表示其中的男生人數(shù)，求X的概率分布.,分析 X服從超幾何分布，利用超幾何分布的概率公式來求解.,解 依題意隨機(jī)變量X服從超幾何分布， 所以P（X=k）= (k=0,1,2,3,4). P(X=0)= , P(X=1)= , P(X=2)= , P(X=3)= , P(X=4)= .,X的概率分布為,學(xué)后反思 對于服從某些特殊分布的隨機(jī)變量，其概率分布可以直接應(yīng)用公式給出.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù).,舉一反三 3. 設(shè)有產(chǎn)品100件，其中有次品5件，正品95件，現(xiàn)從中隨

8、機(jī)抽取20件，求抽得次品件數(shù)的分布列.,解析： 由題意知的可能取值為0,1,2,3,4,5,服從超幾何分布，其中M=5,N=100,n=20. 所以P(=k)= (k=0,1,2,3,4,5). 所以的分布列為,題型四 利用隨機(jī)變量的分布列解決概率問題 【例4】（14分）袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率是17.現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取,取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止，每個球在每一次被取出的機(jī)會是等可能的，用X表示取球終止時所需要的取球次數(shù).,（1）求袋中原有白球的個數(shù)； (2)求隨機(jī)變量X的概率分布； （3）求甲取到白球的

9、概率.,分析 (1)求袋中原有白球的個數(shù)，需列出方程求解. (2)寫出X的可能取值，求出相應(yīng)概率，求出X的分布列. （3）利用所求分布列，甲取到白球的概率為P(A)=P(X=1)+P(X=3)+P(X=5).,解 (1)設(shè)袋中原有n個白球，由題意知 ,2 所以n(n-1)=6,解得n=3(舍去n=-2), 即袋中原有3個白球.4,(2)由題意，的可能取值為1,2,3,4,5. P(X=1)= , P(X=2)= , P(X=3)= , P(X=4)= , P(X=5)= .6 所以取球次數(shù)的分布列為 8,(3)因為甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，記“甲取到白球”的事件為A，

10、 則P（A）=P(“X=1”或“X=3”或“X=5”)10 因為事件“X=1”、“X=3”、“X=5”兩兩互斥， 所以P(A)=P(X=1)+P(X=3)+P(X=5) = 14,學(xué)后反思 （1）處理有關(guān)離散型隨機(jī)變量的應(yīng)用問題，關(guān)鍵在于根據(jù)實際問題確定恰當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量，并明確隨機(jī)變量所有可能的取值. （2）離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和. （3）注意應(yīng)用概率之和為1這一性質(zhì)檢驗解答是否正確.,舉一反三 4. (2010廣州模擬)某運(yùn)動員射擊一次所得環(huán)數(shù)X的分布列如下： 現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為. (1)求該運(yùn)動員兩次

11、都命中7環(huán)的概率； （2）求的分布列.,解析： (1)該運(yùn)動員兩次都命中7環(huán)的概率為 P(7)=0.20.2=0.04.,(2)的可能取值,為0,7,8,9,10,則 P(=0)=0,P(=7)=0.04, P(=8)=20.20.3+ =0.21, P(=9)=20.20.3+20.30.3+ =0.39, P(=10)=20.20.2+20.30.2+20.30.2+ =0.36. 所以的分布列為,易錯警示,【例】某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)的分布列.,錯解 P(=1)=0.9,P(=2)=0.10.9=0.09, P(=

12、3)=0.10.10.9=0.009, P(=4)= 0.9=0.000 9, P(=5)= 0.9=0.000 09,故其分布列為,錯解分析 當(dāng)=5時，應(yīng)包含兩種情形：一是前4發(fā)都沒有命中，恰第5發(fā)命中，概率為 0.9; 二是這5發(fā)子彈均未命中目標(biāo)，概率為 ,所以P（=5）= 0.9+ =0.000 1或P(=5)=1-(0.9+0.09+0.009+0.000 9)=0.000 1.,正解 錯解中取1,2,3,4時的概率均正確，當(dāng)=5時，只要前四次射不中，都要射第5發(fā)子彈，不必考慮第5發(fā)子彈射中與否，所以P(=5)= ,從而知耗用子彈數(shù)的分布列為,10. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如下表所示：

13、 F(x)=P(Xx)，則當(dāng)x的取值范圍是1,2)時，求F(x).,考點演練,解析: 由分布列的性質(zhì)知a= ,當(dāng)x1,2)時， F(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=1) =,11. (2009濟(jì)南模擬)設(shè)隨機(jī)變量的分布列 P= =ak(k=1,2,3,4,5). （1）求常數(shù)a的值；（2）求P ;(3)求P( ).,解析： 的分布列為 (1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a= . (2)P( )=P(= )+P(= )+P(=1) = 或P( )=1-P( )=1-( + )= .,(3)因為 ,只有= , , 滿足， 故P( )=P(= )+P(= )+P(= ) =,12. (2009深圳模擬)一批零件中有10個合格品