數(shù)學(xué)周報杯2009年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

1、中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會“數(shù)學(xué)周報杯”2009年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分. 以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1已知非零實數(shù)a，b 滿足 ，則等于（ ）（A）1 （B）0 （C）1 （D）2 【答】C解：由題設(shè)知a3，所以，題設(shè)的等式為，于是，從而1 2如圖，菱形ABCD的邊長為a，點O是對角線AC上的一點，且OAa，OBOCOD1，則a等于（ ）（第2題）（A） （B） （C）1 （D）2【答】A 解：因為BOC ABC，所以

2、，即 ，所以， 由，解得3將一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點數(shù)為，第二次擲出的點數(shù)為，則使關(guān)于x，y的方程組 只有正數(shù)解的概率為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答】D解：當(dāng)時，方程組無解當(dāng)時，方程組的解為由已知，得即或由，的實際意義為1，2，3，4，5，6，可得共有 5210種情況；或共3種情況又?jǐn)S兩次骰子出現(xiàn)的基本事件共6636種情況，故所求的概率為4如圖1所示，在直角梯形ABCD中，ABDC，. 動點P從點B出發(fā)，沿梯形的邊由BCDA運(yùn)動. 設(shè)點P運(yùn)動的路程為x，ABP的面積為y. 把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖像如圖2所

3、示，則ABC的面積為（ ）（A）10 （B）16 （C）18 （D）32（第4題）圖2圖1 【答】B解：根據(jù)圖像可得BC4，CD5，DA5，進(jìn)而求得AB8，故SABC8416.5關(guān)于x，y的方程的整數(shù)解（x，y）的組數(shù)為（ ）（A）2組 （B）3組 （C）4組 （D）無窮多組 【答】C解：可將原方程視為關(guān)于的二次方程，將其變形為 由于該方程有整數(shù)根，則判別式，且是完全平方數(shù)由 ，解得 于是01491611610988534顯然，只有時，是完全平方數(shù)，符合要求當(dāng)時，原方程為，此時；當(dāng)y4時，原方程為，此時所以，原方程的整數(shù)解為 二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6一個自行車輪胎，若把它

4、安裝在前輪，則自行車行駛5000 km后報廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛 3000 km后報廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對新輪胎同時報廢，那么這輛車將能行駛 km 【答】3750解：設(shè)每個新輪胎報廢時的總磨損量為k,則安裝在前輪的輪胎每行駛1 km磨損量為,安裝在后輪的輪胎每行駛1km的磨損量為.又設(shè)一對新輪胎交換位置前走了x km，交換位置后走了y km.分別以一個輪胎的總磨損量為等量關(guān)系列方程,有 兩式相加，得 ，則 7已知線段AB的中點為C，以點A為圓心，AB的長為半徑作圓，在線段AB的延長線上取點D，使得BDAC；再以點D為圓心，DA的

5、長為半徑作圓，與A分別相交于F，G兩點，連接FG交AB于點H，則的值為 解：如圖，延長AD與D交于點E，連接AF，EF 由題設(shè)知，在FHA和EFA中，所以 RtFHARtEFA， .（第7題）而，所以.8已知是滿足條件的五個不同的整數(shù)，若是關(guān)于x的方程的整數(shù)根，則的值為 【答】 10解：因為，且是五個不同的整數(shù)，所有也是五個不同的整數(shù)又因為，所以由，可得9如圖，在ABC中，CD是高，CE為的平分線若AC15，BC20，CD12，則CE的長等于 【答】解：如圖，由勾股定理知AD9，BD16，所以ABADBD25 故由勾股定理逆定理知ACB為直角三角形，且作EFBC，垂足為F設(shè)EFx，由，得CFx

6、，于是BF20x由于EFAC，所以 ，（第9題）即 ，解得所以（第10題）1010個人圍成一個圓圈做游戲游戲的規(guī)則是：每個人心里都想好一個數(shù)，并把自己想好的數(shù)如實地告訴他兩旁的兩個人，然后每個人將他兩旁的兩個人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報出來若報出來的數(shù)如圖所示，則報3的人心里想的數(shù)是 【答】 解：設(shè)報3的人心里想的數(shù)是，則報5的人心里想的數(shù)應(yīng)是于是報7的人心里想的數(shù)是 ，報9的人心里想的數(shù)是 ，報1的人心里想的數(shù)是 ，報3的人心里想的數(shù)是所以 ，解得三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11已知拋物線與動直線有公共點，且. （1）求實數(shù)t的取值范圍； （2）當(dāng)t為何值時，c取到最小值，并求出c的

7、最小值.解：（1）聯(lián)立與，消去y得二次方程 有實數(shù)根，則所以 = 5分把式代入方程得 10分t的取值應(yīng)滿足0， 且使方程有實數(shù)根，即0， 解不等式得 -3或1，解不等式得 .所以，t的取值范圍為. 15分(2) 由式知.由于在時是遞增的，所以，當(dāng)時,. 20分12已知正整數(shù)滿足，且，求滿足條件的所有可能的正整數(shù)的和解：由可得，且 5分因為是奇數(shù)，所以等價于，又因為，所以等價于因此有，于是可得 15分又，所以因此，滿足條件的所有可能的正整數(shù)的和為11192（1210）10571 20分 13如圖，給定銳角三角形ABC，AD，BE是它的兩條高，過點作ABC的外接圓的切線，過點D，E分別作的垂線，垂足分別為F，G試比較線段DF和EG的大小，并證明你的結(jié)論（第13A題）解法1：結(jié)論是下面給出證明 5分因為，所以RtFCD RtEAB于是可得同理可得 10分又因為，所以有，于是可得 20分解法2：結(jié)論是下面給出證明 5分（第13A題）連接DE，因為，所以A，B，D，E四點共圓，故 10分又l是O的過點C的切線，所以 15分所以，于是DEFG，故DFEG 20分14n個正整數(shù)滿足如下條件：；且中任意n1個不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù)求n的最大值解：設(shè)中去掉