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1、“二倍角的正弦、余弦、正切”教學(xué)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)理念:根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論,在個(gè)體從出生到成熟的發(fā)展過(guò)程中,智力發(fā)展可以分為具有不同的質(zhì)的四個(gè)主要階段:激活原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)、構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、嘗試新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、發(fā)展新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。發(fā)展的各個(gè)階段順序是一致的,前一階段總是達(dá)到后一階段的前提。階段的發(fā)展不是間斷性的跳躍,而是逐漸、持續(xù)的變化。皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段論為發(fā)展性輔導(dǎo)中學(xué)生智力發(fā)展水平的評(píng)估和診斷,提供了重要的理論依據(jù)。教學(xué)內(nèi)容:普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)(數(shù)學(xué))必修4(人教A版),第三章、第一節(jié)、第145148頁(yè)。 “二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了兩角和與差的三角函數(shù)的基礎(chǔ)上研究具有“二倍角
2、”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式,它既是兩角和的正弦、余弦、正切公式的特殊化,又為以后求三角函數(shù)值、化簡(jiǎn)和證明提供了非常有用的理論工具,通過(guò)對(duì)二倍角公式的推導(dǎo)知道:二倍角公式的內(nèi)涵是“揭示具有倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律”,通過(guò)推導(dǎo)還讓學(xué)生了解高中數(shù)學(xué)中由“一般”到“特殊”的化歸數(shù)學(xué)思想,因此這節(jié)課也是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算和邏輯推理能力的重要內(nèi)容,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力都有重要意義。 教學(xué)目標(biāo):根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求、本節(jié)教材的特點(diǎn)和學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)知特點(diǎn),我們把本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為:1、能從兩角和的正弦、余弦、正切公式出發(fā)推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式,理解它們的內(nèi)在聯(lián)系,從中體會(huì)
3、數(shù)學(xué)的化歸思想和數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。 2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,通過(guò)對(duì)二倍角公式的正用、逆用、變形使用,提高三角變形的能力,以及應(yīng)用轉(zhuǎn)化、化歸、換元等數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的能力。 3、通過(guò)一題多解、一題多變,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維、創(chuàng)新意識(shí)和數(shù)學(xué)情感,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。學(xué)情分析:我們的學(xué)生從認(rèn)知角度上看,已經(jīng)比較熟練的掌握了兩角和與差的三角函數(shù)的基礎(chǔ)上。從學(xué)習(xí)情感方面看,大部分學(xué)生愿意主動(dòng)學(xué)習(xí)。從能力上看,學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)能力、探究的能力、較弱。教材分析:對(duì)公式的引入改變了教材中直接填結(jié)果的做法,而是通過(guò)提出問(wèn)題,設(shè)置情景對(duì)和角公式中的角、的關(guān)系特殊情形時(shí)的簡(jiǎn)化,讓學(xué)生探
4、討發(fā)現(xiàn)、推證得出二倍角公式,這樣學(xué)生會(huì)感到自然,好接受,并可清晰知道和角的三角函數(shù)與二倍角公式的聯(lián)系,同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)怎樣發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律,并體會(huì)到化歸(這里是將一般化歸到特殊)這一基本數(shù)學(xué)思想在發(fā)現(xiàn)中所起的作用,對(duì)教材的例題則有所增減,處理方式也有適當(dāng)改變。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn):使學(xué)生在掌握了和角、差角公式后如何將和角公式化為二倍角公式,以及公式的兩種變形和公式成立的條件;如何學(xué)會(huì)去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律,并體會(huì)化歸、轉(zhuǎn)化等基本數(shù)學(xué)思想在發(fā)現(xiàn)中所起的作用,能正確應(yīng)用這些公式進(jìn)行三角化簡(jiǎn)、求值、證明等。難點(diǎn):靈活應(yīng)用二倍角公式變形的態(tài)式,熟練解三角綜合題。教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)啟發(fā)、設(shè)置情景、引出正題1、(復(fù)習(xí)性提
5、問(wèn)):請(qǐng)同學(xué)回顧兩角和的公式 (學(xué)生回答,教師板書(shū))2、(探索性提問(wèn))當(dāng)上述公式中角、具有特殊化關(guān)系時(shí),公式變?yōu)槭裁葱问???qǐng)一名學(xué)生到黑板上演示簡(jiǎn)化,其他同學(xué)在座位上做。學(xué)生板書(shū):3、集體訂正后,引導(dǎo)學(xué)生觀察其結(jié)構(gòu),并指名回答觀察結(jié)果(學(xué)生回答:左邊角均為,右邊角均為,具有“二倍”關(guān)系)4、引入正題 師:肯定學(xué)生觀察結(jié)論準(zhǔn)確,并加以說(shuō)明公式中蘊(yùn)含著“對(duì)稱”、“和諧”之美教師板書(shū)(放幻燈片)二倍角公式簡(jiǎn)記為即為我們今天要學(xué)習(xí)的二倍角公式 【設(shè)計(jì)意圖:復(fù)習(xí)已學(xué)公式,對(duì)其特殊化。讓學(xué)生學(xué)會(huì)從“一般”到“特殊”的化歸方法,從而達(dá)到“溫故知新”的教學(xué)目的】 二、引導(dǎo)探究、深化認(rèn)識(shí)1、回憶推導(dǎo)過(guò)程,讓學(xué)生
6、明確二倍角公式是和角公式的特殊情形。知道二者之間的聯(lián)系2、(探索性提問(wèn))對(duì):中的平方聯(lián)想到,有無(wú)其他變式?(學(xué)生探索、總結(jié)得出兩種變式:)3、(深化性提問(wèn)):有了這組二倍角公式,我們是否可以放心大膽的應(yīng)用呢?(學(xué)生:不能,要注意公式成立的條件)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想和角公式的條件,利用類比的方法,探索出二倍角公式的條件指出:尤其注意成立的條件【設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用聯(lián)想、類比的教學(xué)思想、得出公式成立的條件】4、二倍角公式中的倍數(shù)關(guān)系是相對(duì)的,為深化對(duì)二倍角公式的理解,出示一組填空題(放幻燈片)(1)填角【設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)填空,讓學(xué)生靈活理解“二倍角”的含義,根據(jù)學(xué)生易混點(diǎn),類比公式,展開(kāi)訓(xùn)練,達(dá)到“跨越障
7、礙、突破難點(diǎn)”之目的】三、鞏固公式,學(xué)習(xí)應(yīng)用出示四道例題,學(xué)生分組訓(xùn)練,每組一題,做完后組內(nèi)交流,訂正答案,最后教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)方法、技巧、要點(diǎn)、解題規(guī)范等。放幻燈片(第一組學(xué)生做)例1、不查表,求下列函數(shù)值【設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)直接應(yīng)用公式、間接應(yīng)用公式、一題多解,鞏固二倍角公式】(第二組學(xué)生做)例2、已知,求的值。講評(píng):此題目中對(duì)角有范圍限制,做題中應(yīng)注意什么?僅知道值,欲求二倍角正弦、余弦、正切,先需要知道什么? 在求值時(shí),要靈活應(yīng)用三種等價(jià)形式,并注意在求解過(guò)程中要盡量使用已知的原始數(shù)據(jù),減少錯(cuò)誤的可能性【設(shè)計(jì)意圖:由淺入深,鞏固公式,培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范、科學(xué)解題的能力,教給學(xué)生小結(jié)解題經(jīng)驗(yàn),做后
8、反思】(第四組學(xué)生做)例4、【設(shè)計(jì)意圖:】四、提煉總結(jié)放幻燈片(1)在兩角和的三角函數(shù)公式中,當(dāng)時(shí),就可得到二倍角的三角函數(shù)公式。說(shuō)明:后者是前者的特例。(2)中角沒(méi)有條件限制,而中,只有時(shí)才成立。(3)二倍角公式不僅限于是的二倍形式,其他如是的二倍,是的二倍,是的二倍等等都適用,要熟悉這些多形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系,才能熟練地應(yīng)用好二倍角公式,這是靈活應(yīng)用公式的關(guān)鍵。有三種形式:。要依據(jù)條件靈活應(yīng)用公式,另外逆用此公式時(shí)更要注重結(jié)構(gòu)形式?!驹O(shè)計(jì)意圖:使學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí),抓住重點(diǎn)、難點(diǎn),關(guān)鍵進(jìn)行課后復(fù)習(xí)鞏固】五、作業(yè)布置:教科書(shū)P150習(xí)題3.1A組14、15【設(shè)計(jì)意圖:培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)學(xué)習(xí)的習(xí)慣,檢查學(xué)習(xí)效果,及時(shí)反饋,插漏補(bǔ)缺】設(shè)計(jì)思路:1、本節(jié)公式比較多,首先要搞清楚各公式之間的內(nèi)在聯(lián)系,也就是要很好地理解上面的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖,其次理解如何由和角公式推導(dǎo)倍角公式,然后明確倍角的含義,熟練地運(yùn)用倍角公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)等三角運(yùn)算。2、在三角式的運(yùn)算及恒等變形過(guò)程中,除了倍角公式外,也離不開(kāi)前面所學(xué)的同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式以及和角公式等,它們是一個(gè)有機(jī)整體。在解題過(guò)程中要求學(xué)生先分析條件與求解目標(biāo)之間的差異,
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