2016屆寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

1、2016屆寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題一、選擇題1已知集合，則的子集共有（ ）A3 B4 C7 D8【答案】B【解析】試題分析：由集合的運(yùn)算可知，則的子集有共四個(gè)，故本題的正確選項(xiàng)為B.【考點(diǎn)】集合的運(yùn)算及其關(guān)系.2復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（ ）A5 B C25 D【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可知，可知的模為，故本題正確選項(xiàng)為A.【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)的模.3已知命題，命題，則下列命題中為真命題的是（ ）A B C D【答案】C【解析】試題分析：顯然命題成立，即為真命題，則為假命題；當(dāng)時(shí)，顯然此時(shí)，所以命題為假命題，則命題為真命題， 由命題的邏輯關(guān)系（且：一

2、假全假；或：一真全真）可知為真命題，故本題的正確選項(xiàng)為C.【考點(diǎn)】命題的真假及其關(guān)系.4經(jīng)過圓的圓心，且與直線垂直的直線方程是（ ）A BC D【答案】D【解析】試題分析：直線的斜率為，與其垂直的直線的斜率則為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其圓心為，利用點(diǎn)斜式可求得直線的方程為.【考點(diǎn)】直線垂直的性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線方程.5已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，若，則（ ）A B12 C10 D【答案】D【解析】試題分析：由已知得公差，則等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，由可知，可求得，所以有，故選項(xiàng)D正確.【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和.6右邊程序框圖的算法思路源于古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的“輾轉(zhuǎn)相除法”，執(zhí)

3、行該程序框圖，若輸入的分別為153，119，則輸出的（ ）A0 B2 C17 D34【答案】C【解析】試題分析：首先執(zhí)行得余數(shù)，再一次執(zhí)行得余數(shù)，在一次執(zhí)行得余數(shù)，所以輸出，故本題正確選項(xiàng)為C.【考點(diǎn)】程序框圖.7設(shè)，向量，且，則（ ）A B C D10【答案】B【解析】試題分析：，即，根據(jù)向量的運(yùn)算有，即，則，所以，故本題的正確選項(xiàng)為B.【考點(diǎn)】向量的運(yùn)算.8某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽得分的莖葉如圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（ ）A91.5和91.5 B91.5和92 C93.5和91.5 D93.5和92【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)莖葉圖的概念可知比賽得分?jǐn)?shù)據(jù)為共個(gè)數(shù)據(jù)

4、，所以中位數(shù)為中間兩個(gè)數(shù)字的平均值，即，而平均值為，所以本題的正確選項(xiàng)為A.【考點(diǎn)】莖葉圖，中位數(shù)，平均數(shù).9設(shè)變量滿足約束條件，則的最大值為（ ）A0 B2 C4 D6【答案】C【解析】試題分析：本題主要考察線性約束條件下的最值問題，的最大值就是直線縱截距的最小值，必在可行域的端點(diǎn)（即圍成可行域的幾條直線的交點(diǎn)）處取得，由不等式組可知端點(diǎn)為，直線過時(shí)所對(duì)應(yīng)的縱截距依次為，所以的最大值為，故本題的正確選項(xiàng)為C.【考點(diǎn)】線性約束條件.【方法點(diǎn)睛】求解關(guān)于滿足線性約束條件的最值時(shí)，可以現(xiàn)根據(jù)約束條件在直角坐標(biāo)系中畫出可行域，再將所求函數(shù)寫作一次函數(shù)（直線）的形式，將直線在可行域中進(jìn)行平行（旋轉(zhuǎn)），

5、然后確定縱截距（斜率）的最值，由這些最值便可確定待求量的最值；也可直接求得可行域邊界處的端點(diǎn)，即兩條直線的交點(diǎn)，而直線的縱截距（斜率）的最值必定會(huì)在這些端點(diǎn)處取得，所以將這些端點(diǎn)值代入直線方程便可求得待求量的值，從中選擇最大（小）值即可.10已知雙曲線在左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的焦距為（ ）A B C D【答案】B【解析】試題分析：雙曲線的左頂點(diǎn)為，過一三象限漸近線為，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為；由雙曲線左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為，可得，由雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，可知為的解，所以有，代入中得，進(jìn)一步可求得，

6、則焦距，故本題的正確選項(xiàng)為B.【考點(diǎn)】雙曲線的漸近線，焦距，拋物線的準(zhǔn)線，焦點(diǎn).11一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是，畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以平面為投影面，則得到的正視圖可以為（ ）【答案】A【解析】試題分析：由四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)可知四面體的直觀圖如圖所示，是棱長(zhǎng)為的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)與其中三個(gè)面的中心所圍成的，所以以平面為投影面，則得到的正視圖如圖. 圖 圖【考點(diǎn)】三視圖，投影，空間坐標(biāo)系.【思路點(diǎn)睛】解答本題，首先要能夠根據(jù)四個(gè)頂點(diǎn)的空間坐標(biāo)，畫出（或者在腦海中想象出）四面體在空間坐標(biāo)系中的具體位置，由坐標(biāo)可知點(diǎn)在平面投影坐標(biāo)分別為，所以正視圖應(yīng)該為正方形，也可以直接根據(jù)空間

7、幾何圖得出投影正視圖.12已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，給出下列命題：當(dāng)時(shí)，；函數(shù)有2 個(gè)零點(diǎn)；的解集為；，都有其中正確命題的序號(hào)是（ ）A B C D【答案】D【解析】試題分析：由題意可知，可見命題是錯(cuò)誤的；時(shí)，此時(shí)有個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，此時(shí)有個(gè)零點(diǎn)，又為上的奇函數(shù)，必有，即總共有個(gè)零點(diǎn)，即命題不成立；，可求得解為，可求得解為，所以命題成立；時(shí)，令，通過函數(shù)的單調(diào)性可求得此時(shí)的值域?yàn)?，則時(shí)的值域?yàn)?，所以?【考點(diǎn)】奇函數(shù)的解析式與性質(zhì).【思路點(diǎn)睛】本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，因?yàn)榧昂瘮?shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以只要知道縱軸一側(cè)的函數(shù)解析式，即可利用來求得函數(shù)在另一側(cè)的解析式；對(duì)于奇函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，要注意，

8、當(dāng)定義域包含時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)肯定為奇數(shù)，相反則為偶數(shù)；而對(duì)于命題四，則需要先求得函數(shù)的值域，而的最值則為函數(shù)值域端點(diǎn)值的差.本題也可利用排除法，前面已經(jīng)證明命題是錯(cuò)誤的，根據(jù)選項(xiàng)可直接選擇D.二、填空題13已知，則_【答案】【解析】試題分析：對(duì)的分子分母同時(shí)除以，可將正余弦化簡(jiǎn)為正切，.【考點(diǎn)】同角的三角函數(shù)關(guān)系.14平面截球所得的截面圓的半徑為1，球心到平面的距離為，則球的體積為_【答案】【解析】試題分析：由題意知截面圓半徑，球心到平面的距離為，即，畫出截面圖，可知球的半徑，則球的體積為.【考點(diǎn)】求空間中線段的長(zhǎng)，球的體積.15已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則的最小值為_【答案】【解析】試題分析：

9、，則，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，或時(shí)等號(hào)成立.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)，重要不等式.【方法點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)也是函數(shù)，已知某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，相當(dāng)于導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)的值已知，所以首先得求得導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)導(dǎo)函數(shù)時(shí)，可先展開為多項(xiàng)式，也可根據(jù)公式求得導(dǎo)函數(shù)，再待值求的關(guān)系式，最后利用重要不等式求最值.16如圖所示是畢達(dá)哥達(dá)斯（）的生長(zhǎng)程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，若共得到1023個(gè)正方形，設(shè)初始正方形的邊長(zhǎng)為，則最小正方形的邊長(zhǎng)為_【答案】【解析】試題分析：由題意可知正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，縣一直共得到個(gè)正方形，則有，可知，所以最小正方形邊長(zhǎng)為.【考點(diǎn)】等比數(shù)列的

10、運(yùn)用.【方法點(diǎn)睛】解答本題首先要了解畢達(dá)哥拉斯生長(zhǎng)程序，熟悉其中的規(guī)律，即圖形中正方形的邊長(zhǎng)與其生出來的兩個(gè)相同的小正方形的邊長(zhǎng)剛好構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，也即大整形的邊長(zhǎng)為相鄰小正方形邊長(zhǎng)的倍，這一規(guī)律滿足等比數(shù)列的定義，所以正方形的邊長(zhǎng)可用等比數(shù)列來表示，其次要清楚經(jīng)過若干次生長(zhǎng)后有多少個(gè)正方形，因?yàn)榇松L(zhǎng)程序類似于細(xì)胞分裂，所以可以用等比數(shù)列的前項(xiàng)和來表示小正方形的總數(shù).三、解答題17在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且（1）若，求的值；（2）若，且的面積，求和的值【答案】（1）；（2），.【解析】試題分析：（1）由與可求得，已知三邊可利用余弦定理求；（2）利用二倍角公式對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，得，利用正弦

11、定理將正弦轉(zhuǎn)化為三邊的關(guān)系，再利用面積公式即可求得和的值試題解析：（1）由題意可知由余弦定理得（2）由可得，化簡(jiǎn)得因?yàn)?，由正弦定理可知，又，所以由于，所以，從而，解得，所以【考點(diǎn)】解三角形，三角恒等變換.18某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，調(diào)查 結(jié)果如下表所示：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”；（2）已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中2名喜歡甜品，現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率，【答案】（1）是；（2）.【解析】試題分析：（1）由題中所給表可知代入公式

12、中，得到樣本觀測(cè)值，將該值與圖二表中概率值比較，可得出有%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”；(2)總共人，隨機(jī)抽取三人，列出所有可能的事件，再利用即可求得至多有人喜歡甜品的概率.試題解析：（1）將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得，由于，所以有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”（2）從5名數(shù)學(xué)系學(xué)生中任取3人的一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間，其中表示喜歡甜品的學(xué)生，表示不喜歡甜品的學(xué)生，由10個(gè)基本事件組成，且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的用表示“3人中至多有1人喜歡甜品”這一事件，則，事件由7個(gè)基本事件組成，因而【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)，

13、隨機(jī)事件的概率.19如圖，為圓的直徑，為圓周上異于的一點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，于點(diǎn)，于點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若，求四面體的體積【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）由垂直于圓所在的平面可知，在圓中，由此可證得，則有，結(jié)合可證得平面；（2）由可求得，中點(diǎn)，因?yàn)?，所以的距離為，再利用求得面積，即可求得四面體體積.試題解析：（1）證明：為圓的直徑，圓所在的平面，且，平面，又平面，又，且，平面（2）方法一：，為中點(diǎn)，又平面，到平面的距離為，在中，由于，得，方法二：，為中點(diǎn)，到邊的距離為，在中，由于，得，由（1）知平面，【考點(diǎn)】線面垂直的性質(zhì)與判定，四面體的體積.20已知橢圓的左

14、焦點(diǎn)為，且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小值為（1）求橢圓的方程；（2）已知經(jīng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)，證明：為定值【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】試題分析：(1)左焦點(diǎn)為，可列方程，橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小值為，由橢圓的準(zhǔn)線的性質(zhì)可知左頂點(diǎn)到的距離為，可列方程，解方程求便可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)直線的斜率存在，有前面的求解可假設(shè)直線方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)（表示），在求的坐標(biāo)，最后求并進(jìn)行化簡(jiǎn)，可證明其值為定值，對(duì)于直線斜率不存在，可直接求得的坐標(biāo)，求即可.試題解析：（1）因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，所以橢圓的半焦距，又橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小值為，

15、所以，即所以，所求橢圓的方程為（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，的方程為，可求得，此時(shí)， 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得 設(shè)，則 所以，為定值，且定值為【考點(diǎn)】橢圓的焦點(diǎn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程，向量的運(yùn)算.【思路點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的相關(guān)性質(zhì)即向量的運(yùn)算，首先要清楚焦距（焦點(diǎn)）的概念及其計(jì)算公式，其次要熟悉橢圓的準(zhǔn)線的性質(zhì)，即橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離的倍，由此可知橢圓上到焦點(diǎn)距離最短的點(diǎn)分別為長(zhǎng)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)；對(duì)于為定值的證明，要能夠結(jié)合已知條件正確假設(shè)直線方程，其次要注意斜率不存在的情形.證明過程中，要沖利用兩根和與積的關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn).21設(shè)函數(shù)（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)時(shí)，

16、求的取值范圍【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（2）.【解析】試題分析：（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通常使用導(dǎo)函數(shù)法，令可求得單調(diào)增區(qū)間，令可求得單調(diào)減區(qū)間；（2）因?yàn)?，有已知條件可知，通過在恒成立，來求的取值范圍，所以可構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，即，通過導(dǎo)函數(shù)求得其最小值，使最小值非負(fù)，即可求的取值范圍試題解析：（1）時(shí)，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)增加，在單調(diào)減少（2）令，則若，則當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，而，從而當(dāng)時(shí)，即若，則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，而，從而當(dāng)時(shí)，即綜合得的取值范圍為【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)用.【方法點(diǎn)睛】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，如果函數(shù)解析式比較簡(jiǎn)單可以通過定義法，也可通過基本初等函數(shù)的單

17、調(diào)性來求；當(dāng)函數(shù)解析式比較復(fù)雜難求時(shí)，需要利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)來求單調(diào)區(qū)間，即通過導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；而對(duì)于含參函數(shù)的恒成立問題，可以先求導(dǎo)函數(shù)，在對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，求得不同參數(shù)所應(yīng)的函數(shù)最值，再結(jié)合不等式求參數(shù)的取值范圍.22如圖，是的一條切線，切點(diǎn)為，都是的割線，（1）證明：；（2）證明：【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）由割線定理可得，即可得證；（2）由可證得相似，可得，都為圓的割線，所以有，等量代換可得，便可證明.試題解析：（1）證明：因?yàn)槭堑囊粭l切線。為割線，所以，又因?yàn)?，所以，?）由（1）得， 【考點(diǎn)】割線的性質(zhì)，三角形相似.23在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線的極坐標(biāo)方程為，分別為與軸，軸的交點(diǎn)（1）寫出的直角坐標(biāo)方程，并求出的極坐標(biāo)；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，求直線的極坐標(biāo)方程【答案】（1），；（2）.【解析】試題分析：（1）直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化時(shí)滿足條件，曲線的極坐標(biāo)標(biāo)方程為，將其中的利用前面的關(guān)系式換作，即可得到直角坐標(biāo)方程；與軸，軸的交點(diǎn)的極坐標(biāo)中分別等于，代入極坐標(biāo)方程求，即可求得的極坐標(biāo)；（2）由的極坐標(biāo)可求得的極坐標(biāo)，所以直線的方程為.試題解析：（1）由得，從而的直角坐標(biāo)方程為，即時(shí)，所以時(shí)，所以（2