2016屆寧夏六盤山高級中學高三第一次模擬考試數(shù)學(文)試題(解析版)

1、2016屆寧夏六盤山高級中學高三第一次模擬考試數(shù)學（文）試題一、選擇題1已知集合，則的子集共有（ ）A3 B4 C7 D8【答案】B【解析】試題分析：由集合的運算可知，則的子集有共四個，故本題的正確選項為B.【考點】集合的運算及其關(guān)系.2復數(shù)（為虛數(shù)單位），則（ ）A5 B C25 D【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)復數(shù)的運算可知，可知的模為，故本題正確選項為A.【考點】復數(shù)的運算與復數(shù)的模.3已知命題，命題，則下列命題中為真命題的是（ ）A B C D【答案】C【解析】試題分析：顯然命題成立，即為真命題，則為假命題；當時，顯然此時，所以命題為假命題，則命題為真命題， 由命題的邏輯關(guān)系（且：一

2、假全假；或：一真全真）可知為真命題，故本題的正確選項為C.【考點】命題的真假及其關(guān)系.4經(jīng)過圓的圓心，且與直線垂直的直線方程是（ ）A BC D【答案】D【解析】試題分析：直線的斜率為，與其垂直的直線的斜率則為，圓的標準方程為，所以其圓心為，利用點斜式可求得直線的方程為.【考點】直線垂直的性質(zhì)，圓的標準方程，直線方程.5已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項和，若，則（ ）A B12 C10 D【答案】D【解析】試題分析：由已知得公差，則等差數(shù)列的前項和公式為，由可知，可求得，所以有，故選項D正確.【考點】等差數(shù)列的通項與前項和.6右邊程序框圖的算法思路源于古希臘數(shù)學家歐幾里得的“輾轉(zhuǎn)相除法”，執(zhí)

3、行該程序框圖，若輸入的分別為153，119，則輸出的（ ）A0 B2 C17 D34【答案】C【解析】試題分析：首先執(zhí)行得余數(shù)，再一次執(zhí)行得余數(shù)，在一次執(zhí)行得余數(shù)，所以輸出，故本題正確選項為C.【考點】程序框圖.7設，向量，且，則（ ）A B C D10【答案】B【解析】試題分析：，即，根據(jù)向量的運算有，即，則，所以，故本題的正確選項為B.【考點】向量的運算.8某校高一年級8個班參加合唱比賽得分的莖葉如圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（ ）A91.5和91.5 B91.5和92 C93.5和91.5 D93.5和92【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)莖葉圖的概念可知比賽得分數(shù)據(jù)為共個數(shù)據(jù)

4、，所以中位數(shù)為中間兩個數(shù)字的平均值，即，而平均值為，所以本題的正確選項為A.【考點】莖葉圖，中位數(shù)，平均數(shù).9設變量滿足約束條件，則的最大值為（ ）A0 B2 C4 D6【答案】C【解析】試題分析：本題主要考察線性約束條件下的最值問題，的最大值就是直線縱截距的最小值，必在可行域的端點（即圍成可行域的幾條直線的交點）處取得，由不等式組可知端點為，直線過時所對應的縱截距依次為，所以的最大值為，故本題的正確選項為C.【考點】線性約束條件.【方法點睛】求解關(guān)于滿足線性約束條件的最值時，可以現(xiàn)根據(jù)約束條件在直角坐標系中畫出可行域，再將所求函數(shù)寫作一次函數(shù)（直線）的形式，將直線在可行域中進行平行（旋轉(zhuǎn)），

5、然后確定縱截距（斜率）的最值，由這些最值便可確定待求量的最值；也可直接求得可行域邊界處的端點，即兩條直線的交點，而直線的縱截距（斜率）的最值必定會在這些端點處取得，所以將這些端點值代入直線方程便可求得待求量的值，從中選擇最大（?。┲导纯?10已知雙曲線在左頂點與拋物線的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為，則雙曲線的焦距為（ ）A B C D【答案】B【解析】試題分析：雙曲線的左頂點為，過一三象限漸近線為，拋物線的焦點為，準線方程為；由雙曲線左頂點與拋物線的焦點的距離為，可得，由雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為，可知為的解，所以有，代入中得，進一步可求得，

6、則焦距，故本題的正確選項為B.【考點】雙曲線的漸近線，焦距，拋物線的準線，焦點.11一個四面體的頂點在空間直角坐標系中的坐標分別是，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以平面為投影面，則得到的正視圖可以為（ ）【答案】A【解析】試題分析：由四個頂點坐標可知四面體的直觀圖如圖所示，是棱長為的正方體的一個頂點與其中三個面的中心所圍成的，所以以平面為投影面，則得到的正視圖如圖. 圖 圖【考點】三視圖，投影，空間坐標系.【思路點睛】解答本題，首先要能夠根據(jù)四個頂點的空間坐標，畫出（或者在腦海中想象出）四面體在空間坐標系中的具體位置，由坐標可知點在平面投影坐標分別為，所以正視圖應該為正方形，也可以直接根據(jù)空間

7、幾何圖得出投影正視圖.12已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，給出下列命題：當時，；函數(shù)有2 個零點；的解集為；，都有其中正確命題的序號是（ ）A B C D【答案】D【解析】試題分析：由題意可知，可見命題是錯誤的；時，此時有個零點，當，此時有個零點，又為上的奇函數(shù)，必有，即總共有個零點，即命題不成立；，可求得解為，可求得解為，所以命題成立；時，令，通過函數(shù)的單調(diào)性可求得此時的值域為，則時的值域為，所以有.【考點】奇函數(shù)的解析式與性質(zhì).【思路點睛】本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，因為及函數(shù)關(guān)于原點對稱，所以只要知道縱軸一側(cè)的函數(shù)解析式，即可利用來求得函數(shù)在另一側(cè)的解析式；對于奇函數(shù)的零點個數(shù)，要注意，

8、當定義域包含時，函數(shù)零點個數(shù)肯定為奇數(shù)，相反則為偶數(shù)；而對于命題四，則需要先求得函數(shù)的值域，而的最值則為函數(shù)值域端點值的差.本題也可利用排除法，前面已經(jīng)證明命題是錯誤的，根據(jù)選項可直接選擇D.二、填空題13已知，則_【答案】【解析】試題分析：對的分子分母同時除以，可將正余弦化簡為正切，.【考點】同角的三角函數(shù)關(guān)系.14平面截球所得的截面圓的半徑為1，球心到平面的距離為，則球的體積為_【答案】【解析】試題分析：由題意知截面圓半徑，球心到平面的距離為，即，畫出截面圖，可知球的半徑，則球的體積為.【考點】求空間中線段的長，球的體積.15已知函數(shù)的導函數(shù)為，且，則的最小值為_【答案】【解析】試題分析：

9、，則，即，又，當且僅當，或時等號成立.【考點】導數(shù)，重要不等式.【方法點睛】導函數(shù)也是函數(shù)，已知某點的導數(shù)值，相當于導函數(shù)在某點的值已知，所以首先得求得導函數(shù)，求函數(shù)導函數(shù)時，可先展開為多項式，也可根據(jù)公式求得導函數(shù)，再待值求的關(guān)系式，最后利用重要不等式求最值.16如圖所示是畢達哥達斯（）的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，若共得到1023個正方形，設初始正方形的邊長為，則最小正方形的邊長為_【答案】【解析】試題分析：由題意可知正方形的邊長構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，縣一直共得到個正方形，則有，可知，所以最小正方形邊長為.【考點】等比數(shù)列的

10、運用.【方法點睛】解答本題首先要了解畢達哥拉斯生長程序，熟悉其中的規(guī)律，即圖形中正方形的邊長與其生出來的兩個相同的小正方形的邊長剛好構(gòu)成一個等腰直角三角形，也即大整形的邊長為相鄰小正方形邊長的倍，這一規(guī)律滿足等比數(shù)列的定義，所以正方形的邊長可用等比數(shù)列來表示，其次要清楚經(jīng)過若干次生長后有多少個正方形，因為此生長程序類似于細胞分裂，所以可以用等比數(shù)列的前項和來表示小正方形的總數(shù).三、解答題17在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且（1）若，求的值；（2）若，且的面積，求和的值【答案】（1）；（2），.【解析】試題分析：（1）由與可求得，已知三邊可利用余弦定理求；（2）利用二倍角公式對進行化簡，得，利用正弦

11、定理將正弦轉(zhuǎn)化為三邊的關(guān)系，再利用面積公式即可求得和的值試題解析：（1）由題意可知由余弦定理得（2）由可得，化簡得因為，由正弦定理可知，又，所以由于，所以，從而，解得，所以【考點】解三角形，三角恒等變換.18某大學餐飲中心為了解新生的飲食習慣，在全校一年級學生中進行了抽樣調(diào)查，調(diào)查 結(jié)果如下表所示：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”；（2）已知在被調(diào)查的北方學生中有5名數(shù)學系的學生，其中2名喜歡甜品，現(xiàn)在從這5名學生中隨機抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率，【答案】（1）是；（2）.【解析】試題分析：（1）由題中所給表可知代入公式

12、中，得到樣本觀測值，將該值與圖二表中概率值比較，可得出有%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”；(2)總共人，隨機抽取三人，列出所有可能的事件，再利用即可求得至多有人喜歡甜品的概率.試題解析：（1）將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得，由于，所以有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”（2）從5名數(shù)學系學生中任取3人的一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間，其中表示喜歡甜品的學生，表示不喜歡甜品的學生，由10個基本事件組成，且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的用表示“3人中至多有1人喜歡甜品”這一事件，則，事件由7個基本事件組成，因而【考點】獨立性檢驗，

13、隨機事件的概率.19如圖，為圓的直徑，為圓周上異于的一點，垂直于圓所在的平面，于點，于點（1）求證：平面；（2）若，求四面體的體積【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）由垂直于圓所在的平面可知，在圓中，由此可證得，則有，結(jié)合可證得平面；（2）由可求得，中點，因為，所以的距離為，再利用求得面積，即可求得四面體體積.試題解析：（1）證明：為圓的直徑，圓所在的平面，且，平面，又平面，又，且，平面（2）方法一：，為中點，又平面，到平面的距離為，在中，由于，得，方法二：，為中點，到邊的距離為，在中，由于，得，由（1）知平面，【考點】線面垂直的性質(zhì)與判定，四面體的體積.20已知橢圓的左

14、焦點為，且橢圓上的點到點的距離最小值為（1）求橢圓的方程；（2）已知經(jīng)過點的動直線與橢圓交于不同的兩點，點，證明：為定值【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】試題分析：(1)左焦點為，可列方程，橢圓上的點到點的距離最小值為，由橢圓的準線的性質(zhì)可知左頂點到的距離為，可列方程，解方程求便可得到橢圓的標準方程；（2）假設直線的斜率存在，有前面的求解可假設直線方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可求得點的坐標（表示），在求的坐標，最后求并進行化簡，可證明其值為定值，對于直線斜率不存在，可直接求得的坐標，求即可.試題解析：（1）因為圓的圓心為，半徑為，所以橢圓的半焦距，又橢圓上的點到點的距離最小值為，

15、所以，即所以，所求橢圓的方程為（2）當直線與軸垂直時，的方程為，可求得，此時， 當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，由得 設，則 所以，為定值，且定值為【考點】橢圓的焦點及其標準方程，向量的運算.【思路點睛】本題考查了橢圓的相關(guān)性質(zhì)即向量的運算，首先要清楚焦距（焦點）的概念及其計算公式，其次要熟悉橢圓的準線的性質(zhì)，即橢圓上的點到焦點的距離等于該點到相應準線距離的倍，由此可知橢圓上到焦點距離最短的點分別為長軸上的兩個頂點；對于為定值的證明，要能夠結(jié)合已知條件正確假設直線方程，其次要注意斜率不存在的情形.證明過程中，要沖利用兩根和與積的關(guān)系進行化簡.21設函數(shù)（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若當時，

16、求的取值范圍【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（2）.【解析】試題分析：（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通常使用導函數(shù)法，令可求得單調(diào)增區(qū)間，令可求得單調(diào)減區(qū)間；（2）因為，有已知條件可知，通過在恒成立，來求的取值范圍，所以可構(gòu)造一個新函數(shù)，即，通過導函數(shù)求得其最小值，使最小值非負，即可求的取值范圍試題解析：（1）時，當時；當時，；當時，故在單調(diào)增加，在單調(diào)減少（2）令，則若，則當時，為增函數(shù)，而，從而當時，即若，則當時，為減函數(shù)，而，從而當時，即綜合得的取值范圍為【考點】函數(shù)的單調(diào)性，導函數(shù)的運用.【方法點睛】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，如果函數(shù)解析式比較簡單可以通過定義法，也可通過基本初等函數(shù)的單

17、調(diào)性來求；當函數(shù)解析式比較復雜難求時，需要利用導函數(shù)的性質(zhì)來求單調(diào)區(qū)間，即通過導函數(shù)的正負區(qū)間來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；而對于含參函數(shù)的恒成立問題，可以先求導函數(shù)，在對參數(shù)進行分類討論，求得不同參數(shù)所應的函數(shù)最值，再結(jié)合不等式求參數(shù)的取值范圍.22如圖，是的一條切線，切點為，都是的割線，（1）證明：；（2）證明：【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）由割線定理可得，即可得證；（2）由可證得相似，可得，都為圓的割線，所以有，等量代換可得，便可證明.試題解析：（1）證明：因為是的一條切線。為割線，所以，又因為，所以，（2）由（1）得， 【考點】割線的性質(zhì)，三角形相似.23在直角坐標系中，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系曲線的極坐標方程為，分別為與軸，軸的交點（1）寫出的直角坐標方程，并求出的極坐標；（2）設的中點為，求直線的極坐標方程【答案】（1），；（2）.【解析】試題分析：（1）直角坐標系與極坐標系轉(zhuǎn)化時滿足條件，曲線的極坐標標方程為，將其中的利用前面的關(guān)系式換作，即可得到直角坐標方程；與軸，軸的交點的極坐標中分別等于，代入極坐標方程求，即可求得的極坐標；（2）由的極坐標可求得的極坐標，所以直線的方程為.試題解析：（1）由得，從而的直角坐標方程為，即時，所以時，所以（2