【全程復(fù)習(xí)方略】（廣西專用）2013版高中數(shù)學(xué) 7.2兩條直線的位置關(guān)系、對稱問題配套課件 理 新人教A版

1、第二節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系、對稱問題,三年2考 高考指數(shù): 1.掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式. 2.能夠根據(jù)兩直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系.,1.兩條直線位置關(guān)系的判斷，兩直線的交點(diǎn)、對稱問題及距離公式是高考考查的重點(diǎn)； 2.利用數(shù)形結(jié)合、分類討論判斷兩直線的位置關(guān)系，利用待定系數(shù)法求直線方程等問題是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)； 3.題型以選擇題和填空題為主，與圓錐曲線交匯時(shí)以解答題為主.,1.兩條直線的位置關(guān)系,k1=k2且b1b2,條件,方程,關(guān)系,k1k2=-1,k1k2,k1=k2且b1=b2,【即時(shí)應(yīng)用】 (1)思考：兩條直線l1,l2的斜率之積為-1是

2、兩直線垂直的什么條件？ 提示:充分不必要條件.由兩直線的斜率之積為-1，可以得出兩直線垂直，反過來，兩直線垂直，斜率之積不一定為-1.如果l1,l2中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，l1與l2互相垂直.,(2)已知直線l1過點(diǎn)A(-1,1)和B(-2,-1),直線l2過點(diǎn)C(1,0)和 D(0,a),若l1l2,則a=_； 【解析】l1與l2的斜率分別為 由l1l2可知：a=-2. 答案：-2,(3)直線l的傾斜角為30，若直線l1l，則直線l1的斜率k1=_；若直線l2l,則直線l2的斜率k2=_. 【解析】由直線斜率的定義知，直線l的斜率k=tan30= l1l，k1=k=

3、 l2l,k2k=-1,k2= = 答案：,2.兩條直線所成的角,l1到l2的角與l2到l1的角中不超過90的角,直線l1與直線l2相交，l1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與l2重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的最小的角,【即時(shí)應(yīng)用】 (1)思考:l1到l2的角1與l2到l1的角2有何關(guān)系？ 提示:1+2=. (2)已知三條直線l1:y= x-1,l2:y=1,l3:x+y+1=0,l1與l2的夾角 為, l2與l3的夾角為，則+的值為_. 【解析】直線l1:y= x-1的傾斜角為60，l2:y=1的傾斜角為 0,l3:x+y+1=0的傾斜角為135，故=60，=45,+=105. 答案：105,3.距離,【即時(shí)應(yīng)用】 (1

4、)原點(diǎn)到直線x+2y-5=0的距離是_； (2)已知A(a,-5)，B(0,10)，|AB|=17，則a=_； (3)兩平行線y=2x與2x-y=-5間的距離為_. 【解析】(1)因?yàn)?(2)依題設(shè)及兩點(diǎn)間的距離公式得： 解得：a=8；,(3)因?yàn)閮善叫芯€方程可化為：2x-y=0與2x-y+5=0.因此，兩平 行線間的距離為： 答案：(1) (2)8 (3),直線平行、垂直關(guān)系的判斷及應(yīng)用 【方法點(diǎn)睛】 兩直線平行、垂直的判斷方法 (1)已知兩直線的斜率存在 兩直線平行兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等； 兩直線垂直兩直線的斜率之積等于-1；,(2)已知兩直線的一般方程 可利用直線方程求出

5、斜率，轉(zhuǎn)化為第一種方法，或利用以下方法求解：,A1A2+B1B2=0,【例1】(1)“a=1”是“直線x+y=0和直線x-ay=0相互垂直”的 ( ) (A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件 (2)已知過點(diǎn)A(-2,m)，B(m,4)的直線與直線2x+y-1=0平行，則 m的值為_； (3)已知長方形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0,1)，B(1,0),C(3,2),求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo).,【解題指南】(1)本題關(guān)鍵是看由a=1是否能得出兩直線垂直， 由兩直線垂直是否能得出a=1；(2)可根據(jù)兩直線平行，斜率相 等，得出一個(gè)等式，解方程即可求

6、值；(3)設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為 D(x,y)，利用長方形的性質(zhì)得出關(guān)于x、y的方程組，解方程組 即可得出D點(diǎn)的坐標(biāo). 【規(guī)范解答】(1)選C.當(dāng)a=1時(shí)，直線x-ay=0可化為x-y=0, 此時(shí)x+y=0和直線x-ay=0相互垂直； 當(dāng)直線x+y=0和直線x-ay=0相互垂直時(shí)，11+1(-a)=0, 解得：a=1,因此，“a=1”是“直線x+y=0和直線x-ay=0相互垂直”的充要 條件. (2)因?yàn)橹本€2x+y-1=0的斜率k=-2， 又因?yàn)檫^A(-2,m)，B(m,4)的直線與直線2x+y-1=0平行，所以 解得m=-8. 答案：-8,(3)設(shè)D的坐標(biāo)為(x,y)，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為長方形

7、，所以， 即 解得 即點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,3).,【互動(dòng)探究】本例(3)中條件不變，試求該四邊形的四條邊所在的直線方程. 【解析】因?yàn)锳(0,1)，B(1,0)，所以AB邊所在的直線方程為： 即x+y-1=0; 又因?yàn)锽(1,0)，C(3,2)，所以BC邊所在的直線方程為： 即x-y-1=0； 同理可得：CD邊所在的直線方程為：x+y-5=0； AD邊所在的直線方程為：x-y+1=0.,【反思感悟】通過本例的解析過程可知，處理兩直線的位置關(guān)系，在兩直線斜率都存在的前提下，利用兩直線的斜率和在y軸上的截距去處理；若直線的斜率不存在，則可考慮數(shù)形結(jié)合.,【變式備選】若直線l過點(diǎn)(-1,2)且與直線2

8、x-3y+4=0垂直，則直線l的方程為_. 【解析】方法一：直線2x-3y+4=0的斜率為:k= 設(shè)所求直線的斜率為k， 所求直線與直線2x-3y+4=0垂直，kk=-1, k= 所求直線方程為y-2= (x+1), 即:3x+2y-1=0.,方法二：由已知,設(shè)所求直線l的方程為： 3x+2y+C=0. 又l過點(diǎn)(-1,2),3(-1)+22+C=0, 得:C=-1, 所以所求直線方程為3x+2y-1=0. 答案：3x+2y-1=0,兩直線的交點(diǎn)及夾角問題 【方法點(diǎn)睛】 1.兩直線交點(diǎn)的求法 求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為交點(diǎn)； 2.過直線A1x

9、+B1y+C1=0與A2x+B2y+C2=0交點(diǎn)的直線系方程 A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0.(不包括直線A2x+B2y+C2=0),3.應(yīng)用夾角公式與到角公式時(shí)應(yīng)注意以下兩種情況的區(qū)別 (1)過A點(diǎn)與l夾角為的直線有兩條； (2)過A點(diǎn)到l的角為的直線只有一條.,【例2】(1)求經(jīng)過直線x+y+1=0與直線x-y+3=0的交點(diǎn)，且也經(jīng)過點(diǎn)A(8,-4)的直線方程為_. (2)已知兩直線l1：mx+8y+n=0與l2：2x+my-1=0，若l1與l2相交，求實(shí)數(shù)m、n滿足的條件. (3)已知等腰直角三角形ABC中，C90，直角邊BC在直線2x+3y-6=0上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是

10、(5，4)，求邊AB和AC所在的直線方程. 【解題指南】(1)可求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式解決；也可用過兩直線交點(diǎn)的直線系解決；,(2)兩直線相交可考慮直線斜率之間的關(guān)系，從而得到m、n滿 足的條件； (3)求直線方程的關(guān)鍵是求點(diǎn)和斜率，利用等腰直角三角形的 性質(zhì)可求出ABC=45，據(jù)此可構(gòu)造方程求斜率. 【規(guī)范解答】(1)方法一：因?yàn)橹本€x+y+1=0與直線x-y+3=0的 交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,1)，直線又過A(8,-4)，所以所求直線方程為： 即x+2y=0；,方法二：設(shè)過直線x+y+1=0與直線x-y+3=0的交點(diǎn)的直線方程為 x+y+1+(x-y+3)=0， 又因?yàn)橹本€過A(8,-4

11、)，所以8-4+1+(8+4+3)=0，解得: = 所以，所求直線方程為x+2y=0. 答案：x+2y=0,(2)因?yàn)閮芍本€l1：mx+8y+n=0與l2：2x+my-1=0相交，因此，當(dāng) m=0時(shí)，l1的方程為y= l2的方程為x= 兩直線相交，此 時(shí)，實(shí)數(shù)m、n滿足的條件為m=0，nR；當(dāng)m0時(shí)，兩直線 相交， 解得m4，此時(shí)，實(shí)數(shù)m、n滿足的條件為m4， nR. (3)直線BC的斜率 直線AC與直線BC垂直， AC邊所在的直線方程為y4 (x5)，,即3x2y70. ABC45， kAB5或kAB AB邊所在的直線方程為: y4 (x5)或y45(x5)， 即x5y150或5xy290.

12、,【互動(dòng)探究】本例(1)中的“且也經(jīng)過點(diǎn)A(8,-4)”改為“與直 線2x-y=0垂直”,求該直線方程. 【解析】方法一：因?yàn)橹本€x+y+1=0與直線x-y+3=0的交點(diǎn)坐標(biāo) 為(-2,1)，又直線與直線2x-y=0垂直，所以所求直線的斜率 因此所求直線方程為： 即x+2y=0. 方法二：設(shè)過直線x+y+1=0與直線x-y+3=0的交點(diǎn)的直線方程為 x+y+1+(x-y+3)=0，即(1+)x+(1-)y+1+3=0,又因?yàn)橹本€與直線2x-y=0垂直，所以所求直線的斜率 即有 解得:= 所以所求直線方程為x+2y=0.,【反思感悟】1.本例(1)是求直線方程,其關(guān)鍵是尋找確定直線的兩個(gè)條件,可

13、以直接求交點(diǎn),利用兩點(diǎn)式得出方程,此法要注意兩點(diǎn)的縱(或橫)坐標(biāo)相同時(shí),兩點(diǎn)式方程不適用,也可以利用直線系方程求解,其關(guān)鍵是利用已知點(diǎn)求的值; 2.本例(2)考查兩直線相交的條件,即斜率不等或有一條直線的斜率不存在. 3.本例(3)考查兩直線的夾角公式，要注意夾角公式中的絕對值符號，以免漏解.,【變式備選】當(dāng)m為何值時(shí)，三條直線l1：4x+y-3=0與 l2：x+y=0,l3：2x-3my-4=0能圍成一個(gè)三角形? 【解析】三條直線能圍成三角形即三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)， 當(dāng)m0時(shí)， 解得：m 且m 又因?yàn)閘1：4x+y-3=0與l2：x+y=0的交點(diǎn)為(1,-1)， 所以2+3m-40，解得

14、m,當(dāng)m=0時(shí)，l3:2x-4=0,l1:4x+y-3=0,l2:x+y=0,l1與l3的交點(diǎn)為 (2,-5)， l1與l2的交點(diǎn)為(1,-1), l2與l3的交點(diǎn)為(2,-2)， 能構(gòu)成三角形，符合題意. 綜上可知：m ,m 且m,距離公式的應(yīng)用 【方法點(diǎn)睛】 1.兩點(diǎn)間的距離的求法 可直接用公式求解 設(shè)點(diǎn)A(xA,yA),B(xB,yB)， 特例：ABx軸時(shí)，|AB|=|yA-yB| ABy軸時(shí)，|AB|=|xA-xB|.,2.點(diǎn)到直線的距離的求法 可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式. 3.兩平行直線間的距離的求法 (1)利用“化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)

15、化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離. (2)利用兩平行線間的距離公式. 【提醒】應(yīng)用兩平行線間的距離公式求距離時(shí),要注意兩平行直線方程中x、y的系數(shù)必須相等.,【例3】已知三條直線l1:2x-y+a=0(a0),l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0，且l1與l2的距離是 (1)求a的值； (2)能否找到一點(diǎn)P,使P同時(shí)滿足下列三個(gè)條件： P是第一象限的點(diǎn)； P點(diǎn)到l1的距離是P點(diǎn)到l2的距離的 P點(diǎn)到l1的距離與P點(diǎn)到l3的距離之比是 若能，求P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，說明理由.,【解題指南】(1)由l1與l2的距離及兩平行線之間的距離公式， 可得關(guān)于a的方程，解方程即可得出a的值；

16、 (2)由點(diǎn)P(x0,y0)滿足條件可得出關(guān)于x0、y0的方程組， 解方程組，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，注意驗(yàn)證是否適合條件. 【規(guī)范解答】(1)l2為2x-y- =0, l1與l2的距離 a0,a=3. (2)設(shè)存在第一象限的點(diǎn)P(x0,y0)滿足條件,則P點(diǎn)在與l1、l2 平行的直線l:2x-y+c=0上且,即c= 或c= 2x0-y0+ =0或2x0-y0+ =0. 若P點(diǎn)滿足條件，由點(diǎn)到直線的距離公式有： 即|2x0-y0+3=|x0+y0-1|, x0-2y0+4=0或3x0+2=0. P在第一象限， 3x0+2=0不可能.,由 解得 由 解得 存在P( )同時(shí)滿足條件.,【反思感悟】在解

17、答本題時(shí)，首先要根據(jù)題設(shè)條件，由點(diǎn)到直線的距離公式、兩平行線間的距離公式得出方程(組)，這是很關(guān)鍵的問題；另外，還要注意每種距離公式所要求的條件，以防漏解、錯(cuò)解.,【變式訓(xùn)練】已知A(4,-3),B(2,-1)和直線l:4x+3y-2=0，在坐 標(biāo)平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使PA=|PB|，且點(diǎn)P到直線l的距離為2. 【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b). A(4，-3)，B(2,-1)， 線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，-2)， 線段AB的垂直平分線的方程為y+2=x-3, 即x-y-5=0. 由題意知點(diǎn)P(a,b)在上述直線上，a-b-5=0. 又點(diǎn)P(a,b)到直線l：4x+3y-2=0的距離為2，,

18、即4a+3b-2=10, 聯(lián)立可得 所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，-4)或( ).,【變式備選】過點(diǎn)P(-1,2)引一直線，兩點(diǎn)A(2,3)，B(-4,5)到 該直線的距離相等，求這條直線的方程. 【解析】方法一：當(dāng)斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)P(-1,2)的直線方程 為：x=-1，A(2,3)到x=-1的距離等于3，且B(-4,5)到x=-1的距 離也等于3，符合題意； 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，過點(diǎn)P(-1,2)的直線方程為： y-2=k(x+1)，即kx-y+k+2=0， 依題設(shè)知： 解上式得：,所以，所求直線方程為：x+3y-5=0； 綜上可知,所求直線方程為x=-1或x+3y-5=0. 方法二：

19、依題設(shè)知：符合題意的直線共有兩條，一條是過點(diǎn) P(-1,2)與AB平行的直線，另一條是過點(diǎn)P及AB中點(diǎn)的直線. 因?yàn)锳(2,3)，B(-4,5)，所以 因此，過點(diǎn)P與AB平行的直線的方程為： y-2= (x+1),即x+3y-5=0;,又因?yàn)锳(2,3)，B(-4,5)的中點(diǎn)坐標(biāo)D(-1,4)， 所以過點(diǎn)P及AB中點(diǎn)的直線方程為x=-1； 綜上可知,所求直線方程為x=-1或x+3y-5=0.,對稱問題 【方法點(diǎn)睛】 1.對稱中心的求法 若兩點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)關(guān)于點(diǎn)P(a,b)對稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得a、b的值，即 2.軸對稱的兩個(gè)公式 若兩點(diǎn)M(x1,y1)、N(x2,y2

20、)關(guān)于直線l：Ax+By+C=0(A0)對稱，則線段MN的中點(diǎn)在對稱軸l上，而且連結(jié)MN的直線垂直于對稱軸l.故有,3.對稱問題的類型 (1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱；(2)點(diǎn)關(guān)于直線對稱； (3)直線關(guān)于點(diǎn)對稱；(4)直線關(guān)于直線對稱. 以上各種對稱問題最終化歸為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱、點(diǎn)關(guān)于直線對稱. 4.對稱問題的具體應(yīng)用 (1)在直線上求一點(diǎn)，使它到兩定點(diǎn)距離之和最小問題,當(dāng)兩定點(diǎn)分別在直線的異側(cè)時(shí)，兩點(diǎn)連線與直線的交點(diǎn)即為所求; 當(dāng)兩定點(diǎn)在直線的同一側(cè)時(shí)，可借助于點(diǎn)關(guān)于直線對稱，將問題轉(zhuǎn)化為情形來解決. (2)在直線上求一點(diǎn)，使它到兩定點(diǎn)距離之差的絕對值最大問題 當(dāng)兩定點(diǎn)在直線的同一側(cè)時(shí)，利用三角形的兩邊

21、之差小于第三邊，可知兩定點(diǎn)的連線與直線的交點(diǎn)即為所求; 當(dāng)兩定點(diǎn)分別在直線的異側(cè)時(shí)，可借助于點(diǎn)關(guān)于直線對稱，將問題轉(zhuǎn)化為情形解決.,【例4】求直線a：2x+y-4=0關(guān)于直線l：3x+4y-1=0對稱的直線 b的方程. 【解題指南】本題實(shí)質(zhì)上是求直線的方程，可設(shè)法找到兩個(gè)點(diǎn) 的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式即可求出方程；本題還可利用求曲線方程 的方法求解，設(shè)所求曲線上任意一點(diǎn)，由該點(diǎn)關(guān)于直線l的對 稱點(diǎn)在已知曲線上，即可求得. 【規(guī)范解答】方法一：由 解得直線a與l的交點(diǎn) E(3,-2)，E點(diǎn)也在直線b上.,在直線a：2x+y-4=0上取一點(diǎn)A(2,0)，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0)，

22、 由兩點(diǎn)式得直線b的方程為 即 2x+11y+16=0.,方法二：設(shè)直線b上的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)關(guān)于l：3x+4y-1=0的對稱點(diǎn)為 解上式得： 由于Q(x0,y0)在直線a：2x+y-4=0上，則 化簡得2x+11y+16=0是所求的直線b的方程.,【反思感悟】1.此題是求直線關(guān)于直線對稱的直線方程，通過求解本題，我們可體會(huì)到求直(曲)線的對稱直(曲)線方程時(shí)可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)來求解. 2.利用兩點(diǎn)式求直線方程要注意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等或縱坐標(biāo)相等的情形，此時(shí)可直接寫出直線方程.,【變式訓(xùn)練】 (1)在直線l：3x-y-1=0上求一點(diǎn)P，使得P到A(4,1)和B(0,4) 的距離之差最大；

23、(2)在直線l：3x-y-1=0上求一點(diǎn)Q，使得Q到A(4，1)和C(3，4) 的距離之和最小. 【解析】(1)如圖甲所示，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)為B，連結(jié) AB并延長交l于P，此時(shí)的P滿足|PA|-|PB|的值最大.,設(shè)B的坐標(biāo)為(a,b),則kBBkl=-1. 即 3-1,a+3b-12=0, 又由于線段BB的中點(diǎn)坐標(biāo)為 且在直線l上， 即3a-b-6=0. ,聯(lián)立，解得a=3,b=3,B(3,3). 于是AB的方程為 即2x+y-9=0, 解 得 所求P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，5). (2)如圖乙所示，設(shè)C關(guān)于l的對稱點(diǎn)為C，連結(jié)AC與l交于 點(diǎn)Q，此時(shí)的Q滿足|QA|+|QC|的值最小,設(shè)C的坐

24、標(biāo)為(x,y), 由兩點(diǎn)式得直線AC的方程為 即19x+17y-93=0. 所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為,新定義下的直線方程問題 【創(chuàng)新探究】 【典例】(2012上海模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P(x,y)， 定義OP=|x|+|y|，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn). 對于以下結(jié)論：符合OP=1的點(diǎn)P的軌跡圍成的圖形的面積為2； 設(shè)P為直線 x+2y-2=0上任意一點(diǎn)，則OP的最小值為1； 其中正確的結(jié)論有_(填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號) .,【解題指南】根據(jù)新定義，討論x的取值，得到y(tǒng)與x的分段函數(shù)關(guān)系式，畫出分段函數(shù)的圖象，即可求出該圖形的面積；認(rèn)真觀察直線方程，可舉一個(gè)反例，得到OP的最小值為1是假命題.

25、【規(guī)范解答】由OP=1，根據(jù)新定義得： |x|+|y|=1,上式可化為：y=-x+1(0 x1)， y=-x-1(-1x0)，y=x+1(-1x0)， y=x-1(0 x1),畫出圖象如圖所示：,根據(jù)圖形得到：四邊形ABCD為邊長是 的正方形，所以面積 等于2，故正確； 當(dāng)點(diǎn)P為( ，0)時(shí)，OP=|x|+|y|= +01,所以O(shè)P的最 小值不為1，故錯(cuò)誤； 所以正確的結(jié)論有：. 答案：,【閱卷人點(diǎn)撥】通過對本題的深入研究，我們可以得到以下創(chuàng)新點(diǎn)撥和備考建議：,1.(2012欽州模擬)如圖，已知A(4，0)、 B(0，4)，從點(diǎn)P(2，0)射出的光線經(jīng)直線 AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB 反