第六章修訂.ppt

1、第六章：離散時間信號與系統(tǒng)的z域分析,Chapter8,本章要點(diǎn),F,F,F,F,Z變換,常用序列的Z變換,Z變換的性質(zhì),反Z變換,Z變換與傅里葉變換、拉普拉斯變換的關(guān)系,離散時間系統(tǒng)的Z域分析,離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng),F,F,F,引言,與連續(xù)系統(tǒng)類似，離散系統(tǒng)也可用變換域法 進(jìn)行分析。,差分方程,Z變換,代數(shù)方程,一 Z變換的定義 1、 由抽樣信號的拉氏變換引出z變換定義。,6.1 Z變換,通常記為,或,右邊序列,左邊序列左,6.2 常用序列的Z變換,表6.1 常用序列的Z變換,上面給出的是右邊序列的Z變換，至于左邊序列Z變換的求法與左邊函數(shù)的拉普拉斯變換相類似。 以上介紹的一些常用序列都是

2、右邊序列。至于左邊序列Z變換與左邊函數(shù)的拉普拉斯變換相類似，可按下列步驟求取：,（2）對右邊序列,求單邊Z變換，得,（3）對所得的單邊Z變換中的復(fù)變量求倒數(shù)，即令,代入,，從而得出左邊序列的Z變換,，同時標(biāo)注出其收斂域。,例6.1 求雙邊序列,的Z變換，并確定它的收斂域。,解：雙邊指數(shù)序列可寫為右邊序列和左邊序列之和，即,右邊序列,的Z變換,左邊序列,的Z變換,可按下列步驟求得,（1）令,構(gòu)成右邊序列,（2）對,求單邊Z變換，,（3）令,代入上式得,因?yàn)?，所以,，則,的雙邊Z變換存在,if then,6.3 Z變換的性質(zhì),例如：,F,(Z域微分性質(zhì)),看下頁例題,解：,故,又,求反（逆）z變

3、換的方法有：冪級數(shù)展開法、部分分式展開法和反演積分（留數(shù)法）等。,一般而言，雙邊序列f(k)可分解為因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)兩部分，即 f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k)(k 1) + f(k) (k) 相應(yīng)地，其z變換也分為兩部分 F(z) = F2(z) + F1(z)， |z| ,其中 F1(z)= Zf(k)(k)=,，|z| ,F2(z)=Zf(k)(k 1)=,，|z| ,6.4 反Z變換,當(dāng)已知象函數(shù)F(z)時，根據(jù)給定的收斂域不難由F(z)求得F1(z)和F2(z)，并分別求得它們所對應(yīng)的原序列f1(k)和f2(k)，將兩者相加得原序列f(k)。

4、,一、冪級數(shù)展開法,根據(jù)z變換的定義，因果序列和反因果序列的象函數(shù)分別是z-1和z的冪級數(shù)。其系數(shù)就是相應(yīng)的序列值。,例：已知象函數(shù),其收斂域如下，分別求其相對應(yīng)的原序列f(k)。 （1） |z| 2 (2) |z| 1 (3) 1 |z| 2,解,（1） 由于F(z)的收斂域在半徑為2的圓外，故f(k)為因果序列。用長除法將F(z)展開為z-1的冪級數(shù)： z2/(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + ,f(k)=1，1，3，5， k=0,（2） 由于F(z)的收斂域?yàn)閦1，故f(k)為反因果序列。用長除法將F(z)（按升冪排列）展開為z的冪級數(shù):,z2/( 2 z z

5、2)=,(3) F(z)的收斂域?yàn)?z2，其原序列f(k)為雙邊序列。將F(z)展開為部分分式，有,第一項(xiàng)屬于因果序列的項(xiàng)函數(shù)F1(z)，第二項(xiàng)屬于反因果序列的象函數(shù)F2(z)，,，z 1,，z 2,即將它們分別展開為z-1及z的冪級數(shù)，有,難以寫成閉合形式。,二、部分分式展開法,式中mn,（1）F(z)均為單極點(diǎn)，且不為0,可展開為：,根據(jù)給定的收斂域，將上式劃分為F1(z)(z)和F2(z)(z)兩部分，根據(jù)已知的變換對，如,(k)1,例1：已知象函數(shù),其收斂域分別為：（1）z2 (2) z1 (3) 1z2,解 部分分式展開為,(1)當(dāng)z2，故f(k)為因果序列,(2) 當(dāng)z1，故f(k

6、)為反因果序列,(3)當(dāng)1z2，,例2：已知象函數(shù),1z2,的逆z變換。,解,由收斂域可知，上式前兩項(xiàng)的收斂域滿足z1，后兩項(xiàng)滿足z2。,(2) F(z)有共軛單極點(diǎn),如z1,2=cjd=ej, 則,令K1=K1ej,若z , f(k)=2K1kcos(k+)(k) 若z , f(k)= 2K1kcos(k+)( k 1),(3) F(z)有重極點(diǎn),F(z)展開式中含 項(xiàng)(r1)，則逆變換為,若z ,對應(yīng)原序列為,以z為例： 當(dāng)r=2時，為 kak-1(k) 當(dāng)r=3時，為,可這樣推導(dǎo)記憶： Zak(k)=,兩邊對a求導(dǎo)得 Zkak-1(k)=,再對a求導(dǎo)得Zk(k-1)ak-2(k)=,故Z

7、0.5k(k-1)ak-2(k)=,例：已知象函數(shù),，z1,的原函數(shù)。,解,f(k)=k(k-1)+3k+1(k),6.5 Z變換與傅里葉變換、拉普拉斯變換的關(guān)系,前面所討論的傅立葉變換、拉普拉斯變換和Z變換這三種變換域分析法之間有著密切的聯(lián)系，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)換。,一、Z變換與傅里葉變換的關(guān)系,考慮單位圓上的Z變換，即,上式表明離散序列,在單位圓上的Z變換等于與此序列相對應(yīng)的連續(xù)時間函數(shù),進(jìn)行理想抽樣后函數(shù)的傅里葉變換。,二、Z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系,當(dāng)令,時，,上式說明，此時的Z變換就是相應(yīng)的連續(xù)時間函數(shù) 經(jīng)過理想抽樣后的函數(shù)的拉普拉斯變換。,Z變換和拉氏變換的關(guān)系還可以由兩者在Z平面和S平面的對應(yīng)關(guān)系來說明,將,代入,得,不妨，令,，有,由此得出s平面和Z平面的映射關(guān)系：,（1）s平面的虛軸,映射為Z平面上的單位圓（,）；,（2）左半s平面（,）映射為Z平面上單位圓內(nèi)的部分（,）；,（3）右半s平面（,）映射為Z平面上單位圓外的部分（,）；,6.6 離散時間系統(tǒng)的Z域分析,（1）,（2）,（3）當(dāng),，即,的極點(diǎn)在單位圓上，若,的極點(diǎn)為實(shí)