充分發(fā)揮直觀想象讓解題更具韻味

1、充分發(fā)揮“直觀想象”讓解題更具韻味江蘇省姜堰中學(xué) 張圣官“直觀想象”指的是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程主要包括：借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ) 在數(shù)學(xué)解題中充分發(fā)揮直觀想象，可以讓解題過程具體、生動、形象，更具韻味 1利用圖形變換，讓解題過程更形象英國心理學(xué)家查得斯根普認(rèn)為，幾何圖形是一種視覺符號，與表象的形成密切相關(guān)因此，圖

2、形以及圖形的加工、變換能力在培養(yǎng)與發(fā)展空間想象能力的過程中起了關(guān)鍵作用圖形的變換一般有三種類型：（1）圖形的運動與變式；（2）圖形的分解與組合；（3）平面圖形與空間圖形的對比、類比與轉(zhuǎn)換例1 如圖1，在四面體SABC中，SAB=SCB=ABC，SBC=SAC=ACB，SBA=SCA=BAC，求證：SA=BC，SB=AC，SC=AB圖2圖1【分析】本題用常規(guī)方法非常困難現(xiàn)將四面體SABC沿SA、SB、SC剪開后展到平面ABC上得S1S2S3（如圖2）由條件知，S2AB=ABC=BCS3，從而S2ABC，S3CAB同理，S1ABC這樣就有S1、A、S2共線且A為S1S2的中點，同樣可得B、C分別為

3、S2S3，S3S1的中點所以結(jié)論成立，即SA=BC，SB=AC，SC=AB例2 （）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖），要求用其中一塊剪拼成一個正三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設(shè)計一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)示在圖中，并作簡要說明；（）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小EFAD圖3圖4【分析】（）如圖3，為簡化運算，設(shè)計正三棱錐為正四面體，設(shè)所給正三角形邊長為，則由得，其正四面體棱長為，故沿正三角形三邊中點連線折起，可拼得一個正三棱錐如圖4，為方便體積大小比較，設(shè)計正三棱柱的底面邊長也為，由于其全面積為，故在正三角形三個角上剪出與四邊

4、形ADEF相同的三個四邊形，其中AD=AF=a，DE=DF，ADE=AFE=900，余下部分按虛線折起，可成為一個缺上底的正三棱柱，而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成正三棱柱的上底（）由上可知，正三棱錐與正三棱柱底面邊長均為2a，S底=，下面求它們的高 ； 【點評】這道“操作型”問題很有新意，它具有開放性，所得結(jié)論隨解題方法的不同而不同，較好地考查了學(xué)生的空間想象能力、動手操作能力、探究能力和邏輯推理能力例3 已知：在四面體ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=，BD=AC=，試求此四面體的體積ABCDxyz圖5【分析】本題中四面體ABCD的四個表面面積均可求，但高的位置不易確定，直接求體積有

5、一定困難注意到四面體ABCD的相對棱相等的條件，聯(lián)想到長方體相對表面的對角線相等這一性質(zhì)，故可補成長方體解題【解】將四面體ABCD“嵌入”到長方體中，設(shè)長方體的長、寬、高分別為x、y、z，則有 ，即四面體ABCD的體積為20ABSCMN圖6例4 如圖，在正三棱錐S-ABC中，M、N分別為棱SC、BC的中點，并且MNAM，若側(cè)棱長SA=，則正三棱錐S-ABC的外接球的表面積為 【分析】由條件中的MNAM，可以推得又由正三棱錐S-ABC中對棱互相垂直，得所以SB平面SAC，從而該正三棱錐的三個頂角都是直角將該三棱錐補成正方體，使S成為正方體的一個頂點，則正三棱錐S-ABC的外接球也即是正方體的外接

6、球，根據(jù)得，R=3，所以正三棱錐S-ABC的外接球的表面積為 2利用以形助數(shù)，讓解題過程更豐富數(shù)學(xué)是研究客觀世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門科學(xué)有些數(shù)學(xué)問題，在代數(shù)范疇內(nèi)也可以解決但是如果加入幾何因素，將“數(shù)”與“形”有機結(jié)合起來，往往能夠使解法更多樣，讓解題過程更豐富華羅庚教授對此很準(zhǔn)確地進行了論述：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”例5 直角坐標(biāo)系中，已知A（4，3），試在x軸正半軸上求一點P，使取得最大【分析】要在x軸正半軸上求一點P，使取得最大，可以從代數(shù)的角度來處理，設(shè)，則，接著可以考慮將放到分母中轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)通過配方，或者也可以利用導(dǎo)數(shù)來處理，但運算較為繁瑣其實注意到本題中“A

7、為定點”，利用正弦定理可得以下簡解【解】在三角形OAP中，根據(jù)正弦定理得，由于為定值，問題轉(zhuǎn)化為求最大值顯然的最大值為1，此時為直角，易得P點坐標(biāo)為【點評】本題中的構(gòu)造思想非常關(guān)鍵將顯性和隱性的關(guān)系設(shè)法轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而實現(xiàn)優(yōu)解例6 坐標(biāo)平面上一點P到點A（,0）,B(,2)及到直線的距離都相等如果這樣的點P恰好只有一個，那么實數(shù)的值是 【分析】平面上到點A（,0）及到直線的距離相等的點的軌跡是拋物線本題實質(zhì)上就是該拋物線上有且只有一個點到點A（,0）,B(,2)的距離相等，有兩種情況：一是線段AB的垂直平分線與拋物線相切，一是線段AB的垂直平分線與拋物線的對稱軸平行可得結(jié)果實數(shù)的值為或

8、3利用圖形構(gòu)造，讓解題過程更流暢進行抽象問題形象化訓(xùn)練，培養(yǎng)幾何直覺能力將抽象問題形象化的幾何直覺能力是空間想象能力的最高層次，是空間觀念、意識、想象力在處理數(shù)學(xué)問題時的遷移和運用因此幾何直覺能力的訓(xùn)練與培養(yǎng)應(yīng)貫穿于整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，幾何的視覺化、形象化的能力不僅有助于促進數(shù)學(xué)知識的理解、記憶和提取，而且有助于提出數(shù)學(xué)問題，解決數(shù)學(xué)問題人們常把幾何形象化、直觀化看作培養(yǎng)創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)例7 解方程：【分析】本題若采用移項、平方，則解起來繁雜冗長將方程變形為，把常數(shù)“3”暫看作變數(shù)，則由雙曲線定義知，這個方程表示以F1（1，0）、F2（1，0）為焦點，實半軸長為的雙曲線4x2y2=1的右支只要令y2=3，就可得【點評】靜止是相對的，運動是絕對的有的數(shù)學(xué)問題，在靜態(tài)下雖然可得結(jié)果，但往往較繁、較難，如善于變靜態(tài)為動態(tài)，往往會收到奇妙的效果例8 已知：均為正實數(shù)，求證：圖7【分析】待證不等式形式很可憎思考一下其中是否隱含了幾何因素？有的！從點出發(fā)作，截取，