力學(xué)量和算符

1、第三章 力學(xué)量和算符內(nèi)容簡(jiǎn)介：在上一章中，我們系統(tǒng)地介紹了波動(dòng)力學(xué)，它的著眼點(diǎn)是波函數(shù) 。用波函數(shù)描述粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。本章將介紹量子力學(xué)的另一種表述，它的著眼點(diǎn)是力學(xué)量和力學(xué)量的測(cè)量，并證實(shí)了量子力學(xué)中的力學(xué)量必須用線性厄米算符表示。然后進(jìn)一步討論力學(xué)量的測(cè)量，它的可能值、平均值以及具有確定值的條件。我們將證實(shí)算符的運(yùn)動(dòng)方程中含有對(duì)易子，出現(xiàn) 。 3.1 力學(xué)量算符的引入 3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則 3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù) 3.4 連續(xù)譜本征函數(shù) 3.5 量子力學(xué)中力學(xué)量的測(cè)量 3.6 不確定關(guān)系 3.7 守恒與對(duì)稱 在量子力學(xué)中。微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù)描述。一旦給出了波函數(shù)，就確

2、定了微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在本章中我們將看到：所謂“確定”，是在能給出概率以及能求得平均值意義下說(shuō)的。一般說(shuō)來(lái)。當(dāng)微觀粒子處在某一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，它的力學(xué)量，如坐標(biāo)、動(dòng)量、角動(dòng)量、能量等，不同時(shí)具有確定的數(shù)值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出現(xiàn)。當(dāng)給定描述這一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù) 后，力學(xué)量出現(xiàn)各種可能值的相應(yīng)的概率就完全確定。利用統(tǒng)計(jì)平均的方法，可以算出該力學(xué)量的平均值，進(jìn)而與實(shí)驗(yàn)的觀測(cè)值相比較。既然一切力學(xué)量的平均值原則上可由 給出，而且這些平均值就是在 所描述的狀態(tài)下相應(yīng)的力學(xué)量的觀測(cè)結(jié)果，在這種意義下認(rèn)為，波函數(shù)描寫了粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。力學(xué)量的平均值 對(duì)以波函數(shù)描述的狀態(tài)，按照波函

3、數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，表示在t時(shí)刻在 中找到粒子的幾率，因此坐標(biāo)的平均值顯然是: 坐標(biāo)的函數(shù)的平均值是： 現(xiàn)在討論動(dòng)量的平均值。顯然，的平均值不能簡(jiǎn)單的寫成，因?yàn)橹槐硎驹?中的概率而不代表在中找到粒子的概率。要計(jì)算，應(yīng)該先找到在時(shí)刻，在中找到粒子的概率，這相當(dāng)于對(duì)作傅里葉變化，而有公式 給出。動(dòng)量的平均值可表示為 但前述做法比較麻煩，下面我們將介紹一種直接從計(jì)算動(dòng)量平均值的方法。由（3.1.4）式得 利用公式 可以得到記動(dòng)量算符為 則 從而有 例如：動(dòng)能的平均值是 角動(dòng)量的平均值是 綜上所述，我們得出，在求平均值的意義下，力學(xué)量可以用算符來(lái)代替。 下面我們來(lái)介紹動(dòng)量算符的物理意義。為簡(jiǎn)單考慮一維運(yùn)動(dòng)，

4、設(shè)量子體系沿方向做一空間平移，這是狀態(tài)由原變?yōu)?，如圖所示。顯然 （3.1.13）若，可做泰勒展開 （3.1.14）即當(dāng)在無(wú)窮小的情況下，取準(zhǔn)確到一級(jí)項(xiàng)有 （3.1.15）因此，狀態(tài)經(jīng)空間平移后變成另一態(tài)，它等于某個(gè)變量算作用于原來(lái)態(tài)上的結(jié)果，而該變換算符可由動(dòng)量算符來(lái)表達(dá)，特別在無(wú)窮小移動(dòng)的情況下，動(dòng)量算符純粹反映著空間平移的特性，所以動(dòng)量算符又稱為空間平移無(wú)窮小算符，動(dòng)量反映著坐標(biāo)變化（平移）的趨勢(shì)或能力。推廣到三維運(yùn)動(dòng)，狀態(tài)在空間平移下，變?yōu)?（3.1.16） 3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則3.2.1 算符的定義 所謂算符，是指作用在一個(gè)函數(shù)上得出另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號(hào)。若某種運(yùn)算把函數(shù)變?yōu)?，記作則

5、表示這種運(yùn)算的符號(hào)就稱為算符。 如果算符作用于一個(gè)函數(shù)，結(jié)果等于乘上一個(gè)常數(shù)，記為 （3.2.1） （3.2.1）則為的本征值，為的本征函數(shù)，上述方程稱為的本征方程。 若算符滿足： （3.2.2） （3.2.2）其中、為任意函數(shù)，、為常數(shù)，則稱為線性算符若算符滿足 （3.2.3）（3.2.3）為任意函數(shù)，則稱為單位算符。3.2.2 算符的運(yùn)算規(guī)則 算符之和 （3.2.4） 為任意波函數(shù)。顯然，算符之和滿足交換率和結(jié)合律 顯然，線性算符之和仍為線性算符。 算符之積 （3.2.5）注：一般情形 （3.2.6）（3.2.6）比方，取，則 但 因此 （3.2.7）（3.2.7）由于是任意函數(shù)，從(3.

6、2.7)式得 （3.2.8） 從（3.2.8）可見(jiàn)， 記和之差為 （3.2.9）稱為算符，的對(duì)易關(guān)系或?qū)σ鬃?。式?.2.8）可記為 若算符和的對(duì)易子為零，則稱算符和對(duì)易。利用對(duì)易子的定義（3.2.9）式，易證下列恒等式 （3.2.10）最后一式稱為雅可比恒等式。作為例子，我們討論角動(dòng)量算符 （3.2.11）它們和坐標(biāo)算符的對(duì)易子是 （3.2.12）（3.2.12）式可表示為 （3.2.13）上式中，=1,2,3表示相應(yīng)的分量，成為列維-斯維塔記號(hào)，滿足 （3.2.14）任意兩個(gè)下腳標(biāo)相同，則為零。同理可得 （3.2.15） （3.2.16）式中不為零的等式也可寫成 （3.2.17）坐標(biāo)和動(dòng)量

7、的對(duì)易子可寫為 （3.2.18）其中 （3.2.19）角動(dòng)量算符的平方是： （3.2.20）則 （3.2.21）在球坐標(biāo)系下 （3.2.22）則 （3.2.23）將r 兩邊對(duì)x 求偏導(dǎo)，得： （3.2.24）將兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)，得：（3.2.25）再將兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)，得： （3.2.26）利用這些關(guān)系式可求得： （3.2.27）同理可得： （3.2.28） （3.2.29） 則角動(dòng)量算符可表示為： （3.2.30） （3.2.31） （3.2.32）由此可得： （3.2.33） （3.2.34） （3.2.35）所以 （3.2.36）則的本征方程可寫為： （3.2.37）在數(shù)理方法中已討論過(guò)，必

8、須有： （3.2.38）可解得： （3.2.39） 為歸一化系數(shù)，為連帶勒讓得多項(xiàng)式。所以 （3.2.40） 因?yàn)楸硎窘莿?dòng)量太小，所以稱為角動(dòng)量量子數(shù)，稱為磁量子數(shù)。 對(duì)應(yīng)于一個(gè)的值，可以取個(gè)值，因而對(duì)于的一個(gè)本征值，有 個(gè)不同的本征函數(shù)。我們把對(duì)應(yīng)于一個(gè)本征只有一個(gè)以上的本征函數(shù)的情況叫簡(jiǎn)并，把對(duì)應(yīng)于同一本征值的本征函數(shù)的數(shù)目稱為簡(jiǎn)并度。的本征值是度簡(jiǎn)并的。同理： （3.2.41）即在態(tài)中，體系的角動(dòng)量在軸方向投影為 一般稱的態(tài)為態(tài)，的態(tài)依次為 態(tài)。 現(xiàn)在考慮角動(dòng)量算符的物理意義。設(shè)體系繞軸滾動(dòng)角并以 算符變換表示：，當(dāng)，即在無(wú)窮小轉(zhuǎn)動(dòng)下，對(duì)做泰勒展開，準(zhǔn)確到一級(jí)項(xiàng)有 （3.2.42）因此，

9、狀態(tài)在空間轉(zhuǎn)動(dòng)后變?yōu)榱硪粻顟B(tài)，它等于某個(gè)變換算符作用于原來(lái)態(tài)上的結(jié)果，而該變換算符，特別在無(wú)窮小轉(zhuǎn)動(dòng)下，角動(dòng)量算符純粹反映空間轉(zhuǎn)動(dòng)的特征，又稱角動(dòng)量算符為空間轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)窮小算符，從而角動(dòng)量反映著空間轉(zhuǎn)動(dòng)變化的特性。 算符的乘冪算符的次乘冪定義為 （3.2.20） 算符的函數(shù) （3.2.21） 算符的逆若算符滿足 且能從上式唯一的解出來(lái)，則定義算符的逆算符為 （3.2.22） 并非所有的算符都有逆算符存在。但若存在，則必有 （3.2.23） 3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù) 為說(shuō)明量子力學(xué)中能表示力學(xué)量的算符的性質(zhì)，本節(jié)將介紹一種具有非常重要性質(zhì)的算符-厄米算符。為此，先引進(jìn)一些定義：1.希爾伯特

10、空間中矢量的內(nèi)積 希爾伯特空間中的兩個(gè)態(tài)矢量，在選定及時(shí)后的兩 個(gè)波函數(shù)和的內(nèi)積為 （3.3.1）它具有下述性質(zhì)： （3.3.2）若、為常數(shù)2. 轉(zhuǎn)置算符若算符滿足 （3.3.3）即 （3.3.4）則稱為轉(zhuǎn)置算符。、為任意函數(shù)。3. 復(fù)共軛算符 將算符中的所有復(fù)量均換成它的共軛復(fù)量，稱為的復(fù)共軛算符。例如算符的復(fù)共軛算符。4. 厄米算符算符的厄米共軛算符，定義為 （3.3.5）則 （3.3.6） 厄米算符具有下列性質(zhì)：a.兩厄米算符之和仍為厄米算符。b.當(dāng)且僅當(dāng)兩厄米算符 和 對(duì)易時(shí)，它們之積才為厄米算符。因?yàn)?（3.3.7）只有在 時(shí)， ，才有 ，即 仍為厄米算符。c.無(wú)論厄米算符 、 是否

11、對(duì)易，算符 及 必為厄米算符，因?yàn)?（3.3.8）d.任何算符總可分解為 （3.3.9） 令 、 ，則 和 均為厄米算符。厄米算符的平均值、本征值、本征函數(shù)具有下列性質(zhì)：厄米算符的平均值是實(shí)數(shù)，因?yàn)?（3.3.10）在任何狀態(tài)下平均值均為實(shí)數(shù)的算符必為厄米算符。厄米算符的本征值為實(shí)數(shù)。厄米算符在本征態(tài)中的平均值就是本征值。厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)正交。厄米算符的簡(jiǎn)并的本征函數(shù)可以經(jīng)過(guò)重新組合后使它正交歸一化。厄米算符的本征函數(shù)系具有完備性。厄米算符的本征函數(shù)系具有封閉型。性質(zhì)的證明：由得 （1）上式并不足以說(shuō)明算符 厄米，因?yàn)?是同一個(gè)態(tài)。要證明 厄米，必須按厄米算符的定義，證明 成立

12、，而且 、 為任意波函數(shù)。為此令 ，利用（1）式得 （2） 因?yàn)?在 、 中的平均值也是實(shí)數(shù)，所以上式又寫為 （3）對(duì) 和 作變換，令 ， （為任意實(shí)數(shù)）代入（3）式后得 （4）因?yàn)?任意，上式成立的充要條件為 因此， 必為厄米算符。得證。性質(zhì)的證明： 且 ，因?yàn)?是厄米算符，它的本征函數(shù)是實(shí)數(shù)， 。本征方程的共軛方程為 由 及 的厄米性質(zhì)， ，及 得又因得得證。若本征函數(shù)是正交歸一化的，則有 厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)正交歸一。 3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)鑒于厄米算符的本征函數(shù)系具有正交、歸一、完備、封閉等重要性質(zhì)，可以用它作為希爾伯特空間的基矢；而且在量子力學(xué)中，可觀測(cè)量對(duì)應(yīng)線性厄米算符

13、，因此在本節(jié)中我們將先羅列一些線性厄米算符的本征函數(shù)系，然后再討論若本征函數(shù)位連續(xù)譜本征函數(shù)時(shí)，如何進(jìn)行歸一化。1.線性厄米算符的本征函數(shù)示例坐標(biāo)算符由本征方程 （3.4.1）可知算符 在自身表象中的本征函數(shù)是 。而 連續(xù)取值，是連續(xù)譜本征函數(shù)。動(dòng)量算符由本征方程 （3.4.2）可知在以 的本征函數(shù)為基矢的 表象中，算符 的本征函數(shù)是平面波 ，本征值 也是連續(xù)取值。2.連續(xù)譜本征函數(shù)的歸一化無(wú)窮空間的歸一化以平面波為例。 的本征函數(shù) 不能用普通的方法歸一化，因?yàn)樗哪２皇瞧椒娇煞e的， （3.4.3）不能使它歸一化為1。在數(shù)學(xué)上只能歸一化為 函數(shù)。利用公式 （3.4.4）得 （3.4.5）事實(shí)上

14、，凡連續(xù)譜本征函數(shù)都可用 函數(shù)的方式歸一化。箱歸一化 如果仍然要求按照通常的方式對(duì)動(dòng)量的本征函數(shù)歸一化，即仍然要?dú)w一化為1而不是 函數(shù)，就必須放棄無(wú)窮空間的積分，采用箱歸一化的方法。先以一維為例。設(shè)一維平面波只能在 的區(qū)間中運(yùn)動(dòng)，且滿足周期性條件：波函數(shù) （3.4.6）注：為保持動(dòng)量算符 在 范圍內(nèi)為厄米算符，要求波函數(shù)滿足周期性邊界條件。由 則 即 則 即 （3.4.7）從而有 （3.4.8）它的歸一化條件 （3.4.9）顯然，若 ，即箱的體積為無(wú)窮大時(shí)，由（3.4.7）式可知 ，本征譜變成連續(xù)譜，回到無(wú)窮空間的歸一化的情況。從分立譜過(guò)渡到連續(xù)譜時(shí)，存在如下對(duì)應(yīng)關(guān)系： （3.4.10） （3

15、.4.11）易將上述結(jié)果推廣到三維情況。取體積 ，則箱歸一化后的波函數(shù)為 （3.4.12） （3.4.13） （3.4.14） （3.4.15）三維情況下，箱歸一化的正交歸一化條件是 （3.4.16）其中 及 按（3.4.13）式的分立方式取值。在連續(xù)譜情況下，正交歸一條件是 （3.4.17） 3.5 量子力學(xué)中力學(xué)量的測(cè)量1.力學(xué)量有確定值的條件 記與某一力學(xué)量 相應(yīng)的算符為 ， 必為線性厄米算符?，F(xiàn)在問(wèn)：在什么狀態(tài)下，測(cè)量力學(xué)量 有確定值？ 為此，先給“確定值”以嚴(yán)格的定義。在量子力學(xué)中，在某一狀態(tài) 中測(cè)量力學(xué)量 具有確定值的充要條件是在該狀態(tài)中力學(xué)量 的平方平均偏差為零。即 （3.5.1

16、） 由于 厄米， 的平均值 是個(gè)實(shí)數(shù)，因此 也為厄米，利用 厄米的條件可將上式寫為 （3.5.2）于是得出： 的充要條件是即 （3.5.3） 由此得出結(jié)論：當(dāng)且僅當(dāng) 是力學(xué)量 的本征態(tài)時(shí)，在 的本征態(tài) 中測(cè)量 才有確定值。而且這個(gè)確定值就是在這個(gè)態(tài)的平均值。 （3.5.3）式實(shí)際上就是 的本征方程， 在態(tài) 的平均值 等于它的本征值。正因?yàn)?相應(yīng)于態(tài) 的本征值就是它的平均值，也是它的實(shí)驗(yàn)測(cè)到的準(zhǔn)確值，因此本征值和平均值都必須是實(shí)數(shù)。2.在非 的本征態(tài)中測(cè)量設(shè) 所滿足的本征方程為 （3.5.4）現(xiàn)在在一個(gè)非 的本征態(tài) 中測(cè)量 。因?yàn)?的本征函數(shù)系 正交歸一完備，因此總可將 按 展開 （3.5.5）

17、 的平均值是 （3.5.6）因此，在非 的本征態(tài) 中測(cè)量力學(xué)量 ，無(wú)確定值，但有平均值，而且平均值是由 的本征值 通過(guò)統(tǒng)計(jì)平均求來(lái)的。在 中出現(xiàn) 的幾率是 ， 是將態(tài) 按 展開時(shí)出現(xiàn) 態(tài)的幾率幅。因此得出結(jié)論：在非 的本征態(tài) 中測(cè)量 ，雖然無(wú)確定值，但有各種可能值。這些可能值就是 的本征值，而且可能值 出現(xiàn)的幾率為 。這個(gè)結(jié)論無(wú)論對(duì) 的本征譜是分離譜、連續(xù)譜，還是既有連續(xù)譜又有分離譜都成立。3.不同力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件若 在態(tài) 有確定值，則 必須是 的本征態(tài)，有 （3.5.7）同理，另一力學(xué)量 在態(tài) 中有確定值的，則 不然也是 的本征態(tài)，有 （3.5.8） 必須是 和 的共同本征函數(shù)。由即

18、 （3.5.9）但（3.5.9）式并不能說(shuō)明 和 對(duì)易，因?yàn)?只是一個(gè)特定的波函數(shù)而非任意波函數(shù)。例如： ，是個(gè)與角度無(wú)關(guān)的常數(shù)，雖然 和 不對(duì)易，但 使它們的共同本征函數(shù)。 關(guān)于算符的對(duì)易性和測(cè)量的關(guān)系，存在下述定理和逆定理： 定理 若線性厄米算符 和 有不止一個(gè)共同本征函數(shù)，且這些本征函數(shù)構(gòu)成完備系，則 和 必定可對(duì)易。 證：假定這些共同本征函數(shù)構(gòu)成分離譜本征函數(shù)系 。任何一個(gè)波函數(shù) 均可展開為 由于 是任意波函數(shù)，因此必有 ， 和 對(duì)易。 證畢。 逆定理 若線性厄米算符 和 對(duì)易，則它們必有共同的本征函數(shù)系，而且著共同本征函數(shù)系必為完備系。 現(xiàn)在對(duì)上述定理作些總結(jié)和討論： a.雖然兩相互

19、對(duì)易的算符 和 有完備的共同本征函數(shù)系，但 的本征函數(shù)不一定總是 的本征函數(shù)。只有當(dāng) 的本征值無(wú)簡(jiǎn)并時(shí)， 的本征函數(shù)才一定是 的本征函數(shù)。在由簡(jiǎn)并時(shí)，一般來(lái)說(shuō)，需要將屬于同一個(gè)本征值的本征函數(shù)重新作線性組合，才能得出 的本征函數(shù); b.力學(xué)量完全集的數(shù)目與體系自由度的數(shù)目相一致; c.簡(jiǎn)并來(lái)自于不完全測(cè)量。 綜上所述, 量子力學(xué)中的力學(xué)量以線性厄米算符來(lái)表示, 力學(xué)量取確定值的態(tài)就是力學(xué)量算符的本征態(tài), 力學(xué)量的數(shù)值就是算符的本征值. 力學(xué)量算符的本征函數(shù)系是正交歸一完備系, 它們是力學(xué)量所有可能值及其相應(yīng)態(tài). 任意狀態(tài)下, 力學(xué)量一般不取確定值, 而是一系列可能值. 而測(cè)的可能值的幾率就是任

20、意態(tài)在該力學(xué)量本征函數(shù)完備系中展開系數(shù)模的平方. 3.6 不確定性原理 設(shè) 和 為兩個(gè)不對(duì)易的線性厄米算符。在 的本征態(tài)中測(cè)量力學(xué)量 ，有確定值，在數(shù)值上等于 在該態(tài)的平均值。現(xiàn)在問(wèn)，在 的本征態(tài)中測(cè)量另一力學(xué)量 ，會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果？進(jìn)一步，如果在任一個(gè)既非 又非 的態(tài)中測(cè)量 和 ，又會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果？ 不確定性原理回答了這個(gè)問(wèn)題。我們先來(lái)對(duì)這個(gè)原理做一般證明：構(gòu)造積分 式中， 是實(shí)參量， 是任意波函數(shù)， 之所以大于或等于零是因?yàn)楸环e函數(shù)不小于零。將（3.6.1）式的平方項(xiàng)展開，得 由于 ， 厄米，上式可寫為 式中算符 滿足 ，（3.6.2） 是關(guān)于 的二次式，不等與（3.6.2） ，成立的條件是

21、 即 （3.6.4）式對(duì)任意兩線性厄米算符 ， 均成立。令 顯然， ， 也是線性厄米算符，它們的對(duì)易子滿足 由上兩式可得 取算符 ， ，由 及（3.6.6）式得 （3.6.7）式表明， 和 不能同時(shí)為零，而且坐標(biāo) 的方均偏差越小，動(dòng)量 的方均偏差越大，反之亦然。同理可得 （3.6.7）和（3.6.8）式稱為不確定性原理。利用不確定性原理說(shuō)明量子力學(xué)中的零點(diǎn)能。一維諧振子為例。它的平均能量是 利用厄米多項(xiàng)式的性質(zhì)可得由及（3.6.9） 式得 按不確定性原理， 和 不同時(shí)為零，因而 的最小值必不為零，這就是零點(diǎn)能。為求最小值，在式中取等號(hào)，得 則 這就是一維諧振子的零點(diǎn)能。 3.7 守恒與對(duì)稱1. 力學(xué)量隨時(shí)間的變化 在