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文檔簡(jiǎn)介
1、第三章 力學(xué)量和算符內(nèi)容簡(jiǎn)介:在上一章中,我們系統(tǒng)地介紹了波動(dòng)力學(xué),它的著眼點(diǎn)是波函數(shù) 。用波函數(shù)描述粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。本章將介紹量子力學(xué)的另一種表述,它的著眼點(diǎn)是力學(xué)量和力學(xué)量的測(cè)量,并證實(shí)了量子力學(xué)中的力學(xué)量必須用線性厄米算符表示。然后進(jìn)一步討論力學(xué)量的測(cè)量,它的可能值、平均值以及具有確定值的條件。我們將證實(shí)算符的運(yùn)動(dòng)方程中含有對(duì)易子,出現(xiàn) 。 3.1 力學(xué)量算符的引入 3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則 3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù) 3.4 連續(xù)譜本征函數(shù) 3.5 量子力學(xué)中力學(xué)量的測(cè)量 3.6 不確定關(guān)系 3.7 守恒與對(duì)稱 在量子力學(xué)中。微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù)描述。一旦給出了波函數(shù),就確
2、定了微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在本章中我們將看到:所謂“確定”,是在能給出概率以及能求得平均值意義下說(shuō)的。一般說(shuō)來(lái)。當(dāng)微觀粒子處在某一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí),它的力學(xué)量,如坐標(biāo)、動(dòng)量、角動(dòng)量、能量等,不同時(shí)具有確定的數(shù)值,而具有一系列可能值,每一可能值、均以一定的概率出現(xiàn)。當(dāng)給定描述這一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù) 后,力學(xué)量出現(xiàn)各種可能值的相應(yīng)的概率就完全確定。利用統(tǒng)計(jì)平均的方法,可以算出該力學(xué)量的平均值,進(jìn)而與實(shí)驗(yàn)的觀測(cè)值相比較。既然一切力學(xué)量的平均值原則上可由 給出,而且這些平均值就是在 所描述的狀態(tài)下相應(yīng)的力學(xué)量的觀測(cè)結(jié)果,在這種意義下認(rèn)為,波函數(shù)描寫了粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。力學(xué)量的平均值 對(duì)以波函數(shù)描述的狀態(tài),按照波函
3、數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,表示在t時(shí)刻在 中找到粒子的幾率,因此坐標(biāo)的平均值顯然是: 坐標(biāo)的函數(shù)的平均值是: 現(xiàn)在討論動(dòng)量的平均值。顯然,的平均值不能簡(jiǎn)單的寫成,因?yàn)橹槐硎驹?中的概率而不代表在中找到粒子的概率。要計(jì)算,應(yīng)該先找到在時(shí)刻,在中找到粒子的概率,這相當(dāng)于對(duì)作傅里葉變化,而有公式 給出。動(dòng)量的平均值可表示為 但前述做法比較麻煩,下面我們將介紹一種直接從計(jì)算動(dòng)量平均值的方法。由(3.1.4)式得 利用公式 可以得到記動(dòng)量算符為 則 從而有 例如:動(dòng)能的平均值是 角動(dòng)量的平均值是 綜上所述,我們得出,在求平均值的意義下,力學(xué)量可以用算符來(lái)代替。 下面我們來(lái)介紹動(dòng)量算符的物理意義。為簡(jiǎn)單考慮一維運(yùn)動(dòng),
4、設(shè)量子體系沿方向做一空間平移,這是狀態(tài)由原變?yōu)?,如圖所示。顯然 (3.1.13)若,可做泰勒展開 (3.1.14)即當(dāng)在無(wú)窮小的情況下,取準(zhǔn)確到一級(jí)項(xiàng)有 (3.1.15)因此,狀態(tài)經(jīng)空間平移后變成另一態(tài),它等于某個(gè)變量算作用于原來(lái)態(tài)上的結(jié)果,而該變換算符可由動(dòng)量算符來(lái)表達(dá),特別在無(wú)窮小移動(dòng)的情況下,動(dòng)量算符純粹反映著空間平移的特性,所以動(dòng)量算符又稱為空間平移無(wú)窮小算符,動(dòng)量反映著坐標(biāo)變化(平移)的趨勢(shì)或能力。推廣到三維運(yùn)動(dòng),狀態(tài)在空間平移下,變?yōu)?(3.1.16) 3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則3.2.1 算符的定義 所謂算符,是指作用在一個(gè)函數(shù)上得出另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號(hào)。若某種運(yùn)算把函數(shù)變?yōu)?,記作則
5、表示這種運(yùn)算的符號(hào)就稱為算符。 如果算符作用于一個(gè)函數(shù),結(jié)果等于乘上一個(gè)常數(shù),記為 (3.2.1) (3.2.1)則為的本征值,為的本征函數(shù),上述方程稱為的本征方程。 若算符滿足: (3.2.2) (3.2.2)其中、為任意函數(shù),、為常數(shù),則稱為線性算符若算符滿足 (3.2.3)(3.2.3)為任意函數(shù),則稱為單位算符。3.2.2 算符的運(yùn)算規(guī)則 算符之和 (3.2.4) 為任意波函數(shù)。顯然,算符之和滿足交換率和結(jié)合律 顯然,線性算符之和仍為線性算符。 算符之積 (3.2.5)注:一般情形 (3.2.6)(3.2.6)比方,取,則 但 因此 (3.2.7)(3.2.7)由于是任意函數(shù),從(3.
6、2.7)式得 (3.2.8) 從(3.2.8)可見(jiàn), 記和之差為 (3.2.9)稱為算符,的對(duì)易關(guān)系或?qū)σ鬃?。式?.2.8)可記為 若算符和的對(duì)易子為零,則稱算符和對(duì)易。利用對(duì)易子的定義(3.2.9)式,易證下列恒等式 (3.2.10)最后一式稱為雅可比恒等式。作為例子,我們討論角動(dòng)量算符 (3.2.11)它們和坐標(biāo)算符的對(duì)易子是 (3.2.12)(3.2.12)式可表示為 (3.2.13)上式中,=1,2,3表示相應(yīng)的分量,成為列維-斯維塔記號(hào),滿足 (3.2.14)任意兩個(gè)下腳標(biāo)相同,則為零。同理可得 (3.2.15) (3.2.16)式中不為零的等式也可寫成 (3.2.17)坐標(biāo)和動(dòng)量
7、的對(duì)易子可寫為 (3.2.18)其中 (3.2.19)角動(dòng)量算符的平方是: (3.2.20)則 (3.2.21)在球坐標(biāo)系下 (3.2.22)則 (3.2.23)將r 兩邊對(duì)x 求偏導(dǎo),得: (3.2.24)將兩邊對(duì)x求偏導(dǎo),得:(3.2.25)再將兩邊對(duì)x求偏導(dǎo),得: (3.2.26)利用這些關(guān)系式可求得: (3.2.27)同理可得: (3.2.28) (3.2.29) 則角動(dòng)量算符可表示為: (3.2.30) (3.2.31) (3.2.32)由此可得: (3.2.33) (3.2.34) (3.2.35)所以 (3.2.36)則的本征方程可寫為: (3.2.37)在數(shù)理方法中已討論過(guò),必
8、須有: (3.2.38)可解得: (3.2.39) 為歸一化系數(shù),為連帶勒讓得多項(xiàng)式。所以 (3.2.40) 因?yàn)楸硎窘莿?dòng)量太小,所以稱為角動(dòng)量量子數(shù),稱為磁量子數(shù)。 對(duì)應(yīng)于一個(gè)的值,可以取個(gè)值,因而對(duì)于的一個(gè)本征值,有 個(gè)不同的本征函數(shù)。我們把對(duì)應(yīng)于一個(gè)本征只有一個(gè)以上的本征函數(shù)的情況叫簡(jiǎn)并,把對(duì)應(yīng)于同一本征值的本征函數(shù)的數(shù)目稱為簡(jiǎn)并度。的本征值是度簡(jiǎn)并的。同理: (3.2.41)即在態(tài)中,體系的角動(dòng)量在軸方向投影為 一般稱的態(tài)為態(tài),的態(tài)依次為 態(tài)。 現(xiàn)在考慮角動(dòng)量算符的物理意義。設(shè)體系繞軸滾動(dòng)角并以 算符變換表示:,當(dāng),即在無(wú)窮小轉(zhuǎn)動(dòng)下,對(duì)做泰勒展開,準(zhǔn)確到一級(jí)項(xiàng)有 (3.2.42)因此,
9、狀態(tài)在空間轉(zhuǎn)動(dòng)后變?yōu)榱硪粻顟B(tài),它等于某個(gè)變換算符作用于原來(lái)態(tài)上的結(jié)果,而該變換算符,特別在無(wú)窮小轉(zhuǎn)動(dòng)下,角動(dòng)量算符純粹反映空間轉(zhuǎn)動(dòng)的特征,又稱角動(dòng)量算符為空間轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)窮小算符,從而角動(dòng)量反映著空間轉(zhuǎn)動(dòng)變化的特性。 算符的乘冪算符的次乘冪定義為 (3.2.20) 算符的函數(shù) (3.2.21) 算符的逆若算符滿足 且能從上式唯一的解出來(lái),則定義算符的逆算符為 (3.2.22) 并非所有的算符都有逆算符存在。但若存在,則必有 (3.2.23) 3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù) 為說(shuō)明量子力學(xué)中能表示力學(xué)量的算符的性質(zhì),本節(jié)將介紹一種具有非常重要性質(zhì)的算符-厄米算符。為此,先引進(jìn)一些定義:1.希爾伯特
10、空間中矢量的內(nèi)積 希爾伯特空間中的兩個(gè)態(tài)矢量,在選定及時(shí)后的兩 個(gè)波函數(shù)和的內(nèi)積為 (3.3.1)它具有下述性質(zhì): (3.3.2)若、為常數(shù)2. 轉(zhuǎn)置算符若算符滿足 (3.3.3)即 (3.3.4)則稱為轉(zhuǎn)置算符。、為任意函數(shù)。3. 復(fù)共軛算符 將算符中的所有復(fù)量均換成它的共軛復(fù)量,稱為的復(fù)共軛算符。例如算符的復(fù)共軛算符。4. 厄米算符算符的厄米共軛算符,定義為 (3.3.5)則 (3.3.6) 厄米算符具有下列性質(zhì):a.兩厄米算符之和仍為厄米算符。b.當(dāng)且僅當(dāng)兩厄米算符 和 對(duì)易時(shí),它們之積才為厄米算符。因?yàn)?(3.3.7)只有在 時(shí), ,才有 ,即 仍為厄米算符。c.無(wú)論厄米算符 、 是否
11、對(duì)易,算符 及 必為厄米算符,因?yàn)?(3.3.8)d.任何算符總可分解為 (3.3.9) 令 、 ,則 和 均為厄米算符。厄米算符的平均值、本征值、本征函數(shù)具有下列性質(zhì):厄米算符的平均值是實(shí)數(shù),因?yàn)?(3.3.10)在任何狀態(tài)下平均值均為實(shí)數(shù)的算符必為厄米算符。厄米算符的本征值為實(shí)數(shù)。厄米算符在本征態(tài)中的平均值就是本征值。厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)正交。厄米算符的簡(jiǎn)并的本征函數(shù)可以經(jīng)過(guò)重新組合后使它正交歸一化。厄米算符的本征函數(shù)系具有完備性。厄米算符的本征函數(shù)系具有封閉型。性質(zhì)的證明:由得 (1)上式并不足以說(shuō)明算符 厄米,因?yàn)?是同一個(gè)態(tài)。要證明 厄米,必須按厄米算符的定義,證明 成立
12、,而且 、 為任意波函數(shù)。為此令 ,利用(1)式得 (2) 因?yàn)?在 、 中的平均值也是實(shí)數(shù),所以上式又寫為 (3)對(duì) 和 作變換,令 , (為任意實(shí)數(shù))代入(3)式后得 (4)因?yàn)?任意,上式成立的充要條件為 因此, 必為厄米算符。得證。性質(zhì)的證明: 且 ,因?yàn)?是厄米算符,它的本征函數(shù)是實(shí)數(shù), 。本征方程的共軛方程為 由 及 的厄米性質(zhì), ,及 得又因得得證。若本征函數(shù)是正交歸一化的,則有 厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)正交歸一。 3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)鑒于厄米算符的本征函數(shù)系具有正交、歸一、完備、封閉等重要性質(zhì),可以用它作為希爾伯特空間的基矢;而且在量子力學(xué)中,可觀測(cè)量對(duì)應(yīng)線性厄米算符
13、,因此在本節(jié)中我們將先羅列一些線性厄米算符的本征函數(shù)系,然后再討論若本征函數(shù)位連續(xù)譜本征函數(shù)時(shí),如何進(jìn)行歸一化。1.線性厄米算符的本征函數(shù)示例坐標(biāo)算符由本征方程 (3.4.1)可知算符 在自身表象中的本征函數(shù)是 。而 連續(xù)取值,是連續(xù)譜本征函數(shù)。動(dòng)量算符由本征方程 (3.4.2)可知在以 的本征函數(shù)為基矢的 表象中,算符 的本征函數(shù)是平面波 ,本征值 也是連續(xù)取值。2.連續(xù)譜本征函數(shù)的歸一化無(wú)窮空間的歸一化以平面波為例。 的本征函數(shù) 不能用普通的方法歸一化,因?yàn)樗哪2皇瞧椒娇煞e的, (3.4.3)不能使它歸一化為1。在數(shù)學(xué)上只能歸一化為 函數(shù)。利用公式 (3.4.4)得 (3.4.5)事實(shí)上
14、,凡連續(xù)譜本征函數(shù)都可用 函數(shù)的方式歸一化。箱歸一化 如果仍然要求按照通常的方式對(duì)動(dòng)量的本征函數(shù)歸一化,即仍然要?dú)w一化為1而不是 函數(shù),就必須放棄無(wú)窮空間的積分,采用箱歸一化的方法。先以一維為例。設(shè)一維平面波只能在 的區(qū)間中運(yùn)動(dòng),且滿足周期性條件:波函數(shù) (3.4.6)注:為保持動(dòng)量算符 在 范圍內(nèi)為厄米算符,要求波函數(shù)滿足周期性邊界條件。由 則 即 則 即 (3.4.7)從而有 (3.4.8)它的歸一化條件 (3.4.9)顯然,若 ,即箱的體積為無(wú)窮大時(shí),由(3.4.7)式可知 ,本征譜變成連續(xù)譜,回到無(wú)窮空間的歸一化的情況。從分立譜過(guò)渡到連續(xù)譜時(shí),存在如下對(duì)應(yīng)關(guān)系: (3.4.10) (3
15、.4.11)易將上述結(jié)果推廣到三維情況。取體積 ,則箱歸一化后的波函數(shù)為 (3.4.12) (3.4.13) (3.4.14) (3.4.15)三維情況下,箱歸一化的正交歸一化條件是 (3.4.16)其中 及 按(3.4.13)式的分立方式取值。在連續(xù)譜情況下,正交歸一條件是 (3.4.17) 3.5 量子力學(xué)中力學(xué)量的測(cè)量1.力學(xué)量有確定值的條件 記與某一力學(xué)量 相應(yīng)的算符為 , 必為線性厄米算符?,F(xiàn)在問(wèn):在什么狀態(tài)下,測(cè)量力學(xué)量 有確定值? 為此,先給“確定值”以嚴(yán)格的定義。在量子力學(xué)中,在某一狀態(tài) 中測(cè)量力學(xué)量 具有確定值的充要條件是在該狀態(tài)中力學(xué)量 的平方平均偏差為零。即 (3.5.1
16、) 由于 厄米, 的平均值 是個(gè)實(shí)數(shù),因此 也為厄米,利用 厄米的條件可將上式寫為 (3.5.2)于是得出: 的充要條件是即 (3.5.3) 由此得出結(jié)論:當(dāng)且僅當(dāng) 是力學(xué)量 的本征態(tài)時(shí),在 的本征態(tài) 中測(cè)量 才有確定值。而且這個(gè)確定值就是在這個(gè)態(tài)的平均值。 (3.5.3)式實(shí)際上就是 的本征方程, 在態(tài) 的平均值 等于它的本征值。正因?yàn)?相應(yīng)于態(tài) 的本征值就是它的平均值,也是它的實(shí)驗(yàn)測(cè)到的準(zhǔn)確值,因此本征值和平均值都必須是實(shí)數(shù)。2.在非 的本征態(tài)中測(cè)量設(shè) 所滿足的本征方程為 (3.5.4)現(xiàn)在在一個(gè)非 的本征態(tài) 中測(cè)量 。因?yàn)?的本征函數(shù)系 正交歸一完備,因此總可將 按 展開 (3.5.5)
17、 的平均值是 (3.5.6)因此,在非 的本征態(tài) 中測(cè)量力學(xué)量 ,無(wú)確定值,但有平均值,而且平均值是由 的本征值 通過(guò)統(tǒng)計(jì)平均求來(lái)的。在 中出現(xiàn) 的幾率是 , 是將態(tài) 按 展開時(shí)出現(xiàn) 態(tài)的幾率幅。因此得出結(jié)論:在非 的本征態(tài) 中測(cè)量 ,雖然無(wú)確定值,但有各種可能值。這些可能值就是 的本征值,而且可能值 出現(xiàn)的幾率為 。這個(gè)結(jié)論無(wú)論對(duì) 的本征譜是分離譜、連續(xù)譜,還是既有連續(xù)譜又有分離譜都成立。3.不同力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件若 在態(tài) 有確定值,則 必須是 的本征態(tài),有 (3.5.7)同理,另一力學(xué)量 在態(tài) 中有確定值的,則 不然也是 的本征態(tài),有 (3.5.8) 必須是 和 的共同本征函數(shù)。由即
18、 (3.5.9)但(3.5.9)式并不能說(shuō)明 和 對(duì)易,因?yàn)?只是一個(gè)特定的波函數(shù)而非任意波函數(shù)。例如: ,是個(gè)與角度無(wú)關(guān)的常數(shù),雖然 和 不對(duì)易,但 使它們的共同本征函數(shù)。 關(guān)于算符的對(duì)易性和測(cè)量的關(guān)系,存在下述定理和逆定理: 定理 若線性厄米算符 和 有不止一個(gè)共同本征函數(shù),且這些本征函數(shù)構(gòu)成完備系,則 和 必定可對(duì)易。 證:假定這些共同本征函數(shù)構(gòu)成分離譜本征函數(shù)系 。任何一個(gè)波函數(shù) 均可展開為 由于 是任意波函數(shù),因此必有 , 和 對(duì)易。 證畢。 逆定理 若線性厄米算符 和 對(duì)易,則它們必有共同的本征函數(shù)系,而且著共同本征函數(shù)系必為完備系。 現(xiàn)在對(duì)上述定理作些總結(jié)和討論: a.雖然兩相互
19、對(duì)易的算符 和 有完備的共同本征函數(shù)系,但 的本征函數(shù)不一定總是 的本征函數(shù)。只有當(dāng) 的本征值無(wú)簡(jiǎn)并時(shí), 的本征函數(shù)才一定是 的本征函數(shù)。在由簡(jiǎn)并時(shí),一般來(lái)說(shuō),需要將屬于同一個(gè)本征值的本征函數(shù)重新作線性組合,才能得出 的本征函數(shù); b.力學(xué)量完全集的數(shù)目與體系自由度的數(shù)目相一致; c.簡(jiǎn)并來(lái)自于不完全測(cè)量。 綜上所述, 量子力學(xué)中的力學(xué)量以線性厄米算符來(lái)表示, 力學(xué)量取確定值的態(tài)就是力學(xué)量算符的本征態(tài), 力學(xué)量的數(shù)值就是算符的本征值. 力學(xué)量算符的本征函數(shù)系是正交歸一完備系, 它們是力學(xué)量所有可能值及其相應(yīng)態(tài). 任意狀態(tài)下, 力學(xué)量一般不取確定值, 而是一系列可能值. 而測(cè)的可能值的幾率就是任
20、意態(tài)在該力學(xué)量本征函數(shù)完備系中展開系數(shù)模的平方. 3.6 不確定性原理 設(shè) 和 為兩個(gè)不對(duì)易的線性厄米算符。在 的本征態(tài)中測(cè)量力學(xué)量 ,有確定值,在數(shù)值上等于 在該態(tài)的平均值。現(xiàn)在問(wèn),在 的本征態(tài)中測(cè)量另一力學(xué)量 ,會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果?進(jìn)一步,如果在任一個(gè)既非 又非 的態(tài)中測(cè)量 和 ,又會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果? 不確定性原理回答了這個(gè)問(wèn)題。我們先來(lái)對(duì)這個(gè)原理做一般證明:構(gòu)造積分 式中, 是實(shí)參量, 是任意波函數(shù), 之所以大于或等于零是因?yàn)楸环e函數(shù)不小于零。將(3.6.1)式的平方項(xiàng)展開,得 由于 , 厄米,上式可寫為 式中算符 滿足 ,(3.6.2) 是關(guān)于 的二次式,不等與(3.6.2) ,成立的條件是
21、 即 (3.6.4)式對(duì)任意兩線性厄米算符 , 均成立。令 顯然, , 也是線性厄米算符,它們的對(duì)易子滿足 由上兩式可得 取算符 , ,由 及(3.6.6)式得 (3.6.7)式表明, 和 不能同時(shí)為零,而且坐標(biāo) 的方均偏差越小,動(dòng)量 的方均偏差越大,反之亦然。同理可得 (3.6.7)和(3.6.8)式稱為不確定性原理。利用不確定性原理說(shuō)明量子力學(xué)中的零點(diǎn)能。一維諧振子為例。它的平均能量是 利用厄米多項(xiàng)式的性質(zhì)可得由及(3.6.9) 式得 按不確定性原理, 和 不同時(shí)為零,因而 的最小值必不為零,這就是零點(diǎn)能。為求最小值,在式中取等號(hào),得 則 這就是一維諧振子的零點(diǎn)能。 3.7 守恒與對(duì)稱1. 力學(xué)量隨時(shí)間的變化 在
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