線性代數(shù)B期末試卷及答案

1、線性代數(shù)B 期末試卷及答案2008 2009 學(xué)年第二學(xué)期線性代數(shù)B試卷2009 年 6 月 22 日一二三四五六總分得 分一、填空題（共6 小題，每小題 3分，滿分 18 分）10001.0100.設(shè) A01，則 A 0003082. A 為 n 階方陣 , AA T= E 且 A0,則 A E.1223設(shè)方陣 A 4t3, B 為三階非零矩陣，且 AB=O，則 t.3114. 設(shè)向量組 1 , 2 , , m 線性無關(guān)，向量 不能由它們線性表示， 則向量組1 ,2 ,m ,的秩為.5設(shè) A 為實(shí)對稱陣，且 |A|0，則二次型 f =x T A x 化為 f = yT A-1 y 的線性變換

2、是 x= 設(shè) R3 的兩 組基 為 a1T1,0, 1 ， a3 1,0,11,1,1 ， a2；1 (1,2,1, ) T， 22,3,4 ,3 3,4,3 ，則由基 a1, a2 , a3 到基 1 ,2 , 3的過渡矩陣為.得 分二、單項(xiàng)選擇題（共6 小題，每小題3 分，滿分 18 分）1.設(shè) Dn 為 n 階行列式，則 Dn0 的必要條件是 .( A) Dn 中有兩行元素對應(yīng)成比例；( B) Dn 中各行元素之和為零；(C) Dn 中有一行元素全為零；(D) 以 Dn 為系數(shù)行列式的齊次線性方程組有非零解2若向量組， ，線性無關(guān)， ，線性相關(guān)，則(A)必可由， ，線性表示；.線性代數(shù)B

3、 期末試卷及答案(B) 必可由 ， ，線性表示；(C) 必可由 ， ，線性表示；(D) 必可由 ， ，線性表示 .設(shè) 3 階方陣 A 有特征值 0， 1， 1，其對應(yīng)的特征向量為P1，2， 1P3123AP .P ，令 P(P ， P ，P )，則 P100000(A)010；(B)010；000001000100(C)010；(D)000000011設(shè) .1，2，3 線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是 (A) 1，2， 3 - 1；(B) 1， 1+2，1+3；(C)1+2，2+3，3+1；(D)1-2， 2-3， 3-1.若矩陣 A3 4 有一個 3 階子式不為 0，則 A 的秩( A )

4、 =.(A)1；(B)2；(C)3；(D)4實(shí)二次型 fxTAx 為正定的充分必要條件是 .(A)A 的特征值全大于零；(B)A 的負(fù)慣性指數(shù)為零；(C)|A| 0 ；(D)R(A) = n .得 分5 小題，每道題8 分，滿分 40 分）三、解答題（共1b1001. 求 D11b1b20的值 .011 b2b30011b3 . 求向量組1 (1,1,1,4) ,2(2,1,3,5), 3(1,1,3,2) , 4 ( 3,1,5,6) 的一個極大無關(guān)組，并把其余的向量用該極大無關(guān)組線性表出.100 . 設(shè) A、P 均為 3 階矩陣，且 PT AP=010 , 若 P=(1,2,3),000Q

5、=(1+2,2,3),求 QTAQ線性代數(shù)B 期末試卷及答案4設(shè) A 是 n 階實(shí)對稱矩陣， A 22AO ，若 R( A) k (0 kn) ，求A 3E .2205. 設(shè)矩陣 A= 82a 相似于對角矩陣，求 a.006x1a1 x2a12 x3a13，得 分四、（本題滿分 10 分） 對線性方程組x1a2 x2a22 x3a23，x1a3 x2a32 x3a33，x1a4 x2a42x3a43 .(1) 若 a1 , a2 , a3 , a4 兩兩不等，問方程組是否有解，為什么？(2)若a13b ,a2a4b(b0)， 且 已 知 方 程 的 兩 個 解a1(1,1,1)T ,2 ( 1

6、,1,1)T ，試給出方程組的通解得 分五、（本題滿分 8 分）設(shè)二次曲面方程axy2xz 2byz 1（ a 0 ）x經(jīng)正交變換 yQ，化成 222 21 ，求 a 、 b 的值及正交矩z陣 Q.得 分六、（本題滿分6 分）設(shè) A 為 n 階實(shí)矩陣， 為 A 的對應(yīng)于實(shí)特征值 的特征向量， 為 AT 的對應(yīng)于實(shí)特征值 的特征向量，且 ，證明 與 正交2008 2009 學(xué)年第二學(xué)期線性代數(shù)B試卷參考答案2009 年 6 月 22 日一二三四五六總分得 分一、填空題（共6 小題，每小題 3分，滿分 18 分）線性代數(shù)B 期末試卷及答案10001.01002.設(shè) A01，則 A 0003082.

7、A 為 n 階方陣 ,AA T= E 且 A 0,則 AE0 .設(shè)方陣 A1224t3 ,B為三階非零矩陣，且AB=O，則t3311-3 .4. 設(shè)向量組 1 , 2 , , m 線性無關(guān)，向量 不能由它們線性表示， 則向量組1 ,2 ,m ,的秩為m+1.5設(shè) A 為實(shí)對稱陣，且 |A| 0，則二次型 f =x TA x 化為 f =yTA-1 y 的線性變換是 x=_ A 1 y _ 設(shè)3 的兩組基為aT1,0, 1 ， a1,0,1；R1,1,1 ， a2311(1,2,1,)T ,22,3,4 ,3 3,4,3，則由基 a1, a2 , a3 到基 1 , 2 ,3的過渡234矩陣 P

8、=010101得 分二、單項(xiàng)選擇題（共6 小題，每小題3 分，滿分 18 分）1.設(shè) D n 為 n 階行列式，則 D n 0 的必要條件是 D .(A)D n 中有兩行元素對應(yīng)成比例；(B)D n 中各行元素之和為零；(C) D n 中有一行元素全為零； (D) 以 D n 為系數(shù)行列式的齊次線性方程組有非零解2若向量組， ，線性無關(guān)， ，(A)必可由， ，線性表示 . (B)線性相關(guān)，則 必可由， ，C.線性表示 .(C)必可由， ，線性表示 . (D)必可由， ，線性表示 .線性代數(shù) B 期末試卷及答案設(shè) 3 階方陣 A 有特征值0， 1，1，其對應(yīng)的特征向量為P1， P2 ，P3，令

9、P( P1 ，P2，P3) ，則 P1 AP B .100000000100(A)010；(B)010 ；(C)010；(D)000000001000011設(shè)，線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是D 123（A ）1，2，3 - 1；（B）1，1+2，1+3；（C）， ，；（D） ， ，-1.1+22+33+11-22-33若矩陣 A34 有一個 3 階子式不為 0，則 C.( A )=2；（ C）( A )=3；（D）( A )=4（ A） ( A )=1；（B）實(shí)二次型 fx Ax 為正定的充分必要條件是 A (A)A 的特征值全大于零；(B)A 的負(fù)慣性指數(shù)為零；(C)|A| 0 ；(D)

10、R(A) = n.得 分三、解答題（共5 小題，每道題 8 分，滿分 40 分）1b10011 b1b201. 求 D11 b2的值0b30011 b31b1001b1001b10001b2001b2001 b20解： D1 1 b2b3001b30011.0b3001 1 b3001 1 b30001 . 求向量組1(1,1,1,4) ,2(2,1,3,5),3(1, 1,3, 2) ,4 ( 3,1,5,6) 的一個極大無關(guān)組，并把其余的向量用該極大無關(guān)組線性表出.解：極大無關(guān)組1 ,2 ，32 2 31 ，42 21 .線性代數(shù)B 期末試卷及答案100 . 設(shè) A、P 均為 3 階矩陣，

11、且 PT AP=010 , 若0001231223TP=(,),Q=(+,),求 Q AQ解：由于100100Q=(1 2 2312,31 10P 1 1 0 ,+, )= (,)001001于是 QT AQ=100T100110100P 1 1 0A P 1 1 00 10 PT AP 1 10001001001001110100100210010010110110 .0010000010004設(shè) A 是 n 階實(shí)對稱矩陣， A 22AO，若 R( A)k (0kn) ，求A3E .解 :由 A 22 A O 知 ,A 的特征值 -2 或0, 又 R( A) k (0k n) , 且 A2O

12、是 n 階實(shí)對稱矩陣 , 則 A 2，故( k個-2)0O0A3E3n k 2205. 設(shè)矩陣 A= 82a 相似于對角矩陣，求 a.006線性代數(shù)B 期末試卷及答案解： 由|A-E|=0，得 A 的三個特征值 1=2=6，3= -2.由于 A 相似于對角矩陣， R（ A-6E） =1，即42021084a 00a ，000000顯然，當(dāng) a=0 時， R（ A-6E）=1， A 的二重特征值 6 對應(yīng)兩個線性無關(guān)的特征向量x1a1x2a12 x3a13，得 分x ax2a2 x3a3，四、（本題滿分 10 分） 對線性方程組1222xaxa2xa3，313233xaxa2 xa3 .1424

13、34(1) 若 a1 , a2 , a3 , a4 兩兩不等，問方程組是否有解，為什么？(2) 若 a1a3b ,a2 a4b (b0) ， 且 已 知 方 程 的 兩 個 解1(1,1, 1)T ,2(1,1,1)T ，試給出方程組的通解解：（ 1）因?yàn)?a1a12a131a2a22a23( a2a1 )(a3a1 )(a3a2 )(a4 a1 )( a4 a2 )(a4 a3 ) 0 ，1a3a32a331 a4 a42 a34故 R( AMb)R( A) ，無解（ 2） R( A)2 ， n 3 ，故通解21xk( )k01,(kR) 21121得 分五、（本題滿分8 分） 設(shè)二次曲面的

14、方程axy2xz2byz1 ）線性代數(shù)B 期末試卷及答案xa 0 經(jīng)正交變換yQ，化成22221 ，求 a 、 b 的值及z正交矩陣 Q.0a12a0b，由 AE 0, A2E0知 a 2, b1解：設(shè) A21b0111111當(dāng)1 時 ， A E111 000 ，1 (1,1,0) t ，1110002 (1,1,2)T101當(dāng)2 時， A 2E 0113(1,1,1)T .000111263111故正交陣 Q6.23021得 分63六、（本題滿分 6 分）設(shè) A 為 n 階實(shí)矩陣， 為 A 的對應(yīng)于實(shí)特征值 的特征向量，為 AT 的對應(yīng)于實(shí)特征值 的特征向量，且 ，證明 與 正交TTTT證

15、：依題意得 A=， A =，將 A=的兩邊轉(zhuǎn)置得， A =，TTTTTT在上式的兩邊右乘得，A =，即 =，亦即（ -）=0，T由于 ，所以 =0，故 與 正交線性代數(shù)B 期末試卷及答案莊子云： “ 人生天地之間，若白駒過隙，忽然而已?！笔茄?，春秋置換，日月交替，這從指尖悄然劃過的時光，沒有一點(diǎn)聲響，沒有一刻停留，仿佛眨眼的功夫，半生已過。人活在世上，就像暫時寄宿于塵世，當(dāng)生命的列車駛到終點(diǎn)，情愿也罷，不情愿也罷，微笑也罷，苦笑也罷，都不得不向生命揮手作別。我們無法挽住時光的腳步，無法改變?nèi)松乃廾?。但我們可以拿起生活的畫筆，把自己的人生涂抹成色彩靚麗的顏色。生命如此短暫，豈容隨意揮霍！只有在

16、該辛勤耕耘的時候播灑汗水，一程風(fēng)雨后，人生的筐簍里才能裝滿碩果。就算是煙花劃過天空，也要留下短暫的絢爛。只有讓這僅有一次的生命豐盈充實(shí)，才不枉來塵世走一遭。雁過留聲，人過留名，這一趟人生旅程，總該留下點(diǎn)兒什么！生活是柴米油鹽的平淡，也是行色匆匆的奔波。一粥一飯來之不易，一絲一縷物力維艱。前行的路上，有風(fēng)也有雨。有時候，風(fēng)雨撲面而來，打在臉上，很疼，可是，我們不能向生活低頭認(rèn)輸，咬牙抹去臉上的雨水，還有淚水，甩開腳步，接著向前。我們需要呈現(xiàn)最好的自己給世界，需要許諾最好的生活給家人。所以，生活再累，不能后退。即使生活賜予我們一杯不加糖的苦咖啡，皺一皺眉頭，也要飲下。人生是一場跋涉，也是一場選擇。我們能抵達(dá)哪里，能看到什么樣的風(fēng)景，能成為什么樣的人，都在于我們的選擇。線性代數(shù)B 期末試卷及答案如果我們選擇面朝大海，朝著陽光的方向揮手微笑，我們的世界必會收獲一片春暖花開。如果我們選擇小橋流水，在不動聲色的日子里種籬修菊，我們的世界必會收獲一隅靜謐恬淡。選擇臨風(fēng)起舞，我們就是歲月的勇者；選擇臨陣脫逃，我們就是生活的懦夫。沒有淌不過去