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文檔簡介
1、2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,線性規(guī)劃,數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗,后勤工程學(xué)院數(shù)學(xué)教研室,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,實驗?zāi)康?實驗內(nèi)容,2、掌握用數(shù)學(xué)軟件包求解線性規(guī)劃問題。,1、了解線性規(guī)劃的基本內(nèi)容。,*2、線性規(guī)劃的基本算法。,5、實驗作業(yè)。,3、用數(shù)學(xué)軟件包求解線性規(guī)劃問題。,1、兩個引例。,4、建模案例:投資的收益與風(fēng)險,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,問題一 : 任務(wù)分配問題:某車間有甲、乙兩臺機床,可用于加工三種工件。假定這兩臺車床的可用臺時數(shù)分別為800和900,三種工件的數(shù)量分別為400、600和500,且已知用三種不同車床加工單位數(shù)量不同工件所需的臺時數(shù)和加工費用如下表。
2、問怎樣分配車床的加工任務(wù),才能既滿足加工工件的要求,又使加工費用最低?,兩個引例,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,解 設(shè)在甲車床上加工工件1、2、3的數(shù)量分別為x1、x2、x3,在乙車床上加工工件1、2、3的數(shù)量分別為x4、x5、x6。可建立以下線性規(guī)劃模型:,解答,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,問題二: 某廠每日8小時的產(chǎn)量不低于1800件。為了進(jìn)行質(zhì)量控制,計劃聘請兩種不同水平的檢驗員。一級檢驗員的標(biāo)準(zhǔn)為:速度25件/小時,正確率98%,計時工資4元/小時;二級檢驗員的標(biāo)準(zhǔn)為:速度15小時/件,正確率95%,計時工資3元/小時。檢驗員每錯檢一次,工廠要損失2元。為使總檢驗費用最省,該工廠
3、應(yīng)聘一級、二級檢驗員各幾名?,解 設(shè)需要一級和二級檢驗員的人數(shù)分別為x1、x2人, 則應(yīng)付檢驗員的工資為:,因檢驗員錯檢而造成的損失為:,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,故目標(biāo)函數(shù)為:,約束條件為:,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,線性規(guī)劃模型:,解答,返 回,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,1.線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式:,用單純法求解時,常將標(biāo)準(zhǔn)形式化為:,2. 線性規(guī)劃的基本算法單純形法,線性規(guī)劃的基本算法單純形法,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,引入松弛變量x3, x4, x5, 將不等式化為等式, 即單純形標(biāo)準(zhǔn)形:,顯然A的秩ran(A)=3, 任取3個線性無關(guān)的列向量,如P3 P4 P5稱
4、為 一組基, 記為B. 其余列向量稱為非基, 記為N .,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,于是 f = cBxB + cNxN , Ax = BxB + NxN = b, 則 xB = B-1b-B-1NxN , f = cBB-1b + (cN cBB-1N)xN,若可行基進(jìn)一步滿足: cN cBB-1N0, 即: cBB-1N - cN0 則對一切可行解x, 必有f(x) cBB-1b, 此時稱基可行解x = (B-1b, 0) T 為最優(yōu)解.,3. 最優(yōu)解的存在性定理,將A的列向量重排次序成A = (B, N), 相應(yīng)x = (xB, xN) T, c = (cB, cN) 基對應(yīng)的變量
5、xB稱為基變量, 非基對應(yīng)的變量xN稱為非基變量.,定理1 如果線性規(guī)劃(1)有可行解,那么一定有基可行解.,定理2 如果線性規(guī)劃(1)有最優(yōu)解,那么一定存在一個基可行解 是最優(yōu)解.,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,4. 基可行解是最優(yōu)解的判定準(zhǔn)則,因為 f = cBB-1b + (cN cBB-1N)xN, 即 f - 0 xB + (cBB-1N- cN )xN = cBB-1b,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,5.基可行解的改進(jìn),2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,改進(jìn)方法:,返 回,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,用MATLAB優(yōu)化工具箱解線性規(guī)劃,命令:x=linprog(c,A,b),
6、2、模型:min z=cX,命令:x=linprog(c,A,b,Aeq,beq),注意:若沒有不等式: 存在,則令A(yù)= ,b= .,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,命令:1 x=linprog(c,A,b,Aeq,beq, VLB,VUB) 2 x=linprog(c,A,b,Aeq,beq, VLB,VUB, X0),注意:1 若沒有等式約束: , 則令A(yù)eq= , beq= . 2其中X0表示初始點,4、命令:x,fval=linprog() 返回最優(yōu)解及處的目標(biāo)函數(shù)值fval.,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,解 編寫M文件xxgh1.m如下: c=-0.4 -0.28 -0.32 -
7、0.72 -0.64 -0.6; A=0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08; b=850;700;100;900; Aeq=; beq=; vlb=0;0;0;0;0;0; vub=; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub),To Matlab (xxgh1),2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,解: 編寫M文件xxgh2.m如下: c=6 3 4; A=0 1 0; b=50; Aeq=1 1 1; beq=120; vlb=30,
8、0,20; vub=; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub),To Matlab (xxgh2),2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,例3 問題一的解答,問題,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,編寫M文件xxgh3.m如下: f = 13 9 10 11 12 8; A = 0.4 1.1 1 0 0 0 0 0 0 0.5 1.2 1.3; b = 800; 900; Aeq=1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1; beq=400 600 500; vlb = zeros(6,1); vub=; x,fval = linpro
9、g(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub),To Matlab (xxgh3),2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,結(jié)果: x = 0.0000 600.0000 0.0000 400.0000 0.0000 500.0000 fval =1.3800e+004 即在甲機床上加工600個工件2,在乙機床上加工400個工件1、500個工件3,可在滿足條件的情況下使總加工費最小為13800。,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,例2 問題二的解答,問題,改寫為:,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,編寫M文件xxgh4.m如下: c = 40;36; A=-5 -3; b=-45; Aeq=; beq=
10、; vlb = zeros(2,1); vub=9;15; %調(diào)用linprog函數(shù): x,fval = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub),To Matlab (xxgh4),2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,結(jié)果為: x = 9.0000 0.0000 fval =360 即只需聘用9個一級檢驗員。,注:本問題應(yīng)還有一個約束條件:x1、x2取整數(shù)。故它是一個整數(shù)線性規(guī)劃問題。這里把它當(dāng)成一個線性規(guī)劃來解,求得其最優(yōu)解剛好是整數(shù):x1=9,x2=0,故它就是該整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解。若用線性規(guī)劃解法求得的最優(yōu)解不是整數(shù),將其取整后不一定是相應(yīng)整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解,這樣的整數(shù)規(guī)劃
11、應(yīng)用專門的方法求解。,返 回,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,投資的收益和風(fēng)險,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,二、基本假設(shè)和符號規(guī)定,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,三、模型的建立與分析,1.總體風(fēng)險用所投資的Si中最大的一個風(fēng)險來衡量,即max qixi|i=1,2,n,4. 模型簡化:,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,四、模型1的求解,由于a是任意給定的風(fēng)險度,到底怎樣給定沒有一個準(zhǔn)則,不同的投資者有不同的風(fēng)險度。我們從a=0開始,以步長a=0.001進(jìn)行循環(huán)搜索,編制程序如下:,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,a=0; while(1.1-a)1 c=-
12、0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185; Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065; beq=1; A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026; b=a;a;a;a; vlb=0,0,0,0,0;vub=; x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); a x=x Q=-val plot(a,Q,.),axis(0 0.1 0 0.5),hold on a=a+0.001; end xlabel(a),ylabel(Q),To Matlab(xxgh5),2
13、020/10/14,數(shù)學(xué)建模,計算結(jié)果:,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模,五、 結(jié)果分析,返 回,4.在a=0.006附近有一個轉(zhuǎn)折點,在這一點左邊,風(fēng)險增加很少時,利潤增長 很快。在這一點右邊,風(fēng)險增加很大時,利潤增長很緩慢,所以對于風(fēng)險和 收益沒有特殊偏好的投資者來說,應(yīng)該選擇曲線的拐點作為最優(yōu)投資組合, 大約是a*=0.6%,Q*=20% ,所對應(yīng)投資方案為: 風(fēng)險度 收益 x0 x1 x2 x3 x4 0.0060 0.2019 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212,3.曲線上的任一點都表示該風(fēng)險水平的最大可能收益和該收益要求的最小風(fēng)險。對于不同風(fēng)險的承受能力,選擇該風(fēng)險水平下的最優(yōu)投資組合。,2.當(dāng)投資越分散時,投資者承擔(dān)的風(fēng)險越小,這與題意一致。即: 冒險的投資者會出現(xiàn)集中投資的情況,保守的投資者則盡量分散投資。,1.風(fēng)險大,收益也大。,2020/10/14,數(shù)學(xué)建模
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