方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1 函數(shù)與方程 3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn),方程ax2 +bx+c=0 (a0)的根,函數(shù)y= ax2 +bx +c(a0)的圖象,判別式 =b24ac,0,=0,0,函數(shù)的圖象 與 x 軸的交點(diǎn),有兩個(gè)相等的 實(shí)數(shù)根 x1 = x2,沒有實(shí)數(shù)根,有兩個(gè)交點(diǎn)(x1,0) , (x2,0),有一個(gè)焦交 (x1,0),沒有交點(diǎn),兩個(gè)不相等的 實(shí)數(shù)根 x1 、x2,方程的實(shí)數(shù)根就是對應(yīng)函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。,方程有幾個(gè)不等實(shí)根對應(yīng)的函數(shù)圖像就有幾個(gè)不同 的交點(diǎn)。,對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn),函數(shù)的零點(diǎn),注：零點(diǎn)對于

2、函數(shù)而言，根對于方程而言， 說法不同但是本質(zhì)完全相同,零點(diǎn)的分類,方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根,x,思考：函數(shù) 的圖象與 軸的交點(diǎn)和相應(yīng)的 方程的 根及函數(shù) 的零點(diǎn)三者有何關(guān)系？,方程f(x)=0有幾個(gè)不等實(shí)數(shù)根,探究： 如何求函數(shù)的零點(diǎn)？,1,2,3,4,5,-1,-2,1,2,3,4,5,-1,-2,-3,-4,x,y,觀察二次函數(shù)f(x)x22x3的圖象： 在區(qū)間-2，1上有零點(diǎn)_； f(-2)=_，f(1)=_， f(-2)f(1)_0(“”或“”) 在區(qū)間(2，4)上有零點(diǎn)_； f(2)f(4)_0（“”或“”）,1,4,5,3,1,2,3,4,5,-1,1,2,3,4,5,-1,-2,

3、-3,-4,y,思考：觀察圖象填空，在怎樣的條件下， 函數(shù) 在區(qū)間 （a，b）上存在零點(diǎn)？,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù) 不斷的一條曲線，并且有 f(a)f(b)0， 那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根。,探究： 函數(shù) 圖像連續(xù)不斷時(shí)， 再滿足什么條件區(qū)間 （a，b）上一定存在零點(diǎn)？,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù) 不斷的一條曲線，并且有 f(a)f(b)0， 那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0

4、的根。,探究： 函數(shù) 圖像連續(xù)不斷時(shí)， 再滿足什么條件區(qū)間 （a，b）上一定存在零點(diǎn)？,反例：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上有3個(gè)零點(diǎn)； 因此，“在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)”的說法是錯(cuò)誤的。,判斷正誤，若不正確，請使用函數(shù)圖象舉出反例 （1）已知函數(shù)y=f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a) f(b) 0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個(gè)零 點(diǎn).（ ）,在例1 基礎(chǔ)上再加上什么條件，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)？,在區(qū)間(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào),（2）已知函數(shù)y=f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a) f(b)0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒有零點(diǎn).（ ）,（

5、2）已知函數(shù)y=f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且f (a) f(b) 0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒有零點(diǎn).（ ）,可知，函數(shù)y=f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且f (a) f(b)0，但f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn).故論斷不正確。,如圖,進(jìn)而可知，零點(diǎn)存在性定理只能判斷變號(hào)零點(diǎn)的存在性。 因此也稱為變號(hào)零點(diǎn)零點(diǎn)存在性定理。,（3）已知函數(shù)y=f (x)在區(qū)間a,b滿足f(a)f(b) 0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn).（ ）,（3）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b 滿足f(a)f(b)0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn).（ ）,雖然函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b 滿足f(

6、a)f(b) 0,但是圖象不是連續(xù)的曲線，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)不存在零點(diǎn).,如圖,（4）已知函數(shù)y=f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)且區(qū)間（a,b）有零點(diǎn)，則一定有f(a)f(b)0 。 （ ）,此函數(shù)圖像反例，滿足原題條件，但f (a)f(b) 0 。,這也啟發(fā)我們：此定理不可逆。,練習(xí)2、若函數(shù)y=5x2-7x-1在區(qū)間a,b上的圖象是 連續(xù)不斷的曲線，且函數(shù)y=5x2-7x-1在(a,b)內(nèi)有 零點(diǎn)，則f(a)f(b)的值( ) A、大于0 B、小于0 C、無法判斷 D、等于零,練習(xí)1、函數(shù)f(x)=x3+x-1在下列哪個(gè)區(qū)間有零點(diǎn)（ ),A.(-2，-1) B.(0，1) C.(1

7、，2) D.(2，3),C,B,由表可知f(2)0，,由于函數(shù)f(x)在定義域(0,+)內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個(gè)零點(diǎn),用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)列出x、f(x)的對應(yīng)值表：,例2.求函數(shù)f(x)=lnx+2x6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并確定零點(diǎn) 所在的區(qū)間n，n+1(nZ),解：,-4,-1.3,1.1,3.4,5.6,7.8,9.9,12.1,14.2,方法1,f(x)=lnx+2x6,從而f(2)f(3)0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn),y=2x +6,y=lnx,即求方程 lnx+2x-6=0的根的個(gè)數(shù)，即求 lnx=6-2x的根的個(gè)數(shù)，即判斷函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=6-2x的交點(diǎn)個(gè)數(shù),如圖可知，只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程只有一根。,方法2：,一