人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1《圓錐曲線起始課》教案

1、 “圓錐曲線起始課”教學(xué)設(shè)計一【教學(xué)內(nèi)容解析】1圓錐曲線是平面解析幾何的重要組成部分，也可以說是核心內(nèi)容它是繼學(xué)習(xí)了以直線和圓為代表的簡單圖形之后，用平面幾何的方法無法研究的較為復(fù)雜的圖形圓錐曲線能充分體現(xiàn)解析幾何研究方法2圓錐曲線是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要載體圓錐曲線的研究不是采用邏輯推理的形式，而是運(yùn)用代數(shù)的方法即以代數(shù)為工具解決幾何問題，用代數(shù)的語言來描述幾何圖形，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，實(shí)施代數(shù)運(yùn)算，求解代數(shù)問題，再將代數(shù)解轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論，這一過程體現(xiàn)了從形到數(shù)的數(shù)形結(jié)合的思想3圓錐曲線是二次曲線非常重要的數(shù)學(xué)模型，同時它的幾何性質(zhì)在日常生活，社會生產(chǎn)以及其他科學(xué)中都有著重要而廣泛的應(yīng)

2、用，宇宙天地的運(yùn)動，光學(xué)儀器，建筑學(xué)等等因此圓錐曲線的學(xué)習(xí)對學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)模型的意義，樹立觀念都非常有價值本節(jié)課的內(nèi)容是選自北師大出版社高中數(shù)學(xué)選修2-1第三章知識的引言部分，屬于策略性和介紹性為主的起始課二【教學(xué)目標(biāo)設(shè)置】1知識與技能目標(biāo)本節(jié)課的主線為圓錐曲線的發(fā)展史，從中參插各種情景通過用平面對圓錐面的不同的截法，產(chǎn)生三種不同的圓錐曲線，經(jīng)歷概念的形成過程，從整體上認(rèn)識三種圓錐曲線的內(nèi)在關(guān)系，通過具體情境，從中抽象出橢圓、雙曲線、拋物線模型的過程，理解它們的定義（主要是橢圓）2過程與方法目標(biāo)初步了圓錐曲線研究的內(nèi)容；通過動手試驗、互相討論等環(huán)節(jié)，使學(xué)生形成自主學(xué)習(xí)以及相互協(xié)作的團(tuán)隊精神

3、；通過對具體情形的分析，歸納得出一般規(guī)律，讓學(xué)生具備初步歸納能力；借助實(shí)物模型，通過整體觀察、直觀感知，使學(xué)生形成積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，完善思維結(jié)構(gòu)，體會解析幾何的研究方法3情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo) 通過以圓錐曲線的發(fā)展史為主線，設(shè)立多種情景引入方式，讓學(xué)生激發(fā)學(xué)習(xí)圓錐曲線的興趣，能夠自主學(xué)習(xí)、自我探索，形成注重實(shí)踐、熱愛科學(xué)、勇于創(chuàng)新的情感、態(tài)度與價值觀4重難點(diǎn)重點(diǎn)：圓錐曲線的發(fā)展史及定義，橢圓的定義難點(diǎn)：用Dandelin雙球發(fā)現(xiàn)橢圓的定義，通過橢圓的定義類比雙曲線定義三【學(xué)生學(xué)情分析】1這節(jié)課的授課對象是高中二年級的學(xué)生，他們有較好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，有一定的口頭和書面表達(dá)的能力在知識層面

4、上，高一階段已學(xué)習(xí)了立體幾何空間旋轉(zhuǎn)體中的圓錐，學(xué)生具有一定的空間想象能力，學(xué)生還學(xué)習(xí)了解析幾何中的直線和圓，具有一定的用解析方法處理問題的能力在方法的層面，學(xué)生在高一、高二年級的學(xué)習(xí)中基本掌握了數(shù)形結(jié)合的思想與類比與轉(zhuǎn)化思想2學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中,也可能會遇到諸多困難：從空間的圓錐截出平面圖形的轉(zhuǎn)化問題，特別是通過Dandelin雙球發(fā)現(xiàn)橢圓的定義；還有理解橢圓，雙曲線定義時點(diǎn)的軌跡及動態(tài)問題四【教學(xué)策略分析】1整個課堂的主線是圓錐曲線的發(fā)展史，使學(xué)生產(chǎn)生興趣，并以潤物細(xì)無聲的方法安排各種情景，讓學(xué)生很自然進(jìn)入學(xué)習(xí)圓錐曲線的學(xué)習(xí)，為后面采用解析的方法學(xué)習(xí)埋下了伏筆2由于是起始課，因此多采取直觀的

5、演示幻燈片、動畫、實(shí)驗和使用實(shí)物模型，直觀感知、操作確認(rèn)，避免過度抽象. 思辯論證、度量計算等手段在后續(xù)課程中再采用3在處理橢圓定義的環(huán)節(jié)，創(chuàng)造條件讓學(xué)生親自動手畫出橢圓，并安排了一系列情節(jié)引導(dǎo)學(xué)生在操作過程中注意細(xì)節(jié)，鼓勵學(xué)生通過動手實(shí)驗、獨(dú)立思考、相互討論等手段得出結(jié)論，鼓勵學(xué)生表達(dá)自己的見解4從多種具體情形出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生歸納出一般規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力采用模型和軟件，使學(xué)生的想法能夠即時得到實(shí)現(xiàn)，所想即所見，快速形成正確認(rèn)知，提高教學(xué)實(shí)效性五【教學(xué)過程】環(huán)節(jié)教學(xué)過程和師生活動意圖，理念與備注1課題引入通過生活中的一系列圖片讓學(xué)生在認(rèn)知的曲線師生活動：讓學(xué)生踴躍發(fā)言1從實(shí)際生活出發(fā)，

6、直觀感知各種圓錐曲線的存在，使學(xué)生在頭腦中產(chǎn)生各種曲線的初步印象，為下一步的數(shù)學(xué)抽象做準(zhǔn)備2特別是“憤怒的小鳥”這個拋物線段片讓學(xué)生馬上產(chǎn)生興趣，積極參與發(fā)現(xiàn)與探索，加深直觀印象2復(fù)習(xí)和準(zhǔn)備1.復(fù)習(xí)圓錐的形成2.由圓錐的形成過程引入圓錐面注：這里還要提出圓錐的軸截面是等腰三角形,并引入頂角的一半,為后面軸截面和旋轉(zhuǎn)軸所成的角的大小截出不同的曲線留下知識.師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶知識，盡量讓學(xué)生口述其過程。1.對以前知識回顧，教師引導(dǎo)，學(xué)生回顧。2.注意新舊知識的聯(lián)系與發(fā)展，注重知識的系統(tǒng)性，使學(xué)生帶著為什么要復(fù)習(xí)這個知識的疑惑走入課堂。3新課傳授介紹圓錐曲線的發(fā)展史1最初發(fā)現(xiàn)PPT播放結(jié)合教

7、師的介紹：教師附加介紹：這些問題在兩千多年的時間里，有多數(shù)學(xué)大師研究過，比如早到歐幾里得，晚到高斯直至19世紀(jì)，這三個作圖問題才被最終證實(shí)為不可能只用圓規(guī)和直尺作出不知什么緣故，數(shù)學(xué)的美不在乎它的答案而在于它的方法，“不可解”似乎像是一個令人失望的答案，然而得到這一結(jié)論的思維過程卻是極具魅力的，人們屢遭失敗之后，一方面是從反面懷疑它是否可作；另一方面就很自然地考慮跳出尺規(guī)作圖的框框，而是借助于另外一些曲線，是不是可解決這些問題呢？我們今天學(xué)習(xí)的圓錐曲線，就是從這里開始被發(fā)現(xiàn)的。教師附加介紹：不同的圓錐是軸截面頂角分別為直角，銳角和鈍角，但都是拿和母線垂直的平面截圓錐，從而形成不同的曲線，這就是

8、圓錐曲線的“雛形”2奠基工作本課以圓錐曲線的發(fā)展史為主線，在其中創(chuàng)設(shè)各種情景，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入圓錐曲線的學(xué)習(xí)1由第一個環(huán)節(jié)“最初發(fā)現(xiàn)”中的古老問題的提出來介紹圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)，即增加了學(xué)生的興趣和探索欲望，又能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的魅力2引出圓錐曲線的“雛形”為了讓學(xué)生明白探知的過程，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的好奇和興趣為下一步的“圓錐曲線” 的定義做好鋪墊3.總結(jié)古希臘對圓錐曲線的認(rèn)識,說出不足,為學(xué)生以后用解析的方法進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓錐曲線的理由順理成章.4創(chuàng)設(shè)情景,突破概念(一)1.實(shí)驗:利用手機(jī)中的閃光燈,繞線筒和紙板,把光線投影到紙板,觀察影子的變化師生活動:讓學(xué)生參與,看到現(xiàn)象,探究原因.這里學(xué)生

9、很容易認(rèn)識到這個模型,把圓和橢圓說出,但是對于拋物線和雙曲線的形成和位置的判別不太清楚.這沒有關(guān)系,等下還有定性分析.2.探討問題1：用過頂點(diǎn)的平面截圓錐面，可能得到哪些曲線？師生活動:學(xué)生很容易回答 “點(diǎn)”,容易忽視“兩條相交直線”問題2：用不過頂點(diǎn)的平面截圓錐面，可能得到哪些曲線？師生活動:學(xué)生也很容易回答出“圓”思考：當(dāng)改變截面與圓錐面的軸的相對位置時， 還能得到哪些不同的截線？師生活動:通過學(xué)生上臺來控制動畫,直觀認(rèn)識不同平面截圓錐得出的曲線3.定性的分析總結(jié):圓錐曲線的定義師生互動：這里對學(xué)生而言理解會有一定的困難,教師的講解要清晰,細(xì)致,不要著急.1.學(xué)生對手機(jī)和繞線筒非常熟悉,這

10、個試驗馬上能引起學(xué)生注意,也定會感嘆設(shè)計的巧妙和數(shù)學(xué)的無處不在.2.利用身邊的實(shí)物來做個試驗,揭示三種曲線的形成,但對拋物線和雙曲線的顯示不足,這為我們下面的定性分析做了鋪墊3.從特殊位置考慮，培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想，提高數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性.4.學(xué)生先有直觀感受，讓學(xué)生動手實(shí)驗，通過自主探索活動，讓學(xué)生參與到教學(xué)活動的全過程中來，體現(xiàn)學(xué)生參與的主體地位，使學(xué)生手，腦，口并用，主動地獲取知識，培養(yǎng)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的能力5.重點(diǎn)的突破在這里顯得很自然,但是對于學(xué)生理解上還是有一定難度,教師要注意好這個環(huán)節(jié).5創(chuàng)設(shè)情景,突破概念(二)1.回到圓錐曲線的發(fā)展史,闡述阿波羅尼對橢圓的研究發(fā)現(xiàn)2.聯(lián)系中國古代的

11、事物和數(shù)學(xué)家的介紹,用一個劉徽傳授橢圓畫法的傳說故事和自述的“木工師傅做橢圓鏡框”一小故事來引出橢圓的畫法.3.畫橢圓學(xué)生分組利用紙板,釘子和繩子來動手自己畫橢圓.引導(dǎo)學(xué)生在畫的過程中要注意的細(xì)節(jié),如繩子要繃直,兩個釘子要穩(wěn)定等細(xì)節(jié).安排其中一個組領(lǐng)到的紙板上兩個釘子的繩子已經(jīng)是繃直的.在教師展示其他組畫的不同形狀的橢圓時,這個組的成員會提出問題:老師,我們組的畫不出橢圓,而是畫出了一條線段.借此教師那那組的紙板加以解釋,當(dāng)繩子的長度和兩個定點(diǎn)距離相等時,畫出的只是一條線段,繼續(xù)提問,當(dāng)繩子的長度小于兩個定點(diǎn)的距離呢?學(xué)生馬上反應(yīng)過來,這時應(yīng)該畫不出任何圖形.4.總結(jié):橢圓的定義:一般地，平面

12、內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1 ，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于F1 F2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，兩個定點(diǎn)F1 ，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.用數(shù)學(xué)表達(dá)式體現(xiàn):對為什么用的表示常數(shù),我們后面會知道它的作用(為求標(biāo)準(zhǔn)方程打下基礎(chǔ))5.論證:論證在圓錐截出的橢圓就是我們畫出來的橢圓在圓錐曲線的眾多研究者中，19世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家Dandelin是非常著名的一位.19世紀(jì)初，法國數(shù)學(xué)家Dandelin利用與圓錐面和截面均相切的兩個球（Dandelin雙球），給出了研究橢圓定義的一種巧妙的方法. Dandelin在截面的兩側(cè)分別放置一個球，使它們都與截面相切（切點(diǎn)分別為F1 ，F(xiàn)2），且與圓錐面相切

13、，兩球與圓錐面的公共點(diǎn)分別構(gòu)成圓O1和圓O2. 設(shè)點(diǎn)M是平面與圓錐面的截線上任一點(diǎn)，過M點(diǎn)作圓錐面的一條母線分別交圓O1和圓O2于P，Q兩點(diǎn).問題1:圖中所示線段之間的長度有什么關(guān)系？學(xué)生:因為過球外一點(diǎn)所作球的切線的長相等，所以MF1=MP， MF2=MQ，故 MF1+MF2=MP+MQ=PQ問題2:PQ長有什么特點(diǎn).（學(xué)生思考，教師展示M點(diǎn)在截線上運(yùn)動時的動畫.）學(xué)生:PQ是常數(shù).總結(jié):截線上任意一點(diǎn)到兩個定點(diǎn)F1 ，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù).就是我們剛剛畫的橢圓的定義.例.已知ABC中，B（-3，0），C（3，0），且AB，BC，AC成等差數(shù)列.試問：點(diǎn)A在一個什么樣的圓錐曲線上運(yùn)動？說明

14、理由 教師巡視學(xué)生作答情況，并要學(xué)生作答，注意答題細(xì)節(jié)6.類比學(xué)習(xí)思考:引入拉鏈和雙曲線繼續(xù)以動畫為載體,演示拉拉鏈這個實(shí)驗,在這個過程讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,并加以總結(jié).引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)驗抽象出數(shù)學(xué)性質(zhì)7.由學(xué)生類比總結(jié)出雙曲線定義:一般地，平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1 ，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于F1 F2的正數(shù)）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，兩個定點(diǎn)F1 ，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距. 用數(shù)學(xué)表達(dá)式體現(xiàn):提示學(xué)生同樣要注意這個定義成立的條件1.利用史料和傳說小故事,引出橢圓的畫法,能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性,又能普及數(shù)學(xué)史培養(yǎng)正確的價值觀.2. 在處理畫橢圓的環(huán)節(jié)，創(chuàng)造條件讓學(xué)

15、生親自動手畫出橢圓，并安排了一系列情節(jié)引導(dǎo)學(xué)生在操作過程中注意細(xì)節(jié)，鼓勵學(xué)生通過動手實(shí)驗、獨(dú)立思考、相互討論等手段得出結(jié)論，鼓勵學(xué)生表達(dá)自己的見解3.有意安排畫出不同的橢圓為隨后的橢圓的性質(zhì)研究累計素材.還安排一種特殊情況讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并提出問題,加深學(xué)生的印象,培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性. 4.學(xué)會有數(shù)學(xué)語言來描述定義.5.這個環(huán)節(jié)對學(xué)生而言有一定難度,對空間立體幾何的認(rèn)知要求頗高,是本節(jié)課的一個難點(diǎn).6.這個環(huán)節(jié)能讓學(xué)生體會到從空間事物抽象到平面的一個過程,有利于培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力.小試牛刀，熟悉定義8.這里安排利用拉鏈實(shí)驗類比推理出雙曲線的定義,不但加深了橢圓定義的理解和記憶,也為以后由橢圓類

16、比學(xué)習(xí)其他曲線埋下伏筆和打下基礎(chǔ).9.再次利用動態(tài)事物幫助學(xué)生理解軌跡的形成.10.注意雙曲線的兩支. 培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，讓他們學(xué)會歸納，學(xué)會學(xué)習(xí)。6回歸數(shù)學(xué)史圓錐曲線的發(fā)展史：PPT展示結(jié)合教師的講評3長期停滯又經(jīng)過了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作匯篇中，才完善了關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定理進(jìn)行了證明。這時，圓錐曲線的定義和性質(zhì)才比較完整地建立起來了. 在這之后的 13 個世紀(jì)里，整個數(shù)學(xué)界對圓錐曲線的研究幾乎沒有什么進(jìn)展.4有所突破有兩件事促使人們對圓錐曲線的進(jìn)一步研究 5別開生面 6系統(tǒng)總結(jié) 1感受數(shù)學(xué)發(fā)展的漫長和艱辛2鼓勵學(xué)生敢于探索，敢于突破4.由“別開生面”這個階段，介紹我們?yōu)槭裁磳W(xué)習(xí)解析幾何，了解其由來，為后面建立坐標(biāo)系到求標(biāo)準(zhǔn)方程，再來研究其性質(zhì)這個過程做了個很好的鋪墊.5.這個是離我們實(shí)際最近的一個階段,也是和我們生活最緊密的一個階段,再次拿出一些我們現(xiàn)實(shí)生活中的圓錐曲線,讓學(xué)生再次體會數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用.6.這里還講了個關(guān)于歐拉的小故事,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)