1_6354524_20.利用兩邊夾法則.巧解函數(shù)三類題

中國 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號 ) 利用兩邊夾法則 解決 三類 函數(shù) 問題 的 一個技 法 “若 a x a,則 x=a” ,這就是 兩邊夾法則 ,它 的一個典型應(yīng)用 是 高等數(shù) 學(xué) 中的 求 極 限 ;兩邊夾法則 體現(xiàn)了 由不等向相等、由變量向常量的轉(zhuǎn)化思想 ,它在中學(xué) 數(shù) 學(xué) 中也有一定的用場 我們以母題的方式給出 兩邊夾法則 及其變式 . 母題結(jié)構(gòu) :(兩邊夾法則 )如果 a、 x 是實數(shù) ,且 a x a,那么 ,x=a;兩邊夾法則的變式有 : 若 ( 0,則 x=y; 若 a f(x) a,則 f(x)=a; 若 g(x) f(x) g(x),則 f(x)=g(x). 解 題 程序 :利用 兩邊夾法則 ,首先 靈活運(yùn)用題給 (或隱含 )的不等式 ,采用賦值 ,或不等式的傳遞性等 ,構(gòu)造出夾逼不等式 “ a x a” ,由此 ,“逼”出某個值 ,或某 函數(shù)解析式 ,據(jù)此 ,解決相關(guān) 問題 . 數(shù) 中的 參數(shù) 子題類型 :(2000 年 全 國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 河北初賽題 )己知函數(shù) f(x)=bx+c 的圖像過點 ()b,c,使不等式 x f(x)21(1+一切實數(shù) x 都成立？若存在 ,求出 a,b,c 的值 ;若不存在 ,請說明理由 . 解析 :由 x f(x)21(1+ 1 f(1) 1 f(1)=1 a+b+c=1;又由 f(0 c=0 b=21,a+c=21;由 f(x)x 1x+c x c 0 恒成立 (0 (a+c)20 ( 0 a=c=在 . 點評 :一般地 ,若函數(shù) f(x)=bx+c(a0),g(x)=nx+p(ma)在 x=y=kx+q,且 kx+q f(x) g(x),則 f(q,且 (-4( 0. 數(shù) 值 子題類型 :(2007 年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西預(yù)賽試 題 )定義在 R 上的函數(shù) f(x)滿足 f(0)=0,f(x)+f(11,f(5x)= 21f(x),且當(dāng) 0 得存在 t R,只要 x 1,m,就有 f(x+t) x. 2.(2004 年福建高一 數(shù)學(xué) 競賽 試 題 )己知二次函數(shù) f(x)=bx+c(a,b,c R)滿足條件 :對任意實數(shù) x 都有 f(x) 2x,且當(dāng)00且 (0 (a+c)20 a=c;又 當(dāng) 0x2 時 ,f(x)21(x+1)2 (2(x+20 (2(1x+20 (2)2 0 a21;所以 ,f(c=4(. 由 f(x+3) f(x)+3 f(x) f(x+3)f(x+1) f(x+4)f(x+2)+2f(x)+4-3=f(x)+1;又 由 f(x+2) f(x)+2 f(x) f(x+2)f(x+1) f(x+3)f(x)+3-2=f(x)+1 f(x+1)=f(x)+1 f(x)=x f(2008)=2008. 由 f(x)+9 f(x+9) f(x+6)+3 f(x+3)+6 f(x)+9 f(x+3)=f(x)+3 f(2009)=f(2006)+3=f(2003)+2 3= = f(2)+669 3=2009. 由題設(shè)條件知 f(x+2)-f(x)=-f(x+4)-f(x+2)-f(x+6)-f(x+4)+f(x+6)-f(x) 2x+22x+1+63 2x=3 2x f(x+2)-f(x)=3 2x;令 g(x)=f(x)g(x+2)=f(x+2)=f(x)+3 2=f(x)g(x) g(x)是周期為 2的周期函數(shù) f(2008)=g(2008)+22008=g(0)+22008=f(0)2008=2007+22008. 由 f(x+y)+f(y+z)+f(z+x) 3f(x+2y+z),令 x=-y=z 得 :f(0)+f(0)+f(2x) 3f(0) f(2x) f(0);令 x=y= : f(2x)+f(0)+f(0) 3f(2x) f(0) f(2x) f(0) f(2x) f(0) f(2x)=f(0) f(1)=0. 由 f(0)=0,f(x)+f(11 f(1)=1;又 由 f(3x)=21f(x) f(31)=21f(1)=21 f(31)+f(11 f(32)=21;由當(dāng) 0 x11 時 ,f( f( 當(dāng)31 x32時 ,f(31) f(x) f(32)21 f(x)21 f(x)=21;由 f(3x)=21f(x) f(t)=21 f(3t) f(20111 )=21 f(20113 )=(21 )2f(20132)= =(21)6f(20136);而312013632 f(20136)=21 f(20111)= 1281. 由 f(0)=0,f(x)+f(11 f(1)=1;又由 f(3x)=21f(x) f(31)=21f(1)=21 f(31)+f(11 f(32)=21;由當(dāng) 0 x11 時 ,f( f( 當(dāng)31 x32時 ,f(31) f(x) f(32)21 f(x)