人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下《第27章相似》專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練(2)含答案

第 27 章 相似 專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練 專(zhuān)訓(xùn) 1 證明三角形相似的方法 名師點(diǎn)金： 要找三角形相似的條件，關(guān)鍵抓住以下幾點(diǎn)： (1)已知角相等時(shí)，找兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，若只能找到一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，判斷夾相等的角的兩邊是否對(duì)應(yīng)成比例； (2)無(wú)法找到角相等時(shí)，判斷三邊是否對(duì)應(yīng)成比例； (3)考慮平行線截三角形相似定理及相似三角形的 “ 傳遞性 ” 利用平行線判定兩三角形相似 1如圖，四邊形 四邊形 是平行四邊形，點(diǎn) R 為 中點(diǎn)， 別交 點(diǎn) P， Q. (1)請(qǐng)寫(xiě)出圖中各對(duì)相似三角形 (相似比為 1 除外 )； (2)求 (第 1 題 ) 利用邊或角的關(guān)系判定兩直角三角形相似 2下面關(guān)于直角三角形相似敘述錯(cuò)誤的是 ( ) A有一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似 B兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似 C有一條直角邊相等的兩個(gè)直角三角形相似 D兩個(gè)等腰直角三角形相似 3如圖， 足為 C， 證： (第 3 題 ) 利用角判定兩三角形相似 4如圖， 等邊三角形， 外角平分線，點(diǎn) D 在 ， 連接延長(zhǎng)，與 于點(diǎn) E. (1)求證： (2)若 6， 2 長(zhǎng) (第 4 題 ) 利用邊角判定兩三角形相似 5如圖， 33 B， A， E 在同一條直線上 (第 5 題 ) 求證： 利用三邊判定兩三角形相似 6如圖， 高， E， F 分別是 中點(diǎn)求證： (第 6 題 ) 專(zhuān)訓(xùn) 2 巧作平行線構(gòu)造相似三角形 名師點(diǎn)金： 解題時(shí)，往往會(huì) 遇到要證的問(wèn)題 與相似三角形 聯(lián)系不上或者說(shuō)圖中根本不存在相似三角形的情況，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是這類(lèi)幾何證明題的一種重要方法常作的輔助線有以下幾種： (1)由比例式作平行線； (2)有中點(diǎn)時(shí)，作中位線； (3)根據(jù)比例式，構(gòu)造相似三角形 巧連線段的中點(diǎn)構(gòu)造相似三角形 1如圖，在 ， E， F 是邊 的兩個(gè)三等分點(diǎn)， D 是 中點(diǎn)，別交 點(diǎn) P， Q，求 (第 1 題 ) 過(guò)頂點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形 2如圖，在 ， F 為底邊 一點(diǎn)， ，取 中點(diǎn) D，連接 延長(zhǎng)交 點(diǎn) E，求 (第 2 題 ) 3如圖，過(guò) 頂點(diǎn) C 任作一直線，與邊 中線 別交于點(diǎn)F 和點(diǎn) E. 求證： (第 3 題 ) 過(guò)一邊上的點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形 4如圖，在 ， 邊 取一點(diǎn) D，在 取一點(diǎn) E，使 線 延長(zhǎng)線交于點(diǎn) (第 4 題 ) 過(guò)一點(diǎn)作平行線構(gòu)造相 似三角形 5如圖，在 ，點(diǎn) M 為 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 為 一點(diǎn)，且 14接 延長(zhǎng)交 延長(zhǎng)線于點(diǎn) 2作輔助線的方法一： (第 5 題 ) 作輔助線的方法二： (第 5 題 ) 作輔助線的方法三： (第 5 題 ) 作輔助線的方法四： (第 5 題 ) 專(zhuān)訓(xùn) 3 用線段成比例法解四邊形問(wèn)題 名師點(diǎn)金： 利用線段成比例不僅能解三角形問(wèn) 題，還能解四 邊形問(wèn)題在中考中涉及相似、線段成比例的四邊形的題型有填空題 、選擇題、解答題，是中考熱門(mén)命題點(diǎn)之一 一、選擇題 1如圖，菱形 ，點(diǎn) M， N 在 ， F 2， 3，則 ( ) (第 1 題 ) A 3 B 4 C 5 D 6 2如圖，有一塊矩形紙片 8， 6，將紙片折疊，使得 B 邊上，折痕為 將 右翻折， 交點(diǎn)為F，則 面積為 ( ) (第 2 題 ) C 2 D 4 3如圖，在平 行四邊形 ， 6， 9， 平分線交 E，交 延長(zhǎng)線于 F， ， 4 2，則 周長(zhǎng)為 ( ) A 11 B 10 C 9 D 8 (第 3 題 ) (第 4 題 ) 二、填空題 4如圖，將矩形紙片 疊，使點(diǎn) A 與點(diǎn) C 重合，折痕為 4， 2，那么線段 長(zhǎng)為 _ 三、解答題 5如圖，矩形 ，以對(duì)角線 一邊構(gòu)造一個(gè)矩形 得另一邊 原 矩形的頂點(diǎn) C. (1)設(shè) 面積 為 面積為 面積為 “”“ ” 或 “”)； (2)寫(xiě)出圖中的三對(duì)相似三角形，并選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明 (第 5 題 ) 6如圖，在矩形 ， 6， 8，沿直線 折，使 A， 線 O. (1)求證： (2)求線段 長(zhǎng)度 (第 6 題 ) 7如圖，在平行四邊形 ，過(guò)點(diǎn) A 作 足為 E，連接F 為線段 一 點(diǎn)，且 B. (1)求證： (2)若 8， 6 3， 4 3，求 長(zhǎng) (第 7 題 ) 8如圖， E， F 分別是正方形 邊 的點(diǎn)，且 邊作正方形 于點(diǎn) Q，連接 (1)求證： (2)若 E 為 中點(diǎn)，求證： Q 為 中點(diǎn) (3)連接 S S S (2)的條件下，判斷說(shuō)明理 由 (第 8 題 ) 9如圖，在正方形 ， E 是 的一點(diǎn)，連接 足為 H，交 F，作 (第 9 題 ) (1) (2)F； (3)10如圖，點(diǎn) P 是菱形 角線 的一點(diǎn)，連接 延長(zhǎng)交邊點(diǎn) E，連接 延長(zhǎng)交邊 點(diǎn) F，交 延長(zhǎng)線于點(diǎn) G. (1)求證： (2)已知 ，設(shè)線段 長(zhǎng)為 x，線段 長(zhǎng)為 y. 求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式； 當(dāng) x 6 時(shí)，求線段 長(zhǎng) (第 10 題 ) 專(zhuān)訓(xùn) 4 用線段成比例法解與圓有關(guān)問(wèn)題 名師點(diǎn)金： 線段成比例法求解有關(guān)線 段問(wèn)題在三角 形、四邊形中有著廣泛的應(yīng)用，是近幾年中考命題的必考內(nèi)容；在中考中，它的另一重點(diǎn)是與圓的知識(shí)相結(jié)合進(jìn)行考查；題型既有選擇題、填空題，也有解答題，也常以壓軸題的形式出現(xiàn) 一、選擇題 1如圖，已知 直徑的圓交 點(diǎn) D，過(guò)點(diǎn) O 的切線交 點(diǎn) D 5， 4，則 O 的半徑是 ( ) A 3 B 4 (第 1 題 ) (第 2 題 ) 2如圖， O 的直徑， C 為 O 上一點(diǎn)，弦 分 ， 6， 5，則 長(zhǎng)為 ( ) A B C 3 D 如圖， A， B， C， D 是 O 上的四個(gè)點(diǎn)， 點(diǎn) E，3， 4，則 長(zhǎng)為 ( ) A 3 B 2 3 C. 21 D 3 5 (第 3 題 ) (第 4 題 ) 二、填空題 4如圖， O 的直徑，點(diǎn) C 在圓上， 圖中與 似的三角形有 _個(gè) 5如圖，直線 l 與半徑為 4 的 O 相切于點(diǎn) A， P 是 O 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) (不與點(diǎn) A 重合 )，過(guò)點(diǎn) P 作 l，垂足為 B，連接 A x， y，則 x _ (第 5 題 ) 三、解答題 6如圖， O 的直徑， O 的弦，過(guò)點(diǎn) B 作 O 的切線 延長(zhǎng)線交于點(diǎn) D，作 點(diǎn) E. (1)求證： E； (2)若 O 的半徑為 5， 8，求 長(zhǎng) (第 6 題 ) 7如圖，在 ， 直徑作半圓 O，交 點(diǎn) D，連接 點(diǎn) D 作 足為點(diǎn) E. (第 7 題 ) (1)求證： 半圓 O 的切線； (2)求證： E. 8如圖， 圓 O 的直徑，點(diǎn) C， D 在圓 O 上，且 分 垂線，與 延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) E，與 延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) F. (1)求證： 圓 O 相切； (2)若 6， 4 2，求 長(zhǎng) (第 8 題 ) 9如圖， O 的直徑，點(diǎn) C 在 O 上， 平分線交 O 于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn) D 作 垂線交 延長(zhǎng)線于點(diǎn) E，連接 點(diǎn) F. (1)猜想 O 的位置關(guān)系，并證明你的猜想； (2)若 6， 5，求 長(zhǎng) (第 9 題 ) 10如圖， O 的直徑，點(diǎn) E 是上的一點(diǎn)， (1)求證： O 的切線； (2)已知 3， 2，求 長(zhǎng) (第 10 題 ) 11如圖， O 的直 徑，點(diǎn) C 為 O 上一點(diǎn) ， 過(guò)點(diǎn) C 的切線互相垂直，垂足為 E， O 于點(diǎn) D，直線 延長(zhǎng)線于點(diǎn) P，連接 (1)求證： 分 (2)探究線段 間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由； (3)若 3，求 面積 (第 11 題 ) 答案 專(zhuān)訓(xùn) 1 1 解： (1) (2) 四邊形 四邊形 是平行四邊形 則 12， 12. 點(diǎn) R 是 中點(diǎn)， 又 12. 2又 3 2 C 3 證明： 3. 又 3， 又 90， (第 4 題 ) 4 (1)證明： 等邊三角形， A 60. 120. 外角平分線， 12 12 120 60. A 又 (2)解： 如圖，作 點(diǎn) M，則 3， 3 3. 2 2， D 1. 在 ， 2 7. 由 2 72， 7. 3 7. 5 證明： B， A， E 在同一條直線上， 3， 方法規(guī)律： 本題運(yùn)用了 數(shù)形結(jié)合思想 和 演繹推理 ，通過(guò)已知條件尋找兩邊成比例并且?jiàn)A角相等，從而證明兩三角形相似 6 證明： 高， 又 E， F 分別是 中點(diǎn) 在 ， 斜邊 的中線 12 12. 中位線， 12 12. 專(zhuān)訓(xùn) 2 1 解： 如圖，連接 E， F 是邊 的兩個(gè)三等分點(diǎn)， D 是 中點(diǎn)， 中位線 12 2 2 2 設(shè) a，則 2a， 3a. (第 1 題 ) (第 2 題 ) 2 解： 如圖，過(guò)點(diǎn) C 作 延長(zhǎng)線于點(diǎn) G. G. 又 D 為 中點(diǎn)， 在 ， G， F ， 52. 3 證明： 如圖，過(guò)點(diǎn) B 作 延長(zhǎng)線于點(diǎn) N. 又 12 (第 3 題 ) (第 4 題 ) 4 證明： 如圖，過(guò)點(diǎn) C 作 點(diǎn) F， 5 證明： (方法一 )過(guò)點(diǎn) C 作 點(diǎn) F， 點(diǎn) M 為 的中點(diǎn)， 又 14 3 13. 13，即 3又 2(方法二 )過(guò)點(diǎn) C 作 點(diǎn) F， 又 點(diǎn) M 為 的中點(diǎn)， 2 2 又 14 2. 又 2. 2(方法三 )過(guò)點(diǎn) E 作 點(diǎn) F， 由 14 14， 1414 又 12 12 2(方法四 )過(guò)點(diǎn) A 作 延長(zhǎng)線于點(diǎn) F， 14 13 13由 易證得 又 13 2點(diǎn)撥： 由已知線段的比，求證另外兩線段的比，通常添加平行線，構(gòu)造相似三角形 專(zhuān)訓(xùn) 3 一、 、 4. 5 三、 (1) (2) 明：在矩形 ， 90，且點(diǎn) C 在邊 ， 90， F E 90， 在 ， 90， 答案不唯一 ) 6 (1)證明： 由折疊可知， 90， B 又 (2)解： 6， 8， 10， 125， 58， 154 . 7 (1)證明： 四邊形 平行 四邊形， C B 180， 180， B， ， C， (2)解： 四邊形 平行四邊形 ， 1)知 6 3 84 3 t ，由勾股定理得 122（ 6 3） 2 6. 8 (1)證明： 由 90， (2)證明： 易證 以 12，所以 2，即點(diǎn) Q 是 中點(diǎn) (3)解： 由：因?yàn)?以 以 C 90，所以 以 以 以 因?yàn)?以 9 證明 ： (1) 90， 90. 在正方形 ， 90， (2) 90， F. (3) 90， F. F， GF10 (1)證明： 點(diǎn) P 是菱形 角線 的一點(diǎn)， 在 ， P (2)解： 在 ， P ， 12， 13， 32. 32 y 23x. 當(dāng) x 6 時(shí)， y 23 6 4， 4， 6， 12， 12， 解得 5，故線段 長(zhǎng)為 5. 方法規(guī)律： 本題運(yùn)用了 演繹推理 ，考查了相似三角形、全等三角形和函數(shù)知識(shí)，是一個(gè)綜合性的問(wèn)題推出 12， 13是解題的關(guān)鍵 專(zhuān)訓(xùn) 4 一、 、 、 6.(1)證明： O 與 切于 點(diǎn) B， O 的直徑， 0， E 90 90， 90， E. (2)解： 如圖，連 接 O 的直徑， 90. 8，2 5 10， 90， E， 8610. 403 . (第 6 題 ) (第 7 題 ) 7 證明： (1)如圖，連接 半圓 O 的直徑， 90. D 為 點(diǎn) O 為 點(diǎn)， 90， 半圓 O 的切線 (2) 90， 90， E. 8 (1)證明 ： 連接 如圖因?yàn)?以 D 平分 以 以 D F 垂直于 以 直于 以 圓 O 相切 (2)解： 如圖，連接 則 B 是直徑，所以 90B 6， 4 2，所以 62（ 4 2） 2 2，所以 E 90，所以 以 以 64 2 2以 4 23 t 22 4 232 矩形，所以 90G 23， 3 23 t ， 32 732 4 23 E 90，所以 以 以 以7334 23所以 2 27 F 4 23 12 27 64 221 . (第 8 題 ) (第 9 題 ) 9 解： (1) O 相 切證明：如 圖，連接 1 2. 分 2 3. 1 3. E. D 在 O 上， O 的切線 (2)如圖，連接 O 的直徑 ， 90，則 11. 3 4， 3 2， 2 4. 90， 1