蘇州市2017年中考數學《對稱圖形—圓》拓展課本例題

拓展課本例題 演繹中考精彩 課本例題、習題是經過專家精心遴選的，具有典型性、示范性的題目，而且具有可拓展的功能 課本習題為原型，從題設、結論及圖形結構全方位、多角度的探究與聯想，挖掘其蘊藏的深層內涵，可以引導學生深刻領悟解決問題的策略，優(yōu)化思維品質，提升數學的思維水平 學九年級對稱圖形 圓中的一道習題為例， 詮 釋如下 . 引例 如圖 1， O 的直徑， C 是 O 上 的一點， 直于過點 C 的切線，垂足為 D ，則 分 . 變式拓展 1 將習題的條件 O 切線與結論 角的平分線交換，構造其逆命題，附加某些線段的長度計算圓中弦長或陰影部分的面積 . 例 1 (2016 年黃石中考題 )如圖 2, O 的直徑為 點 C 在圓周上 (異于 A ， B ) ，D . (1)若 3， 5，求 值 ; (2)若 的平分線，求證 :直線 O 的切線 . 分析 (1)首先 根據直徑所對的圓周角為直角得到直角三角形，然后利用勾股定理 便可求得 長 . (2)連結 證 D 即可 ;利用角平 分線的性質和等邊對等角，可證得O C A C ，即可得到 /D D ，那么 D ，由此得證 . 解 (1) O 的直徑，點 C 在 O 上 90 在 ， 3 ， 5, 由勾股定理，得 4. (2)如圖 3，連 . CQ ， O A C O C A , 又 的角平分線， D A C B A C , D A C O C A ， /D , 又 CQ ， D, 是 O 的切線 . 評注 此題要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連結圓心與這點 (即為半徑 )，再證垂直即可 . 例 2 (2016 年咸寧中考題 )如圖 4，在 ， 90C ， 的平分線交 ，點 O 在 ，以點 O 為圓心， ，分別交 ， F F. (1)試判斷直線 O 的位置關系，并說明理由 ; (2)若 23， 2，求陰影部分的面積 (結果保留 ). 解析 (1) O 相切，理由略 . (2)設 O 的半徑為 r , 則 OD r ， 2OB r . 由 (1)知 90 , 2 2 2O D B D O B ， 即 2 2 2( 2 3 ) ( 2 ) ， 解得 2r , 30 ， 60 . 于是有 21 6 02 3 6 0O B D B D S O D B D r 扇 形 2233 . 評注 本題將陰影部分 (不規(guī)則圖形 )的面積轉化為規(guī)則圖形 (可求面積 )面積的和或差(O B D B D S 扇 形)，這是解決此類問題的關鍵 . 變式拓展 2 將 O 換成半圓，并延長切線與直徑使之相交，形 (圖形結構變化 )變而神(條件、結論 )不變 . 例 3 (2016 年黃岡中考題 )如圖 5， 半圓 O 的直徑，點 P 在 延長線上 ， O 于點 C ， D ，垂足為 D ，連結 (1)求證 : V ; (2)求證 : 2B g . 分析 (1)連結 由 圓 O 的切線，利用切線的性質，得到 直于 由直于 得到 行，利用兩直線平行得到一對內錯角相等 ;再由B ,利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換即可得證 . (2)連結 由 圓 O 的直 徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到 直角三角形 及第一問的結論得到一對角相等，確定出 相似，由相似得比例，變形即可得證 (證明略 ). 變式拓展 3 添加 的銳角三角形函數值，探究 O 的弦 成的線段的比值 . 例 4 (2016 年武漢中考題 )如圖 6，點 C 在以 直徑的 O 上， 過點 C 的切線垂直，垂足為點 D ， O 于點 E . (1)求證 :分 ; (2)連結 點 F ， 若 4c o D，求 解析 (1)因為 O 的切線，根據“有切點連半徑”，我們可以連接半徑 根 據“切線垂直于過切點的半徑”，所以 D 又 D ， /D , O C A D A C , 又 C ， O A C O C A , O A C D A C , 所以 分 . (2)連結 在 , 由 4c o D ， 可設 4AD k , 則 5AC k ， 3DC k , 由 90A D C A C B ， D 可得 V : V ， D, 154BC k . 由 90A D C A C B ， D 可得 V : V , D， 4516FC k , 4 5 3 55 1 6 1 6A F A C F C k k k , 79. 評注 本題的第 (2)問也可以通過 V : V ，求出直徑 用 k 表示 )，進而得到半徑 利用四邊形 G 是 交點 )是矩形，得到 6BE k E ，在根據三角形中位線求出 最后得到 將 變式拓展 4 豐富課本習題的圖形的結構，并添加相關條件，繼續(xù)深化探究問題的結論 例 5 (2016 年孝感中考題 )如圖 7，在 ， 90C ， 點 O 在 ，經過點 A 的 O 與 切于點 D ，與 別相交于點 E ， F ，連結 相交于點 G . (I)求證 :分 . (2)若 D 于點 H ， 分 ， 1. 試判斷 數量關系，并說明理由 ; 求 O 的半徑 . 分析 (1)略 . (2) 分 , A F H E F H , 又 D F G E A D H A F , D F G G F H H A F H F A , 即 D H F ， H； 設 HG x , 則 1D H D F x . DQ ， 2 2 (1 )A D D H x , D F G D A F Q ， , D F G D A FV : V , F， 112 (1 ) 1, 1x， 2， 4. 直徑， 90 . 2 2 2 22 4 2 5A F D F A D . O 的半徑 為 25. 評注 本題將課本中相關習題與例題融合在一起，使圖形的結構變得更加復雜，這就需要我們學會能 夠從復雜圖形中分離出基本圖形的技能，從而利用簡單圖形的性質解決問題 . 從上述對課本習題與中考試題的對比分析中可以發(fā)現，許多中考試題源于課本，高于課本 立足于課本，在學好基礎知識，掌握基本技能和方法的基礎上，多角度