《自動控制原理》習(xí)題及解答

119 第六章習(xí)題及解答 6試求下列函數(shù)的 )()1( ( ) ( )2 2 3e t t e t 21)()3( )2)(1( 3)()4( （ 1） 0 111)(az （ 2） 322)1()1(由移位定理： 33 33233 33232 )( )()1( )1( T Tt ez （ 3）22111)( 2)1(1)( （ 4）21)( 210 s cs (3(3)(1(3 22)1(2 3)( 2 TT ez zz 6 2 試分別用部分分式法、冪級數(shù)法和反演積分法求下列函數(shù)的 120 ( ) ( )( ) ( )1 101 2E z zz z 21121 3)()2( zz （ 1）)2)(1( 10)( zz 部分分式法 )12(10210110)()2(10)1(10)(210110)2)(1(10)( 冪級數(shù)法：用長除法可得 )3(70)2(30)(10)(7030102310)2)(1( 10)(*3212 反演積分法 )()12(10)()12(10210110)(21011021111（ 2） 2221)1()13(12)13(213)( 部分分式法 00*222)()32()(32)()(132)(13)1(2)(13)1(2)1(31)( 121 冪級數(shù)法：用長除法可得 )3(9)2(7)(5)(3)(9753123)(*32122 反演積分法 12111 )3(1)( 32)1(31 0* )()32()( 6試確定下列函數(shù)的終值 ( ) ( )( )1 111 2E z )1()2(22 解 （ 1） 21111 )1()1(2）)1(6已知差分方程為 c k c k c k( ) ( ) ( ) 4 1 2 0 初始條件： c(0)=0,c(1)=1。試用迭代法求輸出序列 c(k),k=0， 1， 2， 3， 4。 解 依題有 564154)4(15144)3(4014)2(1)1(,0)0()()1(4)2(試用 )0(0)(,)(1)()()(8)1(6)2()1( 122 ),2,1,0(,)(0)()0()()()1(2)2()2( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( )3 3 6 2 11 1 6 00 1 1 2 0c k c k c k c kc c c )2/c o s ()(6)1(5)2()4( 0)1()0( 解 （ 1） 令 ，代入原方程可得： 0)( 對差分方程兩端取 z 變換，整理得 1)4)(2( 1)(861)( 2 z z zz zz 61221131)( （ 2） 對差分方程兩端取 z 變換，整理得 01*113211211211132321121121112222)()1(141)()1(141)(41)1()1(2)1(1)(2)1(1)()1()1(121)(123 (3) 對差分方程兩端取 z 變換得 0)(6)0()(11)1()0()(6)2()1()0()( 22233代入初條件整理得 ()3(25)2(7)1(211)(3212521711211)(6116177)(177)()6116(23232323（ 4） 由原方程可得 112c o c o s()()65( 2222 z 2s o (2s o (103)2(52)(11101311032152)1)(3)(2()()1)(3)(2()1)(65()(1112222222由以下差分方程確定脈沖傳遞函數(shù)。 )1()1()()1()1()2( 對上式實行 z 變換，并設(shè)所有初始條件為 0 得 )()1()()()1()( 根據(jù)定義有 ()1()()()( 124 6設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如題 6求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) )( 解 （ a ） )(105522)(522TT （ b ）)()(310513102131055225252 )()(3105522)(5252 （ c ） )5)(2(1)1(10)5)(2(10)1( 1s 5115121611101)1(10 (3532)32351(1321351323511)(52752525252 125 6 8 試求下列閉環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) )(z 或輸出 z 變換 )( 題 6 離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 解 （ a ）將原系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換為圖解 6-8(a)所示 圖解 6-8(a) )()()(1)()()()()()()()()()(1)()()()()()(1)()()()(1)()()()()()()()()()()()()(1)()()(1)(1)()()(1)()()()()()(1)()()()()()()()(31211131213121321213322211212112121121121121111 126 （ b ）由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 )(1)()()()()()()()()()()()()()()(43143421434214342（ c ）由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 )()()()()()()()( 2112122 )()()( )()()()()()()()( 2112122 )()(1 )()()()()()()()( 211 2112122 h )()(1 )()()()()(21121212 6 9 設(shè)有單位反饋誤差采樣的離散系統(tǒng)，連續(xù)部分傳遞函數(shù) G ss s( ) ( ) 1 52輸入 )(1)( ，采樣周期 。試求： （ 1）輸出 z 變換 )( （ 2）采樣瞬時的輸出響應(yīng) )(* （ 3）輸出響應(yīng)的終值 )(c 。 解 （ 1）依據(jù)題意畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖解 6 1()4()()1(25)61()4()(1)()()()1(2561)4()(1(5)1()1(51)5(1)(2325255252552555522127 8 9 6 7 3 8 3 8 3 9 )()()()( （ 2） )4(4 5 8 1 5 9 * （ 3）判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性 (,()( 23列朱利表 0z 1z 2z 3z 1 5 2 25 )(閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，求終值無意義。 6試判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性 （ 1）已知離散系統(tǒng)的特征方程為 D z z z z( ) ( ) ( . ) ( ) 1 0 5 2 0 （ 2）已知閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程為 D z z z z z( ) . . . 4 3 20 2 0 36 0 8 0 （注：要求用朱利判據(jù)） （ 3）已知誤差采樣的單位反饋離散系統(tǒng)，采樣周期 T=1(s)，開環(huán)傳遞函數(shù) G s s s( ) .( ) 22 5712 解 （ 1）系統(tǒng)特征根幅值 21 ， 有特征根落在單位圓之外，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 （ 2） 234 用朱利穩(wěn)定判據(jù)（ 4n ） 128 0z 1z 2z 3z 4z 1 2 1 4 5 0 8 9 (,203040統(tǒng)不穩(wěn)定。 （ 3） ( 22 )1()1()21(21112 1()1()(231112 用朱利穩(wěn)定判據(jù)（ 3n ） 0z 1z 2z 3z 1 2 1 )(,(2030系統(tǒng)不穩(wěn)定6設(shè)離散系統(tǒng)如題 6樣周期 T=1(s)， Gh(s)為零階保持器，而 G s Ks s( ) ( . ) 0 2 1要求： 129 （ 1）當 K=5時，分別在 （ 2）確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的 解 （ 1） 561)54()1(5154)(1()()(1(5154)(5111)1)(1(5)1()1(1)1()(55552555555555555221K 時 09 66 2 解根得 )(3 6 3 1 系統(tǒng)不穩(wěn)定 以11 2 0 3 5 2 )(有系數(shù)小于零，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。 （ 2）當 K 為變量時 )0 0 6 7 3 1 0 0 6 7 3 1 3 ( 2 以11 )6 0 9 4 3 3 8 3 6 9 3 2 由勞斯判據(jù)可得系統(tǒng)穩(wěn)定的 K 值范圍為： K 6利用 勞思 判據(jù)分析題 6示二階離散系統(tǒng)在改變 K 和采樣周期 T 的影響。 解 根據(jù)已知的 )(以求出開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) )(1()1()( 閉環(huán)特征方程為： 0)(1( )1(1)(1 題 6 130 即 0)1()1(2 令11，進行 w 變換，得 011)1()1(11 2 化簡整理后得 0)1()1(2)1()1(2 2 可得如下勞思表： 2w )1()1(2 TT )1( 1w )1(2 0w )1( 得系統(tǒng)穩(wěn)定的條件 00)1(0)1()1(2 1 )1(206題 6(1 )()1()( 122 試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時的 K 值范圍。 解 由于 )()()()()1()(1212122則 112 11)()()( 廣義對象脈沖傳遞函數(shù) 131 (1()1()1()1()1()1()1()(1111s 開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 )1( )()( 1 03 6 6 ()(1 2 進行 w 變換，令11，化簡后得 06 3 6 3 27 3 2 出勞斯表如下 2w 1w 0 0w 若系統(tǒng)穩(wěn)定，必須滿足 0,063 K 6如題 6求在 )( 作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，試確定放大系數(shù) K 及系統(tǒng)穩(wěn)定時 T 的取值范圍。 解 )(1( )1(1111)1()( zz 因為 2)1()1()(1()(1()()(11)( 以 ()1()(1()(1()1(由上式求得 4K 。 該系統(tǒng)的特征方程為 0)1(4)(1()(1 TT 即 0)53(2 TT 令11代入上式得 026)1(2)1(4 2 列出勞斯表如下 132 2w )1(4 26 1w )1(2 0 0w 26 系統(tǒng)若要穩(wěn)定，則勞斯表得第一列系數(shù)必須全部為正值，即有 3260,01由此得出 3T 時，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 6設(shè)離散系統(tǒng)如題 6中采樣周期,21)(,10,)( 試用終值定理計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 )(e 。 解 系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 2321312)1(5)1()1(5)1()0)1()01)( 代入并整理得 ()1(2)1()()1(2)1()1()(11)()()()1(221113222222233 6設(shè)離散系統(tǒng)如題 6中 )(,1,)(試求靜態(tài)誤 差系數(shù)、，并求系統(tǒng)在 )( 作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 )(e 。 解 系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 )(1()1()1()1()1(1)1()(2121 代入并整理得 11)(1()()1(1()11()1111已知離散系統(tǒng)如題 6中 )(25.0 2)( 時，欲使穩(wěn)態(tài)誤差小于 試求 K 值。 解 首先驗證系統(tǒng)的穩(wěn)定性 1(1)(s 1)1(11)( 22222 s 134 232322)(1)( 0011)1( 82011)1( 3w 0 2w 1 1w 221 T 0w 21 0122 解出 K 綜合 ， K 穩(wěn)定的范圍為 K 使穩(wěn)態(tài)誤差為 值： 2)1(12)(12)( z 系統(tǒng)是 型系統(tǒng)，階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為零，斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為常值 )1(10 K 10 K 時不穩(wěn)定，不能使 1.06試分別求出題 6( 解 （ a） 135 )1(222220 入得 1( 2 zz (1()()( 2322 654321 0 0 )6(* (b) )9 0 1()9 6 6 0 4 8 (1)1()( 1 0 4 8 1)()(21 T 9 6 6 0 4 8 9 6 6 0 4 8 )()( 2322 654321 1 4 0 8 4 8 4.0 )6(* 6已知離散系統(tǒng)如題 6其中采樣周期 )(1 ，連續(xù)部分傳遞函數(shù) 136 G ss 1( ) ( ) 試求當 )(1)( 時，系統(tǒng)無穩(wěn)態(tài)誤差，過渡過程在最少拍內(nèi)結(jié)束的數(shù)字控制器 )( 解 )1( ( 1)( 11 110 zz zz )(1)( 查教材中表 6 1()()1()(11111111 6設(shè)離散系統(tǒng)如題 6其中采樣周期 )(1 ，試求當 (1)( 時，系統(tǒng)無穩(wěn)態(tài)誤差、過渡過程在最少拍內(nèi)結(jié)束的 )( 解 系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 1)1()( 21 z 1(1)( 令 0)(1)()1(1011 21 )1()( 212)(1)( (2)1(1 1)2()()()()(1121111 37 6已知采樣系統(tǒng)如題 6中采樣周期 )(1 ，要求設(shè)計一個數(shù)字控制器 )(使系統(tǒng)在斜坡輸入下，調(diào)節(jié)時間為最短，并且在采樣時刻沒有穩(wěn)態(tài)誤差。 題 6 具有數(shù)字控制器的采樣系統(tǒng) 題 6 最少拍無靜