四川省成都市2017屆高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)理試題含答案

成都市 2014 級(jí)高中畢業(yè)班第二次診斷性檢測(cè) 數(shù)學(xué)（理科） 第 卷（共 60 分） 一、 選擇題：本大題共 12 個(gè)小題 ,每小題 5 分 ,共 60 分 有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1,2A ， 2 , B y x x A，則 （ ） A 1,4 B 1,2 C 1,0 D 0,2 a i（ ），2 1，且12純虛數(shù)，則 1z 在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 知3 6a ，3 5 7 78a a a ，則5a（ ） A 12 B 18 C 24 D 36 a ， b 夾角為3，且 1a ， 12b，則 2與 b 的夾角是（ ） A6B 56C4D 34x （ a 為常數(shù)）不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） A 1( , )2 B 1 , )2 C (0, ) D 0, ) 2 010 ，且 的最大值為 5，則實(shí)數(shù) m 的值為（ ） A 0 B C D ,是兩個(gè)不同的平面，且 ,，有下列命題：若 /，則 /若 /，則 /m ；若 l ，且 ， ，則 ；若 l ，且 ， ，則 ，其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 ) xf x a （ 0, 1）的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 21( , )22，若函數(shù) ()定義域?yàn)?R ，當(dāng) 2, 2x 時(shí)，有 ( ) ( )g x f x ，且函數(shù) ( 2)為偶函數(shù)，則下列結(jié)論正 確的是（ ） A ( ) ( 3 ) ( 2 )g g g B ( ) ( 2 ) ( 3 )g g g C ( 2 ) ( 3 ) ( )g g g D ( 2 ) ( ) ( 3 )g g g 輸入的 ,， 2， 輸出的結(jié)果為（ ） A B C D ) s i n ( 2 ) 2 s i n c o s ( )f x x x （ 0, R）在 3( , )2上單調(diào)遞減，則 的取值范圍是（ ） A (0,2 B 1(0, 2C 1 ,12D 15 , 2:1（ 0, 0）的左右焦點(diǎn)分別為12,12, ，若以1O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直徑的圓與2雙曲線 C 的離心率為（ ） A 2 B 3 6 24C 3 D 3 6 27 上的所有點(diǎn)在一個(gè)平面上的射影構(gòu)成的圖形 M 叫做圖形 M 在這個(gè)平面上的射影，如圖，在三棱錐 A 中， D ， B ， C ，5B， 4，將圍成三棱錐的四個(gè)三角形的面積從小到大依次記為1 2 3 4, , ,S S S S，設(shè)面積為2 ，則面積為4 上的射影的面積是（ ） A 2 34 B 252C 10 D 30 第 卷（共 90 分） 二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上） ax x的展開(kāi)式中，若常數(shù)項(xiàng)為 a 的樣本中，數(shù)據(jù)均為整數(shù)，已測(cè)出其平均數(shù)為 10，但墨水污損了兩個(gè)數(shù)據(jù)，其中一個(gè)數(shù)據(jù)的十位數(shù)字 1 未被污損，即 9， 10， 11， 1 ，那么這 組數(shù)據(jù)的方差 2 物線 2 4的一條弦 過(guò)焦點(diǎn) F ，取線段 中點(diǎn) D ，延長(zhǎng) ，使 C ，過(guò)點(diǎn) C ， D 作 y 軸的垂線，垂足分別為 , 最小值為 1a， 212 1 （ 2n ， *），則數(shù)列2前 n 項(xiàng)和 三、解答題 （本大題共 6 小題，共 70 分 明過(guò)程或演算步驟 .） 17. 如圖， 在平面四邊形 ，已知2A ， 23B ， 6，在 上取點(diǎn) E ，使得 1，連接 ,D ，若 23， 7. （ 1）求 的值； （ 2）求 長(zhǎng) . 18. 某項(xiàng)科研活動(dòng)共進(jìn)行了 5 次試驗(yàn)，其數(shù)據(jù)如下表所示： 特征量 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 x 555 559 551 563 552 y 601 605 597 599 598 （ 1）從 5 次特征量 y 的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取兩個(gè)數(shù)據(jù)，求至少有一個(gè)大于 600 的概率； （ 2）求特征量 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程；并預(yù)測(cè)當(dāng)特征量 x 為 570 時(shí)特征量 y 的值 . （附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為 121( ) ( )()x y ，a y ） 19. 如圖，已知梯形 所在平面垂直， ,A D D E C D D E， / /D 28E， 3， 9， 12，連接 ,F . （ 1）若 G 為 上一點(diǎn)， 13A，求證： /面 （ 2）求二面角 E 的余弦值 . 20. 在平面直角坐標(biāo)系 ，已知橢圓 22:1（ 0 ），圓 2 2 2:O x y r（ 0 ），若圓 O 的一條切線 :l y kx m與橢圓 E 相交于 , （ 1）當(dāng) 12k， 1r 時(shí)，若點(diǎn) ,橢圓 E 的方程； （ 2）若以 直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) O ，探究 ,間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由 . 21. 已知函數(shù) 1( ) x a x ，其中 0a . （ 1）若 ()2, ) 上存在極值點(diǎn)，求 a 的取值范圍； （ 2）設(shè)1 (0, 1)x ，2 (1, )x ，若21( ) ( )f x f x存在最大值，記為 ()當(dāng) 1時(shí)， ()存在，求出其最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 . 請(qǐng)考生在 22、 23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 . 標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系 ，曲線 C 的參數(shù)方程為 2 co ，（ 為參數(shù)），直線 l 的參數(shù)方程為332132 （ t 為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系 中，過(guò)極點(diǎn) O 的射線與曲線 C 相交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn) A ，且點(diǎn) A 的極坐標(biāo)為 (2 3, ) ，其中 ( , )2. （ 1）求 的值； （ 2）若射線 l 相交于點(diǎn) B ，求 值 . 等式選講 已知函數(shù) ( ) 4 3f x x x . （ 1）求不等式 3( ) 02的解集； （ 2）若 , 1 1 1 432p q r ，求 32p q r的最小值 . 成都市 2014 級(jí)高中畢業(yè)班第二次診斷性檢測(cè) 數(shù)學(xué)（理科）試卷答案 一、選擇題 1 6 11、 12： 、填空題 13. 14. 15. 4 16. 21、解答題 （ 1）在 中，據(jù)正弦定理，有s in s C E B. 23B ， 1， 7， s i n 2 2 1s i . （ 2）由平面幾何知識(shí)，可知 D C E ，在 中，2A ， 5， 2 3 5 7c o s 1 s i n 12 8 1 4D E A D E A . 527c o s 5714 A . 在 中，據(jù)余弦定理，有 222 12 c o s 7 2 8 2 7 2 7 ( ) 4 92C D C E D E C E D E C E D 7 （ 1）記“至少有一個(gè)大于 600”為事件 A . 23257( ) 110 . （ 2） 5 5 5 5 5 9 5 5 1 5 6 3 5 5 2 5565x ， 600y . 2 2 2 2 21 1 3 5 ( 5 ) ( 3 ) 7 ( 1 ) ( 4 ) ( 2 ) 3 0 0 . 3( 1 ) 3 ( 5 ) 7 ( 4 ) 1 0 0b 6 0 0 0 . 3 5 5 6 4 3 3 . 2a y b x ， 線性回歸方程為 0 3 3 . 當(dāng) 570x 時(shí)， 0 . 3 5 7 0 4 3 3 . 2 6 0 4 . 2y 當(dāng) 570x 時(shí)，特征量 y 的估計(jì)值為 （ 1）如圖，作 /D ，交 點(diǎn) M ，連接 作 /D ，交 N ，交 H . /D ， /F , 3B， 9. / / M D C， 23N M B M A B C A D . 6. 9G M G N N M . 四邊形 平行四邊形， /F . 又 平面 平面四邊形， /面 （ 2）平面 平面 E ， 平面 平面 以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ( 0 , 4 , 0 ) , ( 9 , 4 , 0 ) , (1 2 , 0 , 0 ) , ( 3 , 0 , 4 3 )E F C B. (9, 0, 0) ， (3 , 4 , 4 3 ) , 設(shè)平面 法向量1 1 1 1( , , )n x y z. 由 1100n B ，得 11 1 1903 4 4 3 0xx y z . 取1 3y ，得1 (0, 3,1)n . 同理， (3, 4, 0 ) ， ( 6 , 4 , 4 3 ) . 設(shè)平面 法向量2 2 2 2( , , )n x y z. 由 2200n B ，得 222 2 23 4 06 4 4 3 0y z . 取2 4x ，得2 (4, 3, 3 3 )n . 1212120 4 3 3 1 3 3 6 3 3 3 9c o s ,262 1 6 9 2 7 2 2 1 3 . 二面角 E 為鈍二面角， 二面角 E 的余弦值為 3 3926. （ 1） 直線 l 與 O 相切，2 1m . 由 12k， 1r ，解得 52m . 點(diǎn) , 15:22l y x . 切線 l 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為 5(0, )2， ( 5,0) . 5a ， 52b. 橢圓 E 的方程是 224 155. （ 2）設(shè)11( , )A x y，22( , )B x y以 直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) O ， 0B，即1 2 1 2 0x x y y. 點(diǎn) ,l 上， 1122y kx my kx m. 221 2 1 2(1 ) ( ) 0k x x m k x x m （ *） 由2 2 2 2 2 2 0y k x mb x a y a b 消去 y ，得 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 ) 0b x a k x k m x m a b . 即 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 0b a k x k m a x a m a b 顯然 0 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得212 2 2 22 2 2 212 2 2 22 k m a ka m a a k 代入（ *）式，得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22a m a m k a b a b k k m a m b a k mb a k . 整理，得 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 0m a b a b a b k . 又由（ 1），有 2 2 2(1 )m k r . 消去 2m ，得 2 2 2 2 2 2 2(1 ) ( ) (1 )k r a b a b k 2 2 21 1 1a b r ,足等量關(guān)系2 2 21 1 1a b r. （ 1） 2221 ( 1 )( ) 1a x a x x x ， (0, )x . 由題意，得 2 10x ，在 (2, )x 上有根（不為重根） . 即 1在 (2, )x 上有解 . 由 1在 (2, )x 上單調(diào)遞增，得 15( , )2x x . 檢驗(yàn)：當(dāng) 52a時(shí)， ()2, )x 上存在極值點(diǎn) . 5( , )2a . （ 2）若 02a ， 22( 1 )() x a x 在 (0, ) 上滿足 ( ) 0， ()0, ) 上單調(diào)遞減，21( ) ( ) 0f x f x. 21( ) ( )f x f x不存在最大值 . 則 2a . 方程 2 10x 有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，令其為 ,不妨設(shè) 01 則1m n . ()0, )m 上單調(diào)遞減，在 ( , )調(diào)遞增，在 ( , )n 上單調(diào)遞減， 對(duì)1 (0,1)x，有1( ) ( )f x f m；對(duì)2 (1, )x ，有2( ) ( )f x f n， 2 1 m a x ( ) ( ) ( ) ( )f x f x f n f m . 11( ) ( ) ( ) ( l n ) ( l n )M a f n f m a n n a m 11l n ( ) ( )na m nm n m . 將 1a m n ， 1入上式，消去 ,21 1 1 1( ) ( ) l n 2 ( ) 2 ( ) l n ( ) M a n n n n n nn n n n 12 ， 11 ， 1n . 據(jù) 1在 (1, )x 上單調(diào)遞增，得 (1, . 設(shè) 11( ) 2 ( ) l n 2 ( )h x x x ， (1, . 2 2 21 1 1 1 1( ) 2 ( 1 ) l n 2 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) l nh x x x xx x x x x ， (1, . ( ) 0，即 ()1, e 上單調(diào)遞增 . m a x 1 1 4 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )h x h e e ee e e ()e. （ 1）曲線 C 的普通方程為 22( 2 ) 4 ， 曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 22( c o s ) ( s i n 2 ) 4 . 化 簡(jiǎn)，得 4 . 由 23 ，得 3 ( , )2， 23. （ 2）射線 3， 直線 l 的普通方程為 3 4 3 0 . 直線 l 的極坐標(biāo)方程為 c o s 3 s i n 4 3 0 . 聯(lián)立 2 3c o s 3 s i n 4 3 0 ，解得 43 . 4 3 2 3 2 3 . （ 1） 3 3 3( ) 4 02 2 2f x x x 根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，得 3322 表示點(diǎn) ( ,0)x 到 3( ,0)2A ， 3( ,0)2 接下來(lái)找出到 , 的點(diǎn) . 將點(diǎn) A 向左移動(dòng) 12個(gè)單位到點(diǎn)1( 2,0)A ，這時(shí)有114A A A B； 同理，將點(diǎn) B 向右移動(dòng) 1