河南省鄭州市2017屆高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）含答案解析

2017 年河南省鄭州市、平頂山市、濮陽市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1已知復(fù)數(shù) f（ n） =n N*），則集合 z|z=f（ n） 中元素的個數(shù)是（ ） A 4 B 3 C 2 D無數(shù) 2設(shè) x=y=z=（ ） A z y x B z x y C y z x D x z y 3要計算 1+ + + + 的結(jié)果，如圖程序框圖中的判斷框內(nèi)可以填（ ）A n 2017 B n 2017 C n 2017 D n 2017 4某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（ ） A B C D 5下列命題是真命題的是（ ） A R，函數(shù) f（ x） =2x+）都不是偶函數(shù) B ， R，使 +） =向量 =（ 2， 1）， =（ 1， 0），則 在 方向上的投影為 2 D “|x| 1”是 “x 1”的既不充分又不必要條件 6在區(qū)間 1， e上任取實數(shù) a，在區(qū)間 0， 2上任取實數(shù) b，使函數(shù) f（ x） =x+ ） A B C D 7已知數(shù)列 足 =1（ n 2）， a1=m， a2=n， 數(shù)列 前 值為（ ） A 2017n m B n 2017m C m D n 8已知實數(shù) x， y 滿足 ，則 z=2|x 2|+|y|的最小值是（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 9已知空間四邊形 足 | |=3， | |=7， | |=11， | |=9，則 的值（ ） A 1 B 0 C D 10將數(shù)字 “124467”重新排列后得到不同的偶數(shù)個數(shù)為（ ） A 72 B 120 C 192 D 240 11已知 P 為雙曲線 上任一點，過 P 點向雙曲線的兩條漸近線分別作垂線，垂足分別為 A， B，則 |值為（ ） A 4 B 5 C D與點 P 的位置有關(guān) 12已知函數(shù) f（ x） = ，如果當(dāng) x 0 時，若函數(shù) f（ x）的圖象恒在直線y=下方，則 k 的取值范圍是（ ） A ， B ， + ） C ， + ） D ， 二、填空 題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13正方體的 8 個頂點中，有 4 個恰是正四面體的頂點，則正方體與正四面體的表面積之比為 14已知冪函數(shù) y=圖象過點（ 3， 9），則 的展開式中 x 的系數(shù)為 15過點 P（ 1， 0）作直線與拋物線 x 相交于 A， B 兩點，且 2|則點 B 到該拋物線焦點的距離為 16等腰 ， C， 上的中線，且 ，則 面積最大值為 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或 演算步驟） 17（ 12 分）已知數(shù)列 n 項和為 2，且滿足 +n+1（ nN*） （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）若 bn= ），求數(shù)列 前 n 項和為 證 18（ 12 分）如圖，三棱柱 ，各棱長均相等， D， E， F 分別為棱 中點 （ ）證明 平面 （ ）若三棱柱 直棱柱，求直線 平面 成角的正弦值 19（ 12 分）某食品公司研發(fā)生產(chǎn)一種新的 零售食品，從產(chǎn)品中抽取 100 件作為樣本，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得到如圖頻率分布直方圖 （ ）求直方圖中 a 的值； （ ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值 Z 服從正態(tài)分布 N（ 200， 試計算數(shù)據(jù)落在（ 的頻率； 參考數(shù)據(jù) 若 Z N（ ， 2），則 P（ Z +） =P（ 2 Z +2） = （ ）設(shè)生產(chǎn)成本為 y，質(zhì)量指標(biāo)為 x，生產(chǎn)成本與質(zhì)量指標(biāo)之間滿足函數(shù)關(guān)系y= ，假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點 值代替，試計算生產(chǎn)該食品的平均成本 20（ 12 分）已知橢圓 y2=m（ m 0），以橢圓內(nèi)一點 M（ 2， 1）為中點作弦 線段 中垂線與橢圓相交于 C， D 兩點 （ ）求橢圓的離心率； （ ）試判斷是否存在這樣的 m，使得 A， B， C， D 在同一個圓上，并說明理由 21（ 12 分）已知函數(shù) f（ x） =x， g（ x） = a R） （ ）若 f（ x）和 g（ x）在（ 0， + ）有相同的單調(diào)區(qū)間，求 a 的取值范圍； （ ）令 h（ x） =f（ x） g（ x） a R），若 h（ x）在定義域內(nèi) 有兩個不同的極值點 （ i）求 a 的取值范圍； （ 兩個極值點分別為 明： x1 四、請考生在第 22、 23 二題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時，用 2B 鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 22（ 10 分）已知直線 l 的極坐標(biāo)方程是 ） =0，以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為 x 軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，曲線 C 的參數(shù)方程是 （ 為參數(shù)） （ ）求直線 l 被曲線 C 截得的弦長； （ ）從極點作曲線 C 的弦， 求各弦中點軌跡的極坐標(biāo)方程 選修 4等式選講 23已知函數(shù) f（ x） =|2x+1|， g（ x） =|x|+a （ ）當(dāng) a=0 時，解不等式 f（ x） g（ x）； （ ）若存在 x R，使得 f（ x） g（ x）成立，求實數(shù) a 的取值范圍 2017 年河南省鄭州市、平頂山市、濮陽市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1已知復(fù)數(shù) f（ n） =n N*），則集合 z|z=f（ n） 中元素 的個數(shù)是（ ） A 4 B 3 C 2 D無數(shù) 【考點】 虛數(shù)單位 i 及其性質(zhì)；集合中元素個數(shù)的最值 【分析】 直接利用復(fù)數(shù)的冪運算，化簡求解即可 【解答】 解：復(fù)數(shù) f（ n） =n N*），可得 f（ n） = ， k Z 集合 z|z=f（ n） 中元素的個數(shù)是 4 個 故選： A 【點評】 本題考查復(fù)數(shù)單位的冪運算，基本知識的考查 2設(shè) x=y=z=（ ） A z y x B z x y C y z x D x z y 【考點】 對數(shù)值大小的比較 【分析】 利用指數(shù)函數(shù)、 對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)求解 【解答】 解： x= 1， 0=y=， z=0， z y x 故選： A 【點評】 本題考查三個數(shù)的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時要注意指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)的合理運用 3要計算 1+ + + + 的結(jié)果，如圖程序框圖中的判斷框內(nèi)可以填（ ）A n 2017 B n 2017 C n 2017 D n 2017 【考點】 程序框圖 【分析】 通過觀察程序框圖，分析為填判斷框內(nèi)判斷條件， n 的值在執(zhí)行 運算之后還需加 1，故判斷框內(nèi)數(shù)字應(yīng)減 1，按照題意填入判斷框即可 【解答】 解：通過分析，本程序框圖為 “當(dāng)型 “循環(huán)結(jié)構(gòu)， 判斷框內(nèi)為滿足循環(huán)的條件， 第 1 次循環(huán)， S=1， n=1+1=2， 第 2 次循環(huán)， S=1+ ， n=2+1=3， 當(dāng) n=2018 時，由題意，此時，應(yīng)該不滿足條件， 退出循環(huán)，輸出 S 的值 所以，判斷框內(nèi)的條件應(yīng)為： n 2017 故選： B 【點評】 本題考查程序框圖，通過對程序框圖的分析對判斷框進行判斷，屬于基礎(chǔ)題 4某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（ ） A B C D 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 根據(jù)三視圖判斷幾何體是圓錐的一部分，再根據(jù)俯視圖與左視圖的數(shù)據(jù)可求得底面扇形的圓心角為 120，又由側(cè)視圖知幾何體的高為 4，底面圓的半徑為 2，把數(shù)據(jù)代入圓錐的體積公式計算 【解答】 解：由三視圖知幾何體是圓錐的一部分，由俯視圖與左視圖可得：底面扇形的圓心角為 120， 又由側(cè)視圖知幾何體的高為 4，底面圓的半徑為 2， 幾何體的體積 V= 22 4= 故選： D 【點評】 本題考查了由三視圖求幾何體的體積，解答的關(guān)鍵是 判斷幾何體的形狀及三視圖的數(shù)據(jù)所對應(yīng)的幾何量 5下列命題是真命題的是（ ） A R，函數(shù) f（ x） =2x+）都不是偶函數(shù) B ， R，使 +） =向量 =（ 2， 1）， =（ 1， 0），則 在 方向上的投影為 2 D “|x| 1”是 “x 1”的既不充分又不必要條件 【考點】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 舉出反例 = ，可判斷 A；舉出正例 = ， = ，可判斷 B；求出向量的投影，可判斷 C；根據(jù)充要條件的定義，可判斷 D 【解答】 解：當(dāng) = 時，函 數(shù) f（ x） =2x+） =偶函數(shù)，故 A 為假命題； = ， = R，使 +） =，故 B 為真命題； 向量 =（ 2， 1）， =（ 1， 0），則 在 方向上的投影為 2，故 C 為假命題； “|x| 1”“ 1 x 1”是 “x 1”的充分不必要條件，故 D 為假命題， 故選： B 【點評】 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查奇數(shù)的奇偶性，特稱命題，向量的投影，充要條件等知識點，難度中檔 6在區(qū)間 1， e上任取實數(shù) a，在區(qū)間 0， 2上任取實數(shù) b，使函數(shù) f（ x） =x+ ） A B C D 【考點】 幾何概型 【分析】 設(shè)所求的事件為 A，由方程 x+ b=0 有兩個相異根，即 =1 求出 圍，判斷出是一個幾何概型后，在坐標(biāo)系中畫出所有的實驗結(jié)果和事件 A 構(gòu)成的區(qū)域，再用定積分求出事件 A 構(gòu)成的區(qū)域的面積，代入幾何概型的概率公式求解 【解答】 解：設(shè)事件 A=使函數(shù) f（ x） =x+ b 有兩個相異零點 ， 方程 x+ b=0 有兩個相異根，即 =1 0，解得 1， 在 1， e上任 取實數(shù) a，在 0， 2上任取實數(shù) b， 這是一個幾何概型，所有的實驗結(jié)果 =（ a， b） |1 a e 且 0 b 2，面積為 2（ e 1）； 事件 A=（ a， b） |1， 1 a e 且 0 b 2，面積 S= =1， 事件 A 的概率 P（ A） = 故選 A 【點評】 本題考查了幾何概型下事件的概率的求法，用一元二次方程根的個數(shù)求出 范圍，用定積分求不規(guī)則圖形的面積，考查了學(xué)生綜合運用知識的能力 7已知數(shù)列 足 =1（ n 2）， a1=m， a2=n， 數(shù)列 前 ，則 值為（ ） A 2017n m B n 2017m C m D n 【考點】 數(shù)列遞推式 【分析】 =1（ n 2）， a1=m， a2=n，可得 =可得出 【解答】 解： =1（ n 2）， a1=m， a2=n， a3=n m， m， n， a6=m n， a7=m， a8=n， ， = 則 336 6+1=336 （ a1+ +36 0+m=m， 故選： C 【點評】 本題考查了數(shù)列遞推關(guān) 系、數(shù)列的周期性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 8已知實數(shù) x， y 滿足 ，則 z=2|x 2|+|y|的最小值是（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案 【解答】 解：由約束條件 作出可行域如圖， 聯(lián)立 ，解得 A（ 2， 4）， z=2|x 2|+|y|= 2x+y+4，化為 y=2x+z 4 由圖可知，當(dāng)直線 y=2x+z 4 過 A 時，直線在 y 軸上 的截距最小， z 有最大值為4 故選： C 【點評】 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題 9已知空間四邊形 足 | |=3， | |=7， | |=11， | |=9，則 的值（ ） A 1 B 0 C D 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 可畫出圖形， 代入 = ，同樣方法，代入， ，進一步化簡即可求出 的值 【解答】 解：如圖， = = = = = = = =0 故選 B 【點評】 考查向量加法和減法的幾何意義，向量的數(shù) 量積的運算 10將數(shù)字 “124467”重新排列后得到不同的偶數(shù)個數(shù)為（ ） A 72 B 120 C 192 D 240 【考點】 排列、組合的實際應(yīng)用 【分析】 由題意，末尾是 2 或 6，不同的偶數(shù)個數(shù)為 =120；末尾是 4，不同的偶數(shù)個數(shù)為 =120，即可得出結(jié)論 【解答】 解：由題意，末尾是 2 或 6，不同的偶數(shù)個數(shù)為 =120； 末尾是 4，不同的偶數(shù)個數(shù)為 =120， 故共有 120+120=240 個， 故選 D 【點評】 本題考查排列、組合知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題 11已知 P 為雙曲線 上任一點，過 P 點向雙曲線的兩條漸近線分別作垂線，垂足分別為 A， B，則 |值為（ ） A 4 B 5 C D與點 P 的位置有關(guān) 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 設(shè) P（ m， n），則 ，即 4，求出漸近線方程，求得交點 A， B，再求向量 坐標(biāo)，由向量的模，計算即可得到 【解答】 解：設(shè) P（ m， n），則 ，即 4， 由雙曲線 的漸近線方程為 y= 2x， 則由 ，解得交點 A（ ， ）； 由 ，解得交點 B（ ， ） =（ ， ）， =（ ， ）， 則有| = = 故選： C 【點評】 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運用，考查聯(lián)立方程組求交點的方法，考查向量的模求法，考查運算能力，屬于中檔題 12已知函數(shù) f（ x） = ，如果當(dāng) x 0 時，若函數(shù) f（ x）的圖象恒在直線y=下方，則 k 的取值范圍是（ ） A ， B ， + ） C ， + ） D ， 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程 【分析】 由于 f（ x）的圖象和 y=圖象都過原點，當(dāng)直線 y= y=f（ x）的切線時，切點為（ 0， 0），求出 f（ x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，即可得到切線的方程，結(jié)合圖象，可得 k 的范圍 【解答】 解：函數(shù) f（ x）的圖象恒在直線 y=下方， 由于 f（ x）的圖象和 y=圖象都過原點， 當(dāng)直線 y= y=f（ x）的切線時，切點為（ 0， 0）， 由 f（ x）的導(dǎo)數(shù) f（ x） = = ， 可得切線的斜率為 = ， 可得切線的方程為 y= x， 結(jié)合圖象，可得 k 故選： B 【點評】 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，正確求導(dǎo)和確定原點為切點，結(jié)合圖象是解題的關(guān)鍵 ，考查運算能力，屬于中檔題 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13正方體的 8 個頂點中，有 4 個恰是正四面體的頂點，則正方體與正四面體的表面積之比為 ： 1 【考點】 棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積 【分析】 作圖分析 【解答】 解：如圖：設(shè)正方體的棱長為 a， 則正方體的表面積為 S=6 正四面體的邊長為 則其表面積為 4 2 則面積比為 62 ： 1 故答案為： ： 1 【點評】 考查了學(xué)生的空間想象力 14已知冪函數(shù) y=圖象過點（ 3， 9），則 的展開式中 x 的系數(shù)為 112 【考點】 二項式系數(shù)的性質(zhì)；冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域 【分析】 直接利用冪函數(shù)求出 a 的值，然后求出二項式展開式中所求項的系數(shù) 【解答】 解：冪函數(shù) y=圖象過點（ 3， 9）， 3a=9， a=2， =（ ） 8 的通項為 =（ 1） 令 r 8=1， 解得 r=6， 展開式中 x 的系數(shù)為（ 1） 66=112， 故答案為： 112 【點評】 本題考查二項式定理的應(yīng)用，冪函數(shù)的應(yīng)用，考查計算能力 15過點 P（ 1， 0）作直線與拋物線 x 相交于 A， B 兩點，且 2|則點 B 到該拋物線焦點的距離為 5 【考點】 直線與拋物線的位置關(guān)系 【分析】 利用過 P（ 1， 0）作直線與拋物線 x 相交于 A， B 兩點，且2|求出 B 的橫坐標(biāo)，即可求出點 B 到拋物線的焦點的距離 【解答】 解：設(shè) A（ B（ 設(shè) A， B 在直線 x= 1 的射影分別為 D， E 2| 3（ ） = 即 3=3y1= A B 兩點在拋物線 x 上 3 = ， 解得 ， ， 點 B 到拋物線的焦點的距離為 +2=5 故答案為 5 【點評】 本題考查拋物線的定義，考查學(xué)生的計算能力，解題的關(guān)鍵是利用拋物線的定義確定 B 的橫坐標(biāo) 16等腰 ， C， 上的中線，且 ，則 面積最大值為 6 【考點】 正弦定理 【分析】 設(shè) C=2x，三角形的頂角 ，則由余弦定理求得 表達(dá)式，進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得 后根據(jù)三角形面積公式表示出三角形面積的表達(dá)式，根據(jù)一元 二次函數(shù)的性質(zhì)求得面積的最大值 【解答】 解：設(shè) C=2x， AD=x 設(shè)三角形的頂角 ，則由余弦定理得 = ， = = = ， 根據(jù)公式三角形面積 S= 2x2x = ， 當(dāng) 時，三角形面積有最大值 6 故答案為： 6 【點評】 本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，根據(jù)條件設(shè)出變量，根據(jù)三角形的面積公式以及三角函數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的最值，考查學(xué)生的運算能力運算量較大 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 17（ 12 分）（ 2017濮陽二模）已知數(shù)列 n 項和為 2，且滿足+n+1（ n N*） （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）若 bn= ），求數(shù)列 前 n 項和為 證 【考點】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 【分析】 （ I） +n+1（ n N*） n 2 時， n 1= +n+1 ，化為： =32，可得： 1=3（ 1），利用等比數(shù)列的通 項公式即可得出 （ bn= ） =n，可得 = 再利用 “裂項求和 ”方法與數(shù)列的單調(diào)性即可證明 【解答】 （ I）解： +n+1（ n N*） n=1 時， 2= ，解得 8 n 2 時， n 1= +n+1 ， 化為： =32，可得： 1=3（ 1）， n=1 時， 1=3（ 1） = 9， 數(shù)列 1是等比數(shù)列，首項為 3，公比為 3 1= 3n，即 3n （ 明： bn= ） =n， = 數(shù)列 前 n 項和為+ + + + = 【點評】 本題考查了 “裂項求和 ”方法、等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 18（ 12 分）（ 2017濮陽二模）如圖，三棱柱 ，各棱長均相等， D， E， F 分別為棱 中點 （ ）證明 平面 （ ）若三棱柱 直棱柱，求直線 平面 成角的正弦值 【考點】 直線 與平面所成的角；直線與平面平行的判定 【分析】 （ I）連接 過證明四邊形 平行四邊形得出 而 平面 （ B 作 延長線于 M，連接 可證 平面 所求線面角，設(shè)三棱柱棱長為 1，利用三角形相似求出 可得出 【解答】 證明：（ I）連接 D， E 分別是 中點， C， F 是 中點， 又 1 E， 四邊形 平行四邊形 ， 面 面 平面 （ B 作 延長線于 M，連接 等邊三角形， 又 平面 面 平面 面 平面 面 ， 平面 直線 平面 成的角， 設(shè)直三棱柱棱長為 1，則 ， = 【點評】 本題 考查了線面平行的判定，線面角的計算，屬于中檔題 19（ 12 分）（ 2017濮陽二模）某食品公司研發(fā)生產(chǎn)一種新的零售食品，從產(chǎn)品中抽取 100 件作為樣本，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得到如圖頻率分布直方圖 （ ）求直方圖中 a 的值； （ ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值 Z 服從正態(tài)分布 N（ 200， 試計算數(shù)據(jù)落在（ 的頻率； 參考數(shù)據(jù) 若 Z N（ ， 2），則 P（ Z +） =P（ 2 Z +2） = （ ）設(shè)生產(chǎn)成本為 y，質(zhì)量指標(biāo)為 x，生產(chǎn)成本與質(zhì)量指標(biāo)之間滿足函數(shù)關(guān)系y= ，假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替，試計算生產(chǎn)該食品的平均成本 【考點】 正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義 【分析】 （ ）根據(jù)頻率分布直方圖即可求出 a 的值， （ ）根據(jù)正態(tài)分布的定義即可求出答案， （ ）根據(jù)分段函數(shù)的關(guān)系式代值計算即可 【解答】 解：（ ） a= = （ ） 30） 2 20） 2 10） 2 02 02 02 50 所以為質(zhì)量指標(biāo)值 Z 服從正態(tài)分布 N（ 200， 150）， 所以 P（ Z =P（ 200 Z 200+= 故 p（ 的頻率為 （ ）設(shè)生產(chǎn)成本為 y，質(zhì)量指標(biāo)為 x，生產(chǎn)成本與質(zhì)量指標(biāo)之間滿足函數(shù)關(guān)系y= ， 則 y=175+185+195+205） +215 80+225 80 235 80=604 【點評】 本題考查了頻率分布直方圖和正態(tài)分布以及分段函數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題 20（ 12 分）（ 2017濮陽二模）已知橢圓 y2=m（ m 0），以橢圓內(nèi)一點M（ 2， 1）為中點作弦 線段 中垂線與橢圓相交于 C， D 兩點 （ ）求橢圓的離心率； （ ）試判斷是否存在這樣的 m，使得 A， B， C， D 在同一個圓上，并說明理由 【考點】 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【分析】 （ ）由題意， a= ， b= ， c= ，即可求橢圓的離心率； （ ） 中點為 M，證明 |=|= ，即可得出結(jié)論 【解答】 解：（ ）由題意， a= ， b= ， c= ， = ； （ ）設(shè) A（ B（ 代入作差，整理可得（ （ x1+2（ y1+ =0 依題意， M（ 2， 1）是 中點， x1+， y1+，從而 1 直線 方程為 y 1=（ x 2），即 x+y 3=0 與橢圓方程聯(lián)立，可得 312x+18 m=0， | | 直平分 直線 方程為 y 1=x 2，即 x y 1=0 代入橢圓方程，整理得 34x+2 m=0 又設(shè) C（ D（ 中點為 M（ 則 方程 的兩根， x3+， M（ ， ） 于是由弦長公式可得 | | 點 M 到直線 距離為 d= = 于是，由 式及勾股定理可得 |=|= ，此時 | |故 A、 B、 C、 D 四點均在以 M 為圓心， | |為半徑的圓上 【點評】 本題綜合考查直線和橢圓的位置關(guān)系，難度較大，解題時 要仔細(xì)審題，注意公式的靈活運用 21（ 12 分）（ 2017濮陽二模）已知函數(shù) f（ x） =x， g（ x） = a R） （ ）若 f（ x）和 g（ x）在（ 0， + ）有相同的單調(diào)區(qū)間，求 a 的取值范圍； （ ）令 h（ x） =f（ x） g（ x） a R），若 h（ x）在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點 （ i）求 a 的取值范圍； （ 兩個極值點分別為 明： x1 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用 【分析】 （ ）求導(dǎo)，求得 f（ x）的單調(diào) 區(qū)間，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得 （ ）（ i）求導(dǎo) h（ x） =方程 在（ 0， + ）有兩個不同根，方法一：根據(jù)函數(shù)圖象直線 y= y=兩個交點，求得 y=切點，即可求得 a 的取值范圍；方法二：構(gòu)造函數(shù) g（ x） =導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得 a 的取值范圍； （ 題意可知： 別是方程 的兩個根，則只需證明 t 1，構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得 g（ t） g（ 1） =0，即可證明 ，成立，則 x1 【解答】 解：（ ） f（ x） =x， x 0，求導(dǎo) f（ x） = f（ x） =0，解得： x=1， 則當(dāng) f（ x） 0，解得： x 1，當(dāng) f（ x） 0 時，解得： 0 x 1， f（ x）單調(diào)遞增區(qū)間為（ 1， + ），單調(diào)遞減區(qū)間為（ 0， 1）， 由 g（ x） = a R）在（ 1， + ）單調(diào)遞增，在（ 0， 1）單調(diào)遞減， 則 g（ x）開口向上，對稱軸 x=1， 則 a 0， a 的取值范圍（ 0， + ）； （ ） （ ）依題意，函數(shù) h（ x） =f（ x） g（ x） ax=x 定義域為（ 0， + ）， 求導(dǎo) h（ x） = 則方程 h（ x） =0 在（ 0， + ）有兩個不同根， 即方程 在（ 0， + ）有兩個不同根 （解法一）轉(zhuǎn)化為，函數(shù) y=函數(shù) y=圖象在（ 0， + ）上有兩個不同交點，如圖 可見，若令過原點且切于函數(shù) y=象的直線斜率為 k， 只須 0 a k 6 分 令切點 A（ 則 k=y = ，又 k= ， = ， 解得， ，于是 k= ， 0 a ； 8 分 解法二：令 g（ x） =而轉(zhuǎn)化為函數(shù) g（ x）有兩個不同零點， 求導(dǎo) g（ x） = （ x 0） 若 a 0，可見 g（ x）在（ 0， + ）上恒成立， g（ x）在（ 0， + ）單調(diào)增， 此時 g（ x）不可能有兩個不同零點 5 分 若 a 0，在 0 x 時， g（ x） 0，在 x 時， g（ x） 0， g（ x）在（ 0， ）上單調(diào)增，在（ ， + ）上單調(diào)減， 從而 g（ x）的極大值， g（ x） 極大值 =g（ ） = 1， 6 分 又在 x0 時， g（ x） ，在 x + 時， g（ x） ，于是只須： g（ x） 極大值 0，即 1 0， 0 a ， 7 分 綜上所述， 0 a ； 8 分 （ ）證明：由（ i）可知 別是方程 的兩個根， 即 不妨設(shè) 差得， a（ 即 a= ， 原不等式 x1價于 2，則 a（ x1+ 2， ， 令 =t，則 t 1， ，則 ， 10 分 設(shè) g（ t） =， t 1， g（ t） = 0， 函數(shù) g（ t）在（ 0， + ）上單調(diào)遞增， g（ t） g（ 1） =0， 即不等式 ，成立， 故所證不等式 x1立 【點評】 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想，分析法證明不等式成立，屬于中檔題 四、請考生在第 22、 23 二題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時，用 2B 鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 22（ 10 分）（ 2017濮陽二模）已知直線 l 的極坐標(biāo)方程是 ） =0，以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為 x 軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系