【畢業(yè)學位論文】基于小波變換的紗線信號分析

目錄 I 目 錄 1 緒論 . 1 題背景 . 1 內(nèi)外研究的現(xiàn)狀 . 2 究意義 . 2 文的主要研究內(nèi)容及組織結(jié)構(gòu) . 3 2 信號的數(shù)字采集及波譜圖的原理 . 5 線不勻信號的數(shù)據(jù)采集 . 5 線不勻的起因 . 5 干測定方法 . 5 容式檢測的工作原理 . 5 號采集中參數(shù)的選取 . 6 譜圖的原理與分析方法 . 7 譜圖的形成與結(jié)構(gòu) . 7 想波譜圖 . 8 3 小波變換基礎理論 . 10 述 . 10 里葉變換 . 10 時傅里葉變換 . 11 續(xù)小波變換 . 12 義 . 12 續(xù)小波變換的計算 . 12 續(xù)小波變換的性質(zhì) . 13 升小波 . 14 4 基于傅立葉的紗線信號分析 . 16 條不勻信號的頻率 . 16 率譜 到波長譜的轉(zhuǎn)換 . 17 5 基于小波變換的紗線信號分析 . 19 號趨勢檢測 . 19 二代小波的自適應去噪 . 20 適應第二代小波構(gòu)造 . 20 目錄 自適應第二代小波降噪閾值選擇 . 21 值實驗 . 21 于小波分析的波譜圖計算 . 23 波的頻窗性質(zhì)分析 . 23 復 波 進行數(shù)值實驗 . 24 構(gòu)造的小波進行數(shù)值實驗 . 27 章小結(jié) . 29 6 結(jié)論和展望 . 31 作主要工作總結(jié) . 31 文存在的問題和進一步研究方向 . 31 致謝 . 32 參考文獻 . 32 1 緒論 1 1 緒論 題背景 衡量紗條軸向粗細不勻程度、控制紗線質(zhì)量有效的方法是檢測條干的均勻度， 條干均勻度 檢測是指 沿紗線的長度方向?qū)ζ溥M行粗細不勻的檢測。 紗條的均勻度不僅會導致紗線強力下降，直接影響了織造和染整過程的穩(wěn)定性，而且在很大程度上可以決定紡織品的外觀和內(nèi)在質(zhì)量 1 。 從條子到細紗 ,條干的均勻度是一個很重要的問題。細紗是由每一個體纖維隨機排列、牽伸、加拈而紡成的 2 。 用現(xiàn)有的紡紗設備紡成的紗條，纖維在紗條長度方向上總存在著排列不均勻的狀態(tài)，這也是引起紗條其他各種性能不均勻的重要因素，如影響紗條的捻度分布不勻、強力不勻及 伸長率不勻等。因此，要想改善成紗的質(zhì)量，就必須檢測和分析紗線的條干均勻度，并研究各種工藝和相關的機械因素對其產(chǎn)生的影響，從而將條干均勻度能控制在一定的水平上。 紗條直徑的變化，一方面取決于紗條截面內(nèi)纖維的數(shù)量，另一方面又受到紗條所加捻度的影響。由于捻度有向紗條細段集中的趨向，因此，紗條直徑和紗條截面內(nèi)纖維數(shù)量之間并非完全的線性關系。紗條各截面處的密度不盡相同，紗條也不是一個完整的圓柱體，電容式條干均勻度儀檢測的方法，是以紗條一定長度的質(zhì)量不勻表征紗條的條干不勻。所取的長度，則隨儀器的設計和測試的需要而決定 。 在人們的生活或生產(chǎn)過程中，常對產(chǎn)品上紗條的粗細不勻情況用直觀的目測進行評價。目測仍是一種比較簡便而直接的方法，但受環(huán)境和人的因素影響較大，穩(wěn)定性、重復性差。不過至今在生產(chǎn)與貿(mào)易中，仍存在采用目測評價紗條均勻度的檢測方法。在新型的條干均勻度儀上，也增加了檢測紗條外觀的功能，并提供模擬的紗條黑板圖像，以求兼容用目測檢測條干不勻的效果。電容式條干均勻度儀已有半個多世紀的發(fā)展歷史，是當前普遍使用的一種紗線條干均勻度測試儀器。國際上首推瑞士烏斯特公司的列，已經(jīng)幾代的技術更新。日本計測器公 司的 列、印度普瑞美公司的 也已進入我國。國產(chǎn)的電容式條干均勻度儀也已有 20 年的發(fā)展史，自從 20 世紀 80 年代，軍工企業(yè)加盟紡織測試儀器的研發(fā)，大大促進了我國紡織儀器的發(fā)展。國產(chǎn)的條干均勻度儀在技術上、規(guī)模上不斷有新的突破與進展，為我國紡織測試技術的進步作出了貢獻 3 。 條干均勻度測試儀在我國的各個紡織工廠中已廣泛使用，并成為紗條均勻度評價分 1 緒論 2 等及紗條不勻結(jié)構(gòu)分析的主要手段 4 。 隨著計算機語 言、 網(wǎng)絡技術和現(xiàn)代測量技術的迅速發(fā)展 ，充分利用數(shù)字處理技術來實現(xiàn)紗線質(zhì)量的檢測，具有準確、指標量化等優(yōu)點。傳統(tǒng)上是通過傅立葉變換的方法來計算波譜圖，但是紗線信號是非平穩(wěn)信號，傅立葉分析具有較大的誤差。小波分析方法在是一種時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局域化分析方法， 利用小波分析對紗線信號進行分析， 對實現(xiàn)紗線質(zhì)量的檢測具有一定的應用價值，同時對提高紗線質(zhì)量也具有重要的意義。 內(nèi)外研究的現(xiàn)狀 自 1970年的瑞士烏斯特公司研發(fā)出 型紗線條干儀以來，技術水平在不斷改進，測試指標和 功能也都不斷增強，到目前為止已經(jīng)推出第五代產(chǎn)品了。八十年代日本、俄羅斯、捷克和中國等國家都相繼開發(fā)出自己的條干儀。雖然到目前為止這類產(chǎn)品已經(jīng)多次升級換代，機械制造和工藝水平在不斷提高，但所用原理仍然是傅里葉變換，國產(chǎn)儀器以長嶺紡電和較為知名，但與 都是離線檢測為主。 條干儀可用于測量各種條子、粗紗、細紗及股線的不勻率，還可以測試紗線毛羽 成紗表面雜質(zhì)、微塵，適合試驗的材料包括棉、羊毛、化纖、混紡纖維、絲、麻等 1061 。可精確地分析紗線的變 化，指導紡織生產(chǎn)過程。 其價格較高，對于企業(yè)來說是較大的投資成本。伴隨著科技的發(fā)展，電子技術、計算機技術和新型傳感器技術的不斷更新，數(shù)字信號處理應用到紡織電測信號的處理中，已經(jīng)取得了一些進展 5 。小波分析是 1981年地質(zhì)數(shù)據(jù)處理中取得了較大的成功。小波分析適合非平穩(wěn)信號的處理，而這一點正好可以處理紗線信號，并且能在一定的尺度上分析紗線棉結(jié) 6 。 將小波理論應用到 紗線信號處理具有廣闊的前景，然而這方面的理論研究還比較少。文 7討論了基于小波分析和 8比較了短時波分析和 9討論了利用連續(xù)小波變換和多分辨分析計算紗條波譜圖的模型和算法，構(gòu)造了適合波譜圖計算的小波函數(shù)?；谔嵘桨傅牡诙〔ū葌鹘y(tǒng)小波計算速度快，它不僅具有傳統(tǒng)小波的所有優(yōu)點，而且簡化了運算，便于硬件實現(xiàn)，為實時在線檢測紗線條干均勻提供了可能。 究意義 紗條的均勻度是評判 成品和半成品紗線質(zhì)量的主要依據(jù)，也是對各道生產(chǎn)工序進行機械故障診斷的主要方法，同時也是在國際貿(mào)易中必不可少的指標之一。波譜圖、變異曲線和紗疵的檢測與分類是條干均勻度的主要測試內(nèi)容。這方面最著名的測試儀器有： 1 緒論 3 瑞士的 本的 羅斯的 及中國生產(chǎn)的 。目前國內(nèi)紡織行業(yè)所用的條干均勻度測試儀主要以進口為主，價格非常昂貴，國產(chǎn)儀器價格便宜，但穩(wěn)定性差，精度不高，并且是離線檢測。條干均勻?qū)Χ葴y試儀屬于紡織高科技產(chǎn)品，各個國家及相關相關企業(yè)都將其當做紡織專用測試儀的制高點來爭奪 。我國是紡織大國，條干均勻度測試儀是紡織企業(yè)從事生產(chǎn)和進出口貿(mào)易必需的設備之一，有著廣泛的應用前景。 在紡紗過程中，機器狀態(tài)不佳或者是所定的工藝參數(shù)不合理，都會使紗條呈現(xiàn)出上不同形式的周期不勻。而這樣不同形態(tài)的紗線不勻，會使織成的紡織品外觀呈現(xiàn)出不同的形態(tài)。但是紗條的 %，在有些情況下卻并不能完全反映出這種不勻。例如，具有相近的 %的紗條中，如果有比較高的短片段不勻，用這種紗織出來的針織物表面將會有出“菱形”效應呈現(xiàn)；如 果存在著中片段不勻，所織成的針織物外觀卻較為均勻一致；如果存在著長片段不勻，那么在針織物表面會形成極為顯著的橫檔條花等現(xiàn)象，影響了產(chǎn)品質(zhì)量。這些都說明了即使測出了的不勻率的數(shù)值，也并不能全部概括紗條的不勻性能，還有其它方面需要綜合考慮。長度變異曲線能定量地反映被測紗條的片段不勻的變異系數(shù)情況，得出紗條短片段 、 中片段 、 長片段不勻的大小，但是它對周期不勻卻表現(xiàn)并不敏感。從生產(chǎn)實踐中的情況來看，紗條的周期不勻所帶來的后果，大大超過了紗條不勻率的數(shù)值升高之后所表達的程度。即使差異很小的周期性不勻，常常會使產(chǎn)品外觀惡 化 、充滿疵點而降低等級，但是在很多情況下，其紗條的不勻率 % %U 僅顯現(xiàn)出很小的改變，從而不容易被發(fā)現(xiàn) 10 。所以為了克服上述不勻率 與長度變異曲線的缺點，必須發(fā)展一種對周期不勻具有較強的敏感性，并同時能分辨不勻結(jié)構(gòu)組成的方法。以便迅速而又準確地發(fā)現(xiàn)紗條中存在的周期不勻，及時消除形成周期不勻的原因，提高成紗質(zhì)量。傳統(tǒng)的波譜圖計算是通過傅里葉方法，但是傅里葉分析不具有局部分析的能力 ，小波分析能提供一個隨頻率改變的時間 夠在檢測高頻信息時時間窗變窄，以便在頻率域用較高的頻率對信號進行分析；而當檢測低頻信息時時間窗變寬，從而在低頻域?qū)π盘栠M行輪廓分析。信號經(jīng)多尺度分解后還能對紗疵進行檢測和分類 11 。 文的主要研究內(nèi)容及組織結(jié)構(gòu) 本文的主要研究內(nèi)容是應 用小波變換計算紗線信號的波譜圖 、 信號趨勢檢測和紗線信號的降噪。首先結(jié)合傅里葉計算波譜圖的一系列濾波器的相關信息，用復 波以按對數(shù)增長的尺度對紗線信號進行分解， 對于不同 特征的紗線信號，在頻道上表現(xiàn)出峰值的明顯變化。小波分析還能夠檢測出信號的發(fā)展趨勢?；谔嵘袷降牡诙〔ㄓ兄T多優(yōu)點，本文研究了第二代小波的自適應去噪，以方差和平方和作為選擇濾波器的依據(jù)， 使預測器和更新器始終能夠適應各個尺度逼近信號的特征，并結(jié)合軟閥值和硬閥 1 緒論 4 值的優(yōu)點，對紗線信號降噪。 本文共分為六章，具體情況如下： 第一章 緒論 介紹了條干均勻度檢測的意義， 國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀 ，以及用 小波分析 分析紗線信號的合理性 。 第二章 信號的數(shù)字采集及波譜圖的原理 介紹了紗線不勻的起因和紗線信號采集過程中電容式檢測的工 作原理，及參數(shù)的選取問題。 第三章 小波分析理論基礎 介紹了小波分析的一些理論基礎，包括傅里葉變換，短時傅里葉變換和連續(xù)小波變換，并介紹了提升小波。 第四章 基于傅立葉的紗線信號分析 本章 應用 傅里葉方法計算波譜圖 。 第五章 基于小波分析的紗線信號分析 本章結(jié)合上一章傅里葉方法計算波譜圖的 55 個帶通濾波器的性質(zhì)，用 復 波選取合適的尺度進行小波變換，得到波譜圖 。后又構(gòu)造嚴格分頻的小波函數(shù)計算波譜圖。提升算法有很多優(yōu)點，將第二代小波應用到紗線信號處理上，能顯著提高運行效率，為實時在線檢測紗 線提供支持，因此還構(gòu)造了自適應的第二代小波對紗線信號降噪。 第六章 結(jié)論和展望 對全文工作進行總結(jié)，并對下一步的研究工作進行展望。 2 信號的數(shù)字采集及波譜圖的原理 5 2 信號的數(shù)字采集及波譜圖的原理 線不勻信號的數(shù)據(jù)采集 線不勻的起因 造成紗線不勻，即紗線細度不勻的原因 30712 主要有下面三個： 纖維在紗中的隨機分布不勻。其又稱紗線的理論不勻。 紡紗成形中的工藝和機械因素的附加不勻。其可分為周期性不勻，由機械轉(zhuǎn)動件的偏心和振動所致；非周期不勻，由于牽伸距離不當，浮 游纖維竄動而形成的紗條細度不勻。 人為和環(huán)境因素的突然變化。如接頭 、 粗細節(jié) 、 飛花附著 、 雜質(zhì)等。這類偶發(fā)性的不勻，一般被稱為紗疵。 干測定方法 黑板條干目測法、切段稱重法、電容式檢測 和 機械式檢測 是 條干均勻度檢測時常用的 方法 4 。黑板條干目測法主要用于細紗；各道半制品和細紗 的檢測可以用 切段稱重法；條子、粗紗和細紗 可以用 電容式檢測，機械式僅適用于 檢測 條子和粗紗 。 電容式均勻度儀有較長的發(fā)展歷史，是目前世界各國測量紗條不勻率采用最為廣泛的儀器，它 測 得的結(jié)果 對于鑒定紗樣的質(zhì)量、分析紗樣結(jié)構(gòu)和特征以及判斷產(chǎn)生條干不勻的原因有著重要的作用 4 ，如果針對特定的用途安裝專家分析系統(tǒng)，可以進一步提高儀器使用價值。因此 本文采用 電容式檢測法采集紗線信號。 容式檢測的工作原理 當在電容極板間引入被試驗紗條時，由于纖維具有較空氣為高的介電系數(shù)，因此使檢測電容的電容量隨極板 間的纖維量多少而變化，即由纖維量轉(zhuǎn)變?yōu)殡娏康淖兓?1111 。在電容器極板 ,當施加電壓 V 時 ,集聚電荷 ， 其中 C 為檢測時的電容值。在施加的電壓保持不變的前提下 ,電荷 Q 隨電容線性變化。 電容式檢測如圖 于 極板面積為 S 、間距為 L 的電容器平行極板，如果不考慮它的邊緣效應，在沒有紗條的情況下電容量為： 00 （ 式中： 0 空氣的介電系數(shù)， 10 。 2 信號的數(shù)字采集及波譜圖的原理 6 將紗條平行于極板方向放入電容傳感器中，并且充滿系數(shù)很小時， 其電容量為： 0C r （ 式中： r 紗條相對電容率； 根據(jù)待檢測的纖維類別決定的介電系數(shù) 。 設紗 條直徑為 d ,只有當 d L 時， 才能使充滿系數(shù)比較小， 紗條粗細的變化和電容量才呈線性關系 ,即： r1110 （ 圖 容與介質(zhì)示意圖 如果 L 、 r 保持不變 ， 那么電容的變化量就僅僅和紗條的直徑有關。所以 通過測量輸出電荷量的改變量可以間接反映紗條的粗細不勻。電容式均勻度測試儀就是利用這一原理來測定條干均勻度。 號采集中參數(shù)的選取 信號采集又稱為數(shù)字化，數(shù)字化包括離散化和量化兩部分。離散化又稱為抽樣或采樣。連續(xù)信號經(jīng)過離散化后，在時間上成為不連續(xù)的數(shù)字量，然而它的幅度還可以取連續(xù)值，再將信號的幅度進行量化取整，便得到數(shù)字信號。 在信號采集的過程中，采樣間隔和采樣的總點數(shù) N 是很重要的兩個參數(shù)。這兩個參數(shù)選取不好可能會出現(xiàn)混疊，也關系到存儲量的大小，另外還應該 考慮一下計算量的大小 1065 。 采樣間隔 的選取 根據(jù)香農(nóng)采樣定理，要想使采樣后的數(shù)字信號能唯一的確定原來的模擬信號，需要滿足下面兩個條件： 模擬信號 )(頻譜 )(截止頻率 即：當 時，有 0)( 采樣間隔 滿足： ，不然就會產(chǎn)生頻率混疊的現(xiàn)象，即用 對 )(樣2 信號的數(shù)字采集及波譜圖的原理 7 之后得到信號 )( 頻譜 )(和 )(這樣的等式關系： )(= ( ，也就是說，用離散信號所計算的頻譜這時候已經(jīng)不能夠代表原始信號的頻譜了 1065 。 采樣總長度 N 的選取 采樣總長度 N 的選取也很重要，它關系到處理信號誤差的大小。因為根據(jù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的知識，只有當它的子樣本大小趨于無窮大時，其均值才會以概率 1 趨近于集合這個整體的數(shù)學期望。因此，采樣總長度 N 盡 量取大些，這樣誤差也就小一些。而且由于離散傅立葉變換的頻率譜間隔 ，在采樣間隔 確定的情況下，要想使得頻譜精細，就必須增大采樣數(shù)據(jù)的總長度 N 。但是計算量和存儲量都會隨著采樣長度 以采樣的長度 N 還要求取得適當，要綜合考慮各方面的因素 1095 。 譜圖的原理與分析方法 由于紡紗機械或工藝的缺陷等原因，在紡紗過程中，半制品與成品都會產(chǎn)生周期性或近周期性的質(zhì)量變異。有時雖然紗條不勻率的數(shù)值沒有過大的差異，但是在最終產(chǎn)品的織物上會產(chǎn)生明顯的質(zhì)量惡化，利用波譜圖可以直接辨認出周期性疵點的存在。尤其當同一紗條存在多個不同波長的周期性疵點，不勻曲線圖就比較難以辨別，而波譜圖可以顯示得很清楚。從而可以迅速發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品中周期性疵點的存在與性質(zhì)，以便進行分析，找出原因，及時消除。 譜圖的形成與結(jié)構(gòu) 圖 示一個正弦波，其振幅為 1C ，波長為 1 ，則可用下面的一個直方圖來表示，其橫坐標的位置在 1 ，高度為 1C 。 圖 個正弦波的波譜圖 112 信號的數(shù)字采集及波譜圖的原理 8 紗條不勻的波形是一個復雜的波形。但可以通過傅立葉級數(shù)分解成若干個不同波長與振幅的正弦波。因此，也可以用若干個不同波長與振幅的直方圖構(gòu)成的階梯形連續(xù)曲線來表示紗條的不勻即波譜圖。 波譜圖是 波長譜曲線圖，波譜圖的橫坐標采用對數(shù)坐標，表示波長，從而在有限的圖紙上表示出較大的波長范圍?？v坐標表示振幅的相對值。圖 簡要說明波譜圖形成的過程。 圖 譜圖形成的過程示意圖 波譜圖的頻道寬度即相鄰頻道的波長間距，按 52:1 等比遞增 2405 。波譜圖的縱坐標表示了平均振幅 的相對值大小，為了使波譜圖有可比性，對波譜圖的高度進行了標準化，即不管紗條的 值高低，都可以在標準圖紙上畫出相似高度的波譜圖 13 。 由檢測器輸出并放大后的紗條不勻信號 )(根據(jù)波長的范圍 )( 分別通過不同波長的通道（根據(jù)儀器設置的頻道數(shù)確定）。經(jīng)處理獲得振幅平均值，再經(jīng)過多路掃描和控制電路及振幅標準化處理，最后由記錄器將波譜圖打印出來。 由 于產(chǎn)生周期性不勻的原因是多種多樣的，因此要充分掌握生產(chǎn)設備與工藝的基本情況，結(jié)合實踐經(jīng)驗的積累，有助于迅速、準確地找出疵點發(fā)生的原因。 想波譜圖 設每根纖維材料都是等長的，而且纖維的截面粗細相等，僅存在纖維在紗條中排列的隨機不勻。這樣理想紗條的波譜圖即稱理想波譜圖。理想波譜圖的數(shù)學表達式為： 00)( （ 式中： )( 波長取對數(shù)坐標的振幅； 波長； 0l 纖維平均長度； n 紗條橫截面內(nèi)平均纖維根數(shù)。 理想波譜圖的圖形如圖 示。 6600 6800 7000 80 90 F( 2 ) F( n ) 振幅平均 振幅平均 振幅平均 F( 1 ) 振幅標準化 X(t) 2 信號的數(shù)字采集及波譜圖的原理 9 圖 想波譜圖 理想波譜圖曲線最高峰的位置。在理想波譜圖中，由于隨機不勻所產(chǎn)生的最高峰位置，可以數(shù)學方法進行推算。 在理想波譜曲線的峰頂處，其斜率必為零，即： 0得 07.2 l ，即理想波譜圖曲線在波長 為最高峰。 波長 振幅 0l 3 小波變換基礎理論 10 3 小波變換基礎理論 信號處理的任務之一是認識客觀世界中存在的信號的本質(zhì)特征，并找出規(guī)律?！皺M看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”。在信號處理中，重要的方法之一是傅里葉變換，它架起了時間域和頻率域之間的橋梁。通過傅里葉變換將時域上的信號轉(zhuǎn)換到頻域上進行分析，可以看到信號在整個時間段內(nèi)的頻率 是傅里葉分析有固有的缺陷，那就是它要么完全在時間域上觀 察信號，要么完全在頻率域上觀察信號，無法表述信號在某個時間或頻率點的局部性質(zhì)，而描述非平穩(wěn)信號需要時頻局部性質(zhì) 1656 。為了分析非平穩(wěn)的信號，人們對傅里葉分析進行了創(chuàng)造性的推廣，提出并且理論上發(fā)展了一系列新的信號分析方法，例如短時傅里葉變換、 換、小波變換、時頻分析、分數(shù)階的傅里葉變換等，還有第二代小波，甚至一系列方向性的小波，如 脊波 、 輪廓波 、 條帶波 、 剪切波等，即第三代小波 。 短時傅里葉變換是通過一個窗函數(shù)截取信號的一部分，在一個短時間隔內(nèi)信號是平穩(wěn)的（偽平穩(wěn) 的），對信號進行傅里葉變換之后，就算出這個短時間的功率譜，從而就得到各個不同時刻的功率譜。但是在短時傅里葉變換分析的過程中使用的是一個固定的窗函數(shù)，窗函數(shù)一旦確定，其形狀就不再發(fā)生改變，短時傅里葉變換的分辨率也就確定了 1666 。 小波分析使用的也是一個窗函數(shù)，不同于短時傅里葉變換（有一個確定不改變的窗函數(shù)），小波函數(shù)在分析的過程中只是時頻窗的面積保持不變，但窗函數(shù)的形狀是可以改變的。這樣在檢測高頻信息時就可以以較高的頻率分辨率，在檢測低頻信息時就可以以較低的頻率分辨率分 析信號，適合用于探測信號中出現(xiàn)的反?，F(xiàn)象，例如用小波分析實現(xiàn)對某種機械的故障診斷。 小波分析最早應用在地震信號分析中，是通過分析由爆炸方法產(chǎn)生的人造地震數(shù)據(jù)來探知地下巖石油層分布。正是 析傅里葉和短時傅里葉的性質(zhì)，在它們的特性研究基礎上，提出了“小波分析”的概念，將構(gòu)造的小波命名為 波，該小波在地質(zhì)數(shù)據(jù)處理中取得了極大成功 16 。 述 里葉變換 傅立葉分析最初是應用在解析分析熱過程上，是法國數(shù)學家傅立葉提出的，后來發(fā)現(xiàn)， 任何周期 函數(shù) 都可以用正弦 函數(shù) 和余弦 函數(shù) 構(gòu)成的無窮級數(shù)來表示 ，即3 小波變換基礎理論 11 10)()( Nn nn 1777 年，數(shù)學家歐拉在研究天文學時發(fā)現(xiàn)有的函數(shù)可以通過余弦函數(shù)之和來表達。1807 年，傅里葉本人進一步提出傅立葉級數(shù)的概念：周期為 2 的函數(shù) )(可以表示為一系列三角函數(shù)之和，即 s s2)(10 k kk （ 其中 2 01 ( ) c o s f x k x x ， 2 01 ( ) s in f x k x x 。 應用到復數(shù)域上，于是有信號 )(連續(xù)傅立葉變換 iw t )()(（ 傅里葉變換建立了信號時域與頻域之間的關系，能分別從信號的時域和頻域分析信號。 時傅里葉變換 盡管傅里葉變換已經(jīng)成為信號處理，尤其是時頻分析中最常用的工具，但是，對信號的分析都是建立在傅立葉的基礎上的，由于有傅立葉變換只能在時域或者在 頻域變換，無法描述信號的時頻局部化特征，而這種性質(zhì)恰好是非平穩(wěn)信號最根本和最關鍵的性質(zhì) 1657 ，如音樂、地震信號在某個時刻的頻率成分。傅里葉變換在時域局部分析時無能為力， 意到傅立葉變換的不足，于 1946 年引入了短時傅里葉變換，它的思想是：把準備分析的信號劃分成為許多小的時間間隔，用傅里葉變換處理每個時間間隔上的短時信號，以便確定在這段小的時間間隔內(nèi)的頻譜信息 1667 。圖 a）、圖 b）為用短時傅里葉變換對 信號進行分析的示意圖。 假設對信號 )(時間 x 附近內(nèi)的頻率感興趣，那么可以求傅里葉變換在某個時間段 I 內(nèi)的值，即定義 I x | 1),( i （ 時 間 窗時 間幅度時間頻率（ a）時域加窗 （ b）時頻平面劃分 圖 短時傅里葉變換 3 小波變換基礎理論 12 其中 I 表示的是區(qū)域 I 的寬度。 在短時傅立葉變換中，采用的重要技巧是對信號進行加窗，對任意窗函數(shù))()( 2 ，定義窗函數(shù) )(中心和半徑分別為： R )(| 1 22 2/1222d|)(|)(| 1 續(xù)小波變換 義 短時 傅里葉變換的時頻分析窗口大小是固定的，而對于非平穩(wěn)信號，需要可以調(diào)節(jié)的時頻窗口，即希望用較好的頻率分辨率特性分析信號的低頻部分，用比較好的時間分辨率特性分析信號的高頻部分。為此特引入窗口函數(shù) )(|1)(, a ，并定義基本小波。 定義 函數(shù) )()()( 21 ，并且 0)0( ，即 0)( t，即稱 )(t 為一個基本小波或母小波。母小波 )(t 經(jīng)過伸縮和平移得 0,),(|1)(, (稱 )(, 為小波函數(shù) 1586 。其中 a 是尺度因子，表示與頻率相關的伸縮， b 是時間平移因子。參數(shù) a 用來反映 )(, 的尺度（或?qū)挾龋瑓?數(shù) b 用來檢測 )(, 在時間軸上的平移位置。 在工程應用中，常假設 0a 。這時在 )(, 的定義中， a 的作用是將 )(t 做伸縮，當 1a 時， )()(, ；當 a 比 1 大 ，并且越來越大時， )(, 在 )( 的基礎上窗口變寬；當 a 比 1 小，并且越來越小時， )(, 在 )( 的基礎上窗口變窄。 設 )(t 是基本小波， )(, 是由式 (3義的連續(xù)小波變換。對于 )(2 ，其連續(xù)小波變換 定義為 ta d)()(|1),( （ 續(xù)小波變換的計算 3 小波變換基礎理論 13 怎樣選擇合適的尺度大小進行小波變換呢？某一尺度下的小波函數(shù)類似于帶通濾波器，而這個帶通濾波器的頻域必須和所要分析的信號有重疊的部分。在工程中，我們近似地認為小波的中心頻率是小波頻率譜中處于能量值最大的頻率，因此可以選擇合適的尺度使中心頻率總在待分析信號的帶寬之內(nèi)。圖 示了 波與頻率為 圖 波與正弦信號的 近似估計 續(xù)小波變換的性質(zhì) 由小波變換定義不難發(fā)現(xiàn)，連續(xù)小波變換具有如下重要性質(zhì)： （ 1）線性 連續(xù)小波變換為線性變化，即一個函數(shù)的連續(xù)小波變換與該函數(shù)分量的連續(xù)小波變換的和相等 3614 ，公式表示如下： )()()( 21 ,)( ,)(11 2)(2 則 21 （ 2）時移共變性 ),()( f ),()( 00 f 連續(xù)小波變換可用卷積表達式來改寫，即 )(d)()(|1),( 2/1 a 其中 )/()( 1 。所以，小波變換也可以看成是信號與濾波器的卷積運算。 為了討論小波函數(shù)的時頻局部化性質(zhì)的需要，有必要先介紹一個基本的性質(zhì)。 3 小波變換基礎理論 14 對于函數(shù) )(傅里葉變換 )(f 而言，滿足： )()( , )()( （ 因此有下列關系 0000,（ 其中 0t 、 分別表示時窗中心、半徑， 0 、 分別是頻窗中心、半徑。 小波函數(shù)窗口的特點：當需要檢測高頻成分時，可以調(diào)整 a 的值，使 a 減小，此時時間窗口將變窄，而頻率窗口會自動放寬，這時窗口是一個時寬窄而頻寬大的高頻窗；相應的在檢測低頻成分時，增大 a 的值，這時窗口是一個時寬大而頻寬窄的低頻窗。 而且根據(jù)式（ 可 以看出小波變換的物理特性有： （ 1）信號 )(連續(xù)小波變換相當于一系列的帶通濾波器對 )(波后的輸出。 （ 2）設 Q 為濾波器的中心頻率 與帶寬 之比，也稱為濾波器的品質(zhì)因數(shù)，則 的 帶通濾波器。 升小波 從傅里葉分析的基 礎上發(fā)展的經(jīng)典小波分析解決了很多實際問題，但是在一定程度上它受到了傅里葉分析的限制，構(gòu)造理論也相對復雜。 1996 年， 不依賴于傅里葉變換，可以用來構(gòu)造第一代的小波和改進第一代小波的變換算法，還可以用于構(gòu)造第二代小波。它不依賴于傅里葉變換，繼承了第一代小波的多分辨率特征，采用原位操作，計算速度快，計算時無需額外的存儲開銷37514 。 提升方案是這樣的，首先將信號分成 2 個較小的子集，簡單的方法是按奇偶性分成2 組，然后用偶數(shù)序列去預測奇數(shù)序列，相減之后得到信號的高頻分量，之后通過 保持原有信號的均值和高階距不變 的限制條件更新，得到信號的低頻分量，詳細過程見表 過這種簡單而有效的方法就構(gòu)造了雙正交小波。 提升算法把第二代小波的變換過程分為 3 個階段：分解 、 預測和更新 1915 。 假設一個信號序列 1,)( 。 （ 1）分解：將輸入的信號 F 分成 2 部分，簡單的方法是分成奇樣本 偶樣本 （ 2）預測：奇偶抽取后，奇數(shù)學列與偶數(shù)序列的數(shù)據(jù)有一定的相關性，用序列 ( 預測（或內(nèi)插）序列 也就是將濾波器 P 作用于偶數(shù)信號后的序3 小波變換基礎理論 15 列作為奇序列信號的預測值，奇序列 剛才得到的預測值相減，即得到殘 差信號 d ，將 d 定義為細節(jié)信號 37614 。 )( （ 3）更新：用細節(jié)信號 d 來更新 得到逼近信號 s 。 )(e 式中 )(),3(),2(),1( 為預測器， )(),3(),2(),1( 為更新器， M 和M 分別為預測器和更新器系數(shù)的個數(shù)， ,2 。詳細的分解重構(gòu)過程如下表 表 提升方法的分解和重構(gòu)過程 分解過程 重構(gòu)過程 1. )2()( )12()( 1. )()()(1 2. )()()(1 2. )()()(1 3. )()()(1 3. )()2( e )()12( o 與經(jīng)典小波變換不同的是，第二代小波變換是在時域上進行運算的，它將 1j 尺度上的信號 1解為逼近信號 細節(jié)信號 過程類似于經(jīng)典小波變換中的多尺度分解。 第二代小波是能更靈活地構(gòu)造小波變換的一種方法，它能夠根據(jù)不同信號的不同特點，來自適應構(gòu)造小波，這種小波甚至可以是非正交的 37714 。 4 基于傅立葉的紗線信號分析 16 4 基于傅立葉的紗線信號分析 條不勻信號的頻率 采集的信號往往會混入高頻成分，可采用數(shù)字濾波 20 的方法去掉它。設計一個半余弦低通濾波器，這個半余弦低通濾波器的高通頻率 3001f 截頻率 3082 f 表達式如下： 其它2111210,c o 11)( （ 前面介紹了波譜圖的原理和信號采集的問題，為便于在紡織行業(yè)生產(chǎn)中的應用及與進行對比，不僅需要求出紗條不勻信號的頻率譜，還要求出它的波長譜 2405 。 紗線信號頻譜的計算步驟如下： （ 1）先確定采樣的時間間隔和采樣總點數(shù)。 （ 2）將信號去中心化，即把信號的均值調(diào)整為 0。 （ 3）選擇合適的 時窗，例如凱塞窗 、 漢寧窗 、 哈明窗等，將時間無限的待分析信號截取為有限的數(shù)字信號，降低吉普斯現(xiàn)象的影響。 （ 4）用快速傅立葉算法計算截取后的信號頻譜。 （ 5）對結(jié)果進行顯示，處理和分析。 根據(jù)以上步驟所計算的紗線信號 1（圖 頻率譜，見圖 中只顯示了部分頻率。 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000120140160180原信號 圖 線信號 1 4 基于傅立葉的紗線信號分析 17 4 6 8 10 12 14 16 18 2000 . 10 . 20 . 30 . 4頻率 / H o u r i e r 變換圖 線信號 1 的頻率譜 率譜到波長譜的轉(zhuǎn)換 得到信號的振幅譜后，為了使紗條中各個片段長度不勻的情況有更加直觀的效果，可以將紗條的頻譜圖以 自變量為波長的形式表現(xiàn)出來。同時，對波長取對數(shù)，作成的譜圖就是紡織中通用的對數(shù)波長譜圖 2385 。 為了求得與 干儀相一致的波譜圖，就要盡量按照它的計算模型來處理， 第二代條干儀設置了 55 個頻道，其最低頻道的上下截止頻率分別為 2 個相鄰頻道寬度的公比是 512 ，通過設計 55 個帶通濾波器對紗條不勻信號進行數(shù)字濾波，過濾出這 55 個頻率段內(nèi)的信號成分，從而求出相應各頻道的振幅值 2605 。數(shù)字濾波既可以在頻域內(nèi)也可以在時域內(nèi)濾波，采用哪一種方法，可以根據(jù)實際情況而定。由于 只是求出各個頻道的振幅值，因此沒有必要求出它濾波后的時間信號，這里采用頻域濾波的方法。即先對信號進行傅里葉變換，再與設計的濾波器相乘。為了減小濾波的誤差，要盡量使濾波器兩側(cè)變得平滑，減小它的突變，可以采用余弦鑲邊帶通濾波器對紗條不勻信號進行數(shù)字濾波，如下式： 其它4321323432120,c o 1,c o 11)(（ 式中 4321 ； 2f 和 3f 為理想帶通濾波器的上、下截止頻率，可以根據(jù) 1f 和 4f 分別為鑲邊帶通濾波器的最低和最高頻率，可根據(jù)波譜圖的情況調(diào)整。計算出各個頻道的振幅值之后，將頻率變換成波長的對數(shù)作 x 坐標，振幅為 y 坐標。 如圖 紗線信號，圖 用傅里葉方法算得的波譜圖 。 4 基于傅立葉的紗線信號分析 18 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000120140160180原信號 圖 線信號 1 10號 1 的波譜圖 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50006080100120原信號 圖 線信號 2 10號 2 的波譜圖 5 基于小波變換的紗線信號分析 19 5 基于小波變換的紗線信號分析 如果一個信號其屬性隨著時間的變化在統(tǒng)計上是固定的，則就稱這段信號為平穩(wěn)信號。一個平穩(wěn)信號能夠預示下一階段的未知事件，并且可以通過統(tǒng)計法來預測這些意外事件發(fā)生的概率，這就是統(tǒng)計上可預測的未知事件。處理平穩(wěn)信號最理想的方法就是析，換句話說，平穩(wěn)信號可以被中規(guī)中矩的分解為波的線性組合，這里的波也就是正弦函數(shù)和余弦函數(shù) 21 。以同樣的方式，一些非平穩(wěn)信號也可以較自然的分解為波的線性組合，而各種非平穩(wěn)信號太多，不能僅用一種方法來處理。無論是光電式還是電容式條干儀，所采集的信號都是非平穩(wěn)的。對于非平穩(wěn)信號，傅里葉分析具有較大的誤差，運用小波理論分析紗條信號的波譜圖、疵點等更具合理性。小波變換作為一種變換域信號處理方法，近年來在信號處理、圖像處理、語音分析及眾多非線性科學領域 22 引起人們的極大興趣，其優(yōu)點是在時域和頻域具有良好的局部特性。 號趨勢檢測 對紗線信號（如圖 用 波對其進行 10 層分解，如圖 示，得到的逼近信號從 7a 到 10a ，發(fā)展趨勢變得越來越清晰。這是因為尺度分解中的低頻部分隨著分解層數(shù)的增加，它所含有的高頻信息會隨之減小。所以當分解到下一個層次時，就有更高一些的頻率成分被濾掉，而所剩下的就是信號的發(fā)展趨勢。 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000406080100120圖 線原信號 線信號經(jīng)小波分解的逼近信號 5 基于小波變換的紗線信號分析 20 二代小波的自適應去噪 通過數(shù)據(jù)采集裝置所