2015年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)-不等式

知識專題 檢測 五 不等式 一、選擇題（共 10 小 題 ，每小題 3 分，共 30 分 ） 1 不等式 112x的解集是（ ） A ( ,2) B (2, ) C (0,2) D ( ,2) (2, ) 2 “ a 0， b 0”是“ ”的 3 若 a0， b0，則不等式 b1x ） A 1bx0 或 0x1 1ax1a或 x1b或 x1設(shè) f(x)= 1232 , 2 ,l o g ( 1 ) , 2 , 則不等式 f(x)2 的解集為 A.（ 1， 2） （ 3， +） B.（ 10 ， +） C.（ 1， 2） （ 10 ， +） D.（ 1， 2） 5 若 ,R、 ，則下列不等式成立的是 ( ) 1. B. 22 . 2 c bc a. D. | . 6已知不等式 (x+y)(1x + 9 對任意正實(shí)數(shù) x,y 恒成立 ,則正實(shí)數(shù) a 的最小值為 ( ) 已知函數(shù) f(x)=(a0),若 D.f( f(大小不能確定 8 設(shè)實(shí)數(shù) x ， y 滿足 1)1( 22 當(dāng) 0 時(shí)， c 的取值范圍是（ ） A 12 ， ) B ( ， 12 C 12 ， ) D ( ， 12 9 若關(guān)于 x 的不等式 1( 2 4k 4 的解集是 M，則對任意實(shí)常數(shù) k ，總有（ ） M， 0 M； M， 0 M； M， 0 M； M， 0 M 10 若 , , 0且 2 2 2 4 1 2a a b a c b c ，則 的最小值是 D. 3 二、填空題（共 6 題） 11 不等式 1 02的解集是 。 . 12 不等式 3)61( 13 三個(gè)同學(xué)對問題“關(guān)于 x 的不等式 2x 25 | 3x 5 2x | 1， 12上恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍”提出各自的解題思路 甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值” 乙說：“把不等式變形為左邊含變量 x 的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值” 丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于 x 的函數(shù)，作出函數(shù)圖像” 參考上述解題思路，你認(rèn)為他 們所討論的問題的正確結(jié)論，即 a 的取值范圍是 14 某公司一年購買某種貨物 400 噸，每次都購買 x 噸，運(yùn)費(fèi)為 4 萬元 /次，一年的總存儲費(fèi)用為 4x 萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則 x _ 噸 15. 已知 | ， b ， c R）給出下列不等式： ； ； ； | ； | 其中一定成立的不等式是 （注：把成立的不等式的序號都填上） l 過點(diǎn) )1,2(P ，且與 x 軸、 y 軸的正半軸分別交于 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則三角形 積 的最小值為 . 三、解答題（共 4 小 題 ， 10+12+12+12=46，共 46 分 ） 17 若 a 0， b 0， a3+求證 2， 1 18 對于在區(qū)間 m ， n 上有意義的兩個(gè)函數(shù) )( )(如果對任意的 x m ， n ，均有 |)()(| 1，則稱 )( )(區(qū)間 m ， n 上是接近的，否則是非接近的 設(shè))3(1 a 與 0(1lo g)(2 a ， )1a 是區(qū)間 2 a ， 3a 上的兩個(gè)函數(shù) （ 1）求 a 的取值范圍； （ 2）討論 )(1 )(2 區(qū)間 2 a ， 3a 上是否是接近的 19 己知 0a ，函數(shù) 2)( （ 1） 當(dāng) 0b 時(shí)，若對任意 x R 都有 )( 1，證明： a （ 2） 當(dāng) 1b 時(shí) ，證明：對任意 1,0x ， |)(| 1 的充要條件是 1b a 個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗 ,清洗前其清潔度 (含污物體的清潔度定義為 :1() 污 物 質(zhì) 量物 體 質(zhì) 量 含 污 物)為 求洗完后的清潔度是 方案甲 :一次清洗 ;方案乙 :兩次清洗 其質(zhì)量變?yōu)?a (1 a 3)x 單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是 ( 1),用 y 質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是 y ,其中 ( 0 ) 是該物體初次清洗后的清潔度 . ( )分別求出方案甲以及 時(shí)方案乙的用水量 ,并比較哪一種方案用水量較少 ; ( )若采用方案乙 ,當(dāng) a 為某定值時(shí) ,如何安排初次與第二次清洗的用水量 ,使總用水量最少 ? 并討論 a 取不同數(shù)值時(shí)對最少總用水量多少的影響 . 答案與點(diǎn)撥： 1 D 解： 由 112x得： 1 1 2 022 ，即 (2 ) 0，故選 D。 2 A 解： 由“ a 0， b 0”可推出“ ”，反之不一定成立，選 A 3 D 解： 故選 D 4 C 解： 令 122（ x2），解得 1x2。令 23 1)x 2（ x2）解得 x（ 10 ， +）選 C 5 C 解： 應(yīng)用間接排除法取 a=1,b=0，排除 A. 取 a=0,b=除 B; 取 c=0，排除 D故應(yīng)該選 C顯然 ，對不等式 ab 的兩邊同時(shí)乘以 ，立得 成立 6 B 解 ： 不等式 (x+y)( 1 9 對任意正實(shí) 數(shù) x， y 恒成立，則 1 y 21 9， a 2 或 a 4(舍去 )，所以正實(shí)數(shù) a 的最小值為 4，選 B 7 A 解 ： 函數(shù) f(x)=(a0)，二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為 1x ， a0， x1+， 中點(diǎn)為 0， x1 對稱 軸的距離大于 對稱軸的距離， f(f(，選 A 8 C 解：（三角換元） 設(shè) x ， y ， c 1 1)4s 2 ， c 12 ，故選 C 9 A 解： 選 （ A） 方法 1： 代入判斷法，將 2, 0分別代入不等式中，判斷關(guān)于 k 的不等式解集是否為 R ； 方法 2 ： 求 出 不 等 式 的 解 集 ： 1( 2 4k 4 4 22m i 24 5 5( 1 ) 2 ( 1 ) 2 2 5 21 1 1kx k x kk k k 10 A 解： （ a b c） 2 22212（ b c） 212，當(dāng)且僅當(dāng) b 選 A 11 x|x 1 或 x2. 解： 1 02（ x 1）（ x 2） 0x 1 或 x2. 1 1 b 01 a 0 xx b x 1 0 11 a x 0 1 x 0a 或（ ）或（ ）或 12 ( 3 2 2 , 3 2 2 ) 1x 點(diǎn)撥： 本題考查對數(shù)函數(shù)單調(diào)性和不等式的解法 解 ： 1( 6 ) 822l o g 3 l o gx x ， 0 1 68 ， 1 21 60 . 解得 ( 3 2 2 , 3 2 2 ) 1x 反思： 在數(shù)的比較大小過程中 ,要遵循這樣的規(guī)律 ,異中求同即先將這些數(shù)的部分因式化成相同的部分 ,再去比較它們剩余部分 ,就會很輕易啦 (1)作差比較法和作商比較法 ,前者和零比較 ,后者和 1 比較大小； (2)找中間量 ,往往是 1,在這些數(shù)中 ,有的比 1 大 ,有的比 1 ??； ,(3)計(jì)算所有數(shù)的值； (4)選用數(shù)形結(jié)合的方法 ,畫出相應(yīng)的圖形； (5)利用函數(shù)的單調(diào)性等等 . 13 ( ,10a 解： 由 2x 25 | 3x 5 2x | 225, 1 1 2 | 5 |a x x a x x ，而 2 5 2 52 1 0 ，等號當(dāng)且僅當(dāng) 5 1,12x 時(shí)成立；且 2| 5 | 0，等號當(dāng)且僅當(dāng) 5 1,12x 時(shí)成立；所以， 2m i | 5 | 1 0a x x ，等號當(dāng)且僅當(dāng) 5 1,12x 時(shí)成立；故 ( ,10a ； 14 20 解： 某公司一年購買某種貨物 400 噸，每次都購買 x 噸，則需要購買 400費(fèi)為 4 萬元 /次，一年的總存儲費(fèi)用為 4x 萬元，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和為 400 44萬元， 400 44 160，當(dāng) 1600 4即 x 20 噸時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小。 15 解：（ | | | ，（ | | | 這是絕對值不等式的重要性質(zhì)，必須熟練地掌握） | ，是正確的 | | c ， |a | ，正確 令 3a ， 1b ， 4c ，滿足條件， 但 4)3(13 2)3(|1|3| 能成立， ，是錯誤的 16 4解： 設(shè)直線 l 為 ，則有關(guān)系 對 應(yīng)用元均值不等式，得 ，即 8 于是， 積為 從而應(yīng)填 4 17 分析 ： 由條件 a3+ 及 特征 的結(jié)論 2 的結(jié)構(gòu)入手，聯(lián)想它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，不妨用作差比較法或均值 不等式或構(gòu)造方程等等方法，架起溝通二者的“橋梁” 本題證法較多 證法 1 (作差比較 法 ) a 0， b 0， a3+， 33 2)( a3+3633 22 3 2)( = )()(3 33 = 3 2)( 0， 即 3)( 23 又 0 2 2， 1 證法 2 (適當(dāng) 配湊 ，綜合法 ) a 0， b 0， a3+， 2=a3+)( 22 )2)( = )( ， 6 )(3 ， 8 2)(3 3a3+3)( ， 2 (以下略 ) 證法 3 (構(gòu)造方程 ) 設(shè) a， b 為方程 n=0 的兩根則 . , a 0， b 0， m 0， n 0 且 =0 2=a3+3)()( 222 =m 232 將代入得 )323(422 0 ，即3 0， 83m 0，即 m 2， 2 2 m， 4 4n， 4 4n，即 n 1 1 說明： 認(rèn)真觀察不等式的結(jié)構(gòu)，從中發(fā)現(xiàn)與已學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，就能較順利地找到解決問題的切入點(diǎn) 證法 4 (反證法 ) 假設(shè) 2，則 a3+3)9)()( 222 2(22 因?yàn)?a3+， 2 2(4 因此 1 另一方面， 2=a3+)( 22 )2)( = ( 2 1 于是 與 矛盾，故 2 (以下略 ) 證法 5 (平均值不等式 綜合法 ) a 0， b 0， a3+， 332 332 1 又 3333 11111111 2363 43 113 11 3333 2， 1 說明： 充分發(fā)揮“ 1”的作用，使其證明路徑顯得格外簡捷、漂亮 證法 6 （利用233 3)2( 行證明） 233 3)2( 8 2444)(2222 8 )(32 0， 對任意的非負(fù)實(shí)數(shù) a ， b 有233 3)2( 0a ， 0b ， 233 1233 3)2( 2 1，即 2（以下略） 說明： 此題用了六種不同的方法證明，這幾種證 明方 法都是證明不等式的常用方法 18 點(diǎn)撥： 高考題中常常出現(xiàn)和高中知識有關(guān)的新的定義，本題中定義了兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上接近的定義，解題時(shí)必須先搞懂兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上接近的 定義 對數(shù)的運(yùn)算是學(xué)生的一個(gè)薄弱環(huán)節(jié)，本題涉及到對數(shù)的運(yùn)算 二次函數(shù)的最值 問題也是重點(diǎn)內(nèi)容之一 解：（ 1） 0a 且 1a ，當(dāng) x 2 a ， 3a 時(shí)， 要使函數(shù) )3(1 a 有意義， 032 即 1a 要使函數(shù)a 12有意義， 02 即 a R 由和得 10 a ，即為 a 的取值范圍 （ 2 ）要判斷 )(1 )(2 區(qū)間 2a ， 3a 上是否是接近的，只須檢驗(yàn)|)()(| 21 1 在區(qū)間 2 a ， 3a 上是否 恒成立 |)()(| 21 |1lo g)3(lo g| |)(3(lo g| ， 設(shè) |)(3(lo g| 1，則 1 )(3(lo g 1， 即 1 )34(lo g 22 1 設(shè) 2222 )2(34)( ，拋物線 )(口向上，且對稱軸為 10 a ， 32220 函數(shù) )(區(qū)間 2 a ， 3a 上是增函數(shù) 設(shè) 2a 1x 2x 3a ，則 )()( 21 ， 10 a ， )(lo g)(lo 設(shè) )34(lo g)( 22 ，則 )(區(qū)間 2 a ， 3a 上是減函數(shù)， )44(lo g)2()(m a x a ， )69(lo (m i n a ， 式成立的充要條件是： 69,44,1)69()44(125790,540a ， 12579 ， 當(dāng) 0(a ， 12579時(shí)， )(1 )(2 區(qū)間 2 a ， 3a 上是接近的； 當(dāng)12 579( a， )1 時(shí)， )(1 )(2 區(qū)間 2 a ， 3a 上是非接近的 19 證明： （ 1）依題意，對任意 ，都有 1)( )2()(22 ， )2(2 1 0a 0b ， a （ 2）充分性： 1b ， a 1b ，對任意 0x ， 1 ， 2 )( 2 x 1 ，即 2 1 又 1b ， a 對任意 0x ， 1 ， 2 22 1)1(12)2( 2m a 2 1， 1 )( 1 必要性： 對任意 0x ， 1 ， )( 1， )( 1 ， )1(f 1 ， 即 1 ， a 1b . 又 1b ， 110 b， )( 1， )1( 1，即 11， a 1 a 綜上，對任意的 0x ， 1 ， |)(| 1 的 充要條件 是 1 a 20 解： ( )設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為 x與 z,由題設(shè)有 =得 x=19. 由 得方案乙初次用水量為 3, 第二次用水量 0 0 ,解得 y=4a ,故 z=4a +種方案 的用水量分別為 19與 4a +3. 因?yàn)楫?dāng) 1 3 , 4 ( 4 ) 0 ,a x z a x z 時(shí) 即,故 方案乙的用 水量較少 . （ 初次與第二次清洗的用水量分別為 x 與 y ，類似（ I）得 545(1 )cx c ， (9 9 1 0 0 )y a c（ *） 于是 545(1 )c + (99 100 )1 1 0 0 ( 1 ) 15 ( 1 ) a c 當(dāng) a 為 定值時(shí) , 12 1 0 0 ( 1 ) 1 4 5 15 ( 1 )x y a c a a , 當(dāng)且僅當(dāng) 1 1 0 0 (1 )5 (1 ) 時(shí)