哈工大大學物理課件(馬文蔚教材)-第19章-2量子物理.ppt

一 波函數(量子力學基本原理之一）,波函數的物理意義 (玻恩統計詮釋),波函數 本身沒有直接的物理意義。它并不像經典波那樣代表什么實在的物理量的波動，而其模方,表示 t 時刻微觀粒子在空間 點出現的相對概率密度,一個微觀客體在時刻 t 狀態(tài),用波函數 (一般是復函數 ) 完全描述.,為了定量描述微觀粒子的狀態(tài)“量子力學”引入了,19-8 量子力學簡介,微觀粒子具有波粒二象性,單色平面波,復數形式,一個沿x方向作勻速直線運動的自由粒子(能量為E,動量為px)具有波粒二象性：,由德布羅依關系式,代入上式,（三維）自由粒子波函數,例,2. 統計詮釋及其它物理條件對波函數提出的要求,1）. 空間任何有限體積元中找到粒子的概率為有限值,式中,2）. 粒子在空間各點的概率的總和為 1 - 波函數歸一化條件,0 是任意有限體積元,滿足該條件為歸一化波函數.,3）. 要求,單值,一般情況下, 物理上要求波函數是有限，連續(xù)和單值的 - 波函數標準化條件,只打開a,只打開 b,兩縫同時打開,干涉項,波函數可以相加，其概率不能相加,波函數遵從疊加原理: 實驗證實, 以雙縫實驗為例,3. 疊加原理；如果 都是體系的可能狀態(tài)，那么它的線性疊加，也是這個體系的一個可能態(tài)。,1). 微觀粒子的狀態(tài)用波函數描述，與經典物理不同，波函數沒有對應的物理量，它不能測量，一般是復數. 例如：一維自由粒子的波函數,t時刻，在 附近， 內，找到粒子的概率,玻恩統計詮釋,波函數 是概率振幅，簡稱 概率幅,描述同一個狀態(tài)，因為，對于概率分布來說，重要的是相對概率分布。,2). 波函數的物理意義：,小結： 波函數,3). 概率波 -量子力學是一種統計理論與經典決定論不同,（存在長時期的爭淪）,4). 波函數應滿足的標準條件（物理要求）,以后會看到，有些情況下能量量子化就是源于這些條件的限制,連續(xù)性 有限性 單值性 歸一化條件.,5). 波函數遵從疊加原理: 實驗證實,波函數（概率幅）可以相加 概率不能相加,問題的提出：,薛定諤：你能不能給我們 講一講De Broglie的那篇 學位論文呢？,瑞士聯邦工業(yè)大學,一月以后：薛定諤 向大家介紹了德布羅 意的論文。,你這種談論太幼稚，作為 索末菲的門徒，都知道： 處理波要有一個波動方程 才行啦！,二、 薛定諤方程 (量子力學基本原理之二）,瑞士聯邦工業(yè)大學,德 拜,又過了幾個星期,薛 定 諤,我的同行提出，要有一個 波動方程，今天我找到了 一個：,薛定諤： 方程 能解很多好東西。 若問這是為什么？ 誰也不知道！,散會后：,以自由粒子為例建立 Schrding方程,原來薛定諤方程是利用 經典物理，用類比的辦 法得到的，或者說開始 只不過是一個假定，爾 后為實驗證實。我們從 特例出發(fā)，推廣得出這 個方程。,（非相對論條件下討論）,一個沿 x 方向運動的自由粒子,可用一維平面波函數描述,經典波動微分方程,消去,對于自由粒子,原則: (一) 波函數滿足疊加原理,(二) 方程應具有粒子各種狀態(tài)都能滿足的普 適性質.,- 自由粒子的薛定諤方程,推廣到三維：,一般情況：,薛定諤方程普遍形式,1 薛定諤方程是量子力學中的一項基本假設；,3 薛定諤方程是關于時間的一階偏微分方程； 知道初始時刻波函數，就可以確定以后任何時刻的波函數.,討論:,2 薛定諤方程的解滿足態(tài)疊加原理,若 和 是薛定諤方程的解，,則 也是薛定諤方程的解。,這是因為薛定諤方程是線性偏微分方程。,4 薛定諤方程中含有虛數 i,所以它的解 必然是復數， 只有 的模方才有直接的物理意義。,5 一般情況下, 物理上要求波函數滿足有限，連續(xù)，單值的波函數標準化條件和歸一化條件,定態(tài)薛定諤方程,則薛定諤方程的一般表達式,設一個特解,代入薛定諤方程，得：,令,左邊:,右邊:,- 定態(tài)薛定諤方程,常數 E 就是能量,與自由粒子波函數對比可知，,討論:,只有某些 E 值對應的解才是物理上可接受的 - 能量本征值,2. 能量本征值所對應的波函數稱為能量本征函數.,3. 這一方程又稱為能量本征值方程。,定態(tài)薛定諤方程：,定態(tài):能量取確定值的狀態(tài),定態(tài)波函數,4. 這一波函數所描述的量子態(tài)稱為定態(tài)。,概率密度分布,不隨時間變化,一維定態(tài)薛定諤方程：,例如：對自由粒子，Ep（x） = 0，一維情況下，上式成為：,其解為,這正是自由粒子的波函數，E 正是粒子的能量，p正是粒子的動量。,其中,勢阱內,則,其通解,勢阱外,（有限條件）,a,三 一維無限深方勢阱問題,式中 A, 為待定系數,與本征值 En 對應本征函數,（單值，連續(xù)條件）,（歸一化條件）,阱外 x0, xa,勢阱內,x正向波,x反向波,討論:,(1) 無限深方勢阱中粒子能量量子化 n是量子數，En是能量本征值，又稱能級.,(2) 無限深方勢阱粒子能譜為離散能譜，能級分布不均勻 n越大,能級間隔越大。,其余稱為激發(fā)態(tài),(3) 勢阱中粒子波函數是駐波 基態(tài)除 x=0, x=a 無節(jié)點. 第一激發(fā)態(tài)有一個節(jié)點, k 激發(fā)態(tài)有 k=n-1個節(jié)點.,(4) 概率密度分布不均勻,當 n 時過渡到經典力學,四 對應原理,在某些極限條件下,量子規(guī)律可以轉化為經典規(guī)律,量子物理的對應原理,相鄰能級間隔,能級的相對間隔,能量連續(xù),量子規(guī)律轉化為經典規(guī)律,例,五 一維方勢壘 隧道效應,1. 散射問題和勢壘穿透,定態(tài)問題有兩種態(tài),束縛態(tài)： (一維 ) x時 ,(x)0，EU(x), 離散能量,散射態(tài)： (一維 ) x 時, (x)0，能量連續(xù),對散射問題,已知粒子能量 E, 求解定態(tài)薛定諤方程解. - 粒子受勢場作用被散射到個方向去的概率,2 .勢壘 隧道效應,考慮 EEp0 的情況 研究穿透問題,Ep0 0 ,Ep(x),x,0,a,Ep0,上述各方程的解,入射 反射,衰減,入射 (反射),無反射,求 A1 ,B1 ,-.,入射波的概率密度,透射波的概率密度,連續(xù)條件,由波函數的標準條件：,穿透系數,Ep(x),x,0,a,Ep0,考慮,討論(1) 設粒子為 e U0-E=1ev 則當 a = 2x10-10m D 0.44 a = 5x10-10 m D O.O16 質子 U0-E = 1ev a = 2x10-10 m D 2x10-38,當 m, U0-E 及 a 為微觀尺度時,(特別對于 e )穿透系數有一定值. 若為宏觀尺度 D 0,勢壘穿透(隧道效應)是一種微觀現象,是粒子波動性的表現 .,穿透系數,(2) 從經典力學的觀點看,在勢壘區(qū),動能為負值,動量將為虛數, (經典理論不允許,稱隧道效應佯繆).,佯繆不存在：能量不能分離成動能和勢能(測不準關系),經典理論不適用于微觀現象.,(3) 當 E Ep或E Ep 經典 粒子一定越過或不越過勢壘 量子力學 有透射與反射,勢壘穿透隧道效應：,粒子將部分被勢壘反射, 部分穿透勢壘, - 隧道效應或勢壘貫穿,隧道特征長度,隧道效應已完全被實驗證實, 并制成掃描隧道顯微鏡,例,對電子計算,m=9.110-31kg,則對不同的勢壘寬度a,D的數量級,掃描隧道顯微鏡年由 G.Binig 和H.Rohrer 首先研制成功,針尖非常尖銳,接近原子尺寸. 針尖與表面接近到零點幾毫米時,電子波 函數重疊,若加一小的直流電位差,出現 隧道電流 I ,電流對針尖 表面距離 d 十分敏感, d 增加0.1 nm , I 減小一個數量級.保持 I 不變,針尖的軌道提供了表面電子云分布或原子分布狀況.,橫向分辨率達到 0.1 nm, 縱向分辨率達到 0.001 nm 可以分辨出表面單個原子和原子臺階,原子結構,超晶格結構,表面缺陷細節(jié),觀測活體 DNA 基因,病毒.,六 諧振子,1. 線性諧振子定態(tài)薛定諤方程,2. 波函數 在 的漸進行為,很大時，,2,取,3. 滿足束縛態(tài)邊界條件的級數解,代入方程， 得到 u() 所滿足的厄米微分方程：,通解可寫成,u() 必須中斷為有限項多項式, 必要條件 =2n+1(奇數) , n=0,1,2,-,- 厄米多項式,4. 能量本征值的零點能,零點能(基態(tài)能量)為:,5. 能量本征函數和宇稱,線性諧振子定態(tài)波函數為,4. 能量本征值的零點能,圖 線性諧振子的位置概率密度分布,圖 線性諧振子的波函數,討論,1.由圖可見,2. 量子力學n較小時, 位置的概率密度分布與經典完全不同. 隨著 n, 如n=11時量子和經典在平均上比較符合.,3. 一維諧振子能級和概率密度分布,可以看出,U=U(x)以外概率密度不為0,隧道效應,相對能級間隔,當,能量可以連續(xù)變化（經典）,例1: 求線性諧振子在第一激發(fā)態(tài)時, 概率最大的位置.,解: 第一激發(fā)態(tài)波函