空間直線及其方程(28).ppt

第六節(jié) 空間直線及其方程,一、空間直線的一般方程,二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程,三、兩直線的夾角,四、直線與平面的夾角,五、雜例,返回,一、空間直線的一般方程,空間直線L可以看作是兩個(gè)平面II1和II2的交線(圖755).,如果兩個(gè)相交的平面II1 和II2 的方程分別為A1x+B1y+C1z+D1=0 和A2x+B2y+C2z+D2=0，那么直線L上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí) 滿足這兩個(gè)平面的方程，即應(yīng)滿足方程組,(1),反過來，如果點(diǎn)M不在直線L上，那么它 不可能同時(shí)在平面II1和II2上，所以它的坐 標(biāo)不滿足方程組(1). 因此，直線L可以用 方程組(1)來表示. 方程組(1)叫做空間直線 的一般方程.,通過空間一直線L的平面有無(wú)限多個(gè)，只要在這無(wú)限多個(gè)平面 中任意選取兩個(gè)，把它們的方程聯(lián)立起來，所得的方程組就表 示空間直線L.,返回,二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程,如果一個(gè)非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量就叫做這條 直線的方向向量. 任意知道，直線上任一向量都平行于該直線 的方向向量.,由于過空間一點(diǎn)可作而且只能作一條直線平行于一已知直線， 所以當(dāng)直線L上一點(diǎn)M0(x0,y0,z0)和它的一方向向量s=(m,n,p)為 已知時(shí)，直線L的位置就完全確定了，下面我們來建立這直線 的方程.,設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)時(shí)直線L上的任一點(diǎn)，那么向量,與L的方向向量s平行(7-56).,所以兩向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，由于,=(x-x0 , y-y0 , z-z0 ),s=(m, n, p)，,從而有,(2),的方程，叫做直線的對(duì)稱式方程或點(diǎn)向式方程.,反過來，如果點(diǎn)M不在直線L上，那么由于,這兩向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)就不成比例. 因此方程組(2)就時(shí)直線L,與s不平行，,直線的任一方向向量s的坐標(biāo)m、n、p叫做這直線的一組方向 數(shù)，二向量s的方向余弦叫做該直線的方向余弦.,由直線的對(duì)稱式方程容易導(dǎo)出直線的參數(shù)方程. 如設(shè),那么,(3),方程組(3)就是直線的參數(shù)方程.,例 1 用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線,解 先找出這直線上的一點(diǎn)(x0,y0,z0). 例如，可以取x0=1， 代入方程組(4)，得,即(1, 0, -2)是這直線上的一點(diǎn).,下面再找出這直線的方向向量s. 由于兩平面的交線與這兩平面的法線向量n1 =(1,1,1)， n2(2,-1,3)都垂直，所以可取,因此，所給直線的對(duì)稱式方程為,令,得所給直線的參數(shù)方程為,返回,三、兩直線的夾角,兩條直線的方向向量的夾角(通常指銳角)叫做兩直線的夾角.,設(shè)直線L1和L2的方向向量依次為s1=(m1,n1,p1)和s2(m2,n2,p2)， 那么L1和L2的夾角,應(yīng)是(s1,s2)和(-s1,s2)=,-(s1,s2)兩者中的,銳角，因此cos,=|cos(s1,s2)|.按兩向量的夾角的余弦公式，,直線L1和直線L2的夾角,可由,cos,=,(5),來確定.,從兩向量垂直、平行的充分必要條件立即推得下列結(jié)論：,兩直線L1、L2互相垂直相當(dāng)與m1m2+n1n2+p1p2=0；,兩直線L1、L2互相平行或重合相當(dāng)于,例 2 求直線L1：,和L2：,的夾角.,解 直線L1的方向向量為s1 (1,-4,1)；直線L2的方向向量為 s2=(2,-2,-1).,cos,=,=,所以,返回,四、直線與平面的夾角,當(dāng)直線與平面不垂直時(shí)，直線和它在平面上的投影直線的夾角,垂直時(shí)，規(guī)定直線與平面的夾角為,稱為直線與平面的夾角(圖757)，當(dāng)直線與平面,設(shè)直線的方向向量為s=(m,n,p)，平面的法,線向量為n=(A,B,C)，直線與平面的夾角為,，那么,|,-(s,n)|，因此sin,|cos(s,n)|.因此sin,=,=|cos(s,n)|，按兩向量,夾角余弦的坐標(biāo)表示式，有,sin,(6),因此直線與平面垂直相當(dāng)與直線的方向向量與平面的法線 向量平行，所以，直線與平面垂直相當(dāng)與,(7),例 3 求過點(diǎn)(1,-2,4)且與平面2x-3y+z-4=0垂直的直線的方程.,解 因?yàn)樗笾本€垂直于已知平面，所以可以取已知平面的法線向量(2,-3,1)作為所求直線的方向向量. 由此可得所求直線的方程為,返回,五、雜例,例 4 求與兩平面x-4y=3和2x-y-5z=1的交線平行且過點(diǎn)(-3,2,5) 的直線的方程.,解 因?yàn)樗笤谥本€與兩平面的交線平行，也就是直線的方向 向量s一定同時(shí)與兩平面的法線向量n1、n2垂直，所以可以取,因此所求直線的方程為,例 5 求直線,與平面2x+y+z-6=0的交點(diǎn).,解 所給直線的參數(shù)方程為,x=2t, y=3t, z=4+2t,代入平面方程中，得,2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0.,解上列方程，得t=-1. 把求得的t值代入直線的參數(shù)方程中， 即得所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為,x=1, y=2, z=2.,例 6 求過點(diǎn)(2,1,3)且與直線,的方程.,垂直相交的直線,再求已知直線與這平面的交點(diǎn). 已知直線的參數(shù)方程為,x=-1+3t, y=1+2t, z=-t. (10),把(10)代入(9)中，求得t=,，從而求得交點(diǎn)為,以點(diǎn)(2,1,3)為起點(diǎn)，點(diǎn),為終點(diǎn)的向量,是所求直線的一個(gè)方向向量，故所求直線的方程為,有時(shí)用平面束的方程解題比較方便，現(xiàn)在我們來介紹它的方程.,設(shè)直線L由方程組,所確定，其中系數(shù)A1、B1、C1與A2、B2、C2不成比例.,我們建立三元一次方程：,(13),其中,為任意常數(shù). 因?yàn)锳1、B1、C1與A2、B2、C2不成,比例，所以對(duì)于任何一個(gè),值，方程(13)的系數(shù)：,不全為零，從而方程(13)表示,一個(gè)平面，若一點(diǎn)在直線L上，則點(diǎn)的坐標(biāo)必同時(shí)滿足方程 (11)和(12)，因而也滿足方程(13)，故方程(13)表示通過直線L 的平面，且對(duì)于于不同的,同的平面.,值，方程(13)表示通過直線L的不,反之，通過直線L的任何平面(除平面(12)外)都包含在方程 (13)所表示的一族平面內(nèi). 通過定直線的所有平面的全體 稱為平面束，而方程(13)就作為通過直線L的平面束的方程 (事實(shí)上，方程(13)表示缺少平面(12)的平面束).,例 7 求直線,在平面x+y+z=0上的投影直線的,方程.,解 過直線,的平面束的方程為,(x+y-z-1)+,(x-y+z