幾何中的向量方法(三)1.ppt

一、復(fù)習(xí)引入,用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。,（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；,（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；,（3）把向量的運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。,（化為向量問題）,（進行向量運算）,（回到圖形）,向量的有關(guān)知識：,兩向量數(shù)量積的定義：ab=|a|b|cosa,b,兩向量夾角公式：cos a,b =,直線的方向向量：與直線平行的非零向量,平面的法向量：與平面垂直的向量,2、例題,例1：如圖1：一個結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點A為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60，那么 (1)以這個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？,解：如圖1，設(shè),化為向量問題,依據(jù)向量的加法法則，,進行向量運算,所以,回到圖形問題,這個晶體的對角線 的長是棱長的 倍。,（2）晶體中相對的兩個平面之間的距離是多少？（提示：求兩個平行平面的距離，通常歸結(jié)為求兩點間的距離）,H,分析：面面距離,回歸圖形,點面距離,向量的模,解：, 所求的距離是,變式訓(xùn)練:,如圖2，空間四邊形OABC各邊以及AC，BO的長都是1，點D，E分別是邊OA，BC的中點，連結(jié)DE，計算DE的長。,(課本第107頁練習(xí)2)如圖，60的二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直AB，已知AB4，AC6，BD8，求CD的長.,錯解,3.2.3立體幾何中的向量方法（三）,空間“角度”問題,空間“夾角”問題,1.異面直線所成角,l,m,l,m,若兩直線 所成的角為 , 則,作業(yè)處理：兩直線夾角的余弦值,例1,解：以點C為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示，設(shè) 則：,所以：,所以 與 所成角的余弦值為,練習(xí)：,在長方體 中，,方向向量法 將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的方向向量（在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱）的夾角。如圖（2），設(shè)二面角 的大小為 其中AB,2、二面角,將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的法向量的夾角.如圖，向量 ，則二面角 的大小,2、二面角,若二面角 的大小為 , 則,法向量法,例2：如圖3，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處。從A，B到直線 （庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為 和 ,CD的長為 , AB的長為 。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。,解：如圖，,化為向量問題,根據(jù)向量的加法法則,進行向量運算,于是，得,設(shè)向量 與 的夾角為 ， 就是庫底與水壩所成的二面角。,因此,所以,回到圖形問題,庫底與水壩所成二面角的余弦值為,例2：如圖3，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處。從A，B到直線 （庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為 和 ,CD的長為 , AB的長為 。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。,思考：,（1）本題中如果夾角 可以測出，而AB未知， 其他條件不變，可以計算出AB的長嗎？,分析：, 可算出 AB 的長。,（2）如果已知一個四棱柱的各棱長和一條對角線的長，并且以同一頂點為端點的各棱間的夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？,分析：如圖，設(shè)以頂點 為端點的對角線 長為 ，三條棱長分別為 各棱間夾角為 。,（3）如果已知一個四棱柱的各棱長都等于 ，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于 ，那么可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值嗎？,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,分析：,二面角,平面角,向量的夾角,回歸圖形,解：如圖，在平面 AB1 內(nèi)過 A1 作 A1EAB 于點 E，,E,F,在平面 AC 內(nèi)作 CFAB 于 F。,可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值。,例3 正三棱柱 中，D是AC的中點，當(dāng) 時，求二面角 的余弦值。,故,則可設(shè) =1， ，則B(0,1,0),作 于E, 于F， 則 即為二面角 的大小,在 中， 即E分有向線段 的比為,由于 且 ，所以,在 中，同理可求,即二面角 的余弦值為,解法二：同法一，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系 C-xyz,在坐標(biāo)平面yoz中,設(shè)面 的一個法向量為,同法一，可求 B(0,1,0),由 得,解得,所以，可取,即二面角 的余弦值為,方向朝面外， 方向朝面內(nèi)，屬于“一進一出”的情況，二面角等于法向量夾角,1. 已知正方體 的邊長為2， O為AC和BD的交點，M為 的中點 （1） 求證： 直線 面MAC （2）求二面角 的余弦值,鞏固練習(xí),3. 線面角,3. 線面角,l,設(shè)直線l的方向向量為 ，平面 的法向量為 ，且直線 與平面 所成的角為 ( ),則,N,解：如圖建立坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則,N,又,例2、如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC 底面ABCD。已知 AB=2，BC= ，SA=SB= . (1)求證 (2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值。,S,A,B,C,D,【典例剖析】,例3 如圖,在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，在線段BC上是否存在一點E,使