控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與快速.ppt

第5章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與快速性,5.1 穩(wěn)定性和快速性的基本概念 5.2 Routh-Hurwitz判據(jù) 5.3 Nyquist穩(wěn)定性判據(jù) 5.4 Bode圖上的穩(wěn)定性判據(jù) 5.7 穩(wěn)定裕度,5.1 穩(wěn)定性和快速性的基本概念,穩(wěn)定指控制系統(tǒng)在外作用力消失后能夠自動(dòng)恢復(fù)原有平衡狀態(tài)或自動(dòng)地趨向于另一個(gè)新的穩(wěn)定平衡狀態(tài)的能力。 如果系統(tǒng)不能恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài)，則認(rèn)為系統(tǒng)不穩(wěn)定。,單擺系統(tǒng)穩(wěn)定,倒擺系統(tǒng)不穩(wěn)定,The concept of stability,The balance of a pendulum,A necessary and sufficient condition for a feedback system to be stable is that all the poles of the system transfer function have negative real parts.(閉環(huán)特征方程式的根須都位于S的左半平面 ),The balance of a small ball,設(shè)線性控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為,特征方程式的根就是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。,系統(tǒng)穩(wěn)定，則閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)全部分布在s平面的左半平面； 系統(tǒng)不穩(wěn)定，至少有一個(gè)極點(diǎn)分布在s平面的右半平面； 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，在s平面上的右半平面無(wú)極點(diǎn)，至少有一個(gè)極點(diǎn)在虛軸上。,5.2 Routh-Hurwitz判據(jù),Routh-Hurwitz（勞斯胡爾維茨）判據(jù)亦稱代數(shù)判據(jù)產(chǎn)生的根源： (1) 求解特征方程式的根非常困難； (2) 計(jì)算工作量相當(dāng)大。 (3) 避免直接求解特征方程的根， (4) 只討論特征方程根的分布; (5) 觀測(cè)根的分布是否在s平面的左半平面。 產(chǎn)生了一系列的穩(wěn)定性判據(jù)。 最主要的一個(gè)判據(jù)是1884年由E.J.Routh（勞斯）提出的判據(jù)，稱為Routh判據(jù)； 1895年，A.Hurwitz（胡爾維茨）提出了用特征方程系數(shù)來(lái)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，稱之為Hurwitz判據(jù)。,5.2.1 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件 假設(shè)特征方程為,的全部根為：,則上式可以變?yōu)?由多重根的韋達(dá)定理得：,1）特征方程的各系數(shù) 都不等于零。因?yàn)槿粲幸粋€(gè)系數(shù)為零，則必出現(xiàn)實(shí)部為零的特征根或?qū)嵅坑姓胸?fù)的特征根，則滿足系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定（根在虛軸上）或不穩(wěn)定（根的實(shí)部為正）。,要使特征方程的根 都具有負(fù)實(shí)部必須滿足下面兩個(gè)條件,2）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)相同，才能滿足式（5-4）。一般地a0為正，上述兩個(gè)條件可歸結(jié)為系統(tǒng)穩(wěn)定的一個(gè)必要條件，即,只是一個(gè)必要條件，有時(shí)滿足上述條件，系統(tǒng)仍可能不穩(wěn)定，因?yàn)樗皇浅浞謼l件。,5.2 Routh-Hurwitz判據(jù),一. 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件,假設(shè)特征方程為,根據(jù)代數(shù)理論中韋達(dá)定理所指出的方程根和系數(shù)的關(guān)系可知，為使系統(tǒng)特征方程的根都為負(fù)實(shí)部，其必要條件：,特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正。,含義：1 各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)相同（即同號(hào)） 2 各項(xiàng)系數(shù)均不等于0（即不缺項(xiàng)）,二. 控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件,Routh陣列,特征方程全部為負(fù)實(shí)部根的充分必要條件是Routh表中第一列各值為正， 如Routh表第一列中只要出現(xiàn)一個(gè)小于零的數(shù)值，系統(tǒng)就不穩(wěn)定，且第一列各數(shù)符號(hào)的改變次數(shù)，代表特征方程式的正實(shí)部根的數(shù)目。,例5-1 判別特征方程為,的某系統(tǒng)穩(wěn)定性。,解 利用Routh判據(jù),符號(hào)改變兩次，則說(shuō)明系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部的特征根，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。,a=1 10 8 17 16 5 a = 1 10 8 17 16 5 roots(a) ans = -9.3181 0.1791 + 1.2930i 0.1791 - 1.2930i -0.5200 + 0.2108i -0.5200 - 0.2108i,三. Routh判據(jù)的特殊情況,1. Routh表中某行的第一個(gè)元素為零，而其余各元素均不為零或部分不為零。這時(shí)用一個(gè)很小的正數(shù)來(lái)代替零元素，Routh表繼續(xù)進(jìn)行。,2. 如果Routh表中出現(xiàn)全零行，表明特征方程中存在一些絕對(duì)值相同但符號(hào)相異的特征根， 這時(shí)，可用全零行上一行的系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助方程，對(duì)輔助方程求導(dǎo)，用所得導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)代替全零行，便可按Routh穩(wěn)定判據(jù)的要求繼續(xù)運(yùn)算下去，直到得出全部Routh計(jì)算表。 輔助方程的次數(shù)通常為偶數(shù)，它表明數(shù)值相同、符號(hào)相反的根數(shù)。所有這些數(shù)值相同、符號(hào)相反的根，都可以從輔助方程中求出。,例5-5 已知某控制系統(tǒng)的特征方程為,判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 列出Routh表,上述Routh表中，第三行左邊第一個(gè)元素為零，用代替0繼續(xù)計(jì)算Routh表。從Routh表可得，第一列元素符號(hào)有兩次變化，由正變負(fù)，再由負(fù)變正，所以系統(tǒng)在s平面上有兩個(gè)正實(shí)部的特征根，顯然系統(tǒng)不穩(wěn)定。,a=1 2 2 4 1 1 a = 1 2 2 4 1 1 tf(a,1) Transfer function: s5 + 2 s4 + 2 s3 + 4 s2 + s + 1 roots(a) ans = -1.9571 0.0686 + 1.2736i 0.0686 - 1.2736i -0.0901 + 0.5532i -0.0901 - 0.5532i,（輔助方程A（s）=0系數(shù)）,例5-7 設(shè)某控制系統(tǒng)的特征方程為,用Routh判據(jù)確定系統(tǒng)正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。 解 列出Routh表,輔助方程為,對(duì)輔助變量s求導(dǎo)得,（dA（s）/ds=0的系數(shù)）,用上述導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)代替Routh表的零行，然后繼續(xù)進(jìn)行Routh判據(jù)。,從Routh表可得，第一列元素符號(hào)只改變一次，因此系統(tǒng)只有一個(gè)正實(shí)部的特征根。因?yàn)樵赗outh表中有一行系數(shù)全為零，則說(shuō)明有純虛根，可由輔助方程求得:,解得：2，j。實(shí)際上，特征方程的另一對(duì)特征根為,通過(guò)上面的例題可以看出，利用Routh判據(jù)不僅可以確定正實(shí)部根的個(gè)數(shù)，而且還可以通過(guò)解輔助方程求出數(shù)值相同符號(hào)相異的特征根。,a=1 1 -2 -3 -7 -4 -4 a = 1 1 -2 -3 -7 -4 -4 tf(a,1) Transfer function: s6 + s5 - 2 s4 - 3 s3 - 7 s2 - 4 s - 4 roots(a) ans = 2.0000 -2.0000 -0.0000 + 1.0000i -0.0000 - 1.0000i -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i,Example,Problem Determine the stability of the closed-loop transfer function Solution The Rouths table is The Rouths table has two sign change in the first column. Thus this closed-loop system is unstable since two poles exist in the right half-plane,5.3 Nyquist穩(wěn)定性判據(jù),若開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面無(wú)極點(diǎn)時(shí)，當(dāng)從0變化時(shí)， 如果Nyquist曲線不包圍臨界點(diǎn)(-1,j0)，則系統(tǒng)穩(wěn)定。,如果Nyquist曲線包圍臨界點(diǎn)(-1,j0)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。,如果系統(tǒng)的Nyquist曲線經(jīng)過(guò)(-1,j0)點(diǎn)，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,如果開(kāi)環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有P個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)位于s右半平面， 當(dāng)從0變化時(shí)，開(kāi)環(huán)幅相曲線包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)為 N(反時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù))和開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在s 右半平面上的極點(diǎn)個(gè)數(shù)P的關(guān)系為： M=P2N M：閉環(huán)極點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù) 如果M為零，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。,如果開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)包含積分環(huán)節(jié)，假設(shè)為型，則繪制開(kāi) 環(huán)幅相曲線后，頻率再?gòu)?開(kāi)始，反時(shí)針補(bǔ)畫 個(gè)半 徑為無(wú)窮大的圓。,例1 一個(gè)單位反饋系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,試用Nyquist判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖所示。,從Nyquist曲線上看到，曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈， 即N= -1，而開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)P=0，因此閉環(huán)特征方程正實(shí)部根的個(gè)數(shù),故系統(tǒng)不穩(wěn)定。,5.4 Bode圖上的穩(wěn)定性判據(jù),Bode圖上的穩(wěn)定性判據(jù)可定義為 一個(gè)反饋控制系統(tǒng), 其閉環(huán)特征方程正實(shí)部根的個(gè)數(shù) 為Z，可以根據(jù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)s右半平面極點(diǎn)的個(gè)數(shù)P和 開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性大于0dB的所有頻率范圍內(nèi)，對(duì)數(shù)相 頻曲線與-線的正負(fù)穿越之差N = N+-N-來(lái)確定, 即,若Z=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，,則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定,Z為閉環(huán)特征方程正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。,例：如圖5-17所示的四種開(kāi)環(huán)Bode曲線，試用Nyquist穩(wěn)定性判據(jù), 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,已知P=0，在L()0的范圍內(nèi)，,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 。,已知P=1 ，在L()0時(shí) 相頻曲線有一次從負(fù)到正穿越-線,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 。,已知P=2, 在L()0的范圍內(nèi),閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,5.7 穩(wěn)定裕度,根據(jù)穩(wěn)定性判據(jù)可以判別一個(gè)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。,但是要使一個(gè)實(shí)際控制系統(tǒng)能夠穩(wěn)定可靠的工作，剛好滿足穩(wěn)定性條件是不夠的，還必須留有余地。,穩(wěn)定裕度可以定量地確定一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。 它包括相位裕度和幅值裕度。,1. 幅值裕度Kg,定義為Nyquist曲線與負(fù)實(shí)軸(-)交點(diǎn)處的頻率所對(duì)應(yīng)的幅值的倒數(shù)，即,=g 稱為交點(diǎn)頻率。,Kg含義：如果系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)增益增大到原來(lái) 的Kg倍，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,穩(wěn)定系統(tǒng),Kg相同但穩(wěn)定程度不同的兩條開(kāi)環(huán)Nyquist曲線,它們具有相同的