離體培養(yǎng)成骨細(xì)胞的有限元分析.doc

離體培養(yǎng)成骨細(xì)胞的有限元分析*顏功興，劉占芳，酈光豐（重慶大學(xué)工程力學(xué)系，重慶400044）摘要：將成骨細(xì)胞看做是一種均勻、各向同性、不可壓縮的粘彈性體，利用標(biāo)準(zhǔn)的線性粘彈性固體模型推導(dǎo)了成骨細(xì)胞的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的矩陣形式，再利用Lagrange方程推導(dǎo)得出了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)有限元平衡方程。通過(guò)算例，計(jì)算得到多孔介質(zhì)基板上骨細(xì)胞的位移、速度和應(yīng)力強(qiáng)度歷程。通過(guò)自編程序?qū)蜗蚶祀x體培養(yǎng)成骨細(xì)胞裝置進(jìn)行了數(shù)值分析和模擬，計(jì)算了細(xì)胞體的變形、速度以及應(yīng)力等，為進(jìn)一步進(jìn)行骨組織工程研究提供了理論基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞：成骨細(xì)胞；離體培養(yǎng)；有限元中圖分類號(hào)：Q66文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ThefiniteelementanalysisonelectromechanicalbehaviorsinbonetissuesYANGong-xing,LIUZhan-fang,LIGuang-feng（DepartmentofEngineeringMechanics,ChongqingUniversity,Chongqing400044,P.R.China）Abstract：Osteoblastislookedasahomogeneousisotropicandviscoelasticbodywhichcantbecompressed.Usingthestandardlinearmodelofviscoelasticity,thematrixformoftherelationshipbetweenstressandstraincanbeachieved,sothefiniteelementbalanceequationcanbegotthroughLagrangeequation.Anexampleforbonetissuesonporousmediaboardunderloadingiscalculated,thehistoryofdisplacement,velocityandstressareobtained.Thentheosteoblastculturedinvitrocanbenumericalanalyzedbycomputerprogram,andthedeformationthevelocityandthestressofosteoblastcanbecalculated.Keywords:osteoblast；invitroculture；finiteelementmethod骨的生成是由成骨細(xì)胞（osteoblast）向周?chē)置诠腔|(zhì)和纖維，然后將自身包埋于其中，形成類骨質(zhì)，在鈣鹽沉積后變成骨組織而完成的，因而成骨細(xì)胞在骨組織生長(zhǎng)、重建和形態(tài)形成過(guò)程中起著十分重要的作用。所以研究成骨細(xì)胞的體外培養(yǎng)及成骨細(xì)胞的力學(xué)特性，對(duì)更清楚地認(rèn)識(shí)骨的力學(xué)特性及進(jìn)一步闡明骨生理、骨病理現(xiàn)象都有著非常深遠(yuǎn)的意義，其臨床的應(yīng)用前景十分廣闊。另一方面，由于在體內(nèi)研究骨組織生長(zhǎng)和重建現(xiàn)象時(shí)，要受很多復(fù)雜因素（即體內(nèi)環(huán)境）的影響，因而無(wú)法直接考慮應(yīng)力對(duì)骨組織生長(zhǎng)的關(guān)系，若能夠在體外沒(méi)有血管、肌肉等的情況下培養(yǎng)骨組織，那么許多復(fù)雜的生理因素在組織培養(yǎng)過(guò)程中可被去除，因而理解骨組織生長(zhǎng)與應(yīng)力的關(guān)系將更為直接和明確。筆者在離體培養(yǎng)的情況下研究了成骨細(xì)胞的力學(xué)特性，從而在細(xì)胞水平上了解了骨組織的重建機(jī)理。在這方面，目前已有很多學(xué)者作了工作。其中，Uchida1,Buckley2等通過(guò)基底材料的拉伸或彎曲變形對(duì)細(xì)胞加載，發(fā)現(xiàn)基底應(yīng)變可以加快細(xì)胞的有絲分裂速率和細(xì)胞外基質(zhì)的合成率，使膠原蛋白和非膠原蛋白的合成增加。Brington3對(duì)取自鼠顱蓋骨的骨細(xì)胞進(jìn)行兩向交變加載，研究骨細(xì)胞的增殖行為，在基底應(yīng)變?yōu)?700時(shí)，細(xì)胞增殖顯著增加。KyriacosA，Athansiou（1995）4對(duì)成骨細(xì)胞樣人骨瘤MG-63細(xì)胞做靜水壓從07MPa的壓縮實(shí)驗(yàn)，利用光學(xué)切割與體積重建技術(shù)來(lái)測(cè)量體積，發(fā)現(xiàn)成骨細(xì)胞是不可壓縮的。國(guó)內(nèi)，徐晉斌、吳文周、張火圣5-7等在體外成功分離及培養(yǎng)了大鼠顱蓋*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10572160）、教育部高等學(xué)校骨干教師資助計(jì)劃、重慶市科委資助。作者簡(jiǎn)介：顏功興（1973-），男，高級(jí)工程師，博士，主要從事生物力學(xué)的研究，（E-mail）。骨成骨細(xì)胞，并利用微管吸吮技術(shù)對(duì)乳鼠顱蓋骨成骨細(xì)胞進(jìn)行了吸吮實(shí)驗(yàn)，研究了其彈性力學(xué)以及粘彈性特性，并測(cè)量了楊氏模量。毛勇、段小紅、王忠義8等通過(guò)對(duì)第3代大鼠成骨細(xì)胞施加剪切力和靜壓力，用相差顯微鏡和考馬斯亮藍(lán)染色方法觀察加力后不同時(shí)間細(xì)胞及其細(xì)胞骨架形態(tài)的變化特征，發(fā)現(xiàn)細(xì)胞對(duì)剪應(yīng)力更為敏感。張西正、匡震邦、蔡紹皙9-10等通過(guò)單向循環(huán)拉伸作用研究了成骨細(xì)胞的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。此外，他們還利用微管吸吮技術(shù)研究了Wistar大鼠成骨細(xì)胞的粘彈性與相對(duì)增殖指數(shù)的關(guān)系。1成骨細(xì)胞不可壓縮粘彈性模型細(xì)胞力學(xué)的研究是近幾年來(lái)生物力學(xué)領(lǐng)域中迅速發(fā)展起來(lái)的一個(gè)前沿課題，其目的在于從力學(xué)角度闡明生命的奧秘。將成骨細(xì)胞看作為一種均勻、各向同性的不可壓縮線性粘彈性體11，并采用標(biāo)準(zhǔn)線性粘彈性固體模型（三參數(shù)模型）。為方便分析，我們將應(yīng)力和應(yīng)變分解為球量和偏量之和。由于成骨細(xì)胞不可壓縮12，因而體積應(yīng)變kk（1,2,3k）滿足0kk，（1）引入一大數(shù)，從而使得靜水壓力kk有kkkk，（2）對(duì)于應(yīng)力偏量，則有tijijijdetGetGtS011),()()0,()(),(xxx（3）式中：t代表時(shí)間；x代表空間位置矢量；代表積分參變量；Sij和ije分別表示應(yīng)力偏量和應(yīng)變偏量；下角標(biāo)ij為1,2,3。teKKKKtG112)(21111（4）式中：K1和K2代表體積模量，代表粘性系數(shù)，22K，式（2）和式（3）便構(gòu)成了不可壓縮線性粘彈性固體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。為簡(jiǎn)化應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，令teKKKtG)(2)(21212（5）可得：dtGxtGtGttijkkijijkkijij)(),(31),(),()0(31),()0(),(2011xxxx（6）式中ij表示克氏符號(hào)，上式也可表示為：dtGDtDtt02*21),()(),(),(xxx（7）式中：132312332211132312332211（8）3030030001000210002211dddddddddD稱對(duì)210210021000320003132000313132*2稱對(duì)D（9）而3)0(211Gd，3)0(21Gd，2)0(31Gd。對(duì)于式（7）右端的積分項(xiàng)，采用梯形積分法來(lái)求解。先將時(shí)間區(qū)間0，t劃分成n個(gè)等分（n1），令titi，則ttn。將積分展開(kāi)可得：ttGtttGttttGtttGdtGnniiiiit),()0(21),()(21),()(),()(21),()(2122011202xxxxx。（10）則由式（7）和式（10）可得：C),(),(tDtxx，（11）式中：2011212*2),()(),()(21),()(21niiiiinttttGtttGtttGDCxxx，（12）606006000400054000554dddddddddD稱對(duì)，（13）而62)0()0(25,3)0()0(242121tGGdtGGd，4)0()0(2621tGGd式（11）即為不可壓縮粘彈性成骨細(xì)胞本構(gòu)關(guān)系的矩陣形式。2有限元分析為進(jìn)行有限元分析，現(xiàn)引入問(wèn)題的初邊值條件。其中邊界條件為：uiifuononijijTn（14）式中：ui表示邊界節(jié)點(diǎn)位移；fi表示位移邊界；nj表示方向矢量；Ti表示表面力。初始條件為：0)0(iiuu；0,)0(titiuu（15）為建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，現(xiàn)直接利用Lagrange方程，它表示為0dduuuRLLt（16）式中：u代表位移矢量，L為L(zhǎng)agrange函數(shù)：pTL（17）T，p為勢(shì)能，R，u和u分別為系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能、耗散函數(shù)、節(jié)點(diǎn)位移向量以及節(jié)點(diǎn)速度向量。通過(guò)相應(yīng)的動(dòng)能、勢(shì)能和散能表達(dá)式，代入式（16）推導(dǎo)可得：RQKuuCuM（18）式中：為質(zhì)量矩陣，為阻尼矩陣，為剛度矩陣，為節(jié)點(diǎn)力矢量，為耗散能對(duì)應(yīng)的力，u為加速度矢量。eeeeeeeeee,MMKKCCRRQQ（19）而eVedvNNM；eVedvBDBK；eeVcdvCNN；eVedvCBR21SVedSdveTNfNQ（20）式中：N為插值函數(shù)，為材料常數(shù)矩陣，為應(yīng)變矩陣，V為體積，為面積。式（18）即為系統(tǒng)的有限元平衡方程。3兩相多孔介質(zhì)對(duì)于離體培養(yǎng)成骨細(xì)胞中所使用的基體材料，本文采用兩相多孔介質(zhì)模型。由文獻(xiàn)11所述，我們可以得到其控制場(chǎng)方程如下：質(zhì)量平衡方程：0)(FFSSuu（21）式中：為體積分?jǐn)?shù)，表示流體，為固體。動(dòng)量平衡方程：)(SFSSESSpuuTu（22）)(SFFFFpuuu（23）有了以上控制方程，根據(jù)相應(yīng)的初邊值條件，通過(guò)引入罰參數(shù)來(lái)消去壓力p，再由Galerkin加權(quán)殘值法推導(dǎo)可以得到問(wèn)題的有限元平衡方程：fuKuCuM（24）式中：為密度，f為外力矢量。4算例為模擬體外培養(yǎng)成骨細(xì)胞的受力情況，編制了二維有限元分析程序。為使分析更接近實(shí)際情況，基體材料采用兩相多孔介質(zhì)單元，而細(xì)胞本身則用不可壓粘彈性單元?；谶B續(xù)介質(zhì)的假設(shè)，每個(gè)單元是若干個(gè)細(xì)胞的集合體，本文不單獨(dú)考察單個(gè)成骨細(xì)胞的行為，而是基于多孔介質(zhì)假設(shè)考慮有若干足夠大的成骨細(xì)胞和孔隙的整體行為，這也是宏觀上骨組織成長(zhǎng)所關(guān)心的問(wèn)題如圖1所示，細(xì)胞種植在多孔介質(zhì)基板上，基板受四點(diǎn)彎曲作用，其有限元網(wǎng)格和尺寸以及載荷如圖2所示。模型總共劃分為88個(gè)單元、112個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中，16號(hào)節(jié)點(diǎn)和93號(hào)節(jié)點(diǎn)均固定，5號(hào)節(jié)點(diǎn)和112好節(jié)點(diǎn)受載荷作用。對(duì)于基體多孔介質(zhì)材料，其材料參數(shù)有：29mN100.2SE，3.0S，6.0S，4.0F，35mkg100.2S，3mkg1000F，sm1057.141k，s)(Vm1098.12412K。對(duì)于成骨細(xì)胞，根據(jù)張西正、匡震邦、蔡紹皙等10所測(cè)，取Pa7.1511K，Pa3.542K，sPa2.142。當(dāng)載荷為圖3所示準(zhǔn)靜態(tài)載荷作用下時(shí)，有限元計(jì)算結(jié)果如圖4圖7所示。從圖4中的結(jié)果可知，在外力增加然后保持不變的過(guò)程中，細(xì)胞所在節(jié)點(diǎn)的位移隨時(shí)間逐漸增加，最后趨于穩(wěn)定值，反映了細(xì)胞的粘彈性性質(zhì)。圖5給出了細(xì)胞所在節(jié)點(diǎn)（58）的速度隨時(shí)間的變化規(guī)律。由圖可知，隨載荷的增加，節(jié)點(diǎn)速度也隨之而增加，但當(dāng)載荷保持穩(wěn)定時(shí)，節(jié)點(diǎn)的速度隨之而下降，并最后趨于零。圖6給出了細(xì)胞的等效應(yīng)力隨時(shí)間的變化規(guī)律?？梢?jiàn)，當(dāng)載荷增加時(shí)，細(xì)胞所受的應(yīng)力同步增加，當(dāng)載荷保持穩(wěn)定后，細(xì)胞的應(yīng)力隨即下降，并隨時(shí)間的增加應(yīng)力減少的幅度越來(lái)越小。圖7為t20s時(shí)刻的整體變形圖。圖1離體培養(yǎng)成骨細(xì)胞裝置xy0.032m0.008m0.0015mFF圖2四點(diǎn)彎曲梁有限元網(wǎng)格圖5結(jié)語(yǔ)成骨細(xì)胞是骨組織工程中的種子細(xì)胞，在骨組織生長(zhǎng)、重建和形態(tài)形成過(guò)程中起著十分重要的作用。對(duì)它的研究受到各國(guó)學(xué)者的廣泛關(guān)注13-15。對(duì)成骨細(xì)胞的離體培養(yǎng)及成骨細(xì)胞的力學(xué)特性的研究，對(duì)更清楚地認(rèn)識(shí)骨的力學(xué)特性及進(jìn)一步闡明骨生理、骨病理現(xiàn)象都有著非常深遠(yuǎn)的意義，其臨床的應(yīng)用前景十分廣闊16,17。本文通過(guò)對(duì)成骨細(xì)胞建立不可壓縮粘彈性模型，再用有限元數(shù)值分析方法得到了成骨細(xì)胞在離體培養(yǎng)下的受力情況。參考文獻(xiàn):1UCHIDAA.TheeffectofmechanicalstressonculturedgrowthcartilagecellsJ.ConnectTissueRes,1988,17:305-311.2BUCKLYMJ,BANESAJ,JORDONRD,etal.TheeffectsofmechanicalstrainonosteoblastsinvitroJ.JOralMaxillofacSurg,1990,48:276-286.3BRINGTONCT,FISHERJR,LEVINESE,etal.ThebiochemicalpathwaymediatingtheproliferativeresponseofbonecellstoamechanicalstimulusJ.JBoneJointSurg,1996,78():1337-1347.4ATHANASIOU,K.A.,Niederauer,G.G.,Schenck,R.C.Biomechanicaltopographyofhumananklet(s)F(N)F00t1F0=10kNt1=10s圖3擬靜態(tài)載荷0.00E+001.00E-042.00E-043.00E-044.00E-045.00E-040100200300400t(s)displacement(mm)圖458號(hào)節(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng)0.00E+002.00E-064.00E-066.00E-068.00E-061.00E-050100200300400t(s)velocity(mm/s)圖558號(hào)節(jié)點(diǎn)的速度響應(yīng)圖658號(hào)節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度響應(yīng)0.00E+001.00E+032.00E+033.00E+034.00E+035.00E+036.00E+037.00E+030100200300400t(s)stressintensity(Pa)圖7t=20s時(shí)的變形圖cartilage.AnnalsofBiomedicalEngineering,Vol.23(5)(1995):697-704）5徐晉斌,吳文周,張火圣,等.鼠成骨細(xì)胞力學(xué)特性的理論與實(shí)驗(yàn)J.太原理工大學(xué)學(xué)報(bào),1998,29(1):1-3.XUJIN-BIN,WUWEN-ZHOU,ZHANGHUO-SHENG,etal.TheoreticalandexperimentalstudyonmechanicalpropertiesofratosteoblastsJ.JournalofTaiyuanUniversityofTechnology,1998,29(1):1-3.6徐晉斌,樊學(xué)軍,張火圣,等.微管吸吮和半無(wú)限體模型在鼠成骨細(xì)胞粘彈性研究中的應(yīng)用J.生物物理學(xué)報(bào),1998,14(2):360-366.XUJIN-BIN,FANXUE-JUN,ZHANGHUO-SHENG,etal.Applicationofmicropipetteaspirationandhalf-spacemodelinthestudyonviscoelasticityofratosteoblastJ.ActaBiophysica,1998,14(2):360-366.7張火圣,徐晉斌,樊學(xué)軍,等.大鼠顱蓋骨成骨細(xì)胞的體外培養(yǎng)及其彈性力學(xué)特性研究.中國(guó)生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)報(bào),1999,18(4):433-440.ZHANGHUO-SHENG,XUJIN-BIN,FANXUE-JUN,etal.InvitrocultureandstudyonmechanicalpropertiesofratosteoblastJ.ChineseJournalofBiomedicalEngineering,1999,18(4):433-440.8毛勇,段小紅,王忠義,等.不同應(yīng)力對(duì)成骨細(xì)胞和細(xì)胞骨架影響的實(shí)驗(yàn)研究J.牙體牙髓牙周病學(xué)雜志,2001,11(2):98-100.MAOYONG,DUANXIAO-HONG,WANGZHONG-YI,etal.StudyoftheeffectsoftwodifferentkindsofstressonosteoblastanditscytoskeletoninvitroJ.ChineseJournalofConservativeDentistry,2001,11(2):98-100.9張西正,康少華,匡震邦,等.單向循環(huán)拉伸應(yīng)變作用下成骨細(xì)胞動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究J.中華創(chuàng)傷雜志,2001,17(4):219-221.ZHANGXI-ZHENG,KANGSHAO-HUA,KUANGZHEN-BANG,etal.ExperimentalstudyofosteoblastdynamicrespondsofWistarratundertheactionofuniaxialtensilesubstratestrainJ.ChineseJournalofTraumatology,2001,17(4):219-221.10張西正,匡震邦,蔡紹皙,等.Wistar大鼠成骨細(xì)胞粘彈性與相對(duì)增殖指數(shù)關(guān)系的實(shí)驗(yàn)研究J.中國(guó)生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)報(bào),2001,20(4):305-309.ZHANGXI-ZHENG,KUANGZHEN-BANG,CAISHAO-XI,etal.TheexperimentalstudyonrelationbetweenosteoblastviscoelastyofWistarratsandrelativeproliferationindexJ.ChineseJournalofBiomedicalEngineering,2001,20(4):205-309.11李德源,劉占芳,勵(lì)凌峰,等.橫觀各向同性松質(zhì)骨撞擊動(dòng)力響應(yīng)數(shù)值分析J.工程力學(xué),2001,17(5):133-139.LIDE-YUAN,LIUZHAN-FANG,LILING-FENG,etal.NumericalanalysisofimpactresponseoftransverselyisotropiccancellousboneJ.EngineeringMechanics,2001,17(5):133-139.12曹陽(yáng),鄭翼,陳揚(yáng)熙,等.機(jī)械應(yīng)力下成骨細(xì)胞外信號(hào)調(diào)節(jié)激酶ERK1/2的早期變化J.第四軍醫(yī)大學(xué)學(xué)報(bào),2007,28(18):1663-1666.CAOYANG,ZHENGYI,CEHNYANG-XI,etal.EffectsofmechanicalstrainonexpressionofERK1/2inosteoblasticcellsinvitroJ.JournaloftheFourthMilitaryMedicalUniversity,2007,28(18):1663-1666.13ONTIVEROSC,IRWINR,WISEMA