離體培養(yǎng)成骨細胞的有限元分析.doc

離體培養(yǎng)成骨細胞的有限元分析*顏功興，劉占芳，酈光豐（重慶大學工程力學系，重慶400044）摘要：將成骨細胞看做是一種均勻、各向同性、不可壓縮的粘彈性體，利用標準的線性粘彈性固體模型推導了成骨細胞的應力應變關系的矩陣形式，再利用Lagrange方程推導得出了系統(tǒng)的動力學有限元平衡方程。通過算例，計算得到多孔介質基板上骨細胞的位移、速度和應力強度歷程。通過自編程序對單向拉伸離體培養(yǎng)成骨細胞裝置進行了數值分析和模擬，計算了細胞體的變形、速度以及應力等，為進一步進行骨組織工程研究提供了理論基礎。關鍵詞：成骨細胞；離體培養(yǎng)；有限元中圖分類號：Q66文獻標志碼：ThefiniteelementanalysisonelectromechanicalbehaviorsinbonetissuesYANGong-xing,LIUZhan-fang,LIGuang-feng（DepartmentofEngineeringMechanics,ChongqingUniversity,Chongqing400044,P.R.China）Abstract：Osteoblastislookedasahomogeneousisotropicandviscoelasticbodywhichcantbecompressed.Usingthestandardlinearmodelofviscoelasticity,thematrixformoftherelationshipbetweenstressandstraincanbeachieved,sothefiniteelementbalanceequationcanbegotthroughLagrangeequation.Anexampleforbonetissuesonporousmediaboardunderloadingiscalculated,thehistoryofdisplacement,velocityandstressareobtained.Thentheosteoblastculturedinvitrocanbenumericalanalyzedbycomputerprogram,andthedeformationthevelocityandthestressofosteoblastcanbecalculated.Keywords:osteoblast；invitroculture；finiteelementmethod骨的生成是由成骨細胞（osteoblast）向周圍分泌骨基質和纖維，然后將自身包埋于其中，形成類骨質，在鈣鹽沉積后變成骨組織而完成的，因而成骨細胞在骨組織生長、重建和形態(tài)形成過程中起著十分重要的作用。所以研究成骨細胞的體外培養(yǎng)及成骨細胞的力學特性，對更清楚地認識骨的力學特性及進一步闡明骨生理、骨病理現象都有著非常深遠的意義，其臨床的應用前景十分廣闊。另一方面，由于在體內研究骨組織生長和重建現象時，要受很多復雜因素（即體內環(huán)境）的影響，因而無法直接考慮應力對骨組織生長的關系，若能夠在體外沒有血管、肌肉等的情況下培養(yǎng)骨組織，那么許多復雜的生理因素在組織培養(yǎng)過程中可被去除，因而理解骨組織生長與應力的關系將更為直接和明確。筆者在離體培養(yǎng)的情況下研究了成骨細胞的力學特性，從而在細胞水平上了解了骨組織的重建機理。在這方面，目前已有很多學者作了工作。其中，Uchida1,Buckley2等通過基底材料的拉伸或彎曲變形對細胞加載，發(fā)現基底應變可以加快細胞的有絲分裂速率和細胞外基質的合成率，使膠原蛋白和非膠原蛋白的合成增加。Brington3對取自鼠顱蓋骨的骨細胞進行兩向交變加載，研究骨細胞的增殖行為，在基底應變?yōu)?700時，細胞增殖顯著增加。KyriacosA，Athansiou（1995）4對成骨細胞樣人骨瘤MG-63細胞做靜水壓從07MPa的壓縮實驗，利用光學切割與體積重建技術來測量體積，發(fā)現成骨細胞是不可壓縮的。國內，徐晉斌、吳文周、張火圣5-7等在體外成功分離及培養(yǎng)了大鼠顱蓋*國家自然科學基金資助項目（10572160）、教育部高等學校骨干教師資助計劃、重慶市科委資助。作者簡介：顏功興（1973-），男，高級工程師，博士，主要從事生物力學的研究，（E-mail）。骨成骨細胞，并利用微管吸吮技術對乳鼠顱蓋骨成骨細胞進行了吸吮實驗，研究了其彈性力學以及粘彈性特性，并測量了楊氏模量。毛勇、段小紅、王忠義8等通過對第3代大鼠成骨細胞施加剪切力和靜壓力，用相差顯微鏡和考馬斯亮藍染色方法觀察加力后不同時間細胞及其細胞骨架形態(tài)的變化特征，發(fā)現細胞對剪應力更為敏感。張西正、匡震邦、蔡紹皙9-10等通過單向循環(huán)拉伸作用研究了成骨細胞的動力學響應。此外，他們還利用微管吸吮技術研究了Wistar大鼠成骨細胞的粘彈性與相對增殖指數的關系。1成骨細胞不可壓縮粘彈性模型細胞力學的研究是近幾年來生物力學領域中迅速發(fā)展起來的一個前沿課題，其目的在于從力學角度闡明生命的奧秘。將成骨細胞看作為一種均勻、各向同性的不可壓縮線性粘彈性體11，并采用標準線性粘彈性固體模型（三參數模型）。為方便分析，我們將應力和應變分解為球量和偏量之和。由于成骨細胞不可壓縮12，因而體積應變kk（1,2,3k）滿足0kk，（1）引入一大數，從而使得靜水壓力kk有kkkk，（2）對于應力偏量，則有tijijijdetGetGtS011),()()0,()(),(xxx（3）式中：t代表時間；x代表空間位置矢量；代表積分參變量；Sij和ije分別表示應力偏量和應變偏量；下角標ij為1,2,3。teKKKKtG112)(21111（4）式中：K1和K2代表體積模量，代表粘性系數，22K，式（2）和式（3）便構成了不可壓縮線性粘彈性固體的應力應變關系。為簡化應力應變關系，令teKKKtG)(2)(21212（5）可得：dtGxtGtGttijkkijijkkijij)(),(31),(),()0(31),()0(),(2011xxxx（6）式中ij表示克氏符號，上式也可表示為：dtGDtDtt02*21),()(),(),(xxx（7）式中：132312332211132312332211（8）3030030001000210002211dddddddddD稱對210210021000320003132000313132*2稱對D（9）而3)0(211Gd，3)0(21Gd，2)0(31Gd。對于式（7）右端的積分項，采用梯形積分法來求解。先將時間區(qū)間0，t劃分成n個等分（n1），令titi，則ttn。將積分展開可得：ttGtttGttttGtttGdtGnniiiiit),()0(21),()(21),()(),()(21),()(2122011202xxxxx。（10）則由式（7）和式（10）可得：C),(),(tDtxx，（11）式中：2011212*2),()(),()(21),()(21niiiiinttttGtttGtttGDCxxx，（12）606006000400054000554dddddddddD稱對，（13）而62)0()0(25,3)0()0(242121tGGdtGGd，4)0()0(2621tGGd式（11）即為不可壓縮粘彈性成骨細胞本構關系的矩陣形式。2有限元分析為進行有限元分析，現引入問題的初邊值條件。其中邊界條件為：uiifuononijijTn（14）式中：ui表示邊界節(jié)點位移；fi表示位移邊界；nj表示方向矢量；Ti表示表面力。初始條件為：0)0(iiuu；0,)0(titiuu（15）為建立系統(tǒng)的動力學方程，現直接利用Lagrange方程，它表示為0dduuuRLLt（16）式中：u代表位移矢量，L為Lagrange函數：pTL（17）T，p為勢能，R，u和u分別為系統(tǒng)的動能、勢能、耗散函數、節(jié)點位移向量以及節(jié)點速度向量。通過相應的動能、勢能和散能表達式，代入式（16）推導可得：RQKuuCuM（18）式中：為質量矩陣，為阻尼矩陣，為剛度矩陣，為節(jié)點力矢量，為耗散能對應的力，u為加速度矢量。eeeeeeeeee,MMKKCCRRQQ（19）而eVedvNNM；eVedvBDBK；eeVcdvCNN；eVedvCBR21SVedSdveTNfNQ（20）式中：N為插值函數，為材料常數矩陣，為應變矩陣，V為體積，為面積。式（18）即為系統(tǒng)的有限元平衡方程。3兩相多孔介質對于離體培養(yǎng)成骨細胞中所使用的基體材料，本文采用兩相多孔介質模型。由文獻11所述，我們可以得到其控制場方程如下：質量平衡方程：0)(FFSSuu（21）式中：為體積分數，表示流體，為固體。動量平衡方程：)(SFSSESSpuuTu（22）)(SFFFFpuuu（23）有了以上控制方程，根據相應的初邊值條件，通過引入罰參數來消去壓力p，再由Galerkin加權殘值法推導可以得到問題的有限元平衡方程：fuKuCuM（24）式中：為密度，f為外力矢量。4算例為模擬體外培養(yǎng)成骨細胞的受力情況，編制了二維有限元分析程序。為使分析更接近實際情況，基體材料采用兩相多孔介質單元，而細胞本身則用不可壓粘彈性單元?；谶B續(xù)介質的假設，每個單元是若干個細胞的集合體，本文不單獨考察單個成骨細胞的行為，而是基于多孔介質假設考慮有若干足夠大的成骨細胞和孔隙的整體行為，這也是宏觀上骨組織成長所關心的問題如圖1所示，細胞種植在多孔介質基板上，基板受四點彎曲作用，其有限元網格和尺寸以及載荷如圖2所示。模型總共劃分為88個單元、112個節(jié)點，其中，16號節(jié)點和93號節(jié)點均固定，5號節(jié)點和112好節(jié)點受載荷作用。對于基體多孔介質材料，其材料參數有：29mN100.2SE，3.0S，6.0S，4.0F，35mkg100.2S，3mkg1000F，sm1057.141k，s)(Vm1098.12412K。對于成骨細胞，根據張西正、匡震邦、蔡紹皙等10所測，取Pa7.1511K，Pa3.542K，sPa2.142。當載荷為圖3所示準靜態(tài)載荷作用下時，有限元計算結果如圖4圖7所示。從圖4中的結果可知，在外力增加然后保持不變的過程中，細胞所在節(jié)點的位移隨時間逐漸增加，最后趨于穩(wěn)定值，反映了細胞的粘彈性性質。圖5給出了細胞所在節(jié)點（58）的速度隨時間的變化規(guī)律。由圖可知，隨載荷的增加，節(jié)點速度也隨之而增加，但當載荷保持穩(wěn)定時，節(jié)點的速度隨之而下降，并最后趨于零。圖6給出了細胞的等效應力隨時間的變化規(guī)律?？梢姡斴d荷增加時，細胞所受的應力同步增加，當載荷保持穩(wěn)定后，細胞的應力隨即下降，并隨時間的增加應力減少的幅度越來越小。圖7為t20s時刻的整體變形圖。圖1離體培養(yǎng)成骨細胞裝置xy0.032m0.008m0.0015mFF圖2四點彎曲梁有限元網格圖5結語成骨細胞是骨組織工程中的種子細胞，在骨組織生長、重建和形態(tài)形成過程中起著十分重要的作用。對它的研究受到各國學者的廣泛關注13-15。對成骨細胞的離體培養(yǎng)及成骨細胞的力學特性的研究，對更清楚地認識骨的力學特性及進一步闡明骨生理、骨病理現象都有著非常深遠的意義，其臨床的應用前景十分廣闊16,17。本文通過對成骨細胞建立不可壓縮粘彈性模型，再用有限元數值分析方法得到了成骨細胞在離體培養(yǎng)下的受力情況。參考文獻:1UCHIDAA.TheeffectofmechanicalstressonculturedgrowthcartilagecellsJ.ConnectTissueRes,1988,17:305-311.2BUCKLYMJ,BANESAJ,JORDONRD,etal.TheeffectsofmechanicalstrainonosteoblastsinvitroJ.JOralMaxillofacSurg,1990,48:276-286.3BRINGTONCT,FISHERJR,LEVINESE,etal.ThebiochemicalpathwaymediatingtheproliferativeresponseofbonecellstoamechanicalstimulusJ.JBoneJointSurg,1996,78():1337-1347.4ATHANASIOU,K.A.,Niederauer,G.G.,Schenck,R.C.Biomechanicaltopographyofhumananklet(s)F(N)F00t1F0=10kNt1=10s圖3擬靜態(tài)載荷0.00E+001.00E-042.00E-043.00E-044.00E-045.00E-040100200300400t(s)displacement(mm)圖458號節(jié)點的位移響應0.00E+002.00E-064.00E-066.00E-068.00E-061.00E-050100200300400t(s)velocity(mm/s)圖558號節(jié)點的速度響應圖658號節(jié)點的應力強度響應0.00E+001.00E+032.00E+033.00E+034.00E+035.00E+036.00E+037.00E+030100200300400t(s)stressintensity(Pa)圖7t=20s時的變形圖cartilage.AnnalsofBiomedicalEngineering,Vol.23(5)(1995):697-704）5徐晉斌,吳文周,張火圣,等.鼠成骨細胞力學特性的理論與實驗J.太原理工大學學報,1998,29(1):1-3.XUJIN-BIN,WUWEN-ZHOU,ZHANGHUO-SHENG,etal.TheoreticalandexperimentalstudyonmechanicalpropertiesofratosteoblastsJ.JournalofTaiyuanUniversityofTechnology,1998,29(1):1-3.6徐晉斌,樊學軍,張火圣,等.微管吸吮和半無限體模型在鼠成骨細胞粘彈性研究中的應用J.生物物理學報,1998,14(2):360-366.XUJIN-BIN,FANXUE-JUN,ZHANGHUO-SHENG,etal.Applicationofmicropipetteaspirationandhalf-spacemodelinthestudyonviscoelasticityofratosteoblastJ.ActaBiophysica,1998,14(2):360-366.7張火圣,徐晉斌,樊學軍,等.大鼠顱蓋骨成骨細胞的體外培養(yǎng)及其彈性力學特性研究.中國生物醫(yī)學工程學報,1999,18(4):433-440.ZHANGHUO-SHENG,XUJIN-BIN,FANXUE-JUN,etal.InvitrocultureandstudyonmechanicalpropertiesofratosteoblastJ.ChineseJournalofBiomedicalEngineering,1999,18(4):433-440.8毛勇,段小紅,王忠義,等.不同應力對成骨細胞和細胞骨架影響的實驗研究J.牙體牙髓牙周病學雜志,2001,11(2):98-100.MAOYONG,DUANXIAO-HONG,WANGZHONG-YI,etal.StudyoftheeffectsoftwodifferentkindsofstressonosteoblastanditscytoskeletoninvitroJ.ChineseJournalofConservativeDentistry,2001,11(2):98-100.9張西正,康少華,匡震邦,等.單向循環(huán)拉伸應變作用下成骨細胞動力學響應的實驗研究J.中華創(chuàng)傷雜志,2001,17(4):219-221.ZHANGXI-ZHENG,KANGSHAO-HUA,KUANGZHEN-BANG,etal.ExperimentalstudyofosteoblastdynamicrespondsofWistarratundertheactionofuniaxialtensilesubstratestrainJ.ChineseJournalofTraumatology,2001,17(4):219-221.10張西正,匡震邦,蔡紹皙,等.Wistar大鼠成骨細胞粘彈性與相對增殖指數關系的實驗研究J.中國生物醫(yī)學工程學報,2001,20(4):305-309.ZHANGXI-ZHENG,KUANGZHEN-BANG,CAISHAO-XI,etal.TheexperimentalstudyonrelationbetweenosteoblastviscoelastyofWistarratsandrelativeproliferationindexJ.ChineseJournalofBiomedicalEngineering,2001,20(4):205-309.11李德源,劉占芳,勵凌峰,等.橫觀各向同性松質骨撞擊動力響應數值分析J.工程力學,2001,17(5):133-139.LIDE-YUAN,LIUZHAN-FANG,LILING-FENG,etal.NumericalanalysisofimpactresponseoftransverselyisotropiccancellousboneJ.EngineeringMechanics,2001,17(5):133-139.12曹陽,鄭翼,陳揚熙,等.機械應力下成骨細胞外信號調節(jié)激酶ERK1/2的早期變化J.第四軍醫(yī)大學學報,2007,28(18):1663-1666.CAOYANG,ZHENGYI,CEHNYANG-XI,etal.EffectsofmechanicalstrainonexpressionofERK1/2inosteoblasticcellsinvitroJ.JournaloftheFourthMilitaryMedicalUniversity,2007,28(18):1663-1666.13ONTIVEROSC,IRWINR,WISEMA