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學(xué)士學(xué)位論文論文題目多元函數(shù)極值及其應(yīng)用姓名:王一指導(dǎo)教師:劉海明系別:數(shù)學(xué)系年級(jí):08級(jí)一班專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)目錄1函數(shù)極值理論12多元函數(shù)極值的應(yīng)用133多元函數(shù)極值的奇異性參考文獻(xiàn)致謝多元函數(shù)極值及應(yīng)用摘要:本文是有關(guān)函數(shù)極值問題的解決,它由一元函數(shù)極值問題的講解不斷深化到多元函數(shù)并且還講解到函數(shù)極值的應(yīng)用以及奇異性關(guān)鍵詞:函數(shù)極值:函數(shù)極值應(yīng)用:函數(shù)極值奇異性ExtremevalueoffunctionandapplicationAbstract:Thisarticleisaboutthefunctionextremesolutionbyafunctionextremeproblemtoexplainthecontinuousdeepeningtoamulti-functionandexplaintheapplicationoffunctionextremeandsingularKeywords:Functionextreme:functionextendapplication一函數(shù)極值理論定義2.1.13設(shè)n(2)n元函數(shù)12(,)nzfxxx在點(diǎn)00012(,)nxxx的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)該鄰域內(nèi)任一異于00012(,)nxxx的點(diǎn)12(,)nxxx都有0001212(,)(,)nnfxxxfxxx(或0001212(,)(,)nnfxxxfxxx),則稱函數(shù)在點(diǎn)00012(,)nxxx有極大值(或極小值)00012(,)nfxxx.極大值、極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).定義2.2.13函數(shù)12(,)nzfxxx在m個(gè)約束條件12(,)0inxxx(1,2,;)immn下的極值稱為條件極值.3.多元函數(shù)普通極值存在的條件定理3.1(必要條件)若n(2)n元函數(shù)12(,)nzfxxx在點(diǎn)00012(,)nxxx存在偏導(dǎo)數(shù),且在該點(diǎn)取得極值,則有00012(,)0ixnfxxx(1,2,)in備注:使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn),但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).定理3.23(充分條件)設(shè)n(2)n元函數(shù)12(,)nfxxx在00012(,)nxxx附近具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且00012(,)nxxx為12(,)nzfxxx的駐點(diǎn).那么當(dāng)二次型00012,1()(,)ijnxxnijijgfxxx正定時(shí),00012(,)nfxxx為極小值;當(dāng)()g負(fù)定時(shí),00012(,)nfxxx為極大值;當(dāng)()g不定時(shí),00012(,)nfxxx不是極值.記00012(,)ijijxxnafxxx,并記11121321222312kkkkkaaaaaaAaaa,它稱為f的k階Hesse矩陣.對(duì)于二次型()g正負(fù)定的判斷有如下定理:定理3.33若det0kA(1,2,)kn,則二次型()g是正定的,此時(shí)00012(,)nfxxx為極小值;若(1)det0kkA(1,2,)kn,則二次型()g是負(fù)定的,此時(shí)00012(,)nfxxx為極大值.特殊地,當(dāng)2n時(shí),有如下推論:推論3.1若二元函數(shù)00(,)(,)zfxyxy在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且0000(,)0,(,)0xyfxyfxy令000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy則當(dāng)20ACB時(shí),0,0,AA取極大值取極小值.當(dāng)20ACB時(shí),沒有極值.當(dāng)20ACB時(shí),不能確定,需另行討論.4介紹多元函數(shù)條件極值的若干解法4.1代入消元法通過一個(gè)量用其它量代替的方法達(dá)到降元效果,將條件極值化為無條件極值問題來解決一些較為簡(jiǎn)單的條件極值問題,這種方法適用于約束函數(shù)較為簡(jiǎn)單的條件極值求解,有些條件極值很難化為無條件極值來解決.例4.1.1求函數(shù)(,)fxyzxyz在0xyz條件下的極值.解由0xyz解得,2zxy將上式代入函數(shù)(,)fxyz,得g(x,y)=xy(2-x+y)解方程組222y20220xygxyygxxyx得駐點(diǎn)1222PP=33(0,0),(,-)2xxyg,222xygxy,2yygx在點(diǎn)1P處,0,2,0ABC22=0240ACB,所以1P不是極值點(diǎn)從而函數(shù)(,)fxyz在相應(yīng)點(diǎn)(0,0,2)處無極值;在點(diǎn)2P處,44,2,33ABC224424()03333ACB,又403A,所以2P為極小值點(diǎn)因而,函數(shù)(,)fxyz在相應(yīng)點(diǎn)222(,)333處有極小值極小值為2228(,)33327f.4.2拉格朗日乘數(shù)法3拉格朗日乘數(shù)法是求多元函數(shù)條件極值的一種常用方法,特別是在約束條件比較多的情況下使用拉格朗日乘數(shù)法更方便適用.求目標(biāo)函數(shù)12(,)nfxxx在條件函數(shù)12(,)0,(1,2,)knxxxkmmn組限制下的極值,若12(,)nfxxx及12(,)knxxx有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且Jacobi矩陣111122221212nnmmmnxxxxxxJxxx的秩為m,則可以用拉格朗日乘數(shù)法求極值.首先,構(gòu)造拉格朗日函數(shù)12112121(,)(,)(,)mnmnkknkLxxxfxxxxxx然后,解方程組0,1,2,0,2,ikLinxLkim從此方程組中解出駐點(diǎn)的坐標(biāo)00012(,)inPxxx(1,2,)ik,所得駐點(diǎn)是函數(shù)極值的可疑點(diǎn),需進(jìn)一步判斷得出函數(shù)的極值.定理4.2.1(充分條件)設(shè)點(diǎn)000012(,)nxxxx及m個(gè)常數(shù)12,m滿足方程組100miiikkklLfxxx(1,2,;1,2,)knlm,則當(dāng)方陣20,12(,)mklnnLxxx為正定(負(fù)定)矩陣時(shí),0x為滿足約束條件的條件極?。ù螅┲迭c(diǎn),因此0()fx為滿足約束條件的條件極小(大)值.例4.2.1求橢球2222221xyzabc在第一卦限內(nèi)的切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的最小體積.解此橢球在點(diǎn)000(,)Pxyz處的切平面為000000222222()()()0xyzxxyyzzabc化簡(jiǎn),得0002221xyzxyzabc此平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為:222000,abcxyz則此切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積2220006abcVxyz由題意可知,體積存在最小值,要使V最小,則需000xyz最大;即求目標(biāo)函數(shù)(,)fxyzxyz在條件2222221xyzabc下的最大值,其中0,0,0xyz,拉格朗日函數(shù)為222222(,)(1)xyzLxyzxyzabc由22222222220;20;20;1LxyzxaLyxzybLzxyzcxyzabc解得,333abcxyz;min3(,)2333abcVVabc說明:以上介紹的兩種方法為解多元函數(shù)條件極值的常用方法,但在實(shí)際解題過程中,我們還可以根據(jù)多元函數(shù)的一些特點(diǎn)選擇其它一些特殊解法來快速解題,如標(biāo)準(zhǔn)量代換法、不等式法、二次方程判別式法、梯度法、數(shù)形結(jié)合法.4.3標(biāo)準(zhǔn)量代換法求某些有多個(gè)變量的條件極值時(shí),我們可以選取某個(gè)與這些變量有關(guān)的量作為標(biāo)準(zhǔn)量,稱其余各量為比較量,然后將比較量用標(biāo)準(zhǔn)量與另外選取的輔助量表示出來,這樣就將其變?yōu)檠芯繕?biāo)準(zhǔn)量與輔助量間的關(guān)系了.如果給定條件是幾個(gè)變量之和的形式,一般設(shè)這幾個(gè)量的算術(shù)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量.例4.3.14設(shè)xyza,求222uxyz的最小值.解取33xyza為標(biāo)準(zhǔn)量,令,33aaxy,則3az(,為任意實(shí)數(shù)),從而有222()()()333aaau2222223a22222()33aa等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)0,即3axyz時(shí)成立,所以u(píng)的最小值為23a.4.4不等式法44.4.1利用均值不等式均值不等式是常用的不等式,其形式為1212nnnaaaaaan,這里0,1,2kakn,且等號(hào)成立的充分條件是12naaa.例4.4.1.1已知11112xyz,(0,0,0)xyz,求(,)222fxyzxyz的極小值.解0,0,0,xyz(,)222fxyzxyz14()2xyz1114()()xyzxyz4(3)xyyzxzyxzyzx4(3222)36當(dāng)且僅當(dāng)6xyz時(shí),等號(hào)成立.4.4.2利用柯西不等式柯西不等式:對(duì)于任意實(shí)數(shù)12,naaa和12,nbbb,總有21122()nnababab2222221212()()nnaaabbb,iiaRbR,當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)12,naaa與1,2,nbbb對(duì)應(yīng)成比例時(shí),等號(hào)成立.運(yùn)用柯西不等式,主要是把目標(biāo)函數(shù)適當(dāng)變形,進(jìn)而“配、湊”成柯西不等式的左邊或者右邊的形式,最終求得極大值或極小值.例4.4.2.1已知222(2)(1)(4)9xyz,求(,)22fxyzxyz的最值.解首先將(,)22fxyzxyz變形為(,)fxyz2(2)2(1)(4)10xyz;再設(shè)(,)2(2)2(1)(4)gxyzxyz,于是,根據(jù)柯西不等式及已知條件,有22(2)2(1)(4)xyz2222222(2)1(2)(1)(4)81xyz即:92(2)2(1)(4)9xyz

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