多元函數(shù)極值及其應(yīng)用.doc.doc

學(xué)士學(xué)位論文論文題目多元函數(shù)極值及其應(yīng)用姓名：王一指導(dǎo)教師：劉海明系別：數(shù)學(xué)系年級(jí)：08級(jí)一班專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)目錄1函數(shù)極值理論12多元函數(shù)極值的應(yīng)用133多元函數(shù)極值的奇異性參考文獻(xiàn)致謝多元函數(shù)極值及應(yīng)用摘要：本文是有關(guān)函數(shù)極值問題的解決，它由一元函數(shù)極值問題的講解不斷深化到多元函數(shù)并且還講解到函數(shù)極值的應(yīng)用以及奇異性關(guān)鍵詞：函數(shù)極值:函數(shù)極值應(yīng)用:函數(shù)極值奇異性ExtremevalueoffunctionandapplicationAbstract：Thisarticleisaboutthefunctionextremesolutionbyafunctionextremeproblemtoexplainthecontinuousdeepeningtoamulti-functionandexplaintheapplicationoffunctionextremeandsingularKeywords：Functionextreme:functionextendapplication一函數(shù)極值理論定義2.1.13設(shè)n(2)n元函數(shù)12(,)nzfxxx在點(diǎn)00012(,)nxxx的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)該鄰域內(nèi)任一異于00012(,)nxxx的點(diǎn)12(,)nxxx都有0001212(,)(,)nnfxxxfxxx(或0001212(,)(,)nnfxxxfxxx)，則稱函數(shù)在點(diǎn)00012(,)nxxx有極大值(或極小值)00012(,)nfxxx.極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).定義2.2.13函數(shù)12(,)nzfxxx在m個(gè)約束條件12(,)0inxxx(1,2,；)immn下的極值稱為條件極值.3.多元函數(shù)普通極值存在的條件定理3.1（必要條件）若n(2)n元函數(shù)12(,)nzfxxx在點(diǎn)00012(,)nxxx存在偏導(dǎo)數(shù)，且在該點(diǎn)取得極值，則有00012(,)0ixnfxxx(1,2,)in備注：使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).定理3.23（充分條件）設(shè)n(2)n元函數(shù)12(,)nfxxx在00012(,)nxxx附近具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且00012(,)nxxx為12(,)nzfxxx的駐點(diǎn).那么當(dāng)二次型00012,1()(,)ijnxxnijijgfxxx正定時(shí)，00012(,)nfxxx為極小值；當(dāng)()g負(fù)定時(shí)，00012(,)nfxxx為極大值；當(dāng)()g不定時(shí)，00012(,)nfxxx不是極值.記00012(,)ijijxxnafxxx，并記11121321222312kkkkkaaaaaaAaaa，它稱為f的k階Hesse矩陣.對(duì)于二次型()g正負(fù)定的判斷有如下定理：定理3.33若det0kA(1,2,)kn，則二次型()g是正定的，此時(shí)00012(,)nfxxx為極小值；若(1)det0kkA(1,2,)kn，則二次型()g是負(fù)定的，此時(shí)00012(,)nfxxx為極大值.特殊地，當(dāng)2n時(shí)，有如下推論：推論3.1若二元函數(shù)00(,)(,)zfxyxy在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且0000(,)0,(,)0xyfxyfxy令000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy則當(dāng)20ACB時(shí)，0,0,AA取極大值取極小值.當(dāng)20ACB時(shí)，沒有極值.當(dāng)20ACB時(shí)，不能確定，需另行討論.4介紹多元函數(shù)條件極值的若干解法4.1代入消元法通過一個(gè)量用其它量代替的方法達(dá)到降元效果，將條件極值化為無條件極值問題來解決一些較為簡(jiǎn)單的條件極值問題，這種方法適用于約束函數(shù)較為簡(jiǎn)單的條件極值求解，有些條件極值很難化為無條件極值來解決.例4.1.1求函數(shù)(,)fxyzxyz在0xyz條件下的極值.解由0xyz解得，2zxy將上式代入函數(shù)(,)fxyz，得g(x,y)=xy(2-x+y)解方程組222y20220xygxyygxxyx得駐點(diǎn)1222PP=33（0，0），（，-）2xxyg，222xygxy，2yygx在點(diǎn)1P處，0,2,0ABC22=0240ACB，所以1P不是極值點(diǎn)從而函數(shù)(,)fxyz在相應(yīng)點(diǎn)(0,0,2)處無極值；在點(diǎn)2P處，44,2,33ABC224424()03333ACB，又403A，所以2P為極小值點(diǎn)因而，函數(shù)(,)fxyz在相應(yīng)點(diǎn)222(,)333處有極小值極小值為2228(,)33327f.4.2拉格朗日乘數(shù)法3拉格朗日乘數(shù)法是求多元函數(shù)條件極值的一種常用方法，特別是在約束條件比較多的情況下使用拉格朗日乘數(shù)法更方便適用.求目標(biāo)函數(shù)12(,)nfxxx在條件函數(shù)12(,)0,(1,2,)knxxxkmmn組限制下的極值，若12(,)nfxxx及12(,)knxxx有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且Jacobi矩陣111122221212nnmmmnxxxxxxJxxx的秩為m，則可以用拉格朗日乘數(shù)法求極值.首先，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)12112121(,)(,)(,)mnmnkknkLxxxfxxxxxx然后，解方程組0,1,2,0,2,ikLinxLkim從此方程組中解出駐點(diǎn)的坐標(biāo)00012(,)inPxxx(1,2,)ik，所得駐點(diǎn)是函數(shù)極值的可疑點(diǎn)，需進(jìn)一步判斷得出函數(shù)的極值.定理4.2.1（充分條件）設(shè)點(diǎn)000012(,)nxxxx及m個(gè)常數(shù)12,m滿足方程組100miiikkklLfxxx(1,2,；1,2,)knlm，則當(dāng)方陣20,12(,)mklnnLxxx為正定（負(fù)定）矩陣時(shí)，0x為滿足約束條件的條件極?。ù螅┲迭c(diǎn)，因此0()fx為滿足約束條件的條件極小（大）值.例4.2.1求橢球2222221xyzabc在第一卦限內(nèi)的切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的最小體積.解此橢球在點(diǎn)000(,)Pxyz處的切平面為000000222222()()()0xyzxxyyzzabc化簡(jiǎn),得0002221xyzxyzabc此平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為：222000,abcxyz則此切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積2220006abcVxyz由題意可知，體積存在最小值，要使V最小，則需000xyz最大；即求目標(biāo)函數(shù)(,)fxyzxyz在條件2222221xyzabc下的最大值，其中0,0,0xyz，拉格朗日函數(shù)為222222(,)(1)xyzLxyzxyzabc由22222222220；20；20；1LxyzxaLyxzybLzxyzcxyzabc解得,333abcxyz；min3(,)2333abcVVabc說明：以上介紹的兩種方法為解多元函數(shù)條件極值的常用方法，但在實(shí)際解題過程中，我們還可以根據(jù)多元函數(shù)的一些特點(diǎn)選擇其它一些特殊解法來快速解題，如標(biāo)準(zhǔn)量代換法、不等式法、二次方程判別式法、梯度法、數(shù)形結(jié)合法.4.3標(biāo)準(zhǔn)量代換法求某些有多個(gè)變量的條件極值時(shí),我們可以選取某個(gè)與這些變量有關(guān)的量作為標(biāo)準(zhǔn)量,稱其余各量為比較量,然后將比較量用標(biāo)準(zhǔn)量與另外選取的輔助量表示出來,這樣就將其變?yōu)檠芯繕?biāo)準(zhǔn)量與輔助量間的關(guān)系了.如果給定條件是幾個(gè)變量之和的形式,一般設(shè)這幾個(gè)量的算術(shù)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量.例4.3.14設(shè)xyza,求222uxyz的最小值.解取33xyza為標(biāo)準(zhǔn)量,令,33aaxy,則3az(,為任意實(shí)數(shù)),從而有222()()()333aaau2222223a22222()33aa等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)0,即3axyz時(shí)成立，所以u(píng)的最小值為23a.4.4不等式法44.4.1利用均值不等式均值不等式是常用的不等式，其形式為1212nnnaaaaaan，這里0,1,2kakn，且等號(hào)成立的充分條件是12naaa.例4.4.1.1已知11112xyz，(0,0,0)xyz，求(,)222fxyzxyz的極小值.解0,0,0,xyz(,)222fxyzxyz14()2xyz1114()()xyzxyz4(3)xyyzxzyxzyzx4(3222)36當(dāng)且僅當(dāng)6xyz時(shí)，等號(hào)成立.4.4.2利用柯西不等式柯西不等式：對(duì)于任意實(shí)數(shù)12,naaa和12,nbbb，總有21122()nnababab2222221212()()nnaaabbb,iiaRbR,當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)12,naaa與1,2,nbbb對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，等號(hào)成立.運(yùn)用柯西不等式，主要是把目標(biāo)函數(shù)適當(dāng)變形，進(jìn)而“配、湊”成柯西不等式的左邊或者右邊的形式，最終求得極大值或極小值.例4.4.2.1已知222(2)(1)(4)9xyz，求(,)22fxyzxyz的最值.解首先將(,)22fxyzxyz變形為(,)fxyz2(2)2(1)(4)10xyz；再設(shè)(,)2(2)2(1)(4)gxyzxyz，于是，根據(jù)柯西不等式及已知條件，有22(2)2(1)(4)xyz2222222(2)1(2)(1)(4)81xyz即：92(2)2(1)(4)9xyz