2014年五一高中物理競賽提高班后端習(xí)題1答案

2014 年 五一 高中 物理競賽提高班 后端習(xí)題 答案 （第 一 次） 試卷說明 本測試與 2014 年 全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽 難度相當(dāng)，并與實際授課難度接近。希望學(xué)員經(jīng)由本試卷了解 物理競賽復(fù)賽 題型及難度，對 14 年 9 月 全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽 舉辦之前的學(xué)習(xí)進(jìn)度給出合理安排。 本習(xí)題用于學(xué)生對水平進(jìn)行自我評估，如有學(xué)員希望單獨得到金牌助教們的閱卷及分析，請通過郵箱與我們?nèi)〉寐?lián)系。方式 1：將自測結(jié)果（推薦直接在原試卷上給出答案）以照片或掃描件的形式發(fā)送。方式 2：將自測答案單獨以 excel 或 word 形式發(fā)送。我們會在收到答案的兩周內(nèi)進(jìn)行評閱并進(jìn)行個性化分析。 第二套后端習(xí)題將于 2014年 5月 15日 12:00發(fā)布。 （ 2014 年 五一 集中培訓(xùn)課程使用） QBXT/JY/HDXTDA2014/5-1-6 2014-5-15 發(fā)布 清北學(xué)堂教學(xué)研究部 清北學(xué)堂學(xué)科郵箱 自主招生郵箱 數(shù)學(xué)競賽郵箱 物理競賽郵箱 化學(xué)競賽郵箱 生物競賽郵箱 理科精英郵箱 清北學(xué)堂官方博客 /tsba 清北學(xué)堂微信訂閱號 學(xué)習(xí)資料最新資訊 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程 后端習(xí)題 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 2 頁 2014 年五一高中 物理競賽提高班后端習(xí)題 1 答案 一、 （ 15 分）在水平地面某一固定點 O 用槍射擊，射出的子彈在水平面上落點所能夠覆蓋的最大面積是 A 。若在 O 點正上方高度為 h 的 O點用同一支槍射擊，射出的子彈在水平面上落點所能夠覆蓋的最大面積是多少？不計空氣阻力，不計槍支的長度，每次射出的子彈初速度大小相同。 【解析】 對地面上的拋體運動，設(shè)拋出角為 ，初速度為 0v ，則易得軌跡方程為 2220ta n 2 c o sgy x xv 可以看到，軌跡方程為一族拋物線，且拋出角 與軌跡方程一一對應(yīng)。拋物線在包絡(luò)內(nèi)兩兩相交，因此對包絡(luò)內(nèi)任意點，有兩條拋物線軌跡經(jīng)過該點，而對包絡(luò)線上的點，僅與一條拋物線對應(yīng)，即此處 是單值的，因此有 2220( t a n ) 02 c o sgx x yv 計算整理得 20tan vgx 將上式代入軌跡方程消去參數(shù) 得到包絡(luò)線方程為 2 20202 2v gyxg v 另外，將軌跡方程中的 2cos 用 tan 表示 整理得 2 2 2 2 200( ) t a n ( 2 ) t a n ( 2 ) 0g x v x v y g x 該式為關(guān)于 （ 與 tan 一一對應(yīng)）的一元二次方程，利用包絡(luò)線上 的單值條件，上述方程只有單根，即 2 2 2 2 2 2004 ( 2 ) 4 ( ) ( 2 ) 0b a c v x g x v y g x 整理也可得包絡(luò)線方程為 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程 后端習(xí)題 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 3 頁 2 20202 2v gyxg v 由包絡(luò)線方程可知，在地面上射擊時，子彈能達(dá)到的最大水平位移為包絡(luò)線方程中0y 時對應(yīng)的 x 的絕對值，即 20max vx g 由已知條件可知 220vA g 由于包絡(luò)線方程的推導(dǎo)與拋出點的高度無關(guān)，若在地面上方一點拋出，則包絡(luò)線方程中的 y 值可取負(fù)值， y 的最小值為拋出點高度 h 。因此，在 O 點上方 O點射出子彈時，子彈能達(dá)到的最大水平位移為包絡(luò)線方程中 yh 時對應(yīng)的 x 的絕對值，即 2200m a x2 2vvxhgg 此時落點所能覆蓋的最大面積為 2 2 2 22 0 0 0 0m a x 22 22v v v vA x h h A h Ag g g g 二、 （ 20 分）如圖所示，外海和港口有一個直線的防波堤相隔，平面波從外海傳來，這個平面波的振幅和波長一定，薄面平行于防波堤。在防波堤上有一開口，供船只進(jìn)入，其寬度為 h ，并且可以在與波長差不多的范圍內(nèi)變動。設(shè)外海平面波的波速不變，不考慮防波堤和岸邊的反射。 1. 進(jìn)入港口的波在離開口很遠(yuǎn)的地方可以看作一個以開口中心為頂點的球面波，試說明原因。 2. 當(dāng) hr 時，在距離開口中心為 r 處的 C 點，波的振幅 a 與開口寬度 h 有什么關(guān)系？ 3. 實際上，港口內(nèi)的球面波有一個頂角 ，若已知沿波面長度為 L 的波的能量在振幅一定的情況下，與振幅的平方以及 L 成正比，試確定球面波的頂角 與開口寬度 h的關(guān)系。 4. 試確定 C 點的振幅 a 與 C 點到開口的距離 r 的關(guān)系。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程 后端習(xí)題 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 4 頁 【解析】 1. 波經(jīng)過小孔會發(fā)生衍射，根據(jù)惠更斯原理，任一波面上的點均可視為一個子波源而發(fā)出新的波，這些子波的包絡(luò)面構(gòu)成一個新的波前，因此會形成以開口中心為頂點的球面波。 2. 當(dāng) hr 時，開口上各點到 C 點的距離幾乎相同，而以這些點為子波源的衍射波為相干波，其初相位相同，振幅與波長也相同，因此在 C 點時相位相同，發(fā)生相長干涉?？梢哉J(rèn)為，開口寬度上分割出的子波源間隔是相同的，因而子波源的數(shù)量n 與開口寬度 h 成正比，而相長干涉時合振幅 a 與波的數(shù)量 n 也成正比，因此 C 點出的振幅 a 與 開口寬度 h 成正比，即 a kh ， k 為比例常數(shù)。 3. 設(shè)開口處的振幅為 A ，則開口處波的總能量為 2E khA 其中 k 為比例常數(shù)，注意與第 2 問中的 k 意義不同。 在 C 點所在的波前，波的能量為 2E kr a 根據(jù)能量守恒，兩能量相等，即 22r a hA 若開口寬度 h 變?yōu)樵瓉淼?b 倍，由第 2 問可知， C 點所在波前的振幅 a 也變?yōu)樵瓉淼?b 倍，此時頂角變?yōu)?，仍需滿足能量守恒，即 2 2 2r b a bhA 記 h bh ，代入上式整理得 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程 后端習(xí)題 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 5 頁 2 2 22 2 2r ha h Ar h a h A 此時能使能量守恒在開口寬度變化后仍得到滿足，得到 與 h 的關(guān)系為 consth 即 1h 4. 由第 3 問可知 22 hAra 因此，當(dāng) h 一定時，結(jié)合第 3 問中 consth ，得 12ar 三、 （ 25 分） 質(zhì)量為 M 的宇航站與質(zhì)量為 m 的飛船對接在一起沿半徑為 nR 的圓形軌道繞地球運動，其中 1.25n ， R 為地球半徑。在某一時刻，飛船從宇航站沿運動方向發(fā)射出去，并沿某橢圓軌道飛行，新軌道的最遠(yuǎn)點到地心的距離為 8nR ，如果希望飛船繞地球運動一周后恰好與宇航站再次相遇，則質(zhì)量比 mM應(yīng)為多少？ 【解析】 飛船由宇航站發(fā)射，發(fā)射后速度大于原速度，因此發(fā)射點處成為飛船新軌道的 近地點 ，而由于動量守恒，發(fā)射飛船后，宇航站速度 小于原速度，因此發(fā)射點處成為宇航站新軌道的 遠(yuǎn)地點 。記地球質(zhì)量為 eM ，飛船被發(fā)射前，與宇航站的共同運動速度為 u ，由動力學(xué)方程得 2 e2()() ()G M M mM m unR nR 解得 eGMu nR 飛船發(fā)射后的瞬間，記飛船的速度為 v ，宇航站的速度為 V ，由動量守恒得 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程 后端習(xí)題 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 6 頁 ()M m u MV mv 解得 m V uM u v 對飛船的新軌道， 近地點 距離 1r nR ， 近地點 速度 1vv ； 遠(yuǎn)地點 距離 2 8r nR ，遠(yuǎn)地點 速度 2vv ，由角動量守恒以及能量守恒得 22ee8112 2 8v n R v n RG M m G M mm v m vn R n R 解得 e4433GMvunR 同理，對宇航站的新軌道， 近地點 距離 1rr ，近地點速度 1vV ；遠(yuǎn)地點距離2r nR ，遠(yuǎn)地點速度 2vV ，由角動量守恒以及能量守恒得 22ee1122V r V n RG M M G M MM V M Vr n R 解得 e22GMrrVun R r n R n R r 設(shè)飛船新軌道的運行周期為 t ，宇航站新軌道的運行周期為 T ，兩者的半長軸分別為1 8922nR nRa nR和2 2nR ra ，由開普勒第三定律得 3322(9 ) ( )nR nR rtT 解得 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程 后端習(xí)題 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 7 頁 322 9t nRnR rT 又飛船運行一周后恰好與宇航站相遇，即有 , 1, 2, 3,t kT k 代入周期之比得 2323(9 )k nRrk 而宇航站不能與地球相撞，則應(yīng)有 rR ， 代入 1.25n ， 解得 11k 將 r 代入 V 的表達(dá)式并代回質(zhì)量比表達(dá)式得 232 123 3 3 1 8 2413rm V u rn R r kM u v n R r 又質(zhì)量比為正值，即 23 92k ，解得 10k 綜上， 10k 或 11k ，因此質(zhì)量比為 0.048mM 或 0.153mM 四、 （ 20 分）平行板電容器兩極板都是正方形，其面積均為 221.0 10 mS ，板間距離為31.0 10 md ，將電容器與電源相連，電源電動勢為 100V 。再將厚度也 d ，大小與極板相同的電介質(zhì)板（相對介電常數(shù) 2r ）以勻速 22.3 10 m sv 插入極板間， 不計電源內(nèi)阻與導(dǎo)線電阻，忽略電介質(zhì)板與極板間的摩擦， 求： 1. 電介質(zhì)板插入過程中，電路中的電流為多少？ 2. 電介質(zhì)板插入過程中，電源輸出的能量為多少？ 3. 電介質(zhì)板插入前后電容器儲存的能量有何變化？比較該能量變化與電源輸出的能量是否相同，并說明原因。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程 后端習(xí)題 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 8 頁 【解析】 1. 在電介質(zhì)板插入過程中，電容器電容不斷增大 。插入電介質(zhì)板的部分與未插入電介質(zhì)板的部分可看做兩電容并聯(lián)，總電容可視為從初始電容中減掉電介質(zhì)板插入深度的初始電容，再并聯(lián)等面積的帶電介質(zhì)板的電容，這是一個線性變化，又由于電介質(zhì)板勻速插入，故插入過程中電流為恒定值，則 經(jīng)過 t 時間后，電容變?yōu)?0 0 000 ( 1 )rrS v t S v t S v tC C Cd d d 電容增量為 00 ( 1 )r S v tCCC d 由電容與電荷量關(guān)系得 0( 1 )r S v tQC d 故電流為 90( 1 ) 2 1 0 Ar SvQI td 2. 電源輸出的電能為 79 1 0 JSW I t I v 3. 未插入電介質(zhì)板時，電容器儲存的電能為 2 2 701011 4 . 4 3 1 0 J22 SWC d 插入電介質(zhì)板后，電容器儲存的電能為 22 0 11 22 rW C W 因此插入電介質(zhì)板后電容器儲存的能量增加為 72 1 1 4 . 4 3 1 0 JW W W W 顯然，電源輸出的能量 WW 。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程 后端習(xí)題 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 9 頁 將電介質(zhì)板插入電容器極板間的過程中，電介質(zhì)板上會產(chǎn)生極化電荷，極板上的自由電荷對極化電荷產(chǎn)生引力，要使電介質(zhì)板能勻速插入電容器極板間，必須有一個外力克服電荷間的引力做負(fù)功，因此電源輸出的這部分能量將轉(zhuǎn)化成其他形式的能量釋放。 五、 （ 25 分） 如圖是由 24 個等值電阻連結(jié)而成的電阻網(wǎng)絡(luò)。又有一電源，電動勢為3.00V ，內(nèi)阻 2.00r，電源與一阻值為 28.0R的電阻和二極管 D 串聯(lián)后引出引線作為供電電路，引線點記為 P 和 Q。二極管 D 的伏安特性曲線如圖所示。 1. 若將 P、 Q 兩端與電阻網(wǎng)絡(luò) E、 G 兩點相接，測得二極管兩端的電壓為 0.86V ，求電阻網(wǎng)絡(luò) E、 A 間的電壓 EAU 。 2. 若將 P、 Q 兩端與電阻網(wǎng)絡(luò) B、 D 兩點相接，求二極管 D 的電流 DI 以及電阻網(wǎng)絡(luò) E、G 間的電壓 EGU 。 【解析】 1. 由二極管的伏安特性曲線查得，當(dāng)二極管電壓 D1 0.86VU 時，對應(yīng)的電流為D1 25.0mAI ，則電阻網(wǎng)絡(luò)兩端的電壓為 E G 1 D 1 D 1 D 1 1 . 3 9 VU I R I r U 利用電阻網(wǎng)絡(luò)的對稱性，當(dāng)接入 E、 G 兩點時電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電路如圖所示： F E H R 1 D C B A G R 2 R 3 R 4 R 6 R 5 R 7 R 9 R 8 R 10 R 11 R 12 R 13 R 14 R 15 R 16 R 17 R 18 R 19 R 20 R 21 R 22 R 23 R 24 1.6 1.0 100 50 10 I 0 /mA 0 U/V 0.2 A R 1 H G C E R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 R 7 R 8 R 9 R 10 R 11 R 12 R 13 R 14 R 15 R 16 R 17 R 18 R 19 R 20 R 21 R 22 R 23 R 24 F 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程 后端習(xí)題 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 10 頁 解得等效電阻為 EG 137RR 又有 EGEGD1 55.6UR I 解得 EG7 29.913RR 由等效電路圖可以看出，EA EG12UU，故有 EA 0.695VU 2. 當(dāng)引線兩端 P、 Q 與電阻網(wǎng)絡(luò) B、 D 兩點相接時，等效電路如圖所示： 由圖解得等效電阻為 BD 5 21.47RR 通過二極管的電流 D2I 與二極管兩端的電壓 D2U 關(guān)系為 D 2 D 2 B D()U I R R r 代入數(shù)據(jù)得 D B A H G C E R 1 F R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 R 7 R 8 R 9 R 10 R 11 R 12 R 13 R 14 R 15 R 16 R 17 R 18 R 19 R 22 R 23 R 20 R 24 R 21 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程 后端習(xí)題 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 11 頁 D 2 D 23 51.4UI 而 D2U 與 D2I 又滿足二極管 D 的伏安特性曲線，故將上式所表示的方程畫在伏安特性曲線中，如圖所示，其與伏安特性曲線的交點即為所求電壓與電流。 由圖解得 D2 40.5mAI 根據(jù)電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電路的對稱性可知， E、 G 兩點所在支路電流為零，故 E、 G間的電勢差為 D 2 4 1 D 2E G 1 1 222( ) 3 0 . 5 2 V7 2 2 7 2I R R IU R R R 六、 （ 20 分） 液體 A、 B 互不相容，它們的飽和蒸汽壓 ip 與 熱力學(xué) 溫度 T 的關(guān)系為 )BA(ln0或 ibTapp iii 式中 0p 為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓 ， a 、 b 為液體本身性質(zhì)所決定的常量 。 已測得兩個溫度點的0ppi 值如下 ： C40 ： 284.00A pp ， 07278.00B pp C90 ： 476.10A pp ， 6918.00B pp 1. 在外部壓強(qiáng)為 0p 時 ， 確定 A、 B 的沸點。 2. 現(xiàn)將液體 A 和 B 各 100g 注入 容器中，并在 A 表層覆蓋有薄層無揮發(fā)性的液體 C， 1.6 1.0 100 50 10 I 0/mA 0 U/V 0.2 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程 后端習(xí)題 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 12 頁 C 與 A、 B 互不相容， C 的作用是防止 A 自由揮發(fā)， 因而不考慮 C 的狀態(tài)變化。液體內(nèi)因重力而形成的壓強(qiáng)可以忽略， A、 B 的摩爾質(zhì)量比為 8BA MM 。對容器緩慢持續(xù)加熱 ， 液體溫度 t 隨時間 的變化如圖所示 。 試確定圖中溫度 1t 、 2t（精確到 1）以及在 1 時刻液體 A 和液體 B 的質(zhì)量（精確到 0.1g）。假設(shè) A、 B蒸汽均可視為理想氣體，可以使用道爾頓分壓定律。 【解析】 1. 沸點實際上是液體飽和蒸汽壓等于外部氣壓時的溫度 ， 因此在沸點時有 10App ， 10Bpp 代入飽和蒸汽壓與溫度的關(guān)系得到 0AAA bTa 0BBB bTa 因此，兩液體沸點與常數(shù) a 、 b 相關(guān) 。 將 A 液體測得 壓強(qiáng)比代入公式得 AAAA9015.2 7 3)4 7 6.1ln (4015.2 7 3)2 8 4.0ln (baba 解得 K49.3748A a ， 711.10A b 同理可得 B 氣體的常數(shù)為 P 0 C B A O t t 2 t 1 1 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程 后端習(xí)題 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 13 頁 K64.5121B a ， 735.13B b 因此液體 A、 B 的沸點為 C100K89.372 C77K45.349BA TT 2. 溫度 -時間圖上有兩個平臺 ， 這表明該過程中包含兩個沸騰過程 。 第一次沸騰時溫度為 1t ， 第二次沸騰時溫度為 2t 。 在 A、 B 交界面處，存在 A、 B 的飽和蒸汽，由道爾頓分壓定律可知，此處液體的等效飽和蒸汽壓為 BA ppp ，而在 B、 C 的交界面處，只有 B 的飽和蒸汽。顯然，A、 B 交界面處的飽和蒸汽壓將先于 B、 C 交界面處的飽和蒸汽壓到達(dá)外部氣壓 0p ， 即1t 溫度時 A、 B 交界面處發(fā)生沸騰。 此時 ， 有壓強(qiáng)關(guān)系 01B1A )()( ptptp 又根據(jù)飽和蒸汽壓與溫度的關(guān)系有 ii btai eptp )15.273(01 1)( 因此可解得 C671 t 第一次沸騰完成后 ， A、 B 交界面消失，只剩一種液體，因此第二次沸騰溫度 2t 一定為剩余液體的沸點 ， 即 C772 t 或 C1002 t 。 第一次沸騰過程中 ， 產(chǎn)生的氣體為 A、 B 氣體的混合氣體，其分壓分別為其飽和蒸汽壓，因而混合氣體中的兩氣體質(zhì)量比為 )( )(8)( )( 1B 1A1BB 1AABA tp tptpM tpMmm 而 C671 t 時 ， A、 B 的飽和蒸汽壓分別為 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程 后端習(xí)題 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 14 頁 01A 734.0)( ptp ， 01B 267.0)( ptp 故而可得 0.22BA mm 即第一次沸騰過程中產(chǎn)生的氣體中 A 氣體質(zhì)量是 B 氣體質(zhì)量的 22 倍，顯然 A 液體將率先全部汽化，故而第二次沸騰前只剩液體 B，則 C1002 t 由第一次沸騰時產(chǎn)生氣體中 A 與 B 的質(zhì)量比可知， 當(dāng) 100g 的 A 液體全部汽化時 ，B 液體汽化 4.5g，故在 1 時刻 ， 容器中 A 液體的質(zhì)量為 0， B 液體的質(zhì)量為 95.5g。 七、 （ 20 分） 如圖所示，凸透鏡焦距為 m15.0f ，主光軸上有一小光源 S ，另一側(cè)兩個反射面相向放置的平面鏡，兩平面鏡彼此垂直，且與透鏡主光軸成 45交角。兩平面鏡的交線與透鏡主光軸垂直。現(xiàn)已知小光源中心到兩平面鏡交線的距離 m9.0SO ，透鏡到兩平面鏡的 交線距離 m3.01 OO ， 試求 ： 1. 小光源 S 在透鏡主光軸上共成幾個像？指出像的虛實及位置。 2. 小光源 S 在透鏡主光軸外共成幾個像？指出像的虛實及位置。 【解析】 1. 如圖所示 ， 小光源 S 發(fā)出的光經(jīng)過透鏡第一次折射成像于主光軸上 1S ， 根據(jù)成像公式fvu 111 ， 且 m6.011 SOu ， m15.0f ， 解得像距為 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程 后端習(xí)題 答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 15 頁 m2.0111 SOv 像 1S 為實像 。 根據(jù)反射定律，像 1S 經(jīng)過彼此垂直的平面鏡將成三個像 2S 、 4S 和 6S ，而 2S 與 1S關(guān)于 O 點對稱 ，即 m1.02 OS 顯然像 2S 為虛像 。 像 2S 將經(jīng)過透鏡 第二次折射成像 3S ，同樣根據(jù)成