歷年各地初中數(shù)學(xué)青年教師解題競(jìng)賽試題及參考答案（上）

Su.15 整理 第 1 頁(yè) 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 1. 2002 年秋季廣州市初中數(shù)學(xué)青年教師解題比賽試題及解答 2. 常州市武進(jìn)區(qū)初中數(shù)學(xué)教師解題競(jìng)賽試題及參考答案 3. 2003 年廣州市初中數(shù)學(xué)青年教師解題比賽試題 4. 2005 年 武進(jìn)區(qū)初中數(shù)學(xué)教師解題競(jìng)賽試題 初中數(shù)學(xué)青年教師解題競(jìng)賽試卷 一、填空（本題共有 10 小題，每小題 4 分，共 40 分） 1函數(shù)112 xxy中，自變量 x 的取值范圍是 . 2圓錐的母線長(zhǎng)為 5cm，高為 3 cm，在它的側(cè)面展開(kāi) 圖中，扇形的圓心 角是 度 . 3已知 3xy ，那么yxyxyx 的值是 . 4 ABC 中， D、 E 分別是 AB、 AC 上的點(diǎn)， DE/BC， BE 與 CD 相交 于點(diǎn) O，在這個(gè)圖中，面積相等的三角形有 對(duì) . Su.15 整理 第 2 頁(yè) 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 5不等式 xx 4115 的正整數(shù)解的共有 個(gè) 6函數(shù) 13 xxy 的圖象在 象限 7在 ABC 中， AB 10， AC 5， D 是 BC 上的一點(diǎn)，且 BD： DC 2： 3，則 AD的取值范圍是 . 8關(guān)于自變量 x 的函數(shù) cbxaxy 2 是偶函數(shù)的條件是 . 9若關(guān)于未知數(shù) x 的方程 xpx 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) p 的取值范圍是 . 10 AB、 AC 為 O 相等的兩弦，弦 AD 交 BC 于 E，若 AC 12， AE 8， 則 AD . 二 、（本題滿分 12 分） 11如圖，已知點(diǎn) A 和點(diǎn) B， 求作一個(gè)圓 O， 和一個(gè)三角形 BCD，使 O 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A，且使所作的 圖形是對(duì)稱軸與直線 AB 相交的軸對(duì)稱圖形（要求 寫出作法，不要求證明） 三、（本題滿分 12 分） 12梯子的最高一級(jí) 寬 33cm，最低一級(jí) 寬 110cm，中間還有 10 級(jí)，各級(jí) 的 寬 成等差數(shù)列，計(jì)算 與最低一級(jí)最接近的一級(jí)的寬 四、（本題滿分 13 分） 13已知一條曲線在 x 軸的上方，它上面的每一點(diǎn)到點(diǎn) A（ 0， 2）的距離減去它到 x軸的距離的差都是 2，求這條曲線的方程 五、（本通滿分 13 分） 14池塘中豎著一塊碑，在高于水面 1 米的地方觀測(cè)，測(cè)得碑頂?shù)难鼋菫?20 ，測(cè)得碑頂在水中倒影的俯角為 30 （研究問(wèn)題時(shí)可把碑頂及其在水中的 倒影所在的直線與水平線垂直），求水面到碑頂?shù)母叨龋ň_到 0.01 米， 747.270tan ） . 六、（本題滿分 14 分） . 15若關(guān)于未知數(shù) x 的方程 022 qpxx （ p、 q 是實(shí)數(shù)）沒(méi)有實(shí)數(shù)根， .ABSu.15 整理 第 3 頁(yè) 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 求證：41 qp. 七、（本題滿分 14 分） 16如果 O 外接于正方形 ABCD， P 為劣弧 AD 上的一個(gè)任意點(diǎn)，求： PBPCPA的值 . 八、 （本題滿分 16 分） 17試寫出 m 的一個(gè)數(shù)值，使關(guān)于未知數(shù) x 的方程 08242 mxx 的 兩根中一個(gè)大 于 1， 另一個(gè)小于 1. 九、（本題滿分 16 分） 18點(diǎn) P 在銳角 ABC 的邊上運(yùn)動(dòng)，試確定點(diǎn) P 的位置，使 PA+PB PC 最小 ， 并證明你的結(jié)論 . 參考答案 一、 1. 2x 且 1x 2.288 3. 32 4.4 5.6 .一、二、三 7. 4AD0, 所求的曲線的方程是 081 2 xxy 五、 14. 解：如圖， DE 表示水面， A 表示觀測(cè)點(diǎn)， B 為 碑頂 ， B 在水中 的 倒影 ，由題意： m13020 ，ADACB，BAC 60,70 BB 設(shè) xBE ,則 .1,1 xCBxBC 在 Rt ABC 中， 70t a n1t a n xBBCAC 1 在 Rt A B C 中， 60t a n1t a n xBCBAC 2 由 1 、 2 得 60t a n170t a n1 xx 60t a n70t a n60t a n70t a n x 41.44 7 9.40 1 5.1 xx 米 答： 水面到碑頂?shù)母叨?4.41 米 . 六、 15. 證：由題意，令 044 2 qp 得 2pq B EABCDSu.15 整理 第 5 頁(yè) 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 41412122pppqp 即41 qp 七、 16. 解：如圖， BP 平分直角 APC ， 4521 在 APB 中，由余弦定理，得： 222 2 ABPBPAPBPA 同理，在 BPC 中，有 222 2 BCPCPBPCPB 22222 ACPCAPBCAB .2022 2PBPCPAPCPAPBPB 當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) A 或點(diǎn) D 重合時(shí) . 2PBPCPA 八、 17. 解法 1：設(shè) 062 xx ，則 01242 xx ,令 1282 m ，得 10m ， 當(dāng)10m 時(shí)，所給方程兩根中，一個(gè)大于 1，另一個(gè)小于 1. 解法 2：設(shè) 21,xx 是方程的兩根，則 mx，xxx 284 2121 ，依題意， .25,21.011,02844212mmxxm解得 ：25m. 當(dāng) 3m 時(shí)，所給的方程的兩根中，一個(gè)大于 1，另一個(gè)小于 1. 九、 18. 解：當(dāng)點(diǎn) P 在銳角 ABC 最短邊上的高的垂足的位置時(shí)， PA+PB PC 最小 . ABCDP1 2Su.15 整理 第 6 頁(yè) 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 證明：如圖， P 為 ABC 一邊 BC 邊 上的高的垂足，而 Q 為 BC 邊上的任一點(diǎn)， QBQAPCPAPCPBPA , QAPABCQAQC , QCQBQAPCPBPA 又設(shè) AC 為 ABC 最短邊，作這邊上的高 PB （如圖），可知 APPB . 在 PB 上截取 APPBo ,在 BC 上截 取 ACCB ，作 ACPBo .垂足為oP,連 結(jié)oBB. APCRt APCPBoRt PBPB oo . 四邊形 oo PPBB 是矩形， 90BBB o ，在 BBB o 中， oo BBCPBPAPBBBB ACAP ， PCPBPACPBPAPAPACBBPCPBPA . 2002 年廣州市初中數(shù)學(xué)青年教師解題比賽試卷 2002.04.07 題號(hào) 一 二 三 四 五 六 七 八 九 總分 分?jǐn)?shù) 一、填空（本題共有 10 小題，每小題 4 分，共 40 分） 1函數(shù)114 2 xxy中，自變量 x 的取值范圍是 2若一個(gè)半徑為 32 的扇形面積等于一個(gè)半徑為 2 的圓的面積，則扇形的圓心角為 3分式方程11x 11xx 2 的解是 4代數(shù)式 x2 2xy 3y2 2x 2y 3 的值的取值范圍是 5 O1、 O2 的半徑分別為 2 和 3， O1O2 9，則平面上半徑為 4 且與 O1、 O2 都相切的圓有 個(gè) 6、若關(guān)于未知數(shù) x 的 方程 0522 mxmx 的兩根都是正數(shù)，則 m 的取值范圍AB CQPoPB oBP AB CPSu.15 整理 第 7 頁(yè) 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 是 7在 Rt ABC 中， AD 是斜邊 BC 上的高，如果 BC a aBC ， B ，則 AD 8平面內(nèi)一個(gè)圓把平面分成兩部分，現(xiàn)有 5 個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交，每三個(gè)圓都不共點(diǎn)，那么這 5 個(gè)圓則把平面分成 部分 9在平坦的草地上有甲、乙、丙三個(gè)小球若已知甲球與乙球相距 5 米，乙球與丙球相距 3 米，問(wèn)甲球與丙球距離的取值范圍？答： 10計(jì)算 12 0 0 32 0 0 22 0 0 12 0 0 0 所得的結(jié)果是 二、（本題滿分 12 分） 11如圖，已知 A 是直線 l 外的一點(diǎn)， B 是 l 上的一點(diǎn) 求作：（ 1） O，使它經(jīng)過(guò) A， B 兩點(diǎn)，且與 l 有交點(diǎn) C； （ 2）銳角 BCD，使它內(nèi)接于 O （說(shuō)明：只要求作出符合條件的一個(gè)圓和一個(gè)三角形，要求寫出作法，不要求證明） 三、（本題滿分 12 分） 12如圖，己知正三棱錐 S ABC 的高 SO h，斜高 SM l 求經(jīng)過(guò) SO 的中點(diǎn)平行于底面的截面 ABC的面積 四、（本題滿分 13 分） 13證明：與拋物線的軸平行的直線和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn) 五、（本題滿分 13 分） 14甲、乙兩船從河中 A 地同時(shí)出發(fā)，勻速順?biāo)滦兄聊骋粫r(shí)刻，兩船分別到達(dá) B 地和 C 地已知河中各處水流速度相同，且 A 地到 B 地的航程大于 A 地到 C 地的航程 .兩船在各自動(dòng)力不變情況下，分別從 B 地和 C 地駛回 A 地所需的時(shí)間為 t1 和 t2試比較 t1 和 t2 的大小關(guān)系 六、（本題滿分 14 分） 15如圖，在銳角 內(nèi) ，有五個(gè)相鄰?fù)馇械牟坏葓A，它們都與 角的邊相切， 且半徑分別為 r1、 r2、 r3、 r4、 r5若最 小的半徑 r1 1，最大的半徑 r5 81。求 七、（本題滿分 16 分） 16過(guò)半徑為 r 的圓 O 的直徑 AB 上一點(diǎn) P，作 PC AB 交圓周于 C若要以 PA、 PB、 PC 為邊作三角形，求 OP 長(zhǎng)的范圍 八、（本題滿分 16 分） 17設(shè)關(guān)于未知數(shù) x 的方程 x2 5x m2 1 0 的實(shí)根為 、 ,試確定實(shí)數(shù) m 的取值范圍，使 | |6 成立 九、（本題滿分 16 分） 18在重心 為 G 的鈍角 ABC 中，若邊 BC 1， A 300，且 D 點(diǎn)平分 BC當(dāng) A 點(diǎn)變動(dòng)， B、 C不動(dòng)時(shí)，求 DG 長(zhǎng)度的取值范圍 2002 年廣州市初中數(shù)學(xué)青年教師解題比賽試卷 參考答案 一、填空（本題共有 10 小題，每小題 4 分，共 40 分） 1 22 x 且 1x 2 60 321x 4 ,0 5 3 6 45 m 7 cossina 8 22 9相距大于等于 2 米而小于等于 8 米 10 4006001 lAB A B C ABCMOSSu.15 整理 第 8 頁(yè) 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 二、（本題滿分 12 分） （ 1）作法： 在 l 上取點(diǎn) C，（使 CAB 90） 經(jīng)過(guò) A、 B、 C 作 O，則 O 就是 所求 . （ 2）作法： 過(guò) O 作 BC 的垂線交優(yōu)弧 BC 于 D， 連結(jié) DC、 DB、 AB，則 BCD 就是 所求 . 三、（本題滿分 12 分） 解：連結(jié) OM、 OA，在 Rt SOM 中， 22 hlOM . 因?yàn)槔忮F S ABC 正棱錐，所以 O 是等邊 ABC 的中心 . 223260tg22 hlOMAMAB , 22222 33344 34 3 hlhlABS A B C 41ABCCBASS 224 3341 hlSS A B CCBA 四、（本題滿分 13 分） 證明：設(shè)拋物線方程為 pxy 22 ， 平行于拋物線的軸的直線方程為 0 bby . 解方程組,22bypxy 得,22bypbx 故拋物線 方程為 pxy 22 與 平行于其軸的直線 0 bby 只有一個(gè)交點(diǎn) 五、（本題滿分 13 分） ABClODA B C O ABCSOMSu.15 整理 第 9 頁(yè) 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 解：若以1S、2S、 t 、 x 、 y 、 a 分別表示 A B 航程、 A C 航程、下行時(shí)間、在靜水中甲船航速 、乙船航速和水流速度，則有： ,2111 tax aax taxax St ,2122 tay aay tayay St ayaxatSS ,0,0,21 yx ，從而 .11,ayaxayax 21 tt 六、（本題滿分 14 分） 解：545445452s i n12s i n12s i n12s i n12s i n rrrrrrrr 同理， 523432s in12s in12s in12s in1rrrr 同理可得， 5412s in12s in1rr 212s i n312s i n12s i n18112s i n12s i n14 60,302 七、（本題滿分 16 分） 解：不失一般性，令 P 在 OB 上，且 0 OPx , 則有 APBP， APPC. A BCO PxSu.15 整理 第 10 頁(yè) 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 若以 AP、 BP、 PC 為邊作三角形，結(jié)合上面條件， 只須 BP PCAP,即 xxrxrPC 2 , 又 1,4,00 22 xPC，xPC 又 222 xrxrxrBPAPPC .代入（ 1） 得 222 4 xxr , 解得： rxr5555 . OP 的取值范圍是 rx550 . 八、（本題滿分 16 分） 解： 214145 222 mm 不論 m 取何值，所給的方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)根 . 6,15 2 m， , 36222 ,即 36222 . 36121225 22 mm 當(dāng) 01 2 m 時(shí)， 3625 成立， 11 m . （ 1） 當(dāng) 01 2 m 時(shí)，得 361425 2 m ， 215215 m. （ 2） 由（ 1）、（ 2）得215215 m. 九、（本題滿分 16 分） 解：在圖中 30的弓形弧 BC，令 MB BC， NC BC， 由題意知， A 點(diǎn)在不含端點(diǎn)的 BM、 CN 上 . 且 BDADDM, 故33 DMDGBD ， AB CDM NGSu.15 整理 第 11 頁(yè) 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 但21321 ，D MBD， 61361 DG. 2003年 武進(jìn)區(qū)初中數(shù)學(xué)教師解題競(jìng)賽試題 命題人：于新華 一、選擇題 （每題 6 分） 1、如果一個(gè)三角形的一條邊是另一條邊的 2 倍，并且有一個(gè)角是 30，那么這個(gè)三角形的形狀是 （ ） A、直角三角形 B、鈍角三角形 C、銳角三角形 D、不能唯一確定 2、如圖，正比例函數(shù) )0( kkxy 與反比例函數(shù)xy 1的圖象 相交于A、 C 兩點(diǎn)，過(guò) A 作 x 軸的垂線交 x 軸于 B，連結(jié) BC，若 ABC 的 面積為 S，則 （ ） A、 S 1 B、 S 2 C、 S 3 D、 S 的值不確定 3、某工廠第二季度比第一季度的產(chǎn)值增長(zhǎng)了 x，第三季度的產(chǎn)值又比第二季度的產(chǎn)值增長(zhǎng)了x。則第三季度的產(chǎn)值比第一季度的產(chǎn)值增長(zhǎng)了 （ ） A、 2x B、 1 2 x C、（ 1 x） x D、（ 2 x） x 4、設(shè) P12 1220022001， Q12 1220032002，則 P 與 Q 的大小關(guān)系是 （ ） A、 P Q B、 P Q C、 P Q D、不能確定 5、邊長(zhǎng)為整數(shù)，周長(zhǎng)等于 21 的等腰三角形共有 （ ） A、 4 個(gè) B、 5 個(gè) C、 6 個(gè) D、 7 個(gè) 6、如果 1x 、 2x 是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足 12003 121 xx ， 12003 222 xx ，那么 21xx 等于 （ ） A、 2003 B、 2003 C、 1 D、 1 7、若實(shí)數(shù) x， y 滿足條件 062 22 yxx ，則 xyx 222 的最大值是 （ ） A、 14 B、 15 C、 16 D、不能確定 8、如圖 1，圖中平行四邊形共有的個(gè)數(shù)是 （ ） A、 40 B、 38 C、 36 D、 30 Su.15 整理 第 12 頁(yè) 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 AB CD PA BCD （圖 1） （圖 2） （圖 3） 9、如圖 2，矩形 ABCD 被分割成六個(gè)正方形，其中最小正方形的面積等于 1，則矩形 ABCD 的面積等于 （ ） A、 152 B、 143 C、 132 D、 108 10、如圖 3，若 PA PB， APB 2 ACB， AC 與 PB交于點(diǎn) D，且 PB 4， PD 3，則 AD DC等于 （ ） A、 6 B、 7 C、 12 D、 16 二、填空題 （每題 6 分） 11、 ABC 中， AB 32 ， AC 2， BC 邊上的高為 3 ，則 BC 邊的長(zhǎng)為。 12、銳角 ABC 中， a 1， b 2，則 c 邊的取值范圍是（用不等式表示）。 13、若 a 2b 3c 4,5a 6b 7c 8，則 9a 2b 5c。 14、一個(gè)游泳池的形狀如下面左邊第一個(gè)圖所示，現(xiàn)在以固定的流量向游泳池內(nèi)注水，那么能夠大致表示水高 h 與時(shí)間 t 的關(guān)系應(yīng)是在下面右邊六個(gè)圖像中的（填標(biāo)號(hào)）。 15、已知銳角 ABC 中， A 60， BD 和 CE 都是 ABC 的高。如果 ABC 的面積為 12，那么四邊形 BCDE 的面積為。 三、解答題 （每題 12 分） 16、已知：不論 k 取什么實(shí)數(shù)，關(guān)于 x 的方程 1632 bkxakx（ a、 b 是常數(shù)）的根總是 x 1，試求 a、 b 的值。 Su.15 整理 第 13 頁(yè) 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 17、如圖，在直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知 A（ 12,0）， B（ 0,9）， C（ 3,0）， D（ 0,4）， Q 為線段 AB 上一動(dòng)點(diǎn)， OQ 與過(guò) O、 C、 D 三 點(diǎn)的圓交于點(diǎn) P。問(wèn) OP OQ 的值是否變化？證明你的結(jié)論。 18、請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種方案：把一個(gè)正方形剪兩刀，使剪得的三塊 圖形能夠拼成一個(gè)三角形，并且使拼成的三角形既不是直角三角形也不是 等腰三角形。畫出必要的示意圖，并附以簡(jiǎn)要的文字說(shuō)明。 19、某市為了節(jié)約用水，規(guī)定：每戶每月用水量不超過(guò)最低限量 3am 時(shí)，只付基本費(fèi) 8 元和定額損耗費(fèi) c 元（ c 5）；若用水量超過(guò) 3am 時(shí)，除了付同上的基本費(fèi)和損耗費(fèi)外，超過(guò)部分每 1 3m 付 bAB CDO ABCDPQxySu.15 整理 第 14 頁(yè) 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 元的超額費(fèi)。 某市一家庭今年一月份、二月份和三月份的用水量和支付費(fèi)用如下表所示： 用水量（ 3m ） 交水費(fèi)（元） 一月份 9 9 二月份 15 19 三月份 22 33 根據(jù)上表的表格中的數(shù)據(jù)，求 a、 b、 c。 20、在兩個(gè)三角形的六對(duì)元素（三對(duì)角與三對(duì)邊）中，即使有五對(duì)元素對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形也未必全等。 試給出一個(gè)這樣的例子，畫出簡(jiǎn)圖，分別標(biāo)出兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)。 為了把所有這樣的反例都構(gòu)造出來(lái)，試探求并給出構(gòu)造反例的一般規(guī)律（要求過(guò)程完整，述理嚴(yán)密，結(jié)論明晰）。 武進(jìn)區(qū)初中數(shù)學(xué)教師解題競(jìng)賽試題參考答案 一、選擇題 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D A B D B C B B 二、填空題 11、 4 或 2 12、 53 c 13、 24 14、 15、 9 三、解答題 16、解：把 x 1 代入原方程并整理得（ b 4） k 7 2a Su.15 整理 第 15 頁(yè) 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 要使等式（ b 4） k 7 2a 不論 k 取什么實(shí)數(shù)均成立，只有02704ab 解之得 27a， 4b 17、解：點(diǎn) Q 在線段 AB 上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中， OP OQ 的值是不變的。 證明如下：連結(jié) DC、 PC 31 OAODOBOC， COD BOA Rt COD BOA 1 A O、 C、 P、 D 四點(diǎn)共圓 1 2 2 A POC AOQ POC AOQ OAOPOQOC OP OQ OC OA 36 18、解：如圖，在 AD 邊上任取一點(diǎn) N，使點(diǎn) N 不是邊 AD 的 中點(diǎn)。分別作出線段 AN、 DN 的中點(diǎn) 1O 、 2O ，把 AB 1O 繞點(diǎn) 1O 旋轉(zhuǎn) 180 得NM 1O ，再把 CD 2O 繞點(diǎn) 2O 旋轉(zhuǎn) 180得 MN 2O 。這樣由 MN 1O 、 MN 2O 以及四邊形 1O BC 2O 拼成了一個(gè) MBC，顯然這個(gè)三 角形既不是等腰三角形，也不是直角三角形。 就是說(shuō)，只要把當(dāng)初的正方形 ABCD 沿 B 1O 、 C 2O 剪兩刀， 則得到的三塊圖形就可以如圖所示地拼成一個(gè)符合題意的三角形。 下面再提供幾種裁剪方案（仔細(xì)揣摩吧，一些說(shuō)明就省了）： AB CDEFGM N A BC DEF GH A BC DEF GO O ABCDPQxy12AB CDO OMN1 2Su.15 整理 第 16 頁(yè) 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 AB CDEFG A BC DEFGO 19、解：設(shè)每月用水量為 x 3m ，支付水費(fèi)為 y 元。則 axcaxbaxcy,)(8 0,8 由題意知： 0 c 5 0 8 c 13 從表中可知，第二、三月份的水費(fèi)均大于 13 元，故用水量 15 3m 、 22 3m 均大于最低限量 a 3m ，將 x 15， x 22 分別代入式，得 cabcab)22(833 )15(819 解得 b 2， 2a c 19 再分析一月份的用水量是否超過(guò) 最低限量，不妨設(shè) 9 a，將 x 9 代入，得 9 8 2（ 9 a） c，即 2a c 17 與矛盾。 故 9 a，則一月份的付款方式應(yīng)選式，則 8 c 9， c 1 代入式得， a 10。 綜上得 a 10， b 2， c 1。 20、解：如下圖， ABC 與 CBA 是相似的（相似比為 2 ），但它們并不全等，顯然它們之中有五對(duì)元素是對(duì)應(yīng)相等的。 2222AB CAB C122 容易知道，要構(gòu)造的兩個(gè)三角形必不是等腰三角形，同時(shí)它們應(yīng)是相似的。設(shè)小 ABC 的三邊長(zhǎng)分別為 a、 b、 c，且不妨設(shè) a b c，由小 ABC 到大 CBA 的相似比為 k，則 k 1。 CBA 的三邊長(zhǎng)分別為 ka、 kb、 kc，且 a ka kb kc 在 ABC 中，與 CBA 中兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩條邊只可能是 b 與 c b c kc 在 CBA 中，與 b、 c 對(duì)應(yīng)相等的兩條邊只可能是 ka、 kb Su.15 整理 第 17 頁(yè) 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 kbckab 由 a 到 b、由 b 到 c 應(yīng)具有相同的放大系數(shù)（用高中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)講， a、 b、 c 成公比為 k的等比數(shù)列），這個(gè)系數(shù)恰為 ABC 與 CBA 的相似比 k。 下面考慮相似比 k 所受到的限制： ABC 的三邊長(zhǎng)分別為 akkaa 2、 ，且 a 0， k 1 akkaa 2 解之得 1 k2 51 （注：2 51 1.168） 因 此構(gòu)造反例時(shí)，只要先選取一個(gè)正數(shù) a 作為 ABC 最小邊的長(zhǎng)，再設(shè)定一個(gè) 1 1.168 之間的放大系數(shù) k，從而寫出另外兩條邊的長(zhǎng) akka 2、 。然后在 ABC 的基礎(chǔ)上，以前面的放大系數(shù) k 為相似比，再寫出另一個(gè) CBA 的三邊長(zhǎng) akakka 32 、 。通過(guò)這種方法，可以構(gòu)造出大量符合題意的反例。 (2002.12.15) 2003廣州 初中數(shù)學(xué)青年教師解題競(jìng)賽試卷 一、填空（本題共有 8 小題，每小題 5 分，共 40 分） 把多項(xiàng)式 yxyyx922 分解因式所得的結(jié)果是 _ 如果不等邊三角形各邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且周長(zhǎng)小于 13，那么這樣的三角形共有 _個(gè) 函數(shù) 223 xxy 中，自變量 x 的取值范圍是 _ 若關(guān)于未知數(shù) x的一元二次方程 032)1( 22 mmxxm 有一個(gè)根為 0，則 m 的值為 _ 條件 P: 1x 或 2x ，條件 q: 11 xx 中， P 是 q 的 _條件（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中的一個(gè)） 兩個(gè)等圓相交于 A、 B 兩點(diǎn)，過(guò) B 作直線分別交兩圓于點(diǎn) C、 D那么 ACD 一定是 _三角形（要求以邊或角的分類作答） 一直角三角形的斜邊長(zhǎng)為 c，它的內(nèi)切圓的半徑是 r，則內(nèi)切圓的面積與三角形的面 積的_ Su.15 整理 第 18 頁(yè) 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 不等邊三角形 ABC 的兩條高的長(zhǎng)度分別為 4 和 12，若第三條高也為整數(shù)，那么它的長(zhǎng)度最大可能是 _ 二、（本題滿分 12 分） 如圖，已知點(diǎn) A 在 O 上，點(diǎn) B 在 O 外， 求作一個(gè)圓，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn) B，并且與 O相切于點(diǎn) A （要求寫出作法，不要求證明） 三、（本題滿分 12 分） 10一次選拔考試的及格率為 25%，及格者的平均分?jǐn)?shù)比規(guī)定的及格分?jǐn)?shù)多 15 分，不及格者的平均分?jǐn)?shù)比規(guī)定的及格分?jǐn)?shù)少 25 分，又知全體考生的平均分?jǐn)?shù)是 60 分，求這次考試規(guī)定的及格分?jǐn)?shù)是多少？ 四、（ 本題滿分 13 分） 11有 30 根水泥電線桿，要運(yùn)往 1000 米遠(yuǎn)的地方開(kāi)始安裝，在 1000 米處放一根，以后每 50米放一根，一輛汽車每次只能運(yùn) 3 根，如果用一輛汽車完成這項(xiàng)任務(wù)，這輛汽車的行程共有多少千米？ 五、（本題滿分 13 分） 12正實(shí)數(shù) a、 b滿足 ab=ba，且 a 1，求證： a=b. 六、（本題滿分 14 分） 13 已知 m 為整數(shù)，且 12 m 40，試求 m 為何值時(shí)，關(guān)于未知數(shù) x 的方程08144)32(2 22 mmxmx 有兩個(gè)整數(shù)根 七、（本題滿分 14 分） 14如圖，已知 A、 B 是銳角 的 OM 邊上的 兩個(gè)定點(diǎn)， P 在 ON 邊上運(yùn)動(dòng)問(wèn) P 點(diǎn)在什么位置 時(shí)， 22 PBPA 的值最小？ 八、（本題滿分 16 分） 15已知拋物線 cbxaxy 2 的頂點(diǎn)在直線 xy 上，且這個(gè)頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為 2 ，又知拋物線與 x軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)之積等于 1 ，求此拋物線的解析式 九、（本題滿分 16 分） 16已知 ABC 是銳角三角形 A B O A B M N O Su.15 整理 第 19 頁(yè) 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 求證： 2sinA cosB+cosC； 若點(diǎn) M在邊 AC上，作 ABM 和 CBM的外接圓，則當(dāng) M在什么位置時(shí)，兩外接圓的公共部分面積最?。?2005年武進(jìn)區(qū)初中數(shù)學(xué)教師解題競(jìng)賽試題 命題人：于新華 一、選擇題 （每題 6 分） 1、如果一個(gè)三角形的一條邊是另一條邊的 2 倍，并且有一個(gè)角是 30，那么這個(gè)三角形的形狀是 （ ） A、直角三角形 B、鈍角三角形 C、銳角三角形 D、不能唯一確定 2、如圖，正比例函數(shù) )0( kkxy 與反比例函數(shù)xy 1的圖象相交于 A、 C 兩點(diǎn)，過(guò) A 作 x 軸的垂線交 x 軸于 B，連結(jié) BC，若 ABC 的面積為 S，則 （ ） A、 S 1 B、 S 2C、 S 3 D、 S 的值不確定 3、某工廠第二季度比第一季度的產(chǎn)值增長(zhǎng)了 x，第三季度的產(chǎn)值又比第二季度的產(chǎn)值增長(zhǎng)了x。則第三季度的產(chǎn)值比第一季度的產(chǎn)值增長(zhǎng)了 （ ） A、 2x B、 1 2 x C、（ 1 x） x D、（ 2 x） x 4、設(shè) P12 1220022001， Q12 1220032002，則 P 與 Q 的大小關(guān)系是 （ ） A、 P Q B、 P Q C、 P Q D、不能確定 5、邊長(zhǎng)為整數(shù)，周長(zhǎng)等于 21 的等腰三角形共有（ ） A、 4 個(gè) B、 5 個(gè) C、 6 個(gè) D、7 個(gè) 6、如果 1x 、 2x 是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足 12003 121 xx ， 12003 222 xx ，那么 21xx 等于 （ ） A、 2003 B、 2003 C、 1 D、 1 7、若實(shí)數(shù) x， y 滿足條件 062 22 yxx ，則 xyx 222 的最大值是 （ ） A、 14 B、 15 C、 16 D、不能確定 8、如圖 1，圖中平行四邊形共有的個(gè)數(shù)是（ ） A、 40 B、 38 C、 36 D、 30 AB CD PA BCD （圖 1） （圖 2） （圖 3） 9、如圖 2，矩形 ABCD 被分割成六個(gè)正方形，其中最小正方形的面積等于 1，則矩形 ABCD 的Su.15 整理 第 20 頁(yè) 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 面積等于 （ ） A、 152 B、 143 C、 132 D、 108 10、如圖 3，若 PA PB， APB 2 ACB， AC 與 PB交于點(diǎn) D，且 PB 4， PD 3，則 AD DC等于 （ ） A、 6 B、 7 C、 12 D、 16 二、填空題 （每題 6 分） 11、 ABC 中， AB 32 ， AC 2， BC 邊上的高為 3 ，則 BC 邊的長(zhǎng)為。 12、銳角 ABC 中， a 1， b 2，則 c 邊的取值范圍是 （用不等式表示）。 13、若 a 2b 3c 4,5a 6b 7c 8，則 9a 2b 5c。 14、一個(gè)游泳池的形狀如下面左邊第一個(gè)圖所示，現(xiàn)在以固定的流量向游泳池內(nèi)注水，那么能夠大致表示水高 h 與時(shí)間 t 的關(guān)系應(yīng)是在下面右邊六個(gè)圖像中的（填標(biāo)號(hào)）。 15、已知銳角 ABC 中， A 60， BD 和 CE 都是 ABC 的高。如果 ABC 的面積為 12，那么四邊形 BCDE 的面積為。 三、解答題 （每題 12 分） 16、已知：不論 k 取什么實(shí)數(shù)，關(guān)于 x 的方程 1632 bkxakx（ a、 b 是常數(shù)）的根總是 x 1，試求 a、 b 的值。 17、如圖，在直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知 A（ 12,0）， B（ 0,9）， C（ 3,0）， D（ 0,4），Q 為線段 AB 上一動(dòng)點(diǎn)， OQ 與過(guò) O、 C、 D 三點(diǎn)的圓交于點(diǎn) P。問(wèn) OP OQ 的值是否變化？證明你的結(jié)論。 18、請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種方案：把一個(gè)正方形剪兩刀，使剪得的三塊圖形能夠拼成一個(gè)三角形，并且使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形。畫出必要的示意圖，并附以簡(jiǎn)要的文字說(shuō)明。 19、某市為了節(jié)約用水，規(guī)定：每戶每月用水量不超過(guò)最低限量 3am 時(shí)，只付基本費(fèi) 8 元和定額損耗費(fèi) c 元（ c 5）；若用水量超過(guò) 3am 時(shí)，除了付同上的基本費(fèi)和損耗費(fèi)外，超過(guò)部分每 1 3m 付 b 元的超額費(fèi)。 某市一家庭今年一月份、二月份和三月份的用水量和支付費(fèi)用如下表所示： 用水量（ 3m ） 交水費(fèi)（元） 一月份 9 9 二月份 15 19 三月份 22 33 根據(jù)上表的表格中的數(shù)據(jù)，求 a、 b、 c。 20、在兩個(gè)三角形的六對(duì)元 素（三對(duì)角與三對(duì)邊）中，即使有五對(duì)元素對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形也未必全等。 試給出一個(gè)這樣的例子，畫出簡(jiǎn)圖，分別標(biāo)出兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)。 AB CDO ABCDPQxySu.15 整理 第 21 頁(yè) 2014-7-27 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 更多內(nèi)容盡在 /susuh15 為了把所有這樣的反例都構(gòu)造出來(lái)，試探求并給出構(gòu)造反例的一般規(guī)律（要求過(guò)程完整，述理嚴(yán)密，結(jié)論明晰 武進(jìn)區(qū)初中數(shù)學(xué)教師解題競(jìng)賽試題參考答案 一、選擇題 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D A B D B C B B 二、填空題 11、 4 或 2 12、 53 c 13、 24 14、 15、 9 三、解答題 16、解：把 x 1 代入原方程并整理得（ b 4） k 7 2a 要使等式（ b 4） k 7 2a 不論 k 取什么實(shí)數(shù)均成立，只有02704ab 解之得 27a， 4b 17、解：點(diǎn) Q 在線段 AB 上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中， OP OQ 的值是不變的。 證明如下：連結(jié) DC、 PC 31 OAODOBOC， COD BOA Rt COD BOA 1 A O、 C、 P、