培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣以及在教學(xué)過程中的應(yīng)用

分 類 號： 學(xué)校代碼： 11460 學(xué) 號： 南京曉莊學(xué)院 本科生畢業(yè)論文（設(shè)計） 培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣以及在教學(xué)過程中的應(yīng)用 Cultivating Interest in Mathematics and Its Application in the Teaching Process 所在 系 (院 )： 南京曉莊學(xué)院 學(xué) 生： 周 蘭 指導(dǎo)教師 ： 丁 茗 研究起止日期：二 一三 年 十 月至二 一三 年 十二 月 二 一三 年 十二 月 第 1 頁 /共 13 頁 培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣以及在教學(xué)過程中的應(yīng)用 周蘭 （ 建湖縣育紅實驗 小學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2012 級 ） 指導(dǎo)教師： 丁茗 【 摘 要 】 本文主要研究了培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣以及在教學(xué)過程中的應(yīng)用 。 針對學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的問題，從數(shù)學(xué)興趣的重要性、影響學(xué)生數(shù)學(xué)興趣的因素分析、如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣入手，結(jié)合不同題目舉例，探討培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣使其更好地發(fā)揮在數(shù)學(xué)教學(xué)中的積極作用 。 【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣 ； 培養(yǎng) ； 因素 十八大報告指出“教育是民族振興和社會進步的基石” 。 而數(shù)學(xué)在教育的各個科學(xué)領(lǐng)域起到了基礎(chǔ)性和工具性學(xué)科的作用，一個國家的科技發(fā)展水平，取決于他的數(shù)學(xué)科研及教學(xué)水 平 。 所以學(xué)好數(shù)學(xué)顯得尤為重要，“為什么我們的學(xué)?？偸桥囵B(yǎng)不出杰出的人才？”著名的錢學(xué)森之問不僅拋給了我國教育事業(yè)，也拋給了我們數(shù)學(xué)教育者這樣一道艱深的命題 。 而我以為破解難題的關(guān)鍵還是激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，對此，本文將從數(shù)學(xué)興趣的重要性、影響學(xué)生數(shù)學(xué)興趣的因素分析、如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣入手，結(jié)合不同題目舉例，探討培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣使其更好地發(fā)揮在數(shù)學(xué)教學(xué)中的積極作用 。 一、數(shù)學(xué)興趣的重要性 （一） 學(xué)好數(shù)學(xué)，意義深遠 我國正處于轉(zhuǎn)型期，由生產(chǎn)要素向人力資源升級，未來高新技術(shù)人才才有更大的社會競爭力，而在人 才的培養(yǎng)過程中，數(shù)學(xué)起著舉足輕重的地位 。 數(shù)學(xué)給予的不僅是知識還有能力，包括直觀思維、空間思維、抽象思維、邏輯思維等多種思維能力的培養(yǎng)，所以通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，可以培養(yǎng)終身受益的能力 。 無論哪一個專業(yè)，哪一門技術(shù)的培養(yǎng)都離不開數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，數(shù)學(xué)能力在其他能力中起到導(dǎo)向作用，數(shù)學(xué)能力強，那么其他能力才有強的基礎(chǔ) 。 因此數(shù)學(xué)是專業(yè)人才培養(yǎng)的基礎(chǔ) 。 近年來我國在航空航天、深海探測等科技前沿領(lǐng)域取得了舉世矚目的好成績，這都有賴于我國數(shù)學(xué)科研的蓬勃發(fā)展，如果說哲學(xué)在其他各個領(lǐng)域起到了指引道路的作用的話，那么數(shù)學(xué)就起到 了在前進的道路上走得更穩(wěn)更快的作用 。 數(shù)學(xué)是一門工具學(xué)科，高新技術(shù)發(fā)展的越前沿，就越需要數(shù)第 2 頁 /共 13 頁 學(xué)的支持 。 科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，尤其是信息時代的來臨，讓數(shù)學(xué)的作用更為顯著 。 數(shù)學(xué)將成為 21 世紀每一位合格知識青年的文化基本素養(yǎng)之一 。 （二） 培養(yǎng)興趣，尤為關(guān)鍵 數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué) 。 由于數(shù)學(xué)本身特有的嚴密的邏輯性 和高度的抽象性等特點，常使學(xué)生難而卻步，從而對之缺乏興趣 。 孔子曰，“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”；蘇格拉底的“產(chǎn)婆術(shù)”也強調(diào)，培養(yǎng)學(xué)生興趣的重要性 。 由興趣而產(chǎn)生新奇，由新奇而帶來歡樂，由歡 樂而產(chǎn)生熱愛之情 。 有了熱愛數(shù)學(xué)之情，便有了積極持久學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的勁頭 。 正如愛因斯坦所說，“興趣是最好的老師” 。 興趣，是一個人力求接觸和認識某種事物的意識傾向 ，學(xué)習(xí)興趣就是學(xué)生對學(xué)習(xí)活動或?qū)W習(xí)對象的一種力求認識和趨向的傾向 。 這種傾向是和一定情感相聯(lián)系的一種非智力因素，是學(xué)習(xí)動機中最積極最活躍的成份 。 心理學(xué)家認為：興趣驅(qū)使人接近自己所喜歡的對象，驅(qū)使人們對事物進行鉆研和探索，從事創(chuàng)新的、有趣的和個人愛做的事，常常容易取得成功和成就 。 興趣何以會對學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生如此巨大的影響呢？原因在于興趣能夠使人對某一事物 保持集中的注意力，能使人變得敏捷活躍，能提供必要的愿望與熱情 。 興趣對學(xué)習(xí)的影響很大一部分是通過情緒的作用達到的 。興趣能調(diào)動人的情緒，使人興奮、有熱情 。 對所學(xué)的東西感到極度興奮時，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果就極佳，且能長期地堅持下去 。 有興趣的學(xué)習(xí)，不僅能使學(xué)生全神貫注，積極思考，甚至?xí)_到廢寢忘食的境地 。 生物學(xué)家達爾文在自傳中曾說：“就我在學(xué)校時期的性格來說，其中對我后來發(fā)生影響的，就是我有強烈而多樣的興趣，沉溺于自己感興趣的東西，深刻了解任何復(fù)雜的問題和事物” 。 因此，培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣使其在教學(xué)過程中得以靈活應(yīng)用尤為關(guān)鍵 。 其直接關(guān)系到教學(xué)結(jié)果的成敗 。 二、影響學(xué)生數(shù)學(xué)興趣的因素分析 （一） 影響小學(xué)生數(shù)學(xué)興趣的因素 根 據(jù) 小學(xué)生的心理及生理發(fā)育特點，埃里克森在教育心理學(xué)中指出小學(xué)生一般處于學(xué)前期和學(xué)齡期階段處于主動對內(nèi)疚沖突和勤奮對自卑感沖突階段，因此作為數(shù)學(xué)教育者，應(yīng)靈活運用教育理論知識，抓住關(guān)鍵期，培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，培養(yǎng)主動感，克服自卑感；培養(yǎng)勤奮感，克服內(nèi)疚感等 。 幫助學(xué)生適應(yīng)勤奮和自卑危機教師一定要意識到，我們的學(xué)生總是在努力保持積極的自我概念，認為自己是有能力有價值的個體 。 但步入小學(xué)的他們馬上就不得不面臨一個現(xiàn)實， 幾乎從一開第 3 頁 /共 13 頁 始他們就被劃入高、中、低小組 。 學(xué)生一旦被劃入低水平組合被評為差等級，他們就很快失去了最初對成功的期望，將導(dǎo)致頹廢 。 因此教師一定要幫助學(xué)生度過這一危機，并以此為契機，最大限度的激發(fā)小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，教師的評價以及課堂組織方法對兒童的自我概念和數(shù)學(xué)興趣都產(chǎn)生著重要的影響 。 （二）影響初中生數(shù)學(xué)興趣的因素 教育心理學(xué)認為，初中生大多處于同一性和角色混亂的青年期，作為教育工作者，我們應(yīng)該抓住這一關(guān)鍵期，幫助其適應(yīng)同一性和角色混亂，最大限度的激發(fā)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣 。 我們在教學(xué)過程中，對這一時期的孩子，不能再 當孩子“看待”，要讓他們獨立完成數(shù)學(xué)任務(wù)，以增強其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成就感 。 在實習(xí)中，我發(fā)現(xiàn)這一時期的學(xué)生，對于數(shù)學(xué)會產(chǎn)生以下反感：“題目太難，看不懂”、“圖形太難，不想看”、“數(shù)學(xué)原理太深奧，吃不透，也不會用”、“公式記不住”、“不會想，不知道從哪入手”、“對的時候太少了，總是出錯”、“新知識剛學(xué)完，就知識就忘了”、“步驟太繁，難算”、“定義、定理太多，容易混淆”等種種問題 。 正是這些問題是學(xué)生失去了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣 。 我們教育工作者更應(yīng)該抓住這些問題，展開教學(xué)，以一個個問題的切實解決為契機，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣 。 （ 三）影響高中生數(shù)學(xué)興趣的因素 當學(xué)生步入高中后，知識難度驟增，學(xué)習(xí)壓力驟增，課外活動卻驟減，在這樣的情況下影響學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣因素就增加了，主要有學(xué)生的自信心、智力水平、心理狀態(tài)、班級環(huán)境、還有任課教師的上課質(zhì)量等多種因素 。 這一時期的學(xué)生思維正向抽象概況方面發(fā)展和完善，數(shù)學(xué)興趣在這一時期能否培養(yǎng)的好，直接關(guān)系學(xué)生的學(xué)習(xí)命運和未來的高考成績，因此，加強對數(shù)學(xué)興趣的培養(yǎng)顯得更為關(guān)鍵 。 這一時期更應(yīng)注重概念的抽象過程、公式的推導(dǎo)過程、法則的歸納過程、規(guī)律的概括過程、結(jié)論的綜合過程 。 三、如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣 （ 一） 感情滲入，引導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣 數(shù)學(xué)教學(xué)中教與學(xué)的雙邊活動，需要一個和諧、融洽和愉快的環(huán)境 。 教師的情感對學(xué)生具有直接的感染作用，只有“親其師”，才能“信其道” 。 教育心理學(xué)家認為沒有師生間融洽的情感關(guān)系，就沒有好的教育教學(xué)效果，而親近的師生關(guān)系不僅可以有效的激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，而且能夠提高第 4 頁 /共 13 頁 學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性 。 因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師只有以全身心的愛去對待學(xué)生，把愛寓于數(shù)學(xué)教學(xué)之中，通過語言、動作、表情、姿態(tài)等傳遞給學(xué)生親切、鼓勵、信任尊重的情感信息，學(xué)生才會喜歡教師，才會以十足的干勁來學(xué)習(xí)教師所教的功課 。 當學(xué)生做對時，要及時給予表揚，樹立他們的自信心；做錯時，也不要妄加批評和指責(zé)，而是要耐心的講解、引導(dǎo)和點撥，不要讓他們氣餒，而要鼓勵他們迎難而上 。 總的來說，教師只有與學(xué)生達成教學(xué)上的授受，人格上的平等，道德上的相互促進，才能建立良好的師生關(guān)系，學(xué)生對教師所教的數(shù)學(xué)課才會產(chǎn)生興趣，并能愉快的接受教師的教誨，努力把這種教誨轉(zhuǎn)化為行為，從而由怕學(xué)、厭學(xué)轉(zhuǎn)化為愿學(xué)、愛學(xué)、樂學(xué) 。 （二） 學(xué)貴在疑，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣 根據(jù)教育心理學(xué)的知識由于年齡、心理的特征，中學(xué)生的好奇心很強，富于幻想、求知欲旺盛，對各種新的知識都感到 新鮮 。 教師就應(yīng)該不失時機地抓住學(xué)生的這種心理特征，把這種滯留在表面的“新鮮和好奇”，轉(zhuǎn)變成持久的求知興趣和學(xué)習(xí)的自覺性、積極性 。 從而培養(yǎng)學(xué)生格物致知的精神 。 工欲善其事必先利其器，教師必須認真鉆研教材，根據(jù)教材內(nèi)容的不同，選用恰當?shù)慕虒W(xué)方法，改變教學(xué)手段，分配適當?shù)慕虒W(xué)課時，充分激發(fā)學(xué)生的好奇心，讓學(xué)生在好奇中產(chǎn)生疑問，提高學(xué)習(xí)物理的興趣 。 疑是思之始，學(xué)之端，“學(xué)貴有疑”，“疑”是學(xué)生思維的積極表現(xiàn)，又是探索問題的動力，疑問使學(xué)生的求知欲處于積極狀態(tài)，疑問越多、興趣越濃，其收獲也越大 。 學(xué)生對一些比較奇特的自 然現(xiàn)象有一種自發(fā)的好奇 。 在課堂教學(xué)中，老師要善于創(chuàng)設(shè)一些新奇的懸念，能引起學(xué)生的注意，這樣學(xué)生易于產(chǎn)生疑問 。 有疑問才會有求知欲，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的欲望，積極思考問題，提高課堂教學(xué)效率 。 創(chuàng)設(shè)問題情境的原則是：問題要小而具體，新而有趣，要有適當?shù)碾y度，要富有啟發(fā)性 。 （三） 創(chuàng)設(shè)情境，誘導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣 美國著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說，“為了使學(xué)習(xí)富有成效，學(xué)生應(yīng)該對所學(xué)知識倍感興趣，并在學(xué)習(xí)中尋求歡樂 。 ”所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不能照本宣科，對學(xué)生滿堂灌數(shù)學(xué)知識，而應(yīng)積極創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生的思維 。 由于學(xué)生都喜愛 聽故事，猜謎語，作遐想，所以教師可以適時創(chuàng)設(shè)情境，以引起學(xué)生心理內(nèi)部矛盾的沖突，從而引起他們的好奇心，激發(fā)學(xué)習(xí)動機，使他們興趣盎然地投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)” 。 那么，如何巧妙地創(chuàng)設(shè)情境呢？ 1、 創(chuàng)設(shè)導(dǎo)入 第 5 頁 /共 13 頁 創(chuàng)設(shè)導(dǎo)入，即巧設(shè)導(dǎo)言，好的開端是成功的一半，課堂教學(xué)的導(dǎo)言需要教師的精心構(gòu)思，一上講臺最大限度的把學(xué)生的注意力迅速的集中起來，使全班學(xué)生的思維瞬間活躍起來 。 （ 1） 故事型引入，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣 初中數(shù)學(xué)教材涉及史料很多，并且以多種形式出現(xiàn)在課本中，如習(xí)題、注解、附錄等形式 。 根據(jù)需要教師可選出 生動實際的，感染說服力強的史料編成故事，并揉合到教學(xué)中 。 常見的 ,結(jié)合教材介紹一些數(shù)學(xué)家的趣聞軼事、數(shù)學(xué)概念的起源 、古今數(shù)學(xué)方法的簡單對比、一些世界名題的歷史典故、一些已經(jīng)解決或尚未解決的數(shù)學(xué)猜想等等 。 這些可使教學(xué)顯得生動而又易于激發(fā)學(xué)生的興趣 。 例如，講授“無理數(shù)”一節(jié)時，首先講述的是關(guān)于古希臘著名“畢達哥拉斯”學(xué)派中一位門人的故事：他因發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)而被迫漂流異鄉(xiāng)，最后落得個被拋入大海悲慘而死的結(jié)果 。 這個可歌可泣的故事，激起了學(xué)生想認識無理數(shù)的念頭，順水推舟轉(zhuǎn)入無理數(shù)的教學(xué)，從而可收到事半功倍的奇效 。 （ 2） 猜想型引入，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣 在“一元二次方程”教學(xué)時，教師可以給出這樣一個問題：有一個女子很含蓄的說出自己的年齡，“你把我年齡的兩位數(shù)字顛倒過來，除以 3，再加上 34，這樣就得到我的年齡了 。 ” 用這種猜謎語的方式引入，既促使學(xué)生對所學(xué)知識倍感興趣，又調(diào)動學(xué)生積極深入思考 。 這樣，知識的接受由被動轉(zhuǎn)化為主動 。 （ 3） 遐想型引入，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣 拋物線是理想拋物體的行進過程 。 在“拋物線”教學(xué)時，教師可在屏幕上打出煙花綻放的情景，五彩繽紛的煙花煞是好看，在這時教師可問同學(xué)們是否能聯(lián)想到其中蘊涵的數(shù)學(xué)圖形呢？生活中類似的例子還有很多，能否再舉出一到兩個例子？屏幕上生動的畫面，大大激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，而直觀、形象和動態(tài)的圖像的演示過程，則給學(xué)生的抽象思維能力、想象能力插上了形象和想象的翅膀 。 另外，還可用游戲型，懸念型引入，它們的共同目的：把學(xué)生的注意力牢牢地吸引住，使學(xué)生對所學(xué)知識產(chǎn)生濃厚的興趣 。 2、 創(chuàng)設(shè)問題 第 6 頁 /共 13 頁 教育心理學(xué)認為，“思維總是從提出問題開始的 。 ”在課堂教學(xué)中，教師若能提出一些新穎、富有吸引力、與學(xué)生已有知識經(jīng)驗相關(guān)聯(lián)又暫時無法解決的問題，往往能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，把學(xué)生帶入“最近發(fā)展區(qū)”開發(fā)學(xué)生的智力 。 例如， 在講授“指數(shù)函數(shù)”這節(jié)內(nèi)容前，教師先拿出一張白紙說：“這張白紙只有 0.1mm，經(jīng)過反復(fù)對折27次后，它的厚度與世界第一高峰 珠穆朗瑪峰的高度 8848mm 相比，哪個高度大？”學(xué)生對提出的問題感到疑惑，并不敢很快給出答案，但學(xué)生猜想都是珠穆朗瑪峰高 。 接著教師給出正確答案，學(xué)生驚奇、疑惑、不解 。 教師緊接著給出嚴密的論證，學(xué)生恍然大悟 。 通過對這種緊扣教材而又生動有趣的問題的解決，把學(xué)生引入誘人的知識境界，求知欲望由此激發(fā)，從而 學(xué)習(xí)的積極性也得到了充分地調(diào)動 。 3、 創(chuàng)設(shè)陷阱 數(shù)學(xué)有嚴密的邏輯性，一些數(shù)學(xué)規(guī)律，盡管老師反復(fù)強調(diào)，學(xué)生仍錯誤迭出，因此在教學(xué)中教師要抓住學(xué)生可能產(chǎn)生的疑惑，巧設(shè)“陷阱”，通過教師巧妙點撥，使學(xué)生在驚奇中醒悟，看 清“陷阱”所在， 達到解題之目的，從而提高了學(xué)習(xí)興趣 。 例如，32這個結(jié)論是錯誤的 ,但是有同學(xué)這樣證明： 因為 322121 ）（）（ ，所以 3221lg21lg ）（）（ ，即 ）（）（21lg321lg2 ，所以有32。 這個同學(xué)的證明對嗎？同學(xué)們感到很驚奇，接著找出問題所在，對此進行深刻反思，有助于深刻地認識該知識點 。 4、 創(chuàng)設(shè)迷惑 數(shù)學(xué)教學(xué)要善于挖掘習(xí)題的潛能，靈活地改變習(xí)題，恰當?shù)貙α?xí)題進行演變、引申、拓展，使學(xué)生的思維時刻處于積極興奮、探索求新的最佳狀態(tài)，在“迷惑”、“好奇”中激發(fā)他們的求知欲，提高數(shù)學(xué)興趣 。 例 2 已知nS是等比數(shù)列na的前 n項和，其中3S,9S,6S成等差數(shù)列，求證 :2a，8a，5成等差數(shù)列 。 分析 在解答完這道題 目后，教師又可以提出問題：（ 1）在條件不變的情況下，是否還能得出數(shù)列中的哪些項也是等差數(shù)列？（ 2）注意題中條件3S,9S,6S下標的特殊性： 1。 三個下標依次是3的 1，3， 2倍；.2，5，8依次間隔3，這樣的特殊性能否作一般的推廣？ 第 7 頁 /共 13 頁 推廣 1 已 知nS是等比數(shù)列na的前 n項和，3S，9S,6S成等差數(shù)列，求證：ma，6ma，3ma成等差數(shù)列 。 推廣 2 已知nS是等比數(shù)列na的前 n項和 ,nS，3nS，3nS成等差數(shù)列，求證：ma，6ma，3ma成等差數(shù)列 。 推廣 2 的更一般表現(xiàn)形式是： 推廣 3 已知nS是等比數(shù)列 na的前 n項和 ,mS，pS，nS與xa，ya，za同時成等差 數(shù) 列的充要條件是 .,mpxymnxz。 延伸 判斷以 2a ，8a，5a為前三項的等差數(shù)列的第四項是否也是數(shù)列 na中的一項，若是求出這一項，若不是說明理由 。 這 是一道能很好的培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和探索能力的好題 。 既激發(fā)了學(xué)生的興趣，又培養(yǎng)了他們的能力 。 （四） 數(shù)形結(jié)合，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣 數(shù)學(xué)的抽象性使學(xué)生感到枯燥，從而遠離數(shù)學(xué) 。 要解決這個問題，還需要用數(shù)學(xué)的美的感性材料把學(xué)生吸引過來，然后再讓他們快樂地品位數(shù)學(xué)，產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的好感，直至主動地接近數(shù)學(xué)，深入地研究數(shù)學(xué) 。 這些美許多都體現(xiàn)在圖形上，所以我們要巧妙運用數(shù)形結(jié)合 。 一般的，利用圓錐曲線的極坐標方程，可以把橢圓、雙曲線、拋物線的方程在形式上統(tǒng)一起來，借助于坐標法和向量法，可以構(gòu)建數(shù)形結(jié)合的橋梁 。 例 3 已知 | | | | 1ab， | | 2ab ，求： |ab 。 分析 學(xué)生可以通過畫圖（如圖 3-1）直接得到 | | 2ab 。 例 4 已知 ( 3 , 4 ) , | | 1a b a ，求 |b 的 最大值與最小值 。 思路 1 要求 |b 的最值，就要得到 |b 的不等式， 由 | | 1ba，得到 22| | 2 | | | | c o s | | 1b b a a ， 第 8 頁 /共 13 頁 O b 1 o 由 | | 5a ，代入得 2| | 2 4c o s1 0 | |bb ， | cos | 1 ， 最后得到 4 | | 6b。 顯然，這種思路側(cè)重于代數(shù)運算，有一定的運算量 。 思路 2 借助于向量運算的幾何意義： 考慮到： a ， b ， ba 可以構(gòu)成一個三角形（如圖 3-2）， a 已知， 作出 a ， b ，并使之共起點，則 b 的終點軌跡為圓，圓的半徑為 1，圓心為 a 的終點，易得到 |b 的最大值為 5 1 6 ，最小值為 5 1 4 ，而且還能直觀地得到最值時 b 與 a 的關(guān)系 。 a 圖 3-1 圖 3-2 思路 2 與思路 1 相比，體現(xiàn)出了更直觀、更簡捷的特點 。 運用數(shù)形結(jié)合，一道看似繁瑣的題目很快就迎刃而解了 。 （五） 一題多解，發(fā)散數(shù)學(xué)思維興趣 數(shù)學(xué)的美還在于它的發(fā)散性 。 許多時候一道題會有許多不同的解法和思路 。 因為學(xué)生的學(xué)習(xí)側(cè)重點和思維方向不同所以 可以通過一題多解發(fā)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣 。 不等式問題是一類非常重要的問題，初中和高中均有涉及 。 下面就讓我們巧用一道不等式的題目來發(fā)散數(shù)學(xué)思維 。 設(shè))4,3,2,1(0 iaa i,求證 :22 144332214321 a aaaaaaaaa aaaa，對 一切的 Ra 成立 。 ba ab b a y 1 x 第 9 頁 /共 13 頁 證法 1 構(gòu)造法 要證不等式等價于 )(2)(144332214321 aaaaaaaaaaaaa , 即 )(2)()()( 14433221 aaaaaaaaaaaa 。 構(gòu)造下圖， ABCD 是邊長為 a 的正方形，可以看出 , )( 21 aaa 的值是矩形 AHPE 的面積 , )(32 aaa 是矩形 EBFM 的面積， )(43 aaa 是矩形 QFCG 的面積 , )( 14 aaa 是矩形HNGD 的面積，他們的和顯然小于 2 個正方形 ABCD 的面積，而正方形 ABCD 的面積就是 。 因此，所證不等式成立 。 圖 3-3 證法 2 變量代換法 設(shè)aab 11 ，aab 22 ，aab 33 ，aab 44 ，由于 )4,3,2,1(0 iaai, 所以)4,3,2,1(10 ibi ，所證不等式等價于 2)()( 144332214321 bbbbbbbbbbbb (3。 1) 不等式 (3。 1)等價于 ,2)1()1()1()1(14433221 bbbbbbbb 由平均值不等式得： ,2 )1()1(222121bbbb 2 )1()1( 232232bbbb ,2)1()1( 242343bbbb ,2 )1()1( 212414bbbb 故 A B D C H E G F Q N P M 第 10 頁 /共 13 頁 ,2)()(2)1()1()1()1( 43212423222114433221 bbbbbbbbbbbbbbbb因此 22 144332214321 a aaaaaaaaa aaaa 證法 3 構(gòu)造輔助函數(shù)法 由于 0a ，所以要證不等式等價于 ,2)()( 2144332214321 aaaaaaaaaaaaaa 不妨設(shè) 43211 ,m ax aaaaa ,則 ,1aa 。 設(shè) ),()(2)( 1443322143212 aaaaaaaaaaaaaaaf 則有 04 4321 aaaaaaf 。 所以 af 在 ,1aa 上單調(diào)遞增， 所以當iaa時，有 043323121m i n1 aaaaaaaafaf 。 因此，對任意 ,1aa ，有 0af 。 即有 22 144332214321 a aaaaaaaaa aaaa 證法 1 運用數(shù)形結(jié)合思想方法，借助幾何圖形的面積完成解答 。 證法 2 運用換元法成功地將一個較為復(fù)雜的不等式（所要求證的）轉(zhuǎn)化為一個較為特殊簡單的不等式 。 證法 3，運用函數(shù)思想，將不等式中的 a 看成變量，建立函數(shù)，通過對函數(shù)性質(zhì)的討論來達到目的 。 除了此題中的方法以外，我們在解不等式時，還有很多其他的方法，比如說反證法解不等式、放縮法解不等式、利用幾何圖形解不等式、利用三角函數(shù)解不等式等 等 。 在此就不都做介紹了，正因為不等式有這么多的變化和復(fù)雜的結(jié)合度（與其他知識點相結(jié)合），在高考中，很受出題老師、講課老師的青睞，也更加可以從多種維度發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣 。 （六） 增強好勝心，推動數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣 教師要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生個人的進步和優(yōu)點，多進行肯定表揚那些上課積極發(fā)言、上課注意聽講、作業(yè)按時完成、實驗做的好、學(xué)習(xí)成績有進步的同學(xué) 。 盡量少批評學(xué)生，更不能指責(zé)、挫傷學(xué)生的自尊心 。 利用表揚先進去抑制后進，激勵后進向先進看齊 。 第 11 頁 /共 13 頁 教師要善于給學(xué)生創(chuàng)造成功的機會，增強學(xué)生的自信心 。 讓學(xué)生展開爭論或比賽是激發(fā)學(xué)習(xí)積極 性的一種有效手段，適當開展學(xué)習(xí)競賽，可以激發(fā)學(xué)生的斗志，鼓勵他們積極向上，克服學(xué)習(xí)上的困難，完成學(xué)習(xí)任務(wù)，獲取優(yōu)良成績，使學(xué)生感到自己知識或能力上在提高，能為別人所不能，能知別人所不知 。 例如，當堂演示運算一道極易出錯的數(shù)學(xué)例題，并且故意做錯，讓學(xué)生進行思考、糾錯、探討 。 最后得出錯誤原因，并且有則改之無則加勉。像這樣課堂上教師采取的“假裝不會”，請學(xué)生為師，也是往往能得到很理想的教學(xué)效果 。 （七） 利用偶像，合理引導(dǎo)數(shù)學(xué)興趣 教育心理學(xué)指出中學(xué)生已不會盲目接受任何一位教師，他們開始對老師的期待開始有所變化，他們 不僅企盼能有讓他們崇拜的老師，更期盼他們的老師還是他們的益友 。 古時的師生關(guān)系如韓愈所說：“師者，所以傳道授業(yè)解惑者也” 。 而發(fā)展到今天，新時代中的師生關(guān)系已不僅僅是單向的傳道、授業(yè)、解惑，而是一種師生間的雙向互動關(guān)系，這種互動就是雙向的交流和溝通 。 作為學(xué)生，是學(xué)習(xí)的主體，同時更是有情有愛的能動的“主體”，他們與為師者是平等的 。 因此，只有在充分尊重學(xué)生的需要、愛好的基礎(chǔ)上，才會有誠摯的、毫無虛飾的心靈交流，使學(xué)生也能敞開自己的心扉，師生才能共同步入五彩繽紛的廣闊的心靈世界，去分享每一分細微的感受，分享每一段成長 經(jīng)歷中的喜悅與悲哀 。 師生之間真正成為良師益友關(guān)系，也會自然形成“教”以促“學(xué)”，“學(xué)”以促“教”的良性循環(huán) 。 教師應(yīng)做到：在精神上，要神采奕奕、生氣勃勃；在態(tài)度上，要嚴肅認真、和藹可親；在語言上，要生動、幽默詼諧；在知識上，俗語說：“要使學(xué)生有一桶水，自己就要有一桶水”，“問渠那得清如許？”在當今這個知識爆炸的時代，有人提出“要使學(xué)生有一杯水，教師就要有不斷地源頭活水 。 ”所以，教師除了要有扎實的專業(yè)知識外，還要有廣博的知識面，并不斷地為自己“充電”，才能滿足學(xué)生旺盛的求知欲 。 一個沒有良好知識水平的教師，無論 有多大的愛好和責(zé)任心，他都無法贏得學(xué)生們的崇敬 。 總之，教師要有崇高的社會主義品德，飽滿的工作熱情，永不止息的進取精神，言行一致，表里如一，為人師表，擁有活潑開朗的性格、廣泛的興趣、多才多藝，與學(xué)生有較多的共同語言，易于打成一片，這樣學(xué)生才會對這位教師所教的學(xué)科有興趣 。 （八） 體驗成功，強化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣 學(xué)習(xí)是艱苦的腦力勞動，知識的獲得來自于思維活動過程，學(xué)生一旦通過艱苦地思考，找到問題的答案時，會產(chǎn)生成功的喜悅，同時會激發(fā)對進一步學(xué)習(xí)的渴望，形成學(xué)習(xí)過程中 “引起興趣 第 12 頁 /共 13 頁 探索新知 問題解決 激發(fā)興趣”的 良性循環(huán) 。 所以說，體驗成功是必不可少的 。 1、 讓學(xué)生體驗探索求知后的成功感 數(shù)學(xué)教學(xué)是學(xué)生思維的漸進過程 。 在教學(xué)過程中，恰當設(shè)置各類難度適中的問題，讓不同層次的學(xué)生通過努力尋求解答，教師根據(jù)情況不失時機地予以含蓄的、適度的指點、使各個層次的學(xué)生都能感受到自己找到了解決問題的方案樂趣，享受思維探索的成功感 。 2、 讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實踐后的自豪感 中學(xué)階段的學(xué)生，有極強的向外界證明自己的欲望 。 教師在教學(xué)中根據(jù)所教內(nèi)容的特點，不失時機地指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，為學(xué)生提供證明自己的機會，如讓學(xué)生制作 規(guī)范的國旗；幫農(nóng)民丈量土地；幫父母計算儲蓄利息、投入生產(chǎn)等，使學(xué)生在參與社會的過程中感受數(shù)學(xué)的巨大魅力，激發(fā)學(xué)生擁有數(shù)學(xué)知識的自豪感 。 3、 讓學(xué)生體驗學(xué)好數(shù)學(xué)知識后的勝利感 根據(jù)教學(xué)內(nèi)容編排知識競賽，在課內(nèi)或課外進行一些比賽，并把握好題的難度，使全體學(xué)生在積極思維的狀態(tài)中都能解決一些問題，教師不失時機地予以鼓勵、贊揚，使學(xué)生享受到學(xué)好數(shù)學(xué)的勝利感 。 另外，指導(dǎo)學(xué)生利用幾何知識進行各種圖案、模型的制作，用來裝扮居室、豐富生活，會使學(xué)生同時享受到成功感，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣 。 （九） 融會貫通，深化學(xué)習(xí)興趣 課堂 教學(xué)由于受到時空的制約，僅能解決一小部分的數(shù)學(xué)問題 。 如果把課堂與學(xué)生生活實際緊密結(jié)合起來，與學(xué)生豐富多彩的課外活動聯(lián)系起來，學(xué)生不僅能解決更多的數(shù)學(xué)問題，而且更樂于探索 。 像這樣把課內(nèi)外緊密結(jié)合的學(xué)習(xí)活動，學(xué)生不但鞏固了所學(xué)知識，應(yīng)用了所學(xué)知識，而且激發(fā)了學(xué)生進一步的探索欲望，又達到了課內(nèi)外互動促進的作用 。 正如郭沫若所說：“興趣出勤奮，興趣出天才 。 ”興趣是學(xué)習(xí)的內(nèi)在動力，可以激發(fā)人的想象力和