關(guān)于一道高考題的三種解法及思考[文檔資料]

關(guān)于一道高考題的三種解法及思考 本文檔格式為 WORD,感謝你的閱讀。 mgq)的勻強電場時，小球從 O 點靜止釋放后獲得的最大速率 vm. 解法一高考參考答案： (1)洛倫茲力不做功，由動能定理得 mgy=12mv2(1) 得 v=2gy(2) (2)設(shè)在最大距離 ym處的速率為 vm，根據(jù)圓周運動有 qvmB-mg=mv2mR(3) 且由 (2)知 vm=2gym(4) 由 (3)、 (4)及 R=2ym 得 ym=2m2gq2B2(5) (3)小球運動如圖 2 所示， 由動能定理 (qE-mg)|ym|=12mv2m(6) 由圓周運動 qvmB+mg-qE=mv2mR(7) 且由 (6)、 (7)及 R=2|ym|解得 vm=2qB(qE-mg). 命題特點首先，本題是針對習慣思維的逆向選擇 (平時我們研究的粒子，一般都是不計重力，而本題選擇的是帶電小球，重力不能忽略 )；其次，本題題干以及第 (1)問的情景不是很陌生，但是第 (2)問 利用曲率半徑、把向心力的關(guān)系作為一條解決問題的渠道，這是比較新穎的；再有，第 (3)問，引入電場是對原題很好的一個變式 . 解題困難 “ 曲率半徑 ” 這個概念對考生來說比較陌生 .高中物理教材中并沒有出現(xiàn)過有關(guān) “ 曲率半徑 ” 的內(nèi)容，而筆者詢問了本校幾位數(shù)學教師，回答也都是 “ 沒有講過 ”. 只是有這樣的情況，有些教師在講解 “ 衛(wèi)星變軌 ” 問題時，作為拓展，會講一講 “ 曲率半徑 ” 的問題，而且也要看學生的程度，若是一般的普通高中，老師基本上是不會講的 .考試中不少學生正是由于不知 “ 曲率半徑 ” 是何物而無法求解 . 當然， 命題者也許并非默認考生都是知道 “ 曲率半徑 ” 這個概念的，而是要求學生綜合題中各種信息，從圓周運動中的 “ 半徑 ” 概念遷移到本題中的 “ 曲率半徑 ” 來，如果是這樣，那對學生的知識遷移能力是很高的要求 . 另外，仔細閱讀此題， “ 已知此曲線在最低點的曲率半徑為該點到 x 軸距離的 2 倍 ” 這個條件是在僅有磁場和重力場的情境下給出的，那么對于第 (3)問中進一步引入電場的變式，這個條件是否仍然成立，要進行類比才能確定，難度也是很大的 . 當然，作為試題的研究，我們可以不把 “ 曲率半徑 ”當作 “ 華山一條道 ” ，仍然能夠通過其它 方法求解 .下面介紹兩種解法，均不需要用到題中 “ 曲率半徑 ” 的條件 . 解法二第 (1)問略 . 設(shè)小球在運動過程中第一次下降的最大距離對應(yīng)的位置為點 Q，如圖 3 所示 . 對切點 Q 有 yQ=ym,(vy)Q=0(1) 洛倫茲力不做功，由動能定理 mgym=12m(vx)2q(2) 取運動軌跡上某一點 P，小球位于 P 時，它所受到的 x方向的力是 Fx=qvyB, 這個力提供了小球在 x 方向的加速度， qvyB=max(3) 注意到 (3)式對小球運動過程中各個時刻都是成立的，它可以寫成 qByiti=m(vx)iti, 亦即 qByi=m(vx)i(4) 把小球從 O 點到 Q 點運動過程中所有小段的關(guān)系式全部加起來有 i(qByi)=i m(vx)i (5) 由于 iyi=yQ -yO=ym, i(vx)=(vx)Q -(vx)O=(vx)Q, 代入 (5)式得 qBym=m(vx)Q(6) 聯(lián)立 (2)、 (6)式得 ym=2m2gq2B2 且 (vx)Q=2mgqB. 由動能定理知， (vx)Q=2mgqB 即是小球靜止釋放后獲得的最大速率 vm，對于第 (3)問，只要利用等效替代的方法，令“ 等效場 ” 為 mg效 =qE-mg，馬上就可以求得結(jié)果，其最大速率為 vm=2mg 效 qB=2(qE-mg)qB. 解法三第 (1)問略 . 按題意，小球由靜止釋放，即初速度為零 .設(shè)想此時小球具有如圖 4 所示的 x 方向的速度 +v0 和 -v0，使 +v0 這個速度引起的洛倫茲力正好與小球所受的重力相平衡，即 v0的大小滿足 qv0B=mg，或?qū)懗?v0=mgqB，這個 值是恒定的 . 照此設(shè)想，小球在其后的運動過程中將受到三個力，一個是沿 y 軸正方向的重力，一個是由于小球沿 x 軸向右運動而產(chǎn)生的 y 軸負方向的洛倫茲力 (圖 4 中已畫出 )，另一個是小球向左運動產(chǎn)生的 y 軸正方向的洛倫茲力 (圖 4 中未畫出 ).這第三個力所相應(yīng)的加速度引起小球速度的改變，它和原來小球向左運動的速度的合成正是一種勻速圓周運動模式，而小球向右運動的這個分速度沒有改變，也就是說，它所引起的洛倫茲力和重力始終保持平衡 .于是，小球的運動結(jié)合起來，可視為是一個速度為 v0的向右運動和一個速率為 v0的勻速圓周運動 (逆 時針方向 )的合成，如圖 5 所示 .對勻速圓周運動，有 qv0B=mv20R, 得 R=mv0qB, 又 v0=mgqB, 所以 R=mqB #8226；mgqB=m2gq2B2. 則小球下降的最大距離為 ym=2R=2m2gq2B2. 同時，勻速圓周運動在最大距離 Q 點處的速度方向向右，由運動的合成可知，小球在這個位置具有最大的速率，大小為 vm=v0+v0=2v0=2mgqB, 最后，利用 “ 解法二 ” 中的等效思想，即得第 (3)問的答案 vm=2mg 效 qB=2(qE-mg)qB. 在此基礎(chǔ)上，我們進一步來描述小球的運動：一個勻速直線運動疊加到勻速圓周運動上，因此小球的運動路徑不是簡單的圓弧，而是一種特殊的曲線，數(shù)學上稱為 “ 擺線 ” ，如圖 5 所示 .生活中，做勻速直線運動的自行車或汽車輪緣上任意一點相對于地面參考系的運動軌跡正是這種曲線 . 小球運動一個完整軌跡的時間為 T=2mqB ，與速度 v0無關(guān) .在時間 T 中，小球先落到 ym=2R=2mv0qB=2m2gq2B2 的位置，然后又上升到初始高度，對應(yīng)的 水平位移為 x=Tv0=2mqB #8226；mgqB=2m2gq2B2, 在這一點小球停頓一下，接著開始一個新的擺線曲線 . 比較后兩種解法，可以看出： “ 解法二 ” 對數(shù)學能力的要求比較高，而 “ 解法三 ” 則將小球的運動分解成同一平面內(nèi)的勻速圓周運動與勻速直線運動和合成，巧妙地運用了運動的合成與分解知識來處理復雜的運動過程，使求解變得簡潔明了，而且把小球的運動規(guī)律描述得非常清楚 .在教學中，我們應(yīng)該由此而注重觸類旁通的訓練 . 若把原題中 “ 曲率半徑 ” 這一條件去掉，本題 的難度更加大了，但仍可利用后兩種方法求解 .從這個角度來看，“ 曲率半徑 ” 反倒是命題者為了降低本題難度、引導思考而特意加進去的，如果學生能正確理解 “ 曲率半徑 ” 的意思，則不難求解 . 按照我們的經(jīng)驗，掌握物理定律最好的辦法是在實際中應(yīng)用它們 .然而，往往許多書本中的問題只能通過冗長而繁雜的數(shù)學運算才能解決，這些運算機械而枯燥，對于學生來說是一件苦差事 .有時候，即使是那些掌握了所有必要技能的最好的學生，也會感覺那樣的問題不足以吸引他們，因為冗長乏味的計算使他們的創(chuàng)造力得不到充分的發(fā)揮 . 通過 “ 解法 三 ” ，可以讓學生知道，并非所有的物理難題都要用復雜的數(shù)學才能解決 .通過恰當?shù)剡x擇變量和坐標系，或者特異的