2019版高考數(shù)學(xué)不等式選講2第2講不等式的證明教案理.docx

第2講不等式的證明1基本不等式定理1：設(shè)a，bR，則a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理2：如果a、b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理3：如果a、b、c為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立定理4：(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果a1，a2，an為n個(gè)正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)，等號(hào)成立2不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等3數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵使用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的不等式，關(guān)鍵是由nk時(shí)不等式成立推證nk1時(shí)不等式成立，此步的證明要具有目標(biāo)意識(shí)，要注意與最終達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析、比較，以便確定解題方向 對(duì)于任意的x、yR，求證|x1|x|y1|y1|3.證明：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，可知|x1|x|1，|y1|y1|2，所以|x1|x|y1|y1|123. 若a，b(0，)且ab1，求證：8.證明：因?yàn)閍b1，所以a22abb21.因?yàn)閍0，b0，所以1122228. 若x，y，zR，且xyz，求證：.證明：因?yàn)閤yz，所以xyz0.由分?jǐn)?shù)性質(zhì)得0，y0，所以. 若ab1，證明：ab.證明：aab.由ab1得ab1，ab0，所以0.即a0，所以ab.比較法證明不等式典例引領(lǐng) (2016高考全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)，M為不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時(shí)，|ab|1ab|.【解】(1)f(x)當(dāng)x時(shí)，由f(x)2得2x2，解得x1；當(dāng)x時(shí)，f(x)2；當(dāng)x時(shí)，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)證明：由(1)知，當(dāng)a，bM時(shí)，1a1，1b1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|1ab|.比較法證明不等式的方法與步驟(1)作差比較法：作差、變形、判號(hào)、下結(jié)論(2)作商比較法：作商、變形、判斷、下結(jié)論提醒(1)當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)，一般使用作差比較法(2)當(dāng)被證的不等式兩邊含有冪式或指數(shù)式或乘積式時(shí)，一般使用作商比較法 通關(guān)練習(xí)1若a，bR，證明：(ab)(a5b5)2(a6b6)證明：因?yàn)?ab)(a5b5)2(a6b6)a6a5bab5b62a62b6a5bab5a6b6a5(ba)b5(ab)(ab)(b5a5)當(dāng)ab0時(shí)，ab0，b5a50，有(ab)(b5a5)a0時(shí)，ab0，有(ab)(b5a5)0時(shí)，ab0，有(ab)(b5a5)0.綜上可知(ab)(a5b5)2(a6b6)2已知a，b(0，)，求證：abba(ab).證明：abba.當(dāng)ab時(shí)，1；當(dāng)ab0時(shí)，00，a0時(shí)，1，0，0，b0，a3b32.證明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.【證明】法一：(綜合法)(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因?yàn)?ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.法二：(分析法)(1)因?yàn)閍0，b0，a3b32.要證(ab)(a5b5)4，只需證(ab)(a5b5)(a3b3)2，再證a6ab5a5bb6a62a3b3b6，再證a4b42a2b2，因?yàn)?a2b2)20，即a4b42a2b2成立故原不等式成立(2)要證ab2成立，只需證(ab)38，再證a33a2b3ab2b38，再證ab(ab)2，再證ab(ab)a3b3，再證ab(ab)(ab)(a2abb2)，即證aba2abb2顯然成立故原不等式成立分析法與綜合法常常結(jié)合起來(lái)使用，稱(chēng)為分析綜合法，其實(shí)質(zhì)是既充分利用已知條件，又時(shí)刻瞄準(zhǔn)解題目標(biāo)，即不僅要搞清已知什么，還要明確干什么，通常用分析法找到解題思路，用綜合法書(shū)寫(xiě)證題過(guò)程通關(guān)練習(xí)1設(shè)x1，y1，求證：xyxy.證明：由于x1，y1，要證xyxy，只需證xy(xy)1yx(xy)2.因?yàn)閥x(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)，因?yàn)閤1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，從而所要證明的不等式成立2已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a0，b0，c0，且abc1.(1)證明：(1a)(1b)(1c)8；(2)證明：.證明：(1)1a2，1b2，1c2，相乘得：(1a)(1b)(1c)88.(2)abbcac，abbc22，abac22，bcac22，相加得.反證法證明不等式典例引領(lǐng) 設(shè)0a，b，c，(1b)c，(1c)a，三式相乘得(1a)b(1b)c(1c)a，又因?yàn)?a，b，c1，所以00，abbcca0，abc0，求證：a，b，c0.證明：(1)設(shè)a0，所以bc0，則bca0，所以abbccaa(bc)bc0矛盾，所以必有a0.同理可證：b0，c0.綜上可證a，b，c0.放縮法證明不等式典例引領(lǐng) 若a，bR，求證：.【證明】當(dāng)|ab|0時(shí)，不等式顯然成立當(dāng)|ab|0時(shí)，由0|ab|a|b|，所以.綜上，原不等式成立“放”和“縮”的常用技巧在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的推證技巧常見(jiàn)的放縮變換有：(1)變換分式的分子和分母，如，.上面不等式中kN*，k1；(2)利用函數(shù)的單調(diào)性；(3)真分?jǐn)?shù)性質(zhì)“若0a0，則”提醒在用放縮法證明不等式時(shí)，“放”和“縮”均需把握一個(gè)度 設(shè)n是正整數(shù)，求證：n(k1，2，n)，得.當(dāng)k1時(shí)，；當(dāng)k2時(shí)，；當(dāng)kn時(shí)，所以1，x0，nN，n1，則(1x)n1nx.【證明】(1)當(dāng)n2時(shí)，因?yàn)閤0.所以(1x)212xx212x，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2)時(shí)不等式成立，即有(1x)k1kx，則當(dāng)nk1時(shí)，由于x1，x0.所以(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1xkxkx21(k1)x，所以當(dāng)nk1時(shí)不等式成立由(1)(2)可知，貝努利不等式成立用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題時(shí)應(yīng)注意以下兩個(gè)證題步驟：(1)證明當(dāng)nn0(滿(mǎn)足命題的最小的自然數(shù)的值)時(shí)，命題正確(2)在假設(shè)nk(kn0)時(shí)命題正確的基礎(chǔ)上，推證當(dāng)nk1時(shí)，命題也正確這兩步合為一體才是數(shù)學(xué)歸納法，缺一不可其中第一步是基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù) 證明：對(duì)于nN*，不等式|sin n|n|sin |恒成立證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，上式左邊|sin |右邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)不等式成立，即有|sin k|k|sin |.當(dāng)nk1時(shí)，|sin(k1)|sin kcos cos ksin |sin kcos |cos ksin |sin k|cos |cos k|sin |sin k|sin |k|sin |sin |(k1)|sin |.所以當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立由(1)(2)可知，不等式對(duì)一切正整數(shù)n均成立 證明不等式的常用方法與技巧(1)如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少”“至多”等方式給出或否定性命題、唯一性命題，則考慮用反證法；如果待證不等式與自然數(shù)有關(guān)，則考慮用數(shù)學(xué)歸納法等(2)在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡(jiǎn)化對(duì)問(wèn)題的表述和證明尤其是對(duì)含絕對(duì)值不等式的解法或證明，其簡(jiǎn)化的基本思路是去絕對(duì)值號(hào)，轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的不等式(組)求解多以絕對(duì)值的幾何意義或“找零點(diǎn)、分區(qū)間、逐個(gè)解、并起來(lái)”為簡(jiǎn)化策略，而絕對(duì)值三角不等式，往往作為不等式放縮的依據(jù) 在使用基本不等式時(shí)，等號(hào)成立的條件是一直要注意的事情，特別是連續(xù)使用時(shí)，要分析每次使用時(shí)等號(hào)是否成立1(2018安徽省兩校階段性測(cè)試)已知函數(shù)f(x)|x2|.(1)解不等式：f(x)f(x1)2；(2)若a0，求證：f(ax)af(x)f(2a)解：(1)由題意，得f(x)f(x1)|x1|x2|.因此只要解不等式|x1|x2|2.當(dāng)x1時(shí)，原不等式等價(jià)于2x32，即x1；當(dāng)1x2時(shí)，原不等式等價(jià)于12，即12時(shí)，原不等式等價(jià)于2x32，即2x.綜上，原不等式的解集為.(2)證明：由題意得f(ax)af(x)|ax2|a|x2|ax2|2aax|ax22aax|2a2|f(2a)，所以f(ax)af(x)f(2a)成立2求證：2.證明：因?yàn)椋?122.3已知函數(shù)f(x)ax2bxc(a，b，cR)，當(dāng)x1，1時(shí)，|f(x)|1.(1)求證：|b|1；(2)若f(0)1，f(1)1，求實(shí)數(shù)a的值解：(1)證明：由題意知f(1)abc，f(1)abc，所以bf(1)f(1)因?yàn)楫?dāng)x1，1時(shí)，|f(x)|1，所以|f(1)|1，|f(1)|1，所以|b|f(1)f(1)|f(1)|f(1)|1.(2)由f(0)1，f(1)1可得c1，b2a，所以f(x)ax2(2a)x1.當(dāng)a0時(shí)，不滿(mǎn)足題意，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x，即x.因?yàn)閤1，1時(shí)，|f(x)|1，即|f(1)|1，所以|2a3|1，解得1a2.所以0，故|f|a(2a)1|1.整理得|1|1，所以111，所以20，又a0，所以0，所以0，所以a2.4設(shè)a，b，c(0，)，且abc1.(1)求證：2abbcca；(2)求證：2.證明：(1)要證2abbcca，只需證14ab2bc2cac2，即證1(4ab2bc2cac2)0，而1(4ab2bc2cac2)(abc)2(4ab2bc2cac2)a2b22ab(ab)20成立，所以2abbcca.(2)因?yàn)?，所以abc2a2b2c2(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立)5已知函數(shù)f(x)|x1|.(1)解不等式f(x)f(x4)8；(2)若|a|1，|b|a|f.解：(1)f(x)f(x4)|x1|x3|當(dāng)x1時(shí)，由2x28，解得x3.所以不等式f(x)f(x4)8的解集為x|x5或x3(2)證明：f(ab)|a|f，即|ab1|ab|.因?yàn)閨a|1，|b|0，所以|ab1|ab|.故所證不等式成立1(2018武漢市武昌區(qū)調(diào)研考試)設(shè)函數(shù)f(x)|x2|2x3，記f(x)1的解集為M.(1)求M；(2)當(dāng)xM時(shí)，證明：xf(x)2x2f(x)0.解：(1)由已知，得f(x)當(dāng)x2時(shí)，由f(x)x11，解得x0，此時(shí)x0；當(dāng)x2時(shí)，由f(x)3x51，解得x，顯然不成立故f(x)1的解集為Mx|x0(2)證明：當(dāng)xM時(shí)，f(x)x1，于是xf(x)2x2f(x)x(x1)2x2(x1)x2x.令g(x)，則函數(shù)g(x)在(，0上是增函數(shù)，所以g(x)g(0)0.故xf(x)2x2f(x)0.2(2018沈陽(yáng)模擬)設(shè)a，b，c0，且abbcca1.求證：(1)abc.(2)()證明：(1)要證abc，由于a，b，c0，因此只需證明(abc)23.即證a2b2c22(abbcca)3.而abbcca1，故只需證明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)，即證a2b2c2abbcca.而這可以由abbccaa2b2c2(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立)證得所以原不等式成立(2).在(1)中已證abc.因此要證原不等式成立，只需證明，即證abc1，即證abcabbcca.而a，b，c，所以abcabbcca(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立)所以原不等式成立3已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)求證：(1)(