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第六章二次曲線的仿射性質(zhì)和度量性質(zhì) 高等幾何 要求 掌握二次曲線的中心 直徑 漸近線在射影觀點(diǎn)下的意義和求法 了解二次曲線的仿射分類 重點(diǎn) 二次曲線的仿射性質(zhì)仿射分類 二次曲線的中心 直徑與共軛直徑 二次曲線的漸近線 圓點(diǎn) 迷向直線 主軸 焦點(diǎn)和準(zhǔn)線 1 2 學(xué)習(xí)要求 1學(xué)習(xí)要求 1二次曲線與無(wú)窮遠(yuǎn)直線的相關(guān)位置 設(shè)二次曲線的方程為 1 1 現(xiàn)在求無(wú)窮遠(yuǎn)直線 與二次曲線的交點(diǎn) 把 代入上式 得 從而解得 1 2 根據(jù) 的符號(hào)將二次曲線分類 定義1 1當(dāng)A33 0時(shí) 二階曲線稱為橢圓型曲線 當(dāng)A33 0時(shí) 二階曲線稱為拋物型曲線 當(dāng)A33 0時(shí) 二階曲線稱為雙曲型曲線 而且 當(dāng) A 0時(shí) 上述三種類型曲線分別稱為橢圓 拋物線 雙曲線 2二次曲線的仿射性質(zhì) 設(shè)二次曲線的方程為 1 1 從而解得 1 2 根據(jù) 的符號(hào)將二次曲線分類 定義2 1無(wú)窮遠(yuǎn)直線關(guān)于二階曲線的極點(diǎn) 稱為此二階曲線的中心 2 1二階曲線的中心 定理 theorem 定理2 1雙曲線 橢圓各有唯一中心且為有窮遠(yuǎn)點(diǎn) 而拋物線的中心為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 定義2 2無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)關(guān)于二階曲線的有窮極線稱為二階曲線的直徑 2 2直徑與共軛直徑 定義2 3二次曲線的一直徑與無(wú)窮遠(yuǎn)直線交點(diǎn)的極線稱為此直徑的共軛直徑 定理 theorem 定理2 2有心二階曲線的一直徑平行的一組弦 被它的共軛直徑所平分 推論過(guò)一直徑兩端點(diǎn)的切線平行于該直徑的共軛直徑 例1判斷二階曲線 中心 并求出過(guò)點(diǎn) 0 1 1 的直徑及其共軛直徑 的類型 試求曲線的 例2求平分二次曲線 與直線 平行的弦的直徑的方程 例3如果一個(gè)平行四邊形內(nèi)接于一條有心二次曲線 求證 它的兩條對(duì)角線是二次曲線的直徑 而且它的兩邊平行于一對(duì)共軛直徑 定義2 4二階曲線上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的切線 如果不是無(wú)窮遠(yuǎn)直線 則稱為二階曲線的漸近線 2 3漸近線 定理 theorem 定理2 4二階曲線的兩條漸近線相交于中心 并且調(diào)和分離任何一對(duì)共軛直徑 例4求雙曲線 例5雙曲線的任一條切線交漸進(jìn)線于兩點(diǎn) 求證切點(diǎn)是此二點(diǎn)所連線段的中點(diǎn) 例6求證過(guò)一定點(diǎn) 不在漸進(jìn)線上 所作二次曲線諸弦中點(diǎn)的軌跡是另一條二次曲線 的漸進(jìn)線方程 3二次曲線的仿射分類 設(shè)二次曲線的方程為 3 1 1 aij 0 即 aij 的秩為3 2 aij 0 即 aij 的秩為2 3 aij 0 即 aij 的秩為1 可列表如下 例求仿射坐標(biāo)變換 化 為標(biāo)準(zhǔn)形式 4二階曲線的度量性質(zhì) 4 1圓點(diǎn)和迷向直線 定義4 1共軛虛點(diǎn) 稱為圓環(huán)點(diǎn) 簡(jiǎn)稱圓點(diǎn) 定理 theorem 定理4 1一條非退化二次曲線 表示圓的充要條件是它經(jīng)過(guò)兩個(gè)圓環(huán)點(diǎn) 定義4 2經(jīng)過(guò)圓點(diǎn)的直線 無(wú)窮遠(yuǎn)直線除外 叫做迷向直線 定理4 2仿射變換成為相似變換的充要條件是該變換保持兩個(gè)圓點(diǎn)不變 推論正交變換使圓點(diǎn)保持不變 定理4 3虛直線是迷向直線的充要條件是它上面任意兩個(gè)有窮點(diǎn)間的距離為零 定理4 4一條直線與另一條直線的交角是不存在的 或是不確定的 4 2拉蓋爾 Laguerre 定理 定理4 5 Laguerre定理 設(shè)兩條非迷向直線的交角為 又設(shè)兩條直線與過(guò)它們交點(diǎn)的兩條迷向直線所成的交比為 則有 4 8 推論兩條非迷向直線垂直的充要條件是這兩條直線與過(guò)它們交點(diǎn)的兩條迷向直線調(diào)和共軛 4 2拉蓋爾 Laguerre 定理 定理4 6平面上不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓 定理4 7同一圓弧的圓周角相等 例1證明圓的任何一對(duì)共軛直徑都互相垂直 例2證明 在一平面上垂直于同一直線的二直線互相平行 4 3二次曲線的主軸 焦點(diǎn)和準(zhǔn)線 定義4 3二階曲線的一條直徑如果平分一組和它垂直的弦 則此直徑叫做主軸 主軸與曲線的有窮交點(diǎn)叫做頂點(diǎn) 定理 theorem 定理4 9除圓以外的有心二階曲線只有一對(duì)主軸 它們是兩條漸近線交角的平分線 定理4 8拋物線有唯一主軸 唯一頂點(diǎn) 例3試求二次曲線 例4試求拋物線 的主軸方程 的主軸和頂點(diǎn) 定義4 4自二圓點(diǎn)引二次曲線的切線 它們的有窮交點(diǎn)稱為二次曲線的焦點(diǎn) 焦點(diǎn)關(guān)于二次曲線的極線稱為二次曲線的準(zhǔn)線 定理4 10拋物線有一個(gè)焦點(diǎn) 一條準(zhǔn)線 焦點(diǎn)在主軸上 迷向切線的切點(diǎn)在準(zhǔn)線上 準(zhǔn)線垂直于主軸 定理4 11對(duì)圓以外的實(shí)有心二次曲線 過(guò)圓點(diǎn)