【薦】2015年北師大版數學八年級下全冊導學稿

第一章 一元一次不等式和一元一次不等式組 1.1 不等關系 學習 目標 （一）知識認知要求 1.理解不等式的意義 . 2.能根據條件列出不等式 . （二）能力訓練要求 通過列不等式，訓練學生的分析判斷能力和邏輯推理能力 . （三）情感與價值觀要求 通過不等式解決實際問題，使學生認識數學與人類生活的密切聯系以及對人類歷史發(fā)展的作用 .激發(fā)學生學習數學的信心和興趣 . 學習 重點： 用不等關系解決實際問題 . 學習 難點： 正確理解題意列出不等式 . 學習 過程 一、創(chuàng)設問題情境，引入新課 在現實生活中還存在許多不等關系，利用 不等關系同樣可以解決實際問題 .本節(jié)課我們就來了解不等關系，以及不等關系的應用 . 二、 新課學習 1.不等關系在現實生活中并不少見，大家肯定接觸過不少，能舉出例子嗎？ 那么，如何用式子表示不等關系呢？請看例題：如圖，用兩根長度均為 l cm 的繩子，分別圍成一個正方形和圓 . （ 1）如果要使正方形的面積不大于 25 cm2， 那么繩長 l 應滿足怎樣的關系式？ （ 2）如果要使圓的面積不小于 100 cm2,那么繩長 l 應滿足怎樣的關系式？ （ 3）當 l=8 時，正方形和圓的面積哪個 大？ l=12 呢？ （ 4）你能得到什么猜想？改變 l 的取值，再試一試 . 本題中大家首先要弄明白兩個問題，一個是正方形和圓的面積計算公式，另一個是了解“不大于”“大于”等詞的含意 . 圓的面積是 R2，其中 R 是圓的半徑 . 兩數比較有大于、等于、小于三種情況，“不大于”就是等于或小于 . 2.下面請大家互相討論，按照題中的要求進行解答 . （ 1）因為繩長 l 為正方形的周長，所以正方形的邊長為4l，得面積為（4l） 2，要使正方形的面積不大 于 25 cm2，就是162l 25. （ 2）因為圓的周長為 l，所以圓的半徑為 R=2l.要使圓的面積不小于 100 cm2， 就是 （2 l） 2 100，即42l 100 （ 3）當 l=8 時，正方形的面積為1682 =4（ cm2） . 圓的面積為482 5.1（ cm2） . 4 5.1 此時圓的面積大 . 當 l=12 時，正方形的面積為16122 =9（ cm2） . 圓的面積為4122 11.5（ cm2） 此時還是圓的面積大 . （ 4）我們可以猜想，用長度均為 l cm 的兩根繩子分別圍成一個正方形和圓，無論 l 取何值，圓的面積總大于正方形的面積，即42l 162l . 因為分子都是 l 2相等、分母 4 16，根據分數的大小比較，分子相同的分數，分 母大的反而小，因此不論 l 取何值，都有42l 162l . 3.做一做 通過測量一棵樹的樹圍（樹干的周長）可以計算出它的樹齡 .通常規(guī)定以樹干離地面 1.5 m 的地方作為測量部位，某樹栽種時的樹圍為 5 cm，以后樹圍每年增加約為 3 cm.這棵樹至少生長多少年其樹圍才能超過 2.4 m？（只列關系式） .請大家互相討論后列出關系式 . 4.議一議 觀察由上述問題得到的關系式，它們有什么共同特點？ 由162l 25 42l100 42l162l3x+5 240 得，這些關系式都是用不等號連接的式子 .由此可知： 一般地，用符號“”（或“”） ,“”（或“”）連接的式子叫做 不等式（ inequality） . 5.例題 .用不等式表示 （ 1） a 是正數； （ 2） a 是負數； （ 3） a 與 6 的和小于 5； （ 4） x 與 2 的差小于 1； 解：（ 1） a 0;（ 2） a 0; （ 3） a+6 5;（ 4） x 2 1; 三、補充練習 當 x=2 時，不等式 x+3 4 成立嗎？ 當 x=1.5 時，成立嗎？當 x= 1 呢？ 解：當 x=2 時， x+3=2+3=5 4 成立， 當 x=1.5 時， x+3=1.5+3=4.5 4 成立； 當 x= 1 時， x+3= 1+3=2 4,不成立 . 四、課時小結 能根據題意列出不等式，特別要注意“不大于”，“不小于”等詞語的理解 . 通過不等關系的式子歸納出不等式的概念 . 五、課后作業(yè) 習題 1.1 六 .活動與探究 a,b 兩個實數在數軸上的對應點如圖所示： 用“”或“”號填空： （ 1） a_b;（ 2） |a|_|b|; （ 3） a+b_0;（ 4） a b_0; （ 5） a+b_a b;（ 6） ab_a. 解：由圖可知： a 0,b 0,|a| |b|. （ 1） a b;（ 2） |a| |b|; （ 3） a+b 0;（ 4） a b 0; （ 5） a+b a b;（ 6） ab a. 學習 反思： 1.2 不等式的基本性質 學習 目標 （一）知識認知要求 1.探索并掌握不等式的基本性質； 2.理解不等式與等 式性質的聯系與區(qū)別 . （二）能力訓練要求 通過對比不等式的性質和等式的性質，培養(yǎng)學生的求異思維，提高大家的辨別能力 . （三）情感與價值觀要求 通過對不等式性質的探索，培養(yǎng)大家的鉆研精神，同時還加強了同學間的合作與交流 . 學習 重點： 探索不等式的基本性質，并能靈活地掌握應用 . 學習 難點： 能根據不等式的基本性質進行化簡 . 學習 過程 一、引入 我們已學過等式，不等式，現在我們來看兩組式子（教師出示小黑板中的兩組式子），請同學們觀察，哪些是等式？哪些是不等式？ 第一組： 1+2=3; a+b=b+a; S = ab; 4+x = 7. 第二組： -7 1+4; 2x 6, a+2 0; 34. 1.什么叫做等式？什么叫做不等式？ 2.前面我們學過了等式，同學們還記得等式的性質嗎？ 3.(回答 )用小于號 “” 填空。 （ 1） 7 _ 4; （ 2） - 2_6; （ 3） - 3_ -2； （ 4） - 4_-6 二、 新課學習 ： 現在我們可以歸納出不等式的基本性質，一般地說，不等式的基本性質有三條：（同學回答。） 性質 1：不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個數，不等號的方向 。 性質 2：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個正數，不等號的方向 。 性質 3：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個負數，不等號的方向 。 不等式的這三條基本性質，都可以用數學語言表達出來， 1.如果 a b。那么 a+c b+c（或 a-c b-c；如果 a b，那么 a+c b+c（或 a-c b-c）。如果 a0, 那么 acb,且 c0,那么 acbc(或 3.如果 abc(或 )；如果 ab,且 cb,且 c0，那么 acbd; (2)如果 ab,那么 ac2bc2; (3)如果 ac2bc2,那么 ab; (4)如果 ab,那么 a-b0; 三、課堂練習： 練 習 2（口答）分別在下面四個不等式的兩邊都以乘以（可除以） -2，看看不等號的方向是否改變： 7 4； -2 6； -3 -2； -4 -6。 四、小結 不等式的基本性質 五、作業(yè) 見作業(yè)本 六、 學習 反思： 1.3 不等式的解集 學習 目標 1.使學生正確理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念，掌握在數軸上表示不等式的解的集合的方法； 2.培養(yǎng)學生觀察、分析、比較的能力，并初步掌握對比的思想方法； 3.在本節(jié)課的 學習 過程 中，滲透數形結合的思想，并使學生初步學會運用數形結合的觀點去分析問題、解決問題 . 學習 重點 不等式的解集的概念及在數軸上表示不等式的解集的方法 . 學習 難點 ：不等式的解集的概念 . 學習 過程 一、創(chuàng)設問題情境，引入新課 1.什么叫不等式 ?什么叫方程 ?什么叫方程的解 ?(請學生舉例說明 ) 2.用不等式表示： (1)x 的 3 倍大于 1； (2)y 與 5 的差大于零； (3)x 與 3 的和小于 6； (4)x 的小于 2. (3)當 x 取下列數值時，不等式 x+3 6 是否成立 ? -4， 3.5， -2.5， 3， 0， 2.9. (2)、 (3)兩題用投影儀打在屏幕上 ) 二、 新課學習 1.引導學生運用對比的方法，得出不等式的解的概念 2.不等式的解集及解不等式 不等式 x+3 6，除了上面提到的， -4， -2.5， 0， 2.9 是它的解外，還有沒有其它的解 ?若有，解的個數是多少 ?它們的分布是有什么規(guī)律 ? (啟發(fā)學生利用試驗的方法，結合數軸直觀研究 .具體作法是，在數軸上將是 x+3 6 的解的數值 -4，-2.5， 0， 2.9 用實心圓點畫出，將不是 x+3 6 的解的數值 3.5， 4， 3 用空心圓圈畫出，好像是“挖去了”一樣 .如下圖所示 ) 然后，啟發(fā)學生，通過觀察這些點在數軸上的分布情況，可看出尋求不等式 x+3 6 的解的關鍵值是“ 3”，用小于 3 的任何數替代 x，不等 式 x+3 6 均成立；用大于或等于 3 的任何數替代 x，不等式 x+3 6 均不成立 .即能使不等式 x+3 6 成立的未知數 x 的值是小于 3 的所有數，用不等式表示為 x 3.把能夠使不等式 x+3 6 成立的所有 x 值的集合叫做不等式 x+3 6 的集合 .簡稱不等式 x+3 6 的解集，記作 x 3. 最后，請學生總結出不等式的解集及解不等式的概念 .(若學生總結有困難，教師可作適當的啟發(fā)、補充 ) 一般地說， 一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解的集合 .簡稱為這個不等式的解集 . 不等式一般有無限多個解 . 求不等式的解集的過程，叫做 解不等式 . 3.啟發(fā)學生如何在數軸上表示不等式的解集 我們知道解不等式不能只求個別解，而應求它的解集，一般而言，不等式的解集不是由一個數或幾個數組成的，而是由無限多個數組成的，如 x 3.那么如何在數軸上直觀地表示不等式 x+3 6的解集 x 3 呢 ?(先讓學生想一想，然后請一名學生到黑板上試著用數軸表示一下，其余同學在下面自行完成，教師巡視，并針對黑板上板演的結果做講解 ) 在數軸上表示 3 的點的左邊部分，表示解集 x 3.如下圖所示，由于 x=3 不是不等式 x+3 6的解，所以其中表示 3 的點用空心圓圈標出來 .(表示挖去 x=3 這個點 ) 記號“”讀作大于或等于，既不小于；記號“”讀作小于或等于，即不大于 . 例如不等式 x+5 3 的解集是 x -2(想一想，為什么 ?并請一名學生回答 )在數軸上表示如下圖 . 即用數軸上表示 -2 的點和它的右邊部分表示出來 .由于解中包含 x=-2，故其中表示 -2 的點用實心圓點表示 . 此處，應強調，這里特別要注意區(qū)別是用空心圓圈“?！边€是用實心圓點“ .”，是左邊部分，還是右邊部分 . 三、應用舉例，變式練習 例 1 在數軸上表示下列不等式的解集： (1)x -5； (2)x 0； (3)x -1; (4)1 X 4; (5)-2 X 3； (6)-2 x 3. 解 (1)， (2)， (3)略 . (4)在數軸上表示 1 x 4，如下圖 (5)在數軸上表示 -2 x 3，如下圖 (此題在講解時，教師要著重強調：注意所給題目中的解集是否包含分界點，是左邊部分還是右邊部分 .本題應分別讓 6 名學生板演，其余學生自行完成，教師巡視遇到問題，及時糾正 ) 例 2 用不等式表示下列數量關系，再用數軸表示出來： (1)x 小于 -1； (2)x 不小于 -1； (3)a 是正數； (4)b 是非負數 . 解： (1)x 小于 -1 表示為 x -1； (用數軸表示略 ) (2)x 不小于 -1 表示為 x -1； (用數軸表示略 ) (3)a 是正數表示為 a 0； (用數軸表示略 ) (4)b 是非負數表示為 b 0.(用數軸表示略 ) (以上各小題分別請四名學生回答，教師板書，最后，請學生在筆記本上畫數軸表示 ) 例 3 用不等式的解集表示出下列各數軸所表示的數的范圍 .(投影，請學生口答，教師板演 ) 解： (1)x 2； (2)x -1.5； (3)-2 x 1. 練習 (1)用簡明語言敘述下列不等式表示什么數： x 0; x 0; x -1; x -1. (2)在數軸上表示下列不等式的解集： x 3; x -1; x -1.5; 0 x 5; -2 x 2； -2 x 3. (3)用觀察法求不等式 1 的解集，并用不等式和數軸分別表示出來 . （ 4）觀察不等式 1 的解集，并用不等式和數軸分別表示出來，它的正數解是什么 ? 自然數解是什么 ?(*表示選作題 ) 四、小結 1.如何區(qū)別不等式的解，不等式的解集及解不等式這幾個概念 ? 2.找出一元一次方程與不等式在“解”，“求解”等概念上的異同點 . 3.記號“”、“”各表示什么含義 ? 4.在數軸上表示不 等式解集時應注意什么 ? 結合學生的回答，教師再強調指出，不等式的解、不等式的解集及解不等式這三者的定義是區(qū)別它們的唯一標準；在數軸上表示不等式解集時，需特別注意解的范圍的分界點，以便在數軸上正確使用空心圓圈“。”和實心圓點“” . 五、作業(yè) 見作業(yè)本 六、 學習 反思： 1.4.1 一元一次不等式（一） 學習 目標 1.歸納一元一次不等式的定義 . 2.通過具體實例，歸納解一元一次不等式的基本步驟 . 學習 重點 1.一元一次不等式的概念及判斷 . 2.會解一元一次不等式 . 學習 難點 當不等式的兩邊都乘以或除以同 一個負數時，不等號的方向要改變 . 學習 過程 一、創(chuàng)設問題情境，引入新課 在前面我們學習了不等式的基本性質，不等式的解，不等式的解集，解不等式的內容 .并且知道根據不等式的基本性質，可以把一些不等式化成“ x a”或“ x a”的形式 .那么，什么樣的不等式才可以運用不等式的基本性質而被化成“ x a”或“ x a”的形式呢？又需要哪些步驟呢？本節(jié)課我們將進行這方面的研究 . 二、 新課學習 1.一元一次不等式的定義 . 大家已經學習過一元一次方程的定義，你們還記得嗎？ 一元指的是一個未知數，一次指的是未知數的指數是一次，由此 大家可以類推出一元一次不等式的定義，可以嗎？ 只含有一個未知數，未知數的最高次數是一次，這樣的不等式叫一元一次不等式 . 下面我們判斷一下，以下的不等式是不是一元一次不等式 .請大家討論 . 下列不等式是一元一次不等式嗎？ （ 1） 2x 2.5 15;（ 2） 5+3x 240; （ 3） x 4;（ 4）x1 1. （ 1）、（ 2）、（ 3）中的不等式是一元一次不等式，（ 4）不是 . 從上面的討論中，我們可以得出判斷一元一次不等式的條件有三個，即未知數的個數，未知數的次數，且不等式的兩 邊都是整式 .請大家總結出一元一次不等式的定義 . 不等式的兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是 1，這樣的不等式，叫做一元一次不等式（ linear inequality with one unknown） . 2.一元一次不等式的解法 . 在前面我們接觸過的不等式中，如 2x 2.5 15,5+3x 240 都可以通過不等式的基本性質化成“ x a”或“ x a”的形式，大家來試一試 . 例 1解不等式 3 x 2x+6，并把它的解集表示在數軸上 . 分析要化成“ x a”或“ x a”的形式，首先要把不等式 兩邊的 x 或常數項轉移到同一側，變成“ ax b”或“ ax b”的形式，再根據不等式的基本性質求得 . 解兩邊都加上 x，得 3 x+x 2x+6+x 合并同類項，得 3 3x+6 兩邊都加上 6,得 3 6 3x+6 6 合并同類項，得 3 3x 兩邊都除以 3，得 1 x 即 x 1. 這個不等式的解集在數軸上表示如下： 觀察上面的步驟，大家可以看出，兩邊都加上 x，就相當于把左邊的 x 改變符號后移到了右邊，這種變形叫什么呢？ 由此可知，移項法則在解不等式中同樣適用 ，同理可知兩邊都加上 6，可以看作把 6 改變符號后從右邊移到了左邊 .因此，可以把這兩步合起來，通過移項求得 .兩邊都除以 3，就是把 x 的系數化成 1. 現在請大家按剛才分析的過程寫出步驟 . 移項，得 3 6 2x+x 合并同類項，得 3 3x 兩邊都除以 3，得 1 x 即 x 1. 從剛才的步驟中，我們可以感覺到解一元一次不等式的過程和解一元一次方程的過程有什么關系？ 例 2 解不等式22x37 x，并把它的解集在數軸上表示出來 . 解：去分母 ，得 3（ x 2） 2（ 7 x） 去括號，得 3x 6 14 2x 移項，合并同類項，得 5x 20 兩邊都除以 5，得 x 4. 這個不等式的解集在數軸上表示如下： 請大家判斷以下解法是否正確 .若不正確，請改正 . 解不等式：3 12 x 5 解：去分母，得 2x+1 15 移項、合并同類項，得 2x 16 兩邊同時除以 2，得 x 8. 有兩處錯誤 .第一，在去分母時，兩邊同時乘以 3，根據不等式的基本性質 3，不等號的方向要改變，第 二，在最后一步，兩邊同時除以 2 時，不等號的方向也應改變 . 3.解一元一次不等式與解一元一次方程的區(qū)別與聯系 .請大家討論后發(fā)表小組的意見 . 聯系：兩種解法的步驟相似 . 區(qū)別：（ 1）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數時，不等號的方向改變；而方程兩邊乘以（或除以）同一個負數時，等號不變 . （ 2）一元一次不等式有無限多個解，而一元一次方程只有一個解 . 三、課堂練習 解下列不等式，并把它們的解集分別表示在數軸上： （ 1） 5x 10;（ 2） 3x+12 0; （ 3）21x3 54 x;（ 4）27x 12 23 x. 解：（ 1）兩邊同時除以 5，得 x 2. 這個不等式的解集在數軸上表示如下： （ 2）移項，得 3x 12, 兩邊都除以 3，得 x 4, 這個不等式的解集在數軸上表示為： （ 3）去分母，得 3（ x 1） 2（ 4x 5） , 去括號，得 3x 3 8x 10, 移項 、合并同類項，得 5x 7, 兩邊都除以 5，得 x57, 不等式的解集在數軸上表示為： （ 4）去分母，得 x+7 2 3x+2, 移項、合并同類項，得 2x 3, 兩邊都除以 2，得 x23, 不等式的解集在數軸上表示如下： 四、時小結 1.一元一次不等式的定義及解法 . 2.解一元一次不等式與解一元一次方程的區(qū)別與聯系 . 五、課后作業(yè) 習題 1.4 六、活動與探究 求下列不等式的正整數解： （ 1） 4x 12;（ 2） 3x 9 0. 解：（ 1）解不等式 4x 12,得 x 3, 因為小于 3 的正整數有 1， 2 兩個，所以不等式 4x 12 的正整數解是 1， 2. （ 2）解不等式 3x 9 0,得 x 3. 因為不大于 3 的正整數有 1， 2， 3 三個，所以不等式 3x 9 0 的正整數解是 1， 2， 3. 七、 學習 反思 ： 1.4.2 一元一次不等式（二） 學習 目標 （一）知識認知要求 1.進一步鞏固求一元一次不等式的解集 . 2.能利用一元一次不等式解決一些簡 單的實際問題 . （二）能力訓練要求 通過學生獨立思考，培養(yǎng)學生用數學知識解決實際問題的能力 . （三）情感與價值觀要求 通過學生自主探索，培養(yǎng)學生學數學的好奇心與求知欲，使他們能積極參與數學學習活動，鍛煉克服困難的意志，增強自信心 . 學習 重點 1.求一元一次不等式的解集 . 2.用數學知識去解決簡單的實際問題 . 學習 難點 能結合具體問題發(fā)現并提出數學問題 . 學習 過程 一、提出問題，引入新課 上節(jié)課，我們學習了什么叫一元一次不等式，以及如何解一些簡單的一元一次不等式，下面大家先回憶一下 . 不等式的兩邊都是整式，只 含有一個未知數，且未知數的最高次數是一次，這樣的不等式叫一元一次不等式 . 解一元一次不等式的一般步驟和解一元一次方程的一般步驟相似，大致有：（ 1）去分母；（ 2）去括號；（ 3）移項、合并同類項；（ 4）系數化成 1. 下面我們做一個練習檢查一下，看大家的動手能力如何 . 1.解不等式：51（ x+15）2131（ x 7） 解：去分母，得 6（ x+15） 15 10（ x 7） , 去括號，得 6x+90 15 10x+70, 移項、合并同類項，得 16x 15， 兩邊同除以 16，得 x1615. 2.判斷下面解法的對錯 . 解不等式：3 12 x6 15 x 2 解：去分母，得 2（ 2x+1） 5x 1 2, 去括號，得 4x+2 5x 1 2 移項、合并同類項，得 x 1 兩邊都乘以 1，得 x 1. 請大家先獨立思考、再互相討論，指出上面的解法有無錯誤，若有請指出來 . 第一，在去分母時，分子應 作為一個整體，應加括號，是（ 5x 1） ,而非 5x 1，第二，整數2 也應乘以公分母 . 解：去分母，得 2（ 2x+1）（ 5x 1） 12 去括號，得 4x+2 5x+1 12, 移項、合并同類項，得 x 9, 兩邊都乘以 1，得 x 9. 剛才這位同學提出的改正方案也正是解此類不等式需要注意的問題，本節(jié)課我們要加以鞏固 . 二、 新課學習 例 1解下列不等式，并把它們的解集分別在數軸上表示出來： （ 1）2x3x 1;（ 2）5x 3+22x. 解：（ 1）去分母，得 3x 2x 6, 合并同類項，得 x 6, 不等式的解集在數軸上表示如下： （ 2）去分母，得 2x 30+5（ x 2） , 去括號，得 2x 30+5x 10, 移項、合并同類項，得 3x 20, 兩邊都除以 3，得 x320. 不等式的解集在數軸上表示如下： 這 類題型我們掌握得好了，下面來學習有關不等式的應用題 . 例 2一次環(huán)保知識競賽共有 25 道題，規(guī)定答對一道題得 4 分，答錯或不答一道題扣 1 分，在這次競賽中，小明被評為優(yōu)秀（ 85 分或 85 分以上），小明至少答對了幾道題？ 例 3小穎準備用 21 元錢買筆和筆記本 .已知每支筆 3 元，每個筆記本 2.2 元，她買了 2 本筆記本 .請你幫她算一算，她還可以買幾支筆？ 分析：解不等式應用題也和解方程應用題類似，我們先回憶一下列方程解應用題應如何進行 . 先審題，弄清題中的等量關系；設未知數，用未知數表示有關的代數式；列出方程，解方程；最 后寫出答案 . 總的題量有 25 題 .答對一題得 4 分，答錯或不答扣 1 分，最后得分在 85 分或 85 分以上，所以關系式應為： 4答對題數 1答錯題數 85 請大家自己寫步驟 . 解：設小明答對了 x 道題，則他答錯和不答的共有（ 25 x）道題，根據題意，得 4x 1（ 25 x） 85 解這個不等式，得 x 22. 所以，小明至少答對了 22 道題，他可能答對了 22， 23， 24， 25 道題 . 大家依據列方程解應用題的過程，對照上面解不等式應用題的步驟，總結一下兩者的不同，并給出解一元一次不等式應用題的一般步驟，請互相交流 . 第一 步：審題，找不等關系； 第二步：設未知數，用未知數表示有關代數式； 第三步：列不等式； 第四步：解不等式； 第五步：根據實際情況寫出答案 . 請大家按照剛才的步驟解答例 3. 解：設她還可以買 n 支筆，根據題意得 3n+2.2 2 21 解這個不等式，得 n36.16因為在這一問題中 n 只能取正整數， 所以，小穎還可以買 1 支， 2 支， 3 支， 4 支或 5 支筆 . 三、課堂練習 請五位同學板演，教師訂正 四、課時小結 根據前面我們做的練習和例題，我們來總結一下解不等式的一般步驟，理論 依據及注意事項，和解一元一次不等式應用題的一般步驟 . 1.解一元一次不等式的一般步驟： （ 1）去分母 根據 等式性質 2 或 3 注意：勿漏乘不含分母的項； 分子是兩項或兩項以上的代數式時要加括號； 若兩邊同時乘以一個負數，須注意不等號的方向要改變 . （ 1）去括號 根據 去括號法則和分配律 注意：勿漏乘括號內每一項； 括號前面是“”號，括號內各項要變號 . （ 2）移項 根據 移項法則（不等式 性質 1） 注意：移項要變號 . （ 4）合并同類項 根據 合并同類項法則 . （ 5）系數化成 1根據 不等式基本性質 2 或性質 3. 注意：兩邊同時除以未知數的系數時，要分清不等號的方向是否改變 . 2.解一元一次不等式應用題的步驟： （ 1）審題，找不等關系；（ 2）設未知數； （ 3）列不等關系；（ 4）解不等式； （ 5）根據實際情況，寫出全部答案 . 五 .課后作業(yè) P17 習題 1.5 學習 反思： 1.5.1 一元一次不等式與一次函數（一 ） 學習 目標 （一）知識認知要求 1.一元一次不等式與一次函數的關系 . 2.會根據題意列出函數關系式，畫出函數圖象，并利用不等關系進行比較 . （二）能力訓練要求 1.通過一元一次不等式與一次函數的圖象之間的結合，培養(yǎng)學生的數形結合意識 . 2.訓練大家能利用數學知識去解決實際問題的能力 . （三）情感與價值觀要求 體驗數、圖形是有效地描述現實世界的重要手段，認識到數學是解決問題和進行交流的重要工具，了解數學對促進社會進步和發(fā)展人類理性精神的作用 . 學習 重點 了解一元一次不等式與一次函數之間的關系 . 學習 難點 自 己根據題意列函數關系式，并能把函數關系式與一元一次不等式聯系起來作答 . 學習 過程 一、創(chuàng)設問題情境，引入新課 上節(jié)課我們學習了一元一次不等式的解法，那么，是不是不等式的知識是孤立的呢？ .二、新課講授 1.一元一次不等式與一次函數之間的關系 . 大家還記得一次函數嗎？請舉例給出它的一般形式 . 在一次函數 y=2x 5 中， 當 y=0 時，有方程 2x 5=0; 當 y 0 時，有不等式 2x 5 0; 當 y 0 時，有不等式 2x 5 0. 由此可見，一次函數與一元一次方程、一元一次不等式之間有密切關系，當函數值等于 0 時即為方程 ，當函數值大于或小于 0 時即為不等式 . 下面我們來探討一下一元一次不等式與一次函數的圖象之間的關系 . 2.做一做 作出函數 y=2x 5 的圖象，觀察圖象回答下列問題 . （ 1） x 取哪些值時， 2x 5=0? （ 2） x 取哪些值時， 2x 5 0? （ 3） x 取哪些值時， 2x 5 0? （ 4） x 取哪些值時， 2x 5 3? 請大家討論后回答： （ 1）當 y=0 時， 2x 5=0, x=25, 當 x=25時， 2x 5=0. （ 2）要找 2x 5 0 的 x 的值，也就是函數值 y 大于 0 時所對應的 x 的值，從圖象上可知， y 0 時，圖象在 x 軸上方，圖象上任一點所對應的 x 值都滿足條件，當 y=0 時，則有 2x 5=0,解得 x=25.當x25時，由 y=2x 5 可知 y 0.因此當 x25時， 2x 5 0; （ 3）同理可知，當 x25時，有 2x 5 0; （ 4）要使 2x 5 3,也就是 y=2x 5 中的 y 大于 3，那么過縱坐標為 3 的點作一條直線平行于 x 軸，這條直線與 y=2x 5 相交于一點 B（ 4， 3），則當 x 4 時，有 2x 5 3. 3.試一試 如果 y= 2x 5,那么當 x 取何值時， y 0? 由剛才的討論，大家應該很輕松地完成任務了吧 .請大家試一試 . 首先要畫出函數 y= 2x 5 的圖象，如圖： 從圖象上可知，圖象在 x 軸上方時，圖象上每一點所對應的 y 的值都大于 0，而每一個 y 的值所對應的 x 的值都在 A 點的左側，即為小于 2.5 的數，由 2x 5=0,得 x= 2.5,所以當 x 取小于2.5 的值時， y 0. 4.議一議 兄弟倆賽跑，哥哥先讓弟弟跑 9 m，然后自己才開始跑，已知弟弟每秒跑 3 m，哥哥每秒跑 4 m，列出函數關系式，畫出函數圖象，觀察圖象回答下列問題： （ 1）何時弟弟跑在哥哥前面？ （ 2）何時哥哥跑在弟弟前面？ （ 3）誰先跑過 20 m？誰先跑過 100 m？ （ 4）你是怎樣求解的？與同伴交流 . 大家應先畫出圖象，然后討論回答： 解設兄弟倆賽跑的時間為 x 秒 .哥哥跑過的路程為 y1，弟弟跑過的路程為 y2，根據題意，得 y1=4x y2=3x+9 函數圖象如圖： 從圖象上來看： （ 1）當 0 x 9 時，弟弟跑在哥哥前面； （ 2）當 x 9 時，哥哥跑在弟弟前面； （ 3）弟弟先跑過 20m，哥哥先跑過 100m; （ 4）從圖象上直接可以觀察出（ 1）、（ 2）小題，在回答第（ 3）題時，過 y 軸上 20 這一點作 x 軸的平行線，它與 y1=4x,y2=3x+9 分別有兩個交點，每一交點都對應一個 x 值，哪個 x 的值小，說明用的時間就短 .同理可知誰先跑過 100 m. 三、課堂練習 1.已知 y1= x+3,y2=3x 4,當 x 取何值時， y1 y2？你是怎樣做的？與同伴交流 . 解：如圖所示： 當 x 取小于47的值時，有 y1 y2. 四、課時小結 本節(jié)課討論了一元一次不等式與一次函數的關系，并且能根據一次函數的圖象求解不等式 . 五、課后作業(yè) 習題 1.6 六、活動與探究 作出函數 y1=2x 4 與 y2= 2x+8 的圖象，并觀察圖象回答下列問題： （ 1） x 取何值時， 2x 4 0？ （ 2） x 取何值時， 2x+8 0? （ 3） x 取何值時， 2x 4 0 與 2x+8 0 同時成立？ （ 4）你能求出函數 y1=2x 4， y2= 2x+8 的圖象與 x 軸所圍成的三角形的面積嗎？并寫出過程 . 解：圖象如下： 分析：要使 2x 4 0 成立，就是 y1=2x 4 的圖象在 x 軸上方的所有點的橫坐標的集合，同理使 2x+8 0 成立的 x，即為函數 y2= 2x+8 的圖象在 x 軸上方的所有點的橫坐標的集合，要使它們同時成立，即求這兩個集合中公共的 x，根據函數圖象與 x 軸交點的坐標可求出三角形的底邊長，由兩函數的交點坐標可求 出底邊上的高，從而求出三角形的面積 . 解（ 1）當 x 2 時， 2x 4 0; （ 2）當 x 4 時， 2x+8 0; （ 3）當 2 x 4 時， 2x 4 0 與 2x+8 0 同時成立 . （ 4）由 2x 4=0,得 x=2; 由 2x+8=0,得 x=4 所以 AB=4 2=2 由8242xyxy 得交點 C（ 3， 2） 所以三角形 ABC 中 AB 邊上的高為 2. 所以 S=21 2 2=2. 1.5 一元一次不等式與一次函數（二） 學習 目標： 1.掌握一元一次不等 式與一次函數的關系，會運用不等式解決函數有關問題。 2.通過具體問題初步體會一次函數的變化規(guī)律與一元一次不等式解集的聯系。 3.感知不等式、函數、方程的不同作用與內在聯系，并滲透“數形結合”思想。 學習 重點 ：初步建立“數”（一元一次不等式）與“形”（一次函數）之間的關系，根據一次函數圖象求一元一次不等式的解集。 學習 難點 ：理解一元一次不等式與一次函數的關系。 學習 過程 ： 一、提出問題，導入新課 放假期間很多人熱衷于旅游，而旅行社瞅準了這個商機，會打著各式各樣的優(yōu)惠政策來誘惑你，那么究竟應該選哪一家呢？人們猶 豫了，有時感覺到上當了 .如果你學了今天的課程，那么你以后就不會上當了 .下面我們一起來探究這里的奧妙 . 二、新課講授 1.例 1某單位計劃在新年期間組織員工到某地旅游，參加旅游的人數估計為 1025 人，甲、乙兩家旅行社的服務質量相同，且報價都是每人 200 元 .經過協商，甲旅行社表示可給予每位游客七五折優(yōu)惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游費用？其余游客八折優(yōu)惠 .該單位選擇哪一家旅行社支付的旅游費用較少？ 請大家先計劃一下，你選哪家旅行社？ 分析：首先我們要根據題意，分別表示出兩家旅行社關于人數的費用，然后才 能比較 .而且比較情況只能有三種，即大于，等于或小于 . 解：設該單位參加這次旅游的人數是 x 人，選擇甲旅行社時，所需費用為 y1元，選擇乙旅行社時，所需的費用為 y2元，則 y1=200 0.75x=150x y2=200 0.8（ x 1） =160x 160 當 y1=y2 時， 150x=160x 160,解得 x=16; 當 y1 y2 時， 150x 160x 160,解得 x 16; 當 y1 y2 時， 150x 160x 160,解得 x 16. 因為參加旅游的人數為 1025 人，所以當 x=16 時，甲乙兩家旅行社的收費相同；當 17 x 25 時，選擇甲旅行社費用較少，當 10 x 15 時，選擇乙旅行社費用較少 . 由此看來，選哪家旅行社不僅與旅行社的優(yōu)惠政策有關，而且還和參加旅游的人數有關，那么在以后的旅行中，大家一定不要想當然，而是要精打細算才能做到合理開支，現在，你學會了嗎？ 2.下面，我們要到商店走一趟，看看商家又是如何吸引顧客的，我們又應該想何對策呢？ 例 2某學校計劃購買若干臺電腦，現從兩家商場了解到同一型號電腦每臺報價均為 6000元，并且多買都有一定的優(yōu)惠 .甲商場的優(yōu)惠條件是：第一臺按原價收費，其余每臺優(yōu)惠 25%.乙商場的優(yōu)惠條件是：每臺優(yōu)惠 20%. （ 1）分別寫出兩家商場的收費與所買電腦臺數之間的關系式 . （ 2）什么情況下到甲商場購買更優(yōu)惠？ （ 3）什么情況下到乙商場購買更優(yōu)惠？ （ 4）什么情況下兩家商場的收費相同？ 有了剛才的經驗，大家應該很輕松地完成任務了吧 . 解：設要買 x 臺電腦，購買甲商場的電腦所需費用 y1 元，購買乙商場的電腦所需費用為 y2元 .則有 （ 1） y1=6000+（ 1 25%）（ x 1） 6000=4500x+1500 y2=80% 6000x=4800x （ 2）當 y1 y2 時，有 4500x+1500 4800x 解得， x 5 即當所購買電腦超過 5 臺時，到甲商場購買更優(yōu)惠； （ 3）當 y1 y2 時，有 4500x+1500 4800x. 解得 x 5. 即當所購買電腦少于 5 臺時，到乙商場買更優(yōu)惠； （ 4）當 y1=y2 時，即 4500x+1500=4800x 解得 x=5. 即當所購買電腦為 5 臺時，兩家商場的收費相同 . 三、課堂練習 某學校需刻錄一批電腦光盤，若到電腦公司刻錄，每張需 8 元（包括空白光盤帶）；若學校自刻，除租用刻錄機需 120 元外，每張還需成本 4 元（包括空白光盤帶），問刻錄這批電腦光盤，到電腦公司刻錄費用省 ，還是自刻費用省？請說明理由 . 解：設需刻錄 x 張光盤，則 到電腦公司刻錄需 y1=8x（元） 自刻錄需 y2=120+4x 當 y1=y2 時， 8x=120+4x， 解得 x=30; 當 y1 y2 時， 8x 120+4x, 解得 x 30; 當 y1 y2 時， 8x 120+4x, 解得 x 30. 所以，當需刻錄 30 張光盤時，到電腦公司刻錄和自刻費用相等； 當需刻錄超過 30 張光盤時，自刻費用??； 當需刻錄不超過 30 張光盤時，到電腦公司刻錄費用省 . 某單位要制作一批宣傳材料 .甲公司提出每份材料收費 20 元，另收 3000 元設計費； 乙公司提出：每份材料收費 30 元，不收設計費 . （ 1）什么情況下選擇甲公司比較合算？ （ 2）什么情況下選擇乙公司比較合算？ （ 3）什么情況下兩公司的收費相同？ 解：略 . 四、課時小結 本節(jié)課我們進一步鞏固了不等式在現實生活中的應用，通過這節(jié)課的學習，我們學到了不少知識，真正體會到了學有所用 . 五、課后作業(yè) 習題 1.7 第 2 題 . 六、活動與探究 某批發(fā)商欲將一批海產品由 A 地運往 B 地，汽車貨運公司和鐵路貨運公司均開辦海產 品運輸業(yè)務，已知運輸路程為 120 千米，汽車和火車的速度分別為 60 千米 /時， 100 千米 /時，兩 貨運公司的收費項目及收費標準如下表所示： 運輸工具 運輸費單價 （元 /噸千米） 冷藏費單價 （元 /噸小時） 過橋費 （元） 裝卸及管理費（元） 汽車 2 5 200 0 火車 1.8 5 0 1600 注：“元 /噸千米”表示每噸貨物每千米的運費；“元 /噸小時”表示每噸貨物每小時的冷藏費 . （ 1）設該批發(fā)商待運的海產品有 x 噸 ,汽車貨運公司和鐵路貨運公司所要收取的費用分別為 y1元和 y2 元，試求 y1和 y2與 x 的函數關系式； （ 2）若該批發(fā)商待運的海產品不少于 30 噸，為節(jié)省運費，他應選擇哪個貨運公司承 擔運輸業(yè)務？ 分析（ 1）仔細觀察，根據題目中二維表格給出的收費項目和收費標準，以及已知的路程和速度，不難求得函數關系，但應注意從表格中準確提取信息，并細心計算； （ 2）究竟選擇哪家貨運公司承擔運輸業(yè)務，可使運費最省，由題目條件看，應由批發(fā)商海產品的數量來確定，我們可以把問題轉化為不等式，當 y1 y2 時，有 250x+200 222x+1600;當 y1 y2時，有 250x+200 222x+1600,然后通過解不等式，使得問題迎刃而解 .當然，也可以討論 y1=y2 的情況，求得 x=50 后，再分析求解 . 解（ 1）根據題意，得 y1=200+2 120x+560120x=250x+200; y2=1600+1.8 120x+510120x=222x+1600 （ 2）分三種情況 若 y1 y2,250x+200 222x+1600, 解得 x 50; 若 y1=y2,250x+200=222x+1600， 解得 x=50; 若 y1 y2,250x+200 222x+1600, 解得 x 50. 綜上所述，當所運海產品不少于 30 噸且不足 50 噸時， 應選擇汽車貨運公司承擔運輸業(yè)務； 當所運海產品剛好 50 噸時，可選擇汽車貨運公司，鐵路貨運公司中的任意一家承擔運輸業(yè)務； 當所運海產品多于 50 噸時，應選擇鐵路貨運公司承擔運輸業(yè)務 . 評注此題是一道方案決策最優(yōu)化問題，雖然題目中信息很多，但由于批發(fā)商的待運海產品的數量不確定，使得方案決策不確定，這就需要準確提取信息，通過列出數式，找函數關系，解不等式等數學手段，解決實際問題 .應用不等式的知識解決日常生產問題是我們常見的題型 . 七、 學習 反思 ： 1.6 一元一次不等式組（一） 學習 目標： 1.理解一 元一次不等式組及其解的意義， 加強運算的熟練性和準確性，培養(yǎng)思維的全面性； 2.初步感知利用一元一次不等式解集的數軸表示求不等式組的解和解集的 方法。 3.能運用不等式組解決簡單的實際問題，培養(yǎng)學生獨立思考的習慣和合作交流意識； 4.初步認識數學與人類生活的密切聯系及其對人類歷史發(fā)展的作用。 學習 重點 :解一元一次不等式組 學習 難點 :運用一元一次不等式組解決實際問題 學習 過程 一、前提測評 解下列不等式，并在數軸上表示 2X-1-X 0.5X4X+1 二、導入新課，討論探究 將上 面內容進行組合 2X-1-X 0.5X4X+1 關鍵： 1、 分別解出不等式； 2、 將結果在數軸上表示出來； 3、 取公共部分 思考： 1、 你能為它取個名字嗎？ 2、 你能將它們的解集在數軸上表示出來嗎？ 3、 哪一部分是它的最后解集呢？ 獨立思考； 小組討論； 小組交流； 歸納總結。 三、課堂練習 1、解下列不等式組 X-51/3 X 2X3 4X-3 1 2X-50 3X-15 3-X-1 3X+5 0 3X+1 2, 1 3. 你能把你的結論歸納成語言嗎？ 三角形的一個外角等于兩個內角的和 .它也大于三角形的一個內 角 . 不對，如圖 （ 1） （ 2） 圖（ 1）中， ACD 是 ABC 的外角，從圖中可知： ACB 是鈍角三角形 . ACB ACD.所以 ACD 不可能等于 ABC 內的任兩個內角的和 . 圖（ 2）中的 ABC 是直角三角形， ACD 是它的一個外角，它與 ACB 相等 . 由上述可知：丁同學歸納的結論是錯誤的 .應該說：三角形的一個外角等于 和它不相鄰 的兩個內角的和；三角形的一個外角大于 和它不相鄰 的任一個內角 . .由此我們得到了三角形的外角的性質 三角形的一