試題選講人口模型.doc

人口模型人口的增長是當(dāng)前世界上引起普遍關(guān)注的問題，我們經(jīng)常在報刊上看見關(guān)于人口增長的預(yù)報，說到本世紀(jì)末，或下世紀(jì)中葉，全世紀(jì)人口將達(dá)到多少多少億。你可能注意到不同報刊對同一時間人口的預(yù)報在數(shù)字上常有較大的差別，這顯然是由于用了不同的人口模型計算的結(jié)果。先看一種最簡單的計算方法。 要預(yù)報未來若干年譬如2000年的人口，最重要的影響因素自然是今年的人口和今后這些年的增長率（即人口出生率減去死亡率），根據(jù)這兩個數(shù)據(jù)進(jìn)行人口預(yù)報是十分容易的。例如據(jù)我國國家統(tǒng)計局1990年10月30日發(fā)表的公報，1990年7月1日我國人口總數(shù)為11.6億，過去8年的平均增長率為14.8。如果今后的年增長率保持這個數(shù)字，那么很容易算出，1年后我國人口為11.6%(1+0.0148)=11.77（億），10年后即2000年將為（億）。這種算法用式子表示也十分簡單。記今年人口為x0，年后人口為，年增長率為,則預(yù)報公式為 （1） 顯然，這個公式的基本前提是年增長率r保持不變。這個條件在什么情況下才成立，如果不成立又該怎么辦。歷史上，人口模型的發(fā)展過程回答了這個問題。早在18世紀(jì)人們就開始進(jìn)行人口預(yù)報工作了，一二百年來發(fā)展了許多模型。本書只介紹其中最簡單的兩種。 指數(shù)增長模型（馬爾薩斯人口模型） 英國科學(xué)家馬爾薩斯（Malthus 1766-1834）根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計資料，于1789年提出了著名的人口指數(shù)增長模型。這個模型的基本假設(shè)是：人口的增長率是常數(shù)，或者說，單位時間內(nèi)人口的增長量與當(dāng)時的人口成正比。 記時刻的人口為，當(dāng)考察一個國家或一個地區(qū)的人口時，是很大的整數(shù)。為了利用微積分這一數(shù)學(xué)工具，將視為連續(xù)、可微函數(shù)。記初始時刻（t0）的人口為，人口增長率為，是單位時間內(nèi)的增量與的比例系數(shù)。根據(jù)是常數(shù)的基本假設(shè)，時間內(nèi)人口的增量為 于是滿足如下的微分方程：年 實(shí)際人口 指數(shù)增長模型 阻滯增長模型 （） （） 誤差（） （） 誤差（）1790 3.91800 5.31810 7.2 7.4 1.41820 9.6 10.0 4.2 9.7 1.01830 12.9 13.7 6.2 13.0 0.81840 17.1 18.7 9.4 17.4 1.81850 23.2 25.6 10.3 23.0 -0.91860 31.4 35.0 10.8 30.2 -3.81870 38.6 47.8 23.8 38.1 -1.31880 50.2 65.5 30.5 49.9 -0.61890 62.9 89.6 42.4 62.4 -0.81900 76.0 122.5 61.2 76.5 0.71910 92.0 167.6 82.1 91.6 -0.41920 106.5 229.3 115.3 107.0 0.51930 123.2 122.0 -1.01940 131.7 135.9 3.21950 150.7 148.2 -1.71960 179.3 158.8 -11.41970 204.0 167.6 -17.81980 226.5 （2）由這個線性常系數(shù)微分方程容易解出 （3）表明人口將按指數(shù)規(guī)律無限增長。 將t以年離散化，(3)式表明，人口以為公比的等比數(shù)列增長。因為這時表示年增長率，通常，所以可用近似關(guān)系將（3）式寫作 （4）(1)式與(4)式比較可知，前面給出的預(yù)報公式(1) 不過是指數(shù)增長模型離散形式的近似表示。 由(3)（或(2)）式給出的模型，與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以很好地吻合。一些人口增長率長期穩(wěn)定不變的國家和地區(qū)用這個模型進(jìn)行預(yù)報，結(jié)果也令人滿意。但是當(dāng)人們用19世紀(jì)以后 (表4-1 美國的實(shí)際人口與按兩種模型計算的人口的比較)許多國家的人口統(tǒng)計資料與指數(shù)增長模型比較時，卻發(fā)現(xiàn)了相當(dāng)大的差異。表4-1列出了美國19世紀(jì)、20 世紀(jì)的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)與這個模型的比較結(jié)果。表中第3列是用（3）式計算的結(jié)果，其中為1970年的實(shí)際人口，以10年為單位，10年增長率是由和1800年的實(shí)際人口，用（3）式確定出來的。顯然，用這個模型預(yù)報的結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了實(shí)際人口的增長。引起誤差的原因是10年增長率估計過高。 按表中第2列給出的實(shí)際人口可以算出，19世紀(jì)100年和20世紀(jì)前80年的10年增長率分別是0.266和0.137，遠(yuǎn)小于1790到1800年的增長率0.307。這個事實(shí)對是常數(shù)的基本假設(shè)提出了異議。人們還發(fā)現(xiàn)，在地大人稀的加拿大領(lǐng)土上，法國移民后代的人口比較符合指數(shù)增長模型，而同一血統(tǒng)的法國本土居民人口的增長卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于這個模型。 產(chǎn)生上述現(xiàn)象的主要原因是，隨著人口的增加，自然資源、環(huán)境條件等因素對人口繼續(xù)增長的阻滯作用越來越顯著。如果當(dāng)人口較少時（相對于資源而言）人口增長率還可以看作常數(shù)的話，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量后，增長率就會隨著人口的繼續(xù)增加而減少。許多國家人口增長的實(shí)際情況完全證實(shí)了這點(diǎn)。讀者不妨利用表4-1第2列給出的數(shù)據(jù)計算一下美國人口每10年的增長率，可以知道大致是逐漸下降的。當(dāng)然，由于從歐洲大批移民或戰(zhàn)爭的影響，人口的增長率會有些波動。 看來為了使人口預(yù)報特別是長期預(yù)報更好地符合實(shí)際情況，必須修改指數(shù)增長模型關(guān)于人口增長率是常數(shù)這個基本假設(shè)了。 阻滯增長模型（Logistic模型） 將增長率表示為人口的函數(shù)，按照前面的分析應(yīng)是的減函數(shù)。一個最簡單的假定是設(shè)為的線性函數(shù)，這里相當(dāng)于時的增長率，稱固有增長率。它與指數(shù)模型中的增長率不同（雖然用了相同的符號）。顯然對于任意的增長率。為了確定系數(shù)的意義，引入自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量，稱最大人口容量。當(dāng)時增長率應(yīng)為零，即，由此確定。人口增長率函數(shù)可以表示為 （5）其中是根據(jù)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)或經(jīng)驗確定的常數(shù)。因子體現(xiàn)了對人口增長的阻滯作用。（5）式的另一種解釋是，增長率與人口尚未實(shí)現(xiàn)部分（對最大容量而言）的比例成正比，比例系數(shù)為固有增長率。 在（5）式的假設(shè)下指數(shù)增長模型（2）應(yīng)修改為 （6）稱為阻滯增長模型。非線性微分方程(6)可用分離變量法求解，結(jié)果為 （7）x0圖4-1中根據(jù)(6)、(7)兩式畫出了，和曲線。是一條拋物線，它表明 xm xm/2 O xm/2 xm x O t 圖4-1阻滯增長模型的曲線人口增長率隨著人口數(shù)量的增加而先增后減，在處達(dá)到最大值。是一條型曲線，拐點(diǎn)在，當(dāng)。本世紀(jì)初人們曾用這個模型預(yù)報美國的人口。為了與指數(shù)增長模型比較，我們將計算結(jié)果放在表4-1的第五列中。計算時仍是1790年的人口，而r0.31和則是用18001930年的實(shí)際數(shù)據(jù)，擬合出形如（5）式的線性函數(shù)后確定的。從表中數(shù)字可以看到，直到1930年計算結(jié)果都能與實(shí)際數(shù)據(jù)較好地吻合，后來的誤差越來越大，一個明顯的原因是到1960年美國的實(shí)際人口已經(jīng)突破了用過去數(shù)據(jù)確定的最大人口容量。由此看來，這個模型的缺點(diǎn)之一是不易準(zhǔn)確