2015-2016年小學三年級數(shù)學奧林匹克基礎教程全冊

小學奧數(shù)基礎教程（三年級） - 1 - 2015-2016 年小學三年級數(shù)學奧林匹克基礎教程全冊 第 1 講 加減法的巧算 第 2 講 橫式數(shù)字謎 (一 ) 第 3 講 豎式數(shù)字謎 (一 ) 第 4 講 豎式數(shù)字謎 (二 ) 第 5 講 找 規(guī)律 (一 ) 第 6 講 找規(guī)律 (二 ) 第 7 講 加減法應用題 第 8 講 乘除法應用題 第 9 講 平均數(shù) 第 10 講 植樹問題 第 11 講 巧數(shù)圖形 第 12 講 巧求周長 第 13 講 火柴棍游戲 (一 ) 第 14 講 火柴棍游戲 (二 ) 第 15 講 趣題巧解 第 16 講 數(shù)陣圖 (一 ) 第 17 講 數(shù)陣圖 (二 ) 第 18 講 能被 2， 5 整除的數(shù)的特征 第 19 講 能被 3 整除的數(shù)的特征 第 20 講 乘、除法的運算律和性質(zhì) 第 21 講 乘法中的巧算 第 22 講 橫式數(shù)字謎 (二 ) 第 23 講 豎式數(shù)字謎 (三 ) 第 24 講 和倍應用題 第 25 講 差倍應用題 第 26 講 和差應用題 第 27 講 巧用矩形面積公式 第 28 講 一筆畫 (一 ) 第 29 講 一筆畫 (二 ) 第 30 講 包含與排除 小學奧數(shù)基礎教程（三年級） 2 小學奧數(shù)基礎教程（三年級） - 3 - 第 2 講 橫式數(shù)字謎 (一 ) 在一個數(shù)學式子 (橫式或豎式 )中擦去部分數(shù)字，或用字母、文字來代替部分數(shù)字的不完整的算式或豎式，叫做數(shù)字謎題目。解數(shù)字謎題就是求出這些被擦去 的數(shù)或用字母、文字代替的數(shù)的數(shù)值。 例如，求算式 324+ =528 中所代表的數(shù)。 根據(jù)“加數(shù) =和 -另一個加數(shù)”知， =582-324 258。 又如，求右豎式中字母 A， B 所代表的數(shù)字。顯然個位數(shù)相減時必須借位，所以，由 12-B 5 知， B 12-5 7；由 A-1 3 知， A 3 1 4。 解數(shù)字謎問題既能增強數(shù)字運用能力，又能加深對運算的理解，還是培養(yǎng)和提高分析問題能力的有效方法。 這一講介紹簡單的算式 (橫式 )數(shù)字謎的解法。 解橫式數(shù)字謎，首先要熟知下面的運算規(guī)則： (1)一個加數(shù) +另一 個加數(shù) =和； (2)被減數(shù) -減數(shù) =差； (3)被乘數(shù)乘數(shù) =積； (4)被除數(shù)除數(shù) =商。 由它們推演還可以得到以下運算規(guī)則： 由 (1)，得 和 -一個加數(shù) =另一個加數(shù)； 其次，要熟悉數(shù)字運算和拆分。例如， 8 可用加法拆分為 8 0 8 1 7 2 6 3 5 4 4； 24 可用乘法拆分為 24 1 24=2 12 3 8 4 6(兩個數(shù)之積 ) =1 2 12 2 2 6= (三個數(shù)之積 ) =1 2 2 6 2 2 2 3= (四個數(shù)之積 ) 例 1 下列算式中， *各 代表什么數(shù)？ (1) +5 13-6； (2)28- 15 7； (3)3 =54； (4) 3 87； (5)56 * 7。 解： (1)由加法運算規(guī)則知， =13-6-5 2； (2)由減法運算規(guī)則知， 28-(15 7) 6； (3)由乘法運算規(guī)則知， 54 3 18； (4)由除法運算規(guī)則知， =87 3 261； (5)由除法運算規(guī)則知， * 56 7 8。 例 2 下列算式中，各代表什么數(shù)？ (1) + + =48； (2) 6 21-； (3)5 -18 6 12； (4)6 3-45 13。 解： (1)表示一個數(shù)，根據(jù)乘法的意義知， + + = 3， 故 =48 3 16。 (2)先把左端 ( 6)看成一個數(shù)，就有 ( 6) 21， 3 21-6， 15 3 5。 (3)把 5， 18 6 分別看成一個數(shù)，得到 5 =12 18 6， 5 =15， =15 5 3。 (4)把 6 3， 45分別看成一個數(shù)，得到 45 6 3-13， 45 5， 45 5 9。 例 3(1)滿足 58 12 71 的整數(shù)等于幾？ (2)180是由哪四個不同的且大于 1的數(shù)字相乘得到的？試把這四個數(shù)按從小到大的次序填在下式的里。 180=。 (3)若數(shù)，滿足 =48 和 =3， 則，各等于多少？ 分析與解： (1)因為 58 12 4 10， 71 12 5 11， 并且為整數(shù)，所以，只有 =5 才滿足原式。 (2)拆分 180 為四個整數(shù)的乘積有很多種方法，如 180 1 4 5 90 1 2 3 30 但拆分成四個“大于 1”的數(shù)字的乘積 ，范圍就縮小了，如 180 2 2 5 9 2 3 5 6 若再限制拆分成四個“不同的”數(shù)字的乘積，范圍又縮小了。按從小到大的次序排列只有下面一種： 180 2 3 5 6。 所以填的四個數(shù)字依次為 2， 3， 5， 6。 (3)首先，由 =3 知，因此，在把 48 拆分為兩數(shù)的乘積時，有 48 48 1 24 2 16 3 12 4 8 6， 其中，只有 48 12 4 中， 12 4=3，因此 =12， =4。 這道題還可以這樣 解： 由 =3 知， = 3。把 =48 中的換成 3，就有 ( 3) 48， 于是得到 =48 3 16。因為 16 4 4，所以 =4。再把 = 3 中的換成 4，就有 = 3=4 3=12。 這是一種“代換”的思想，它在今后的數(shù)學學習中應用十分廣泛。 下面，我們再結合例題講一類“填運算符號”問題。 例 4 在等號左端的兩個數(shù)中間添加上運算符號，使下列各式成立： (1)4 4 4 4 24； (2)5 5 5 5 5=6。 小學奧數(shù)基礎教程（三年級） - 4 - 解： (1)因為 4 4 4 4 24，所以必須填一個“”。4 4 16，剩下的兩個 4 只需 湊成 8，因此，有如下一些填法： 4 4 4 4 24； 4 4 4 4 24； 4 4 4 4 24。 (2)因為 5+1=6，等號左端有五個 5，除一個 5 外，另外四個 5 湊成 1，至少要有一個“”，有如下填法： 5 5+5-5+5 6； 5 5 5 5-5 6； 5 5 5 5 5=6； 5 5 5 5 5 6。 由 例 4 看出，填運算符號的問題一般會有多個解。這些填法都是通過對問題的綜合觀察、分析和試算得到的，如果只是盲目地“試算”，那么就可能走很多彎路。 例 5 在下式的兩數(shù)中間添 上四則運算符號，使等式成立： 8 2 3 3 3。 分析與解： 首先考察右端“ 3 3”，它有四種填法： 3+3 6； 3-3 0； 3 3 9； 3 3=1。 再考察左端“ 8 2 3”，因為只有一個奇數(shù) 3，所以要想得到奇數(shù)， 3 的前面只能填“”或“ -”，要想得到偶數(shù)， 3 的前面只能填“”。經(jīng)試算，只有兩種符合題意的填法： 8-2 3 3 3； 8 2-3 3 3。 填運算符號可加深對四則運算的理解和認識，也是培養(yǎng)分析能力的好內(nèi)容。 練習 2 1.在下列各式中，分別代表什么數(shù)？ +16 35； 47- =12； -3 15； 4 =36； 4=15； 84 =4。 2.在下列各式中，各代表什么數(shù)？ ( +350) 3=200； (54- ) 4 0； 360- 7 10； 4 9- 5=1。 3.在下列各式中，各代表什么數(shù)？ 150- - =； ； 9 2 =22。 4.120 是由哪四個不同的一位數(shù)字相乘得到的？試把這四個數(shù)字按從小到大的次序填在下式的里： 120 。 5.若數(shù)，同時滿足 =36 和 - =5， 則，各等于多少？ 6.在兩數(shù)中間添加運算符號，使下列等式成立： (1)5 5 5 5 5 3； (2)1 2 3 4 1。 7.在下列各式的內(nèi)填上合適的運算符號，使等式成立： 12 4 4=10 3。 8.在下列各式的內(nèi)填上合適的運算符號，使等式成立： 123 45 67 89 100； 123 45 67 8 9 100； 123 4 5 67 89 100； 123 4 5 6 7 8 9 100； 12 3 4 5 67 8 9 100； 1 23 4 56 7 8 9 100； 12 3 4 5 6 7 89 100。 答案與提示 練習 2 1.略。 2. = 250， =54， = 50， =175。 3. =50， =0 或 2， = 2。 4.1 3 5 8 或 1 4 5 6 或 2 3 4 5。 5. =9， =4。 6.(1)5-5 5-5 5= 3； (2)1 2 3-4=1。 7.12 4 4=10-3 或 12 4 4=10 3。 8.123-45-67 89 100； 123 45 67 8 9 100； 123 4 5 67 89 100； 123 4 5 6 7 8 9 100； 12 3 4 5 67 8 9 100； 1 23 4 56 7 8 9=100； 12-3-4 5-6 7 89 100。 第 3 講 豎式數(shù)字謎 (一 ) 這一講主要講加、減法豎式的數(shù)字謎問題。解加、減法數(shù)字謎問題的基本功，在于掌握好上一講中介紹的運算規(guī)則 (1)(2)及其推演的變形規(guī)則，另外還要掌握數(shù)的加、減的“拆分”。關鍵是通過綜合觀察、 分析，找出解題的“突破口”。題目不同，分析的方法不同，其“突破口”也就不同。這需要通過不斷的“學”和“練”，逐步積累知識和經(jīng)驗，總結提高解題能力。 例 1 在右邊的豎式中， A， B， C， D 各代表什么數(shù)字？ 解： 顯然， C=5， D=1(因兩個數(shù) 字之和只能進一位 )。 由于 A 4 1即 A 5的個位數(shù)為 3，且必進一位 (因為 4 3)，所以 A 5=13，從而 A 13-5=8。 同理，由 7 B 1=12，即 B 8 12，得到 B 12-8 4。 故所求的 A=8， B=4， C=5， D=1。 例 2 求下面各豎式 中兩個加數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和： 分析與解： (1)由于和的個位數(shù)字是 9，兩個加數(shù)的個位數(shù)字之和不大于 9 9 18，所以兩個加數(shù)的個位上的兩個方框里的數(shù)字之和只能是 9。 (這是“突破口” ) 小學奧數(shù)基礎教程（三年級） - 5 - 再由兩個加數(shù)的個位數(shù)之和未進位，因而兩個加數(shù)的十位數(shù)字之和就是 14。 故這兩個加數(shù)的四個數(shù)字之和是 9 14=23。 (2)由于和的最高兩位數(shù)是 19，而任何兩個一位數(shù)相加的和都不超過 18，因此，兩個加數(shù)的個位數(shù)相加后必進一位。 (這是“突破口”，與 (1)不同 ) 這樣，兩個加數(shù)的個位數(shù)字相加之和是 15，十位數(shù)字相加之 和是 18。 所求的兩個加數(shù)的四個數(shù)字之和是 15 18 33。 注意： (1)(2)兩題雖然題型相同，但兩題的“突破口”不同。 (1)是從和的個位著手分析， (2)是從和的最高兩位著手分析。 例 3 在下面的豎式中， A， B， C， D， E 各代表什么數(shù)？ 分析與解： 解減法豎式數(shù)字謎，與解加法豎式數(shù)字謎的分析方法一樣，所不同的是“減法”。 首先，從個位減起 (因已知差的個位是 5)。 4 5，要使差的個位為 5，必須退位，于是，由 14-D 5 知，D=14-5 9。 (這是“突破口” ) 再考察十位數(shù)字相減：由 B-1-0 9 知，也要在百位上退位，于是有 10 B-1-0 9，從而 B 0。 百位減法中，顯然 E=9。 千位減法中，由 10 A-1-3 7 知， A 1。 萬位減法中，由 9-1-C 0知， C 8。 所以， A 1， B 0， C 8， D 9， E 9。 例 4 在下面的豎式中，“車”、“馬”、“炮”各代表一個不同的數(shù)字。請把這個文字式寫成符合題意的數(shù)字式。 分析與解：例 3 是從個位著手分析，而這里就只能從首位著手分析。 由一個四位數(shù)減去一個三位數(shù)的差是三位數(shù)知，“炮” 1。 被減數(shù)與減數(shù)的百位數(shù)相同，其相減又是 退位相減，所以，“馬” 9。至此，我們已得到下式： 由上式知，個位上的運算也是退位減法，由 11-“車”=9 得到“車” 2。 因此，符合題意的數(shù)字式為： 例 5 在右邊的豎式中，“巧，填，式，謎”分別代表不同的數(shù)字，它們各等于多少？ 解： 由 (4謎 )的個位數(shù)是 0 知，“謎” 0 或 5。 當“謎” 0 時， (3式 )的個位數(shù)是 0，推知“式” 0，與“謎”“式”矛盾。 當“謎” 5 時，個位向十位進 2。 由 (3式 +2)的個位數(shù)是 0知，“式” 6，且十位要向百位進 2。 由 (2填 +2)的個位數(shù)是 0，且不能向千位進 2 知，“填” 4。 最后推知，“巧” 1。 所以“巧” 1，“填” 4，“式” =6，“謎” 5。 練習 3 1.在下列各豎式的中填上適當?shù)臄?shù)字，使豎式成立： 2.下列各豎式中，里的數(shù)字被遮蓋住了，求各豎式中被蓋住的各數(shù)字的和： 3.在下列各豎式的中填入合適的數(shù)字，使豎式成立： 4.下式中不同的漢字代表 1 9中不同的數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字。這個豎式的和是多少？ 5.在下列各豎式的中填入合適的數(shù)字，使豎式成立： 答案與提示 練習 3 1. (1) 764 265=1029； (2) 981 959=1940； (3) 99 903 1002； (4) 98 97 923 1118。 2.(1) 28； (2) 75。 3.(1) 23004-18501 4503； (2) 1056-989 67；(3) 24883-16789=8094； (4) 9123-7684=1439。 4.987654321。 5.提示：先解上層數(shù)謎，再解下層數(shù)謎。 第 4 講 豎式數(shù)字謎 (二 ) 本講只限于乘數(shù)、除數(shù)是一位數(shù)的乘、除法豎式數(shù)字謎問題。 掌握好乘、除法的基本運算規(guī)則 (第 2 講的公式(3)(4)及推演出的變形式子 )是解乘、除法豎式謎的基礎。根據(jù)題目結構形式，通過綜合觀察、分析，找出“突破口”是解題的關鍵。 例 1 在左下乘法豎式的中填入合適的數(shù)字，使豎式成立。 分析與解： 由于積的個位數(shù)是 5，所以在乘數(shù)和被乘數(shù)的個位數(shù)中，一個是 5，另一個是奇數(shù)。因為乘積大于被乘數(shù)的 7倍，所以乘數(shù)是大于 7的奇數(shù)，即只能是 9(這是問題的“突破口” )，被乘數(shù)的個位數(shù)是 5。 因為 7 9 70 8 9，所以，被乘數(shù)的百位數(shù)字只能是 7。至此，求出被乘數(shù)是 785，乘數(shù)是 9(見右上式 )。 例 2 在右邊乘法豎式的里填入合適的數(shù)字，使豎式成立。 分析與解： 由于乘積的數(shù)字不全，特別是不知道乘積的個位數(shù)，我們只能從最高位入手分析。 乘積的最高兩位數(shù)是 2，被乘數(shù)的最高位是 3，由 小學奧數(shù)基礎教程（三年級） - 6 - 可以確定乘數(shù)的大致范圍，乘數(shù)只可能是 6， 7， 8，9。到底是哪一個呢？我們只能逐一進行試算： (1)若乘數(shù)為 6，則積的個位填 2，并向十位進 4，此時，乘數(shù) 6 與被乘數(shù)的十位上的數(shù)字相乘之積的個位數(shù)只能是 5(因 4+5=9)。這樣一來，被乘數(shù)的十位上就無數(shù)可填了。這說明乘數(shù)不能是 6。 (2)若乘數(shù)為 7，則積的個位填 9，并向十位進 4。與 (1)分 析相同，為使積的十位是 9，被乘數(shù)的十位只能填 5，從而積的百位填 4。得到符合題意的填法如右式。 (3)若乘數(shù)為 8，則積的個位填 6，并向十位進 5。為使積的十位是 9，被乘數(shù)的十位只能填 3 或 8。 當被乘數(shù)的十位填 3 時，得到符合題意的填法如右式。當被乘數(shù)的十位填 8 時，積的最高兩位為 3，不合題意。 (4)若乘數(shù)為 9，則積的個位填 3，并向十位進 6。為使積的十位是 9，被乘數(shù)的十位只能填 7。而此時，積的最高兩位是 3 ，不合題意。 綜上知，符合題意的填法有上面兩種。 除法豎式數(shù)字謎問題的解法與乘法情形類似。 例 3 在左下邊除法豎式的 中填入適當?shù)臄?shù)，使豎式成立。 分析與解： 由 48 8=6即 8 6=48 知，商的百位填 6，且被除數(shù)的千位、百位分別填 4， 8。又顯然，被除數(shù)的十位填 1。由 1 =商的個位 8 知，兩位數(shù) 1能被 8 除盡，只有 16 8=2，推知被除數(shù)的個位填 6，商的個位填 2。填法如右上式。 例 3 是從最高位數(shù)入手分析而得出解的。 例 4 在右邊除法豎式的中填入合 適的數(shù)字。使豎式成立。 分析與解： 從已知的幾個數(shù)入手分析。 首先，由于余數(shù)是 5，推知除數(shù) 5，且被除數(shù)個位填 5。 由于商 4 時是除盡了的，所以，被除數(shù)的十位應填2，且由于 3 4=12， 8 4=32，推知，除數(shù)必為 3 或 8。由于已經(jīng)知道除數(shù) 5，故除數(shù) =8。 (這是關鍵！ ) 從 8 4=32 知，被除數(shù)的百位應填 3，且商的百位應填 0。 從除 數(shù)為 8，第一步除法又出現(xiàn)了 4， 8 8=64， 8 3=24，這說明商的千位只能填 8 或 3。試算知， 8 和 3都可以。所以，此題有下面兩種填法。 練習 4 1.在下列各豎式的里填上合適的數(shù)： 2.在右式中，“我”、“愛”、“數(shù)”、“學”分別代表什么數(shù)時，乘法豎式成立？ 3.“我”、“們”、“愛”、“祖”、“國”各代表一個不同的數(shù)字，它 們各等于多少時，右邊的乘法豎式成立？ 4.在下列各除法豎式的里填上合適的數(shù)，使豎式成立： 5.在下式的里填上合適的數(shù)。 小學奧數(shù)基礎教程（三年級） - 7 - 答案與提示 練習 4 1.(1) 7865 7 55055； (2)2379 8= 19032 或 7379 8= 59032。 2.“我” 5，“愛” =1，“數(shù)” =7，“學” =2。 3.“我”、“們”、“愛”、“祖”、“國”分別代表 8， 7， 9， 1， 2。 4.(1) 5607 7=801； (2) 822 3=274。 5. 第 5 講 找規(guī)律 (一 ) 這一講我們先介紹什 么是“數(shù)列”，然后講如何發(fā)現(xiàn)和尋找“數(shù)列”的規(guī)律。 按一定次序排列的一列數(shù)就叫數(shù)列。例如， (1) 1， 2， 3， 4， 5， 6， (2) 1， 2， 4， 8， 16， 32； (3) 1， 0， 0， 1， 0， 0， 1， (4) 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13。 一個數(shù)列中從左至右的第 n 個數(shù)，稱為這個數(shù)列的第 n 項。如，數(shù)列 (1)的第 3 項是 3，數(shù)列 (2)的第 3 項是 4。一般地，我們將數(shù)列的第 n 項記作 an。 數(shù)列中的數(shù)可以是有限多個，如數(shù)列 (2)(4)，也可以是無限多個，如數(shù)列 (1)(3)。 許多數(shù)列中的數(shù)是按一定 規(guī)律排列的，我們這一講就是講如何發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。 數(shù)列 (1)是按照自然數(shù)從小到大的次序排列的，也叫做自然數(shù)數(shù)列，其規(guī)律是：后項 =前項 +1，或第 n項 an n。 數(shù)列 (2)的規(guī)律是：后項 =前項 2，或第 n 項 數(shù)列 (3)的規(guī)律是：“ 1， 0， 0”周而復始地出現(xiàn)。 數(shù)列 (4)的規(guī)律是：從第三項起，每項等于它前面兩項的和，即 a3=1+1=2， a4=1+2=3， a5=2+3 5， a6=3+5=8， a7=5+8=13。 常見的較簡單的數(shù)列規(guī)律有這樣幾類： 第一類是數(shù)列各項只與它的項數(shù)有關， 或只與它的前一項有關。例如數(shù)列 (1)(2)。 第二類是前后幾項為一組，以組為單元找關系才可找到規(guī)律。例如數(shù)列 (3)(4)。 第三類是數(shù)列本身要與其他數(shù)列對比才能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。這類情形稍為復雜些，我們用后面的例 3、例 4 來作一些說明。 例 1 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在 ( )內(nèi)填上合適的數(shù)： (1)4， 7， 10， 13， ( )， (2)84， 72， 60， ( )， ( )； (3)2， 6， 18， ( )， ( )， (4)625， 125， 25， ( )， ( )； (5)1， 4， 9， 16， ( )， (6)2， 6， 12， 20， ( )， ( )， 解： 通過對已知的幾個數(shù)的前后兩項的觀察、分析，可發(fā)現(xiàn) (1)的規(guī)律是：前項 +3=后項。所以應填 16。 (2)的規(guī)律是：前項 -12=后項。所以應填 48， 36。 (3)的規(guī)律是：前項 3=后項。所以應填 54， 162。 (4)的規(guī)律是：前項 5=后項。所以應填 5， 1。 (5)的規(guī)律是：數(shù)列各項依次為 1=1 1， 4=2 2， 9=3 3， 16=4 4， 所以應填 5 5=25。 (6)的規(guī)律是：數(shù)列各項依次為 2=1 2， 6=2 3， 12=3 4， 20=4 5， 所以，應填 5 6=30， 6 7=42。 說明：本例中各數(shù)列的每一項都只與它的項數(shù)有關，因此 an可以用 n 來表示。各數(shù)列的第 n 項分別可以表示為 (1)an 3n+1； (2)an 96-12n； (3)an 2 3n-1； (4)an 55-n； (5)an n2； (6)an n(n+1)。 這樣表示的好處在于，如果求第 100 項等于幾，那么不用一項一項地計算，直接就可以算出來，比如數(shù)列(1)的第 100 項等于 3 100+1=301。本例中，數(shù)列 (2)(4)只有 5 項，當然沒有必要計算大于 5 的項數(shù)了。 例 2 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在 ( )內(nèi)填上合適的數(shù)： (1)1， 2， 2， 3， 3， 4， ( )， ( )； (2)( )， ( )， 10， 5， 12， 6， 14， 7； (3) 3， 7， 10， 17， 27， ( )； (4) 1， 2， 2， 4， 8， 32， ( )。 解： 通過對各數(shù)列已知的幾個數(shù)的觀察分析可得其規(guī)律。 (1)把數(shù)列每兩項分為一組， 1， 2， 2， 3， 3， 4，不難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是：前一組每個數(shù)加 1 得到后一組數(shù)，所以應填 4， 5。 (2)把后面已知的六個數(shù)分成三組： 10， 5， 12， 6， 14，7，每組中兩數(shù)的商都是 2，且由 5， 6， 7 的次序知，應填 8， 4。 小學奧數(shù)基礎教程（三年級） - 8 - (3)這個數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項的和等于后面一項，故應填 ( 17+27=)44。 (4)這個數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項的乘積等于后面一項，故應填 (8 32=)256。 例 3 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在 ( )內(nèi)填上合適的數(shù)： (1)18， 20， 24， 30， ( )； (2)11， 12， 14， 18， 26， ( )； (3)2， 5， 11， 23， 47， ( )， ( )。 解： (1)因 20-18=2， 24-20=4， 30-24=6，說明 (后項 -前項 )組成一新數(shù)列 2， 4， 6，其規(guī)律是“ 依次加 2”，因為 6 后面是 8，所以， a5-a4=a5-30=8，故 a5=8+30=38。 (2)12-11=1， 14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，組成一新數(shù)列 1， 2， 4， 8，按此規(guī)律， 8 后面為 16。因此， a6-a5 a6-26=16，故 a6 16+26=42。 (3)觀察數(shù)列前、后項的關系，后項 =前項 2+1，所以 a6=2a5+1 2 47+1 95， a7 2a6+1 2 95+1=191。 例 4 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在 ( )內(nèi)填上合適的數(shù)： (1)12， 15， 17， 30， 22， 45， ( )， ( )； (2) 2， 8， 5， 6， 8， 4， ( )， ( )。 解： (1)數(shù)列的第 1， 3， 5，項組成一個新數(shù)列 12，17， 22，其規(guī)律是“依次加 5”， 22 后面的項就是27；數(shù)列的第 2， 4， 6，項組成一個新數(shù)列 15， 30，45，其規(guī)律是“依次加 15”， 45 后面的項就是 60。故應填 27， 60。 (2)如 (1)分析，由奇數(shù)項組成的新數(shù)列 2， 5， 8，中，8 后面的數(shù)應為 11；由偶數(shù)項組成的新數(shù)列 8， 6， 4， 中， 4 后面的數(shù)應為 2。故應填 11， 2。 練習 5 按其規(guī)律在下 列各數(shù)列的 ( )內(nèi)填數(shù)。 1.56， 49， 42， 35， ( )。 2.11， 15， 19， 23， ( )， 3.3， 6， 12， 24， ( )。 4.2， 3， 5， 9， 17， ( )， 5.1， 3， 4， 7， 11， ( )。 6.1， 3， 7， 13， 21， ( )。 7.3， 5， 3， 10， 3， 15， ( )， ( )。 8.8， 3， 9， 4， 10， 5， ( )， ( )。 9.2， 5， 10， 17， 26， ( )。 10.15， 21， 18， 19， 21， 17， ( )， ( )。 11.數(shù)列 1， 3， 5， 7， 11， 13， 15， 17。 (1)如果其中缺少一個數(shù)，那么這個數(shù)是幾？應補在何處？ (2)如果其中多了一個數(shù)，那么這個數(shù)是幾？為什么？ 答案與提示 練習 5 1.28。 2.27。 3.48。 4.33。提示：“后項 -前項”依次為 1， 2， 4， 8，16， 5.18。提示：后項等于前兩項之和。 6.31。提示：“后項 -前項”依次為 2， 4， 6， 8，10。 7.3， 20。 8.11， 6。 9.37。 提示： an=n2+1。 10. 24， 15。提示：奇數(shù)項為 15， 18， 21， 24；偶數(shù)項為 21， 19， 17， 15。 11.(1)缺 9，在 7 與 11 之間； (2)多 15，因為除 15以外都不是合數(shù)。 第 6 講 找規(guī)律 (二 ) 這一講主要介紹如何發(fā)現(xiàn)和尋找圖形、數(shù)表的變化規(guī)律。 例 1 觀察下列圖形的變化規(guī)律，并按照這個規(guī)律將第四個圖形補充完整。 分析與解： 觀察前三個圖，從左至右，黑點數(shù)依次為 4，3， 2 個，并且每 個圖形依次按逆時針方向旋轉 90，所以第四個圖如右圖所示。 觀察圖形的變化，主要從各圖形的形狀、方向、數(shù)量、大小及各組成部分的相對位置入手，從中找出變化規(guī)律。 例 2 在下列各組圖形中尋找規(guī)律，并按此規(guī)律在“？”處填上合適的數(shù)： 解： (1)觀察前兩個圖形中的數(shù)可知，大圓圈內(nèi)的數(shù)等于三個小圓圈內(nèi)的數(shù)的乘積的一半，故 小學奧數(shù)基礎教程（三年級） - 9 - 第三個圖形中的“？” =5 3 8 2=60； 第四個圖形中的“？” =(21 2) 3 2=7。 (2)觀察前兩個圖形中的已知數(shù)，發(fā)現(xiàn)有 10=8+5-3， 8=7+4-3， 即三角形里 面的數(shù)的和減去三角形外面的數(shù)就是中間小圓圈內(nèi)的數(shù)。故 第三個圖形中的“？” =12+1-5=8； 第四個圖形中的“？” =7+1-5=3。 例 3 尋找規(guī)律填數(shù)： 解： (1)考察上、下兩數(shù)的差。 32-16=16， 31-15=16，33-17=16，可知，上面那個“？” =35-16=19，下面那個“？” =18+16=34。 (2)從左至右， 一上一下地看，由 1， 3， 5，？， 9，知， 12 下面的“？” =7；一下一上看，由 6， 8， 10， 12，？，知， 9 下面的“？” =14。 例 4 尋找規(guī)律在空格內(nèi)填數(shù)： 解： (1)因為前兩圖中的三個數(shù)滿足： 256=4 64， 72=6 12， 所以，第三圖中空格應填 12 15=180；第四圖中空格應填 169 13=13。第五圖中空格應填 224 7=32。 (2)圖中下面一行的數(shù)都是上一行對應數(shù)的 3 倍，故 43下面應填 43 3=129； 87 上面應填 87 3=29。 例 5 在下列表格中尋找規(guī)律，并求出“？”： 解： (1)觀察每行中兩邊的數(shù)與中間的數(shù)的關系，發(fā)現(xiàn)3+8=11， 4+2=6，所以，？ =5+7=12。 (2)觀察每列中三數(shù)的關系，發(fā)現(xiàn) 1+3 2=7， 7+2 2=11，所以，？ =4+5 2=14。 例 6 尋找規(guī)律填數(shù)： (1) (2) 解： (1)觀察其規(guī)律知 (2)觀察其規(guī)律知： 觀察比較圖形、圖表、數(shù)列的變化，并能從圖形、數(shù)量間的關系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律 ，這種能力對于同學們今后的學習將大有益處。 練習 6 尋找規(guī)律填數(shù)： 小學奧數(shù)基礎教程（三年級） - 10 - 6.下圖中第 50 個圖形是還是？ 答案與提示 練習 6 1.5。提 示：中間數(shù) =兩腰數(shù)之和底邊數(shù)。 2.45； 1。提示：中間數(shù) = 周圍三數(shù)之和 3。 3.(1)13。提示：中間數(shù)等于兩邊數(shù)之和。 (2)20。提示：每行的三個數(shù)都成等差數(shù)列。 4.橫行依次為 60， 65， 70， 75， 325； 豎行依次為 40， 65， 90， 115， 325。 5.14。提示： (23 5) 2=14。 6.。 7. 714285； 857142。 8. 8888886； 9876543 9。 9.36。提示：等于加式中心數(shù)的平方。 第 7 講 加減法應用題 用數(shù)學方法解決人們生活和工作中的實際問題就產(chǎn)生了通常所說的“應用題”。 應用題由已知的“條件”和未知的“問題”兩部分構成，而且給出的已知條件應能保證求出未知的問題。 這一講主要介紹利用加、減法解答的簡單應用題。 例 1 小玲家養(yǎng)了 46 只鴨子， 24 只雞，養(yǎng)的雞和鵝的總只數(shù)比養(yǎng)的鴨多 5 只。小玲家養(yǎng)了多少只鵝？ 解： 將已知條件表示為下圖： 表示為算式是： 24+？ =46+5。由此可求得養(yǎng)鵝 (46+5)-24=27(只 )。 答：養(yǎng)鵝 27 只。 若例 1 中雞和鵝的總數(shù)比鴨少 5 只 (其它不變 )，則已知條件可表示為下圖， 表示為算式是： 24+？ +5=46。由此可求得養(yǎng)鵝 46-5-24=17(只 )。 例 2 一個筐里裝著 52 個蘋果，另一個筐里裝著一些梨。如 果從梨筐里取走 18 個梨，那么梨就比蘋果少 12 個。原來梨筐里有多少個梨？ 分析：根據(jù)已知條件，將各種數(shù)量關系表示為下圖。 有幾種思考方法： (1)根據(jù)取走 18 個梨后，梨比蘋果少 12 個，先求出梨筐里現(xiàn)有梨 52-12=40(個 )，再求出原有梨 (52-12)+18=58(個 )。 (2)根據(jù)取走 18 個梨后梨比蘋果少 12 個，我們設想“少取 12 個”梨，則現(xiàn)有的梨和蘋果一樣多，都是 52 個。這樣就可先求出原有梨比蘋果多 18-12 6(個 )，再求出原有梨 52+(18-12)=58(個 )。 (3)根據(jù)取走 18 個梨后梨比蘋果少 12 個，我們設想不取走梨，只在蘋果筐里加入 18 個蘋果，這時有蘋果 52+18=70(個 )。 這樣一來，現(xiàn)有蘋果就比原來的梨多了 12 個 (見下圖 )。由此可求出原有梨 (52+18)-12=58(個 )。 由上面三種不同角度的分析，得到如下三種解法。 解法 1： (52-12)+18=58(個 )。 解法 2： 52+(18-12)=58(個 )。 解法 3： (52+18)-12=58(個 )。 答：原來梨筐中有 58 個梨。 例 3 某校三年級一班為歡迎“手拉手”小朋友們的到來，買了若干糖果。已知水果糖比小白兔軟糖多 15 塊，巧克力糖比水果糖多 28 塊。又知巧克力糖的塊數(shù)恰好是小白兔軟糖塊數(shù)的 2 倍。三年級一班共買了多少塊糖果？ 分析與解： 只要求出某一種糖的塊數(shù)，就可以 根據(jù)已知條件得到其它兩種糖的塊數(shù)，總共買多少就可求出。先求出哪一種糖的塊數(shù)最簡便呢？我們先把已知條件表示為下圖。 由上圖可求出， 小白兔軟糖塊數(shù) =15+28=43(塊 )， 水果糖塊數(shù) =43+15=58(塊 )， 巧克力糖塊數(shù) =43 2=86(塊 )。 糖果總數(shù) =43+58+86=187(塊 )。 答 :共買了 187 塊糖果。 小學奧數(shù)基礎教程（三年級） - 11 - 例 4 一口枯井深 230 厘米，一只蝸牛要從井底爬到井口處。它每天白天向上爬 110 厘米，而夜晚卻要向下滑 70厘米。這只蝸牛哪一個白天才能爬出井口？ 分析與解： 因蝸牛最后一個白天要向上爬 110 厘米，井深 230 厘米減去這 110 厘米后 (等于 120 厘米 )，就是蝸牛前幾天一共要向上爬的路程。 因為蝸牛白天向上爬 110厘米，而夜晚又向下滑 70厘米，所以它每天向上爬 110-70=40(厘米 )。 由于 120 40=3，所以， 120 厘米是蝸牛前 3 天一共爬的。故第 4 個白天蝸牛才能爬到井口。 若將例 4 中枯井深改為 240 厘米， 其它數(shù)字不變，這只蝸牛在哪個白天才能爬出井口？ (第 5 個白天 ) 練習 7 1.甲、乙、丙三人原各有桃子若干個。甲給乙 2 個，乙給丙 3 個，丙又給甲 5 個后，三人都有桃子 9 個。甲、乙、丙三人原來各有桃子多少個？ 2.三座橋，第一座長 287 米，第二座比第一座長 85米，第三座比第一座與第二座的總長短 142 米。第三座橋長多少米？ 3.(1)幼兒園小班有巧克力糖 40 塊，還有一些奶糖。分給小朋友奶糖 24 塊后，奶糖就比巧克力糖少了 10 塊。原有奶糖多少塊？ (2)幼兒園中班有巧克力糖 48 塊，還有一些奶糖。分給小朋友 奶糖 26 塊后，奶糖就只比巧克力糖多 18 塊。原有奶糖多少塊？ 4.一桶柴油連桶稱重 120 千克，用去一半柴油后，連桶稱還重 65 千克。這桶里有多少千克柴油？空桶重多少？ 5.一只蝸牛從一個枯水井底面向井口處爬，白天向上爬110 厘米，而夜晚向下滑 40 厘米，第 5 天白天結束時，蝸牛到達井口處。這個枯水井有多深？ 若第 5 天白天爬到井口處，這口井至少有多少厘米深？ (厘米以下的長度不計 ) 6.在一條直線上， A 點在 B 點的左邊 20 毫米處， C點在 D 點左邊 50 毫米處， D 點在 B 點右邊 40 毫米處。寫出這四點從左到右的次序。 7.(1)五個不同的數(shù)的和為 172，這些數(shù)中最小的數(shù)為 32，最大的數(shù)可以是多少？ (2)六個不同的數(shù)的和為 356，這些數(shù)中，最大的是68，最小的數(shù)可以是多少？ 答案與提示 練習 7 1.甲 6 個，乙 10 個，丙 11 個。 2.517 米。 解： 287 (287 85)- 142= 517(米 )。 3.(1)54 塊； (2)92 塊。 解： (1)40- 10 24= 54(塊 )； (2)48 18 26=92(塊 )。 4.110 千克， 10 千克。 解： 柴油 =(12 65) 2 110(千克 )， 空桶 =120-110=10(千克 )。 5.390 厘米； 321 厘米。 解： (110-40) 4 110=390(厘米 )； (110-40) 3 110 1=321(厘米 )。 6.A， C， B， D。 解： 如右圖所示。 7.(1)38； (2)26。 解： (1) 172- (32 33 34 35) 38； (2)356-(68 67 66 65 64) 26 第 8 講 乘除法應用題 本講向同學們介紹如何利用乘、除法解答簡單應用題。用乘、除法解應用題，首先要明確下面幾個關系，然后根據(jù)應用題中的已知條件，利用這些數(shù)量關系求解。 被乘數(shù)乘數(shù) =乘積，相同數(shù)個數(shù) =總數(shù)， 小數(shù)倍數(shù) =大數(shù)， 被除數(shù)除數(shù) =商，被除數(shù)商 =除數(shù)， 被除數(shù)除數(shù) =(不完全 )商余數(shù)。 例 1 學校開運動會，三年級有 86 人報名參加單項比賽，其他年級參加單項比賽的人數(shù)是三年級的 4 倍少 5 人。全校參加單項比賽的人數(shù)有多少人？ 分析：先求出其他年級參賽人數(shù)， 86 4-5 339(人 )， 再加上三年級參賽人數(shù)，就可求出全校參賽人數(shù)。 解： (86 4-5) 86 425(人 )。 答：全校參賽 425 人。 本題中全校參賽人數(shù)也可以看成是三年級參賽人數(shù)的 5 倍少 5 人，所以可列式為 86 5-5 425(人 )。 例 2 有 5 只猴子，其中 2 只各摘了 7 個桃子，另外 3 只各摘了 12 個桃子。把所有摘下的桃子平均分給這 5 只猴子，每只猴子能分到多少個桃子？ 解： 共摘桃子 7 2 12 3 50(個 )， 平均每只猴可分 50 5 10(個 )。 綜合算式 (7 2 12 3) 5 10(個 )。 答：每只猴子能分到 10 個桃。 例 3 小白兔上山采摘了許多蘑菇。它把這些蘑菇先平均分成 4 堆， 3 堆送給它的小朋友，自己留一堆。后來它又把留下的這一堆平均分成 3堆，兩堆送給別的小白兔，一堆自己吃。自己吃的這一堆有 5 個。它共采摘了多少個蘑菇？ 分析：我們從后向前分析。當分成 3 堆時，共有 5 3 15(個 )，這是分成 4 堆時每一堆的個數(shù)。所以，分成 4 堆時，共有 15 4 60(個 )。 解： (5 3) 4 15 4=60(個 )。 小學奧數(shù)基礎教程（三年級） - 12 - 答：共摘了 60 個蘑菇。 例 4 小 雨到奶奶家。如果來回都乘車，那么路上要用 20分鐘。如果去時乘車，回來時步行，那么一共要用 50分鐘。小雨步行回來用多少時間？ 分析：來回都乘車用 20 分，所以乘車單程所用的時間是 20 2=10(分 )。去時乘車回來時步行共用 50 分，減掉去時乘車用的 10 分，回來時步行用了 50-10 40(分 )。 解： 50-20 2=40(分 )。 答：步行回來用 40 分鐘。 例 5 師徒二人加工同樣的機器零件。師傅加工的個數(shù)是徒弟的 4 倍，其個數(shù)比徒弟多 54 個。師徒二人這天各加工了多少個零件？ 分析：如下圖所示，把徒弟加工的個數(shù)看成“ 1 份”，師傅加工的就是“ 4 份”，因而師傅比徒弟多 (4-1)份。由上圖可求得 1 份為 54 (4-1)=18(個 )，由此可求出師徒二人各加工了多少個零件。 解： 徒弟加工了 54 (4-1)=18(個 )， 師傅加工了 18 4 72(個 )。 答：徒弟加工了 18 個，師傅加工了 72 個。 解這類題的關鍵是分析出“ 54”是如何多出來的，即弄 明白用“倍數(shù) -1”來除它，所得的數(shù)代表什么。 例 6 工廠裝配四輪推車， 1 個車身要配 4 個車輪?，F(xiàn)在有 40 個車身， 70 個車輪。問：裝配出多少輛四輪推車后，剩下的車身和車輪的數(shù)量相等？ 分析： 1 個車身配 4 個車輪，即每裝配出一輛四輪推車，用的車輪數(shù)比車身數(shù)多 4-1=3(個 )。現(xiàn)在車輪比車身多 70-40 30(個 )，要把這 30 個車輪“消耗掉”，需裝配 30 3 10(輛 )四輪車。 解： (70-40) (4-1) 10(輛 )。 答：需裝配出 10 輛四輪推車。 練習 8 1.某項工作 3 人做需要 3個星期又 3 天，中間無 休息日，那么， 1 人單獨做這項工作需要多少天？ 2.賀林家養(yǎng)雞的只數(shù)是鵝的只數(shù)的 6 倍，鴨比鵝多8 只，鴨有 15 只。賀林家養(yǎng)了多少只雞？ 3.小敏買了一本書和一包糖。買一本書用了 3 元 6角，買糖用的錢數(shù)是買書所用錢數(shù)的 5 倍。她帶去的 50元錢還剩多少？ 4.小峰去老師家看望老師。如果往返都騎自行車，那么在路上要用 1 時 20 分。如果去時騎自行車，回來時步行，那么一共要用 2 時 30 分。小峰步行回來用多少時間？ 5.4 元錢能買西瓜 8 千克， 10 元錢能買多少西瓜？ 6.小蘭有 24 本書，小玲有 18 本書。小蘭要給小 玲幾本書，兩人的書才一樣多？ 7.小紅與小光買拼音本。小紅買了 12 本，小光買了8 本。小紅比小光多用 2 元 4角錢。每本多少錢？ 8.甲、乙兩輛汽車分別從同一車站出發(fā)，沿相反方向開去， 3 時共行 360 千米。甲的速度是乙的速度的 2倍。甲、乙的速度各是多少？ 9.甲、乙兩個糧庫共存糧 150 噸。甲庫運出 40 噸，乙?guī)爝\入 10 噸，這時甲庫存糧是乙?guī)齑婕Z的 2 倍。甲、乙糧庫原來存糧各多少？ 答案與提示 練習 8 1.72 天。 解： 3 (7 3 3)=3 24 72(天 )。 2.42 只。 解： (15-8) 6 42(只 )。 3.28 元 4 角。 解： 500 36 36 5 284(角 ) 28 元 4 角， 或 500 36 (5 1) 284(角 ) 28 元 4 角。 4.1 時 50 分。 解： (60 2 30) (60 20) 2 110(分 ) 1 時 50 分。 5.20 千克。 解： (8 4) 10=20(千克 )。 6.3 本。 解： (24-18) 2=3(本 )。 7.6 角。 解： 24 (12-8)=6(角 )。 8.甲 80 千米 /時，乙 40 千米