課標通用高考數學一輪復習第十一章11.2排列與組合學案理.docx

11.2排列與組合考綱展示1.理解排列與組合的概念2能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式3能利用排列組合知識解決簡單的實際問題考點1排列問題1.排列從n個不同元素中取出m(mn)個元素，_，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列答案：按照一定的順序排成一列2排列數從n個不同元素中取出m(mn)個元素的_叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，記作A.答案：所有不同排列的個數3排列數公式及性質公式A_性質(1)A_；(2)0！_備注n，mN*，且mn答案：n(n1)(n2)(nm1)(1)n!(2)1對排列的概念理解是否正確？(1)當元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列；元素完全不同或元素部分相同或元素相同而順序不同的排列，都不是同一個排列()(2)排列定義規(guī)定，給出的n個元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情況，也就是說，如果某個元素已被取出，則這個元素就不能再取了()答案：(1)(2)典題1(1)A，B，C，D，E，F六人圍坐在一張圓桌周圍開會，A是會議的中心發(fā)言人，必須坐在最北面的椅子上，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有()A60種 B48種 C30種 D24種答案B解析由題意知，不同的座次有AA48(種)(2)有A，B，C，D，E五位學生參加網頁設計比賽，決出了第一到第五的名次A，B兩位學生去問成績，老師對A說：“你的名次不知道，但肯定沒得第一名”又對B說：“你是第三名”請你分析一下，這五位學生的名次排列的種數為()A6 B18 C20 D24答案B解析由題意知，名次排列的種數為CA18.(3)3名女生和5名男生排成一排如果女生全排在一起，有多少種不同排法？如果女生都不相鄰，有多少種排法？如果女生不站兩端，有多少種排法？其中甲必須排在乙前面(可不相鄰)，有多少種排法？其中甲不站左端，乙不站右端，有多少種排法？解(捆綁法)由于女生排在一起，可把她們看成一個整體，這樣同五個男生合在一起有6個元素，排成一排有A種排法，而其中每一種排法中，三個女生間又有A種排法，因此共有AA4 320(種)不同排法(插空法)先排5個男生，有A種排法，這5個男生之間和兩端有6個位置，從中選取3個位置排女生，有A種排法，因此共有AA14 400(種)不同排法解法一(位置分析法)：因為兩端不排女生，只能從5個男生中選2人排列，有A種排法，剩余的位置沒有特殊要求，有A種排法，因此共有AA14 400(種)不同排法解法二(元素分析法)：從中間6個位置選3個安排女生，有A種排法，其余位置無限制，有A種排法，因此共有AA14 400(種)不同排法8名學生的所有排列共A種，其中甲在乙前面與乙在甲前面的各占其中，所以符合要求的排法種數為A20 160(種)甲、乙為特殊元素，左、右兩邊為特殊位置解法一(特殊元素法)：甲在最右邊時，其他的可全排，有A種；甲不在最右邊時，可從余下6個位置中任選一個，有A種而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個位置中的任一個上，有A種，其余人全排列，共有AAA種由分類加法計數原理，共有AAAA30 960(種)解法二(特殊位置法)：先排最左邊，除去甲外，有A種，余下7個位置全排，有A種，但應剔除乙在最右邊時的排法AA種，因此共有AAAA30 960(種)解法三(間接法)：8個人全排，共A種，其中，不合條件的有甲在最左邊時，有A種，乙在最右邊時，有A種，其中都包含了甲在最左邊，同時乙在最右邊的情形，有A種因此共有A2AA30 960(種)點石成金1.對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法2對相鄰問題采用捆綁法，不相鄰問題采用插空法，定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法考點2組合問題1.組合從n個不同元素中取出m(mn)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個_答案：組合2組合數從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的_，記作_答案：組合數C3組合數公式及性質公式C性質(1)C_；(2)C_；(3)CCC備注n，mN*，且mn答案：(1)1(2)C(1)教材習題改編從5名女同學和4名男同學中選出4人參加演講比賽，男、女同學分別至少有1名，則有_種不同的選法答案：120解析：易知有CCCCCC120(種)不同的選法(2)教材習題改編將7個不同的小球全部放入編號為2和3的兩個小盒子里，使得每個盒子里的球的個數不小于盒子的編號，則不同的放球方法共有_種(用數字作答)答案：91解析：分類即可，共有CCC21353591(種)放法.組合問題：關鍵在于“無序”(1)從3名骨科、4名腦外科和5名內科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數是_(用數字作答)答案：590解析：從12名醫(yī)生中選出5名的選法有C792(種)，其中只不選骨科醫(yī)生的選法有C1125(種)，只不選腦外科醫(yī)生的選法有C155(種)，只不選內科醫(yī)生的選法有C21(種)，同時不選骨科和腦外科醫(yī)生的選法有1種，故骨科、腦外科和內科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數為792(12555211)590.(2)某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，已知其中有15種假貨現從35種商品中選取3種，其中某一種假貨不能在內，不同的取法有_種答案：5 984解析：從34種可選商品中，選取3種，有C種或者CCC5 984(種)某一種假貨不能在內的不同取法有5 984種.典題2(1)2017福建三明一中高三第一次月考從10名高三年級優(yōu)秀學生中挑選3人擔任校長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數為()A85 B56 C49 D28答案C解析分兩種情況：第一種甲乙只有1人入選，則有CC42(種)，第二種甲乙都入選，有CC7(種)，所以共有42749(種)方法，故選C.(2)某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，已知其中有15種假貨現從35種商品中選取3種其中某一種假貨必須在內，不同的取法有多少種？其中某一種假貨不能在內，不同的取法有多少種？至少有2種假貨在內，不同的取法有多少種？至多有2種假貨在內，不同的取法有多少種？解從余下的34種商品中，選取2種有C561(種)，某一種假貨必須在內的不同的取法有561種從34種可選商品中，選取3種，有C5 984(種)某一種假貨不能在內的不同的取法有5 984種選取2件假貨有CC種，選取3件假貨有C種，共有選取方式CCC2 1004552 555(種)至少有2種假貨在內的不同的取法有2 555種選取3件的總數有C種，因此共有選取方式CC6 5454556 090(種)至多有2種假貨在內的不同的取法有6 090種點石成金組合問題常有以下兩類題型(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取(2)“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：若直接法分類復雜時，逆向思維，間接求解.1.2017湖北武漢二模若從1,2,3，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有()A60種 B63種C65種 D66種答案：D解析：共有4個不同的偶數和5個不同的奇數，要使和為偶數，則4個數全為奇數或全為偶數或2個奇數和2個偶數，共有不同的取法有CCCC66(種)2現有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數為_答案：472解析：第一類，含有1張紅色卡片，不同的取法有CC264(種)第二類，不含有紅色卡片，不同的取法有C3C22012208(種)由分類加法計數原理知，不同的取法共有264208472(種)考點3分組分配問題考情聚焦分組分配問題是排列、組合問題的綜合運用，解決這類問題的一個基本指導思想就是先分組后分配關于分組問題，有整體均分、部分均分和不等分三種，無論分成幾組，應注意只要有一些組中元素的個數相等，就存在均分現象主要有以下幾個命題角度：角度一整體均分問題典題3國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應的地區(qū)任教現有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學校去任教，有_種不同的分派方法答案90解析先把6個畢業(yè)生平均分成3組，有種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學校，有A6(種)方法，故6個畢業(yè)生平均分到3所學校，共有A90(種)分派方法角度二部分均分問題典題42017四川內江模擬某科室派出4名調研員到3個學校，調研該校高三復習備考情況，要求每個學校至少一名，則不同的分配方案種數為()A144 B72 C36 D48答案C解析分兩步完成：第一步將4名調研員按2,1,1分成三組，其分法有種；第二步將分好的三組分配到3個學校，其分法有A種，所以滿足條件的分配方案有A36(種)角度三不等分問題典題5若將6名教師分到3所中學任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有_種不同的分法答案360解析將6名教師分組，分三步完成：第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有C種取法；第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有C種取法；第3步，余下的3名教師作為一組，有C種取法根據分步乘法計數原理，共有CCC60(種)取法再將這3組教師分配到3所中學，有A6(種)分法，故共有606360(種)不同的分法點石成金解決分組分配問題的三種策略(1)整體均分：解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數)，避免重復計數(2)部分均分：解題時注意重復的次數是均勻分組的階乘數，即若有m組元素個數相等，則分組時應除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(3)不等分組：只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數都不相等，所以不需要除以全排列數考點4排列組合的綜合應用典題6(1)從0,1,2,3,4,5這六個數字中任取兩個奇數和兩個偶數，組成沒有重復數字的四位數的個數為()A300 B216C180 D162答案C解析分兩類：第1類，不取0，即從1,2,3,4,5中任取兩個奇數和兩個偶數，組成沒有重復數字的四位數，根據分步乘法計數原理可知，共有CCA72(個)沒有重復數字的四位數；第2類，取0，此時2和4只能取一個，再取兩個奇數，組成沒有重復數字的四位數，根據分步乘法計數原理可知，共有CC(AA)108(個)沒有重復數字的四位數根據分類加法計數原理可知，滿足題意的四位數共有72108180(個)(2)用數字0,1,2,3,4,5,6組成沒有重復數字的四位數，其中個位、十位和百位上的數字之和為偶數的四位數共有_個(用數字作答)答案324解析當個位、十位和百位上的數字為三個偶數時，若選出的三個偶數含有0，則千位上把剩余數字中任意一個放上即可，方法數是CAC72；若選出的三個偶數不含0，此時千位上只能從剩余的非0數字中選一個放上，方法數是AC18.故這種情況下符合要求的四位數共有721890(個)當個位、十位和百位上的數字為一個偶數、兩個奇數時，若選出的偶數是0，則再選出兩個奇數，千位上只要在剩余數字中選一個放上即可，方法數為CAC72；若選出的偶數不是0，則再選出兩個奇數后，千位上只能從剩余的非0數字中選一個放上，方法數是CCAC162.故這種情況下符合要求的四位數共有72162234(個)根據分類加法計數原理，符合要求的四位數共有90234324(個)點石成金利用先選后排法解答問題的三個步驟從1到9的9個數字中取3個偶數和4個奇數，試問：(1)能組成多少個沒有重復數字的七位數？(2)上述七位數中，3個偶數排在一起的有幾個？(3)(1)中的七位數中，偶數排在一起，奇數也排在一起的有幾個？解：(1)分三步完成：第一步，在4個偶數中取3個，有C種情況；第二步，在5個奇數中取4個，有C種情況；第三步，3個偶數和4個奇數進行排列，有A種情況所以符合題意的七位數有CCA100 800(個)(2)上述七位數中，3個偶數排在一起的有CCAA14 400(個)(3)3個偶數排在一起，4個奇數也排在一起的有CCAAA5 760(個).方法技巧1.排列、組合問題的求解方法與技巧(1)特殊元素優(yōu)先安排；(2)合理分類與準確分步；(3)排列、組合混合問題先選后排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題排除法處理；(7)分排問題直接處理；(8)“小集團”排列問題先整體后局部；(9)構造模型；(10)正難則反，等價轉化2對于有附加條件的排列、組合應用題，通常從三個途徑考慮(1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置(3)先不考慮附加條件，計算出排列數或組合數，再減去不合要求的排列數或組合數易錯防范1.區(qū)分一個問題屬于排列問題還是組合問題，關鍵在于是否與順序有關2解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法)分類時標準應統一，避免出現重復或遺漏3解組合應用題時，應注意“至少”“至多”“恰好”等詞的含義4對于分配問題，一般是堅持先分組，再分配的原則，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復或遺漏 真題演練集訓 12016江蘇卷(1)求7C4C的值；(2)設m，nN*，nm，求證：(m1)C(m2)C(m3)CnC(n1)C(m1)C.(1)解：7C4C740.(2)證明：當nm時，結論顯然成立當nm時，(k1)C(m1)(m1)C，km1，m2，n.又CCC，所以(k1)C(m1)(CC)，km1，m2，n.因此，(m1)C(m2)C(m3)C(n1)C(m1)C(m2)C(m3)C(n1)C(m1)C(m1)(CC)(CC)(CC)(m1)C.22015重慶卷端午節(jié)吃粽子是我國的傳統習俗設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同從中任意選取3個(1)求三種粽子各取到1個的概率；(2)設X表示取到的豆沙粽個數，求