2009年全國高考數(shù)學(xué)試題及答案-江蘇卷.pdf

絕密 啟用前 2009 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 江蘇卷 數(shù)學(xué) 2009 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 江蘇卷 數(shù)學(xué) 參考公式 參考公式 樣本數(shù)據(jù) 12 n x xx 的方差 22 11 11 nn ii ii sxxxx nn 其中 一 填空題 本大題共一 填空題 本大題共 14 小題 每小題小題 每小題 5 分 共分 共 70 分 請把答案填寫在答題卡相應(yīng)的位分 請把答案填寫在答題卡相應(yīng)的位 置上置上 1 若復(fù)數(shù) 12 429 69zi zi 其中i是虛數(shù)單位 則復(fù)數(shù) 12 zz i 的實部為 答案 20 解析 略 2 已知向量a和向量b的夾角為30 2 3 ab 則向量a和向量b的數(shù)量積 a b 答案 3 解析 3 233 2 a b 3 函數(shù) 32 15336f xxxx 的單調(diào)減區(qū)間為 答案 1 11 解析 2 330333 11 1 fxxxxx 由 11 1 0 xx 得單調(diào)減區(qū)間為 1 11 4 函數(shù)sin yAxA 為常數(shù) 注注 意意 事事 項項 考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求 1 本試卷共 4 頁 包含填空題 第 1 題 第 14 題 解答題 第 15 題 第 20 題 本卷滿分 160 分 考試時間為 120 分鐘 考試結(jié)束后 請將本卷和答題卡一并交回 2 答題前 請您務(wù)必將自己的姓名 準(zhǔn)考證號用 0 5 毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的 規(guī)定位置 3 請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名 準(zhǔn)考證號與您本人是否相符 4 請在答題卡上按照晤順序在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答 在其他位置作答一律無效 作答必須用 0 5 毫米黑色墨水的簽字筆 請注意字體工整 筆跡清楚 5 如需作圖 須用 2B 鉛筆繪 寫清楚 線條 符號等須加黑 加粗 6 請保持答題卡卡面清潔 不要折疊 破損 1 1 2 3 3 Ox y 0 0 A 在閉區(qū)間 0 上的圖象如圖所示 則 答案 3 解析 3 2 T 2 3 T 所以3 5 現(xiàn)有 5 根竹竿 它們的長度 單位 m 分別為 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 若從中一次隨機 抽取 2 根竹竿 則它們的長度恰好相差 0 3m 的概率為 答案 0 2 解析 略 6 某校甲 乙兩個班級各有 5 名編號為 1 2 3 4 5 的學(xué)生進行投籃練習(xí) 每人投 10 次 投中的次數(shù)如下表 學(xué)生 1 號 2 號 3 號 4 號 5 號 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個為 2 s 答案 2 5 解析 略 7 右圖是一個算法的流程圖 最后輸出的W 答案 22 解析 略 8 在平面上 若兩個正三角形的邊長的比為 1 2 則它們的面積比為 1 4 類似地 在空間 若兩個正四面體的棱長的比為 1 2 則它 們的體積比為 答案 1 8 解析 略 9 在平面直角坐標(biāo)系xoy中 點 P 在曲線 3 103C yxx 上 且在第二象限內(nèi) 已知曲線 C 在點 P 處的切線的斜率為 2 則點 P 的 坐標(biāo)為 答案 2 15 解析 略 10 已知 51 2 a 函數(shù) x f xa 若實數(shù) m n滿足 f mf n 則 m n的大 開始 0S 1T 2 STS 10S 2TT WST 輸出W 結(jié)束 Y N 小關(guān)系為 答案 mn 解析 略 11 已知集合 2 log2Axx Ba 若AB 則實數(shù)a的取值范圍是 c 其中c 答案 4 解析 由 2 log2x 得04x 0 4 A 由AB 知4a 所以c 4 12 設(shè) 和 為不重合的兩個平面 給出下列命題 1 若 內(nèi)的兩條相交直線分別平行于 內(nèi)的兩條直線 則 平行于 2 若 外一條直線l與 內(nèi)的一條直線平行 則l和 平行 3 設(shè) 和 相交于直線l 若 內(nèi)有一條直線垂直于l 則 和 垂直 4 直線l與 垂直的充分必要條件是l與 內(nèi)的兩條直線垂直 上面命題中 真 命題 的序號 寫出所有真命題的序號 答案 1 2 解析 略 13 如圖 在平面直角坐標(biāo)系xoy中 1212 A A B B為橢圓 22 22 1 0 xy ab ab 的 四個頂點 F為其右焦點 直線 12 AB與直線 1 B F相交于點 T 線段OT與橢圓的交點M 恰為線段OT的中點 則該橢圓的離心率為 答案 2 75e 解析 用 a b c表示交點 T 得出 M 坐標(biāo) 代入橢圓方程即可轉(zhuǎn) 化解得離心率 14 設(shè) n a是 公 比 為q的 等 比 數(shù) 列 1q 令 1 1 2 nn ban 若 數(shù) 列 n b有 連 續(xù) 四 項 在 集 合 53 23 19 37 82 中 則6q 答案 9 解析 將各數(shù)按照絕對值從小到大排列 各數(shù)減 1 觀察即可得解 二 解答題 本大題共二 解答題 本大題共 6 小題 共計小題 共計 90 分 請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答 解答時應(yīng)寫出文 字說明 證明或演算步驟 分 請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答 解答時應(yīng)寫出文 字說明 證明或演算步驟 15 本小題滿分 14 分 x y A1 B2 A2 O T M 設(shè)向量 4cos sin sin 4cos cos 4sin abc 1 若a與2 bc垂直 求tan 的值 2 求 bc的最大值 3 若tantan16 求證 a b 解析 由a與2 bc垂直 2 20 abca ba c 即4sin 8cos 0 tan 2 sincos 4cos4sin bc 2 bc 22 sin2sincoscos 22 16cos32cossin16sin 1730sincos 1715sin2 最大值為 32 所以 bc的最大值為4 2 由tantan16 得sinsin16coscos 即4cos4cossinsin0 所以a b 16 本小題滿分 14 分 如圖 在直三棱柱 111 ABCABC 中 E F分別是 11 AB AC的中點 點D在 11 BC上 11 ADBC 求證 1 EF ABC平面 2 111 AFDBBC C 平面平面 解析 證明 1 因為E F分別是 11 AB AC的中 A B C B1 C1 E F D 點 所以EF BC 又EF 面ABC BC 面ABC 所以EF ABC平面 2 因為直三棱柱 111 ABCABC 所以 1111 BBABC 面 11 BBAD 又 11 ADBC 所以 111 ADBCC 面B 又 11 ADAFD 面 所以 111 AFDBBC C 平面平面 17 本小題滿分 14 分 設(shè) n a是公差不為零的等差數(shù)列 n S為其前n項和 滿足 2222 23457 7aaaa S 1 求數(shù)列 n a的通項公式及前n項和 n S 2 試求所有的正整數(shù)m 使得 1 2 mm m a a a 為數(shù)列 n a中的項 解析 1 設(shè)公差為d 則 2222 2543 aaaa 由性質(zhì)得 4343 3 d aad aa 因為0d 所以 43 0aa 即 1 250ad 又由 7 7S 得 1 76 77 2 ad 解得 1 5a 2d 所以 n a的通項公式為27 n an 前n項和 2 6 n Snn 2 1 2 2725 23 mm m a a m m a m 令23mt 1 2 42 mm m a a t t at 8 6t t 因為t是奇數(shù) 所以t可取的值為1 當(dāng)1t 2m 時 8 63t t 2573 是數(shù)列 n a中的項 1t 1m 時 8 615t t 數(shù)列 n a中的最小項是5 不符合 所以滿足條件的正整數(shù)2m 18 本小題滿分 16 分 在平面直角坐標(biāo)系xoy中 已知圓 22 1 3 1 4Cxy 和圓 22 2 4 5 4Cxy 1 若直線l過點 4 0 A 且被圓 1 C截得的弦長為2 3 求 直線l的方程 2 設(shè) P 為平面上的點 滿足 存在過點 P 的無窮多對互相垂的 直線 12 ll和 它們分別與圓 1 C和圓 2 C相交 且直線 1 l被圓 1 C截 得的弦長與直線 2 l被圓 2 C截得的弦長相等 試求所有滿足條件的 點 P 的坐標(biāo) 解析 1 0y 或 7 4 24 yx 2 P 在以 C1C2的中垂線上 且與 C1 C2等腰直角三角形 利用幾何關(guān)系計算可得 點 P 坐標(biāo)為 3 13 2 2 或 51 22 19 本小題滿分 16 分 按照某學(xué)者的理論 假設(shè)一個人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為a元 如果他賣出該產(chǎn)品的單 價為m元 則他的滿意度為 m ma 如果他買進該產(chǎn)品的單價為n元 則他的滿意度為 n na 如果一個人對兩種交易 賣出或買進 的滿意度分別為 1 h和 2 h 則他對這兩種交易的 綜合滿意度為 1 2 hh 現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn) A B 兩種產(chǎn)品的單件成本分別為 12 元和 5 元 乙生產(chǎn) A B 兩種產(chǎn)品 的單件成本分別為 3 元和 20 元 設(shè)產(chǎn)品 A B 的單價分別為 A m元和 B m元 甲買進 A 與 賣出 B 的綜合滿意度為h甲 乙賣出 A 與買進 B 的綜合滿意度為h乙 1 求h甲和h乙關(guān)于 A m B m的表達式 當(dāng) 3 5 AB mm 時 求證 h甲 h乙 2 設(shè) 3 5 AB mm 當(dāng) A m B m分別為多少時 甲 乙兩人的綜合滿意度均最大 最大的 綜合滿意度為多少 3 記 2 中最大的綜合滿意度為 0 h 試問能否適當(dāng)選取 A m B m的值 使得 0 hh 甲 和 x y O 1 1 0 hh 乙 同時成立 但等號不同時成立 試說明理由 4 求h甲和h乙關(guān)于 A m B m的表達式 當(dāng) 3 5 AB mm 時 求證 h甲 h乙 5 設(shè) 3 5 AB mm 當(dāng) A m B m分別為多少時 甲 乙兩人的綜合滿意度均最大 最大的 綜合滿意度為多少 6 記 2 中最大的綜合滿意度為 0 h 試問能否適當(dāng)選取 A m B m的值 使得 0 hh 甲 和 0 hh 乙 同時成立 但等號不同時成立 試說明理由 解析 1 125320 ABAB ABAB mmmm hh mmmm 乙甲 3 12 5 20 AB mm 當(dāng) 3 5 AB mm 時 2 3 5 3 5 20 5 12 5 B BB BBB B m mm h mmm m 甲 2 3 5 3 20 5 20 3 5 B BB BBB B m mm h mmm m 乙 顯然 hh乙 甲 2 當(dāng) 3 5 AB mm 時 2 2 11 20511 20 5 1 1 100 251 B BB BBBB m h mm mmmm 甲 由 111 5 20 20 5 B B m m 得 故當(dāng) 11 20 B m 即20 12 BA mm 時 甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為 10 5 20 本小題滿分 16 分 設(shè)a為實數(shù) 函數(shù) 2 2 f xxxaxa 1 若 0 1f 求a的取值范圍 2 求 f x的最小值 3 設(shè)函數(shù) h xf x xa 直接寫出 不需給出演算步驟 不等式 1h x 的 解集 解析 1 若 0 1f 則 2 0 11 1 a a aa a 2 當(dāng)xa 時 22 32 f xxaxa 2 2 min 02 0 2 0 0 3 3 f a aaa f x a a fa a 當(dāng)xa 時 22 2 f xxaxa