2020屆重慶市康德卷高考模擬（二）數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2020屆重慶市康德卷高考模擬（二）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1已知集合，則（ ）ABCD【答案】B【解析】根據(jù)先求出，再用集合交集的定義列舉出集合的全部元素組成集合，即可得答案.【詳解】，且，因此.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集的運(yùn)算，寫(xiě)出集合的交集時(shí)注意集合中元素的相同性，是基礎(chǔ)題.2已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）A-1B0C1D2【答案】A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算分別求得再求的虛部即可.【詳解】,.故.故虛部為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算與虛部的辨析,屬于基礎(chǔ)題型.3已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是（ ）ABCD【答案】B【解析】先求的值域,再求的值域即可.【詳解】設(shè),則,故.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的值域,屬于基礎(chǔ)題型.4已知，則下列不等式中不一定成立的是（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)直接求解即可.【詳解】對(duì)A,因?yàn)?故成立.對(duì)B,因?yàn)槌闪⒐食闪?對(duì)C,舉反例如當(dāng),可知,故C錯(cuò)誤.對(duì)D, 因?yàn)?故,故成立.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題型.5己知命題，則下列命題中真命題是（ ）ABCD【答案】C【解析】分別判斷命題的真假再利用或且非的關(guān)系逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】易得當(dāng)時(shí), ,故為假命題.當(dāng)時(shí), 成立.故為真命題.故為真命題.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判斷,屬于基礎(chǔ)題型.6的展開(kāi)式中x的系數(shù)為（ ）A560B1120C-35D280【答案】A【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式求解即可.【詳解】,則.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理確定展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù).屬于基礎(chǔ)題型.7歷史上，最偉大的數(shù)學(xué)家一直都熱衷于尋找質(zhì)數(shù)的“分布規(guī)律”，法國(guó)數(shù)學(xué)家馬林梅森就是研究質(zhì)數(shù)的數(shù)學(xué)家中成就很高的一位，正因?yàn)樗淖吭截暙I(xiàn)，現(xiàn)在人們將形如“（p是質(zhì)數(shù)）”的質(zhì)數(shù)稱(chēng)為梅森數(shù)，迄今為止共發(fā)現(xiàn)了51個(gè)梅森數(shù)，前4個(gè)梅森數(shù)分別是，3，7是1位數(shù)，31是2位數(shù)，127是3位數(shù).已知第10個(gè)梅森數(shù)為，則第10個(gè)梅森數(shù)的位數(shù)為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）A25B29C27D28【答案】C【解析】計(jì)算判斷即可.【詳解】因?yàn)?故.故第10個(gè)梅森數(shù)的位數(shù)為27.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題型.8若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】根據(jù)題意可知,再參變分離求實(shí)數(shù)a的取值范圍即可.【詳解】函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間即有區(qū)間解,則,其中,所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題,同時(shí)也考查了參變分離求參數(shù)最值的問(wèn)題,屬于中等題型.9若不等式組，所表示的平面區(qū)域被直線分成面積相等的兩部分；則（ ）ABCD【答案】C【解析】畫(huà)出可行域,再根據(jù)面積求解即可.【詳解】畫(huà)出可行域, 由圖可知,將可行域劃分為兩塊區(qū)域,其中三角形部分.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題,屬于中等題型.10函數(shù)，的部分圖象如圖所示，要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）A向左平移B向左平移C向右平移D向右平移【答案】C【解析】由函數(shù)的最值求出，將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式求出，再將點(diǎn)代入該函數(shù)的解析式求出，得出，并利用誘導(dǎo)公式化為，再利用函數(shù)的圖象變化規(guī)律得出結(jié)論【詳解】由函數(shù)，的部分圖象，可得，由，可得，故可將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象故選【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)圖象求解析式、以及三角函數(shù)圖象變換，求圖象求三角函數(shù)的解析式的步驟如下：（1）求、：，；（2）求：（其中為函數(shù)的最小正周期）；（3）求初相：代特殊點(diǎn)（最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)中心點(diǎn)）求11如果一個(gè)四位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，且各位數(shù)字之和等于10，則稱(chēng)此四位數(shù)為“完美四位數(shù)（如1036），則由數(shù)字0，1，2，3，4，5，6，7構(gòu)成的“完美四位數(shù)”中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）A12B44C58D76【答案】B【解析】由題意分情況討論尾數(shù)分別為1,3,5,7四種情況求總數(shù)即可.【詳解】分類(lèi)討論：尾數(shù)為1：則前三位的數(shù)字可能為027,036,045,共,還可能為234,有種；尾數(shù)為3：則前三位的數(shù)字可能為016,025,共,還可能為124,有種；尾數(shù)為5：則前三位的數(shù)字可能為014,023,045,共；尾數(shù)為7：則前三位的數(shù)字可能為012,共.綜上所述,共有種.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的綜合運(yùn)用,屬于中等題型.12如圖，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且直線與y軸的正半軸交于點(diǎn)A，的內(nèi)切圓與邊切于點(diǎn)Q，且，則雙曲線C的離心率為（ ）A2BCD【答案】D【解析】利用雙曲線的定義以及內(nèi)切圓中切線等長(zhǎng)的性質(zhì)求解即可.【詳解】所以,故離心率.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓的的切線性質(zhì)以及雙曲線的定義運(yùn)用,屬于中等題型.二、填空題13脫貧攻堅(jiān)是一項(xiàng)歷史性工程，精準(zhǔn)脫貧是習(xí)近平總書(shū)記給扶貧工作的一劑良方.重慶市貧困人口分布相對(duì)集中，截止目前，渝東北地區(qū)貧困戶(hù)占全市貧困戶(hù)48%，渝東南地區(qū)貧困戶(hù)占全市貧困戶(hù)32%，為精準(zhǔn)了解重慶市貧困戶(hù)現(xiàn)狀，“脫貧攻堅(jiān)”課題組擬深入到其中25戶(hù)貧困戶(hù)家中調(diào)研，若按地區(qū)采用分層抽樣的方法分配被調(diào)研的貧困戶(hù)，課題組應(yīng)到其它地區(qū)（除渝東南和渝東北地區(qū)外）調(diào)研的貧困戶(hù)的戶(hù)數(shù)是_.【答案】5【解析】先求渝東南和渝東北地區(qū)貧困戶(hù)占全市的比例,再利用分層抽樣抽取的方法列式求解即可.【詳解】由題, 渝東南和渝東北地區(qū)貧困戶(hù)占全市的48%+32%=80%,故其它地區(qū)困戶(hù)占全市的20%.故課題組應(yīng)到其它地區(qū)（除渝東南和渝東北地區(qū)外）調(diào)研的貧困戶(hù)的戶(hù)數(shù)是%=5.故答案為：5【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的方法,屬于基礎(chǔ)題型.14在等腰梯形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，記，若用表示，則_.【答案】【解析】利用向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算,需要用到平行四邊形法則與三角形法則.屬于中等題型.15若直線與曲線相切，則ab的最大值為_(kāi).【答案】【解析】設(shè)切點(diǎn)為,再求出切線方程表達(dá)式,進(jìn)而得出,再求導(dǎo)分析單調(diào)性與最大值即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為,則切線為,所以,令,所以在,則.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線方程的應(yīng)用,主要是導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解,同時(shí)也考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問(wèn)題,屬于中等題型.16設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，若存在常數(shù)，使得恒成立，則的最小值是_.【答案】-2【解析】根據(jù)遞推公式推導(dǎo)數(shù)列的前后項(xiàng)的關(guān)系,進(jìn)而可判斷【詳解】由題意即可，, 若,則且,即該數(shù)列單增，且,此時(shí)若存在常數(shù),使得恒成立，則必有.若,則,該數(shù)列為常數(shù)列,即.當(dāng)時(shí)，顯然有綜上所述,.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)遞推公式分析數(shù)列前后項(xiàng)的關(guān)系,進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)范圍,需要思考的大小從而分情況討論,屬于難題.三、解答題17已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.（1）證明：為等比數(shù)列；（2）設(shè)，若不等式對(duì)恒成立，求t的最小值.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】(1)利用得到的遞推公式再構(gòu)造數(shù)列證明即可.(2)根據(jù)(1)可求得,進(jìn)而求得,再用裂項(xiàng)求和求解進(jìn)而求得t的最小值【詳解】解：（1）,故為等比數(shù)列.（2）令,則有,所以,所以,令,令,所以.所以.故t的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)遞推公式證明等比數(shù)列的方法,同時(shí)也考查了裂項(xiàng)相消求和的方法與不等式的范圍問(wèn)題,屬于中等題型.18為做好創(chuàng)建國(guó)家生態(tài)文明單位的需要，某地甲、乙兩大型企業(yè)決定先從本企業(yè)的所有員工中隨機(jī)抽取8名員工，對(duì)自己所在企業(yè)的生態(tài)文明建設(shè)狀況進(jìn)行自我內(nèi)部的評(píng)分調(diào)查（滿(mǎn)分100分），被抽取的員工的評(píng)分結(jié)果如右表：（1）若分別從甲、乙兩企業(yè)被抽取的8名員工中各抽取1名，在已知兩人中至少一人評(píng)分不低于80分的條件下，求抽到的甲企業(yè)員工評(píng)分低于80分的概率；（2）用樣本的頻率分布估計(jì)總體的概率分布，若從甲企業(yè)的所有員工中，再隨機(jī)抽取4名員工進(jìn)行評(píng)分細(xì)節(jié)調(diào)查，記抽取的這4名員工中評(píng)分不低于90分的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】(1)根據(jù)條件概率的方法求解即可.(2)根據(jù)二項(xiàng)分布的分布列以及數(shù)學(xué)期望求解即可.【詳解】解：（1）設(shè)事件A為兩人中至少一人評(píng)分不低于80,事件B為甲企業(yè)評(píng)分人員低于80分；則（2）由題意知,則.所以其分布列如下：01234【點(diǎn)睛】本題主要考查了條件概率與二項(xiàng)分布的問(wèn)題,屬于中等題型.19如圖，在四邊形ABCD中，A為銳角，.（1）求；（2）設(shè)、的外接圓半徑分別為，若恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值.【答案】（1）（2）【解析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的和差角公式與三角函數(shù)值求解即可.(2)根據(jù)正弦定理參變分離,再利用的取值范圍求解【詳解】（1）由題, ,即,因?yàn)?故.所以.（2）,因?yàn)?故當(dāng)時(shí)有最大值所以,即實(shí)數(shù)m的最小值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角恒等變換的運(yùn)用以及正弦定理與根據(jù)角度范圍求解三角函數(shù)范圍的問(wèn)題,屬于中等題型.20已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間（2）若存在使得成立，求a的取值范圍.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】(1)求導(dǎo)后判斷極值點(diǎn)的大小從而分析在定義域內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)正負(fù),進(jìn)而求得單調(diào)區(qū)間.(2)分情況討論的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求得的最小值分析能成立問(wèn)題即可.【詳解】（1）,當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為和,單減區(qū)間為；當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為和,單減區(qū)間為；（2）由(1) .故當(dāng)時(shí), ,所以,；當(dāng)時(shí),因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以必然存在.綜上所述.【點(diǎn)睛】本題主要考查了含參數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題以及利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性與最值進(jìn)而解決函數(shù)的能成立問(wèn)題.屬于中等題型.21已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，.（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)Q為拋物線C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且垂直于OQ的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)記，的面積分別為，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】(1)根據(jù)可知直線的傾斜角為,再利用幾何關(guān)系求得,代入拋物線方程化簡(jiǎn)即可.(2)設(shè)直線的方程為,再分別計(jì)算關(guān)于的表達(dá)式,進(jìn)而求得關(guān)于的表達(dá)式再求范圍即可.【詳解】解：（1）由題可知,直線的傾斜角為,故,代入方程可得,化簡(jiǎn)得,因?yàn)樗怨蕭佄锞€C的方程為（2）顯然直線斜率不為0,故設(shè)直線的方程為,聯(lián)立.設(shè).則,.所以設(shè)則因?yàn)橹本€垂直于OQ.故.所以又到直線：的距離.故.故.設(shè),則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).又,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線中的弦長(zhǎng)關(guān)系,同時(shí)也考查了直線與拋物線中的三角形面積問(wèn)題,需要根據(jù)題意設(shè)方程聯(lián)立,求出對(duì)應(yīng)的面積的表達(dá)式再求最值,屬于難題.22在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)、x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)，直線l與曲線C相交于AB兩點(diǎn)，求的值.【答案】（1），；（2）【解析】(1)消去參數(shù)求解直線l的普通方程,再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系與二倍角公式求解曲線C的直角坐標(biāo)方程.(2)利用參數(shù)的幾何意義,聯(lián)立直線與圓C的方程,利用韋達(dá)定理求解即可.【詳解】(1)由,兩式相加可得,即.又,即即. (2)將化簡(jiǎn)成關(guān)于點(diǎn)的參數(shù)方程有：,（為參數(shù)）,代入有,則.