2016北京市中考數(shù)學(xué)專題突破一：填空壓軸題型（含答案）

專題突破 (一 ) 填空壓軸題型 規(guī)律探究性問題的解答需要學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、歸納、概括、推理、檢驗等一系列探索活動 ， 對學(xué)生的 “ 數(shù)感 ” 提出較高要求 新定義題型就是指通過試題提供的新定義 、新規(guī)則、新概念、新材料來創(chuàng)設(shè)新情景 ， 提升類比遷移等綜合素質(zhì) 因此 ， 這兩個考點成為北京市中考填空題壓軸題的熱點 2012 2015 年北京中考知識點對比 題型 年份 2012 2013 2014 2015 填空 探究式的規(guī)律 定義新運算 ， 探究規(guī)律 函數(shù)綜合循環(huán)規(guī) 律 尺規(guī)作圖的理論 依據(jù) 1 2015北京 閱讀下面材料： 在數(shù)學(xué)課上 ， 老師提出如下問題： 尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線 已知：線段 圖 1 求作：線段 垂直平分線 小蕓的作法如下： 如圖 ， 圖 2 (1)分別以點 A 和點 B 為圓心 ， 大于 12長為半徑作弧 ， 兩弧相交于 C， D 兩點； (2)作直線 所以直線 是的所求作的垂直平分線 老師說： “ 小蕓的作法正確 ” 請回答：小蕓的作圖依據(jù)是 _ 2 2014北京 在平面直角坐標(biāo)系 ， 對于點 P(x， y)， 我們把點 P( y 1， x 1)叫做點 P 的伴隨點 ， 已知點 2， 點 3， 點 4， 這樣依次得到點 3 ， ， 若點 3， 1)， 則點 _， 點 _；若點 a， b)， 對于任意正整數(shù) n， 點 x 軸上方 ， 則 a， b 應(yīng)滿足的條件為 _ 3 2013北京 如 圖 3， 在平面直角坐標(biāo)系 ， 已知直線 l： t x 1， 雙曲線 y 1x.在 l 上取點 過點 x 軸的垂線交雙曲線于點 過點 y 軸的垂線交 l 于點 請繼續(xù)操作并探究：過點 x 軸的垂線交雙曲線于點 過點 y 軸的垂線交 l 于點 ， 這樣依次得到 l 上的點 2， ， 若 2， 則 _， _；若要將上述操作無限次地進行下去 ， 則 的值是 _ 圖 3 4 2012北京 在平面直角坐標(biāo)系 ， 我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點 ， 已知點 A(0，4)， 點 B 是 x 軸正半軸上的整點 ， 記 部 (不包括邊界 )的整點個數(shù)為 m.當(dāng) m 3 時 ， 點 B 的橫坐標(biāo)的所有可能值是 _；當(dāng)點 B 的橫 坐標(biāo)為 4n(n 為正整數(shù) )時 ， m _(用含 n 的代數(shù)式表示 ) 圖 4 5 2011北京 在下表中 ， 我們把第 i 行第 j 列的數(shù)記為 j(其中 i， j 都是不大于 5 的正整數(shù) )， 對于表中的每個數(shù) 當(dāng) i j 時 ， j 1；當(dāng) ij 時 ， j i 2， j 1 時 ， j 1 3 _；表中的 25 個數(shù)中 ， 共有 _個 1；計算 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5的值為 _ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 一、與數(shù)與式有關(guān)的規(guī)律探究 1 2015朝陽一模 一組按規(guī)律排列的式子： 2a， 510 1726 ， 其中第 7 個式子是 _，第 n 個式子是 _(用含 n 的式 子表示 ， n 為正整數(shù) ) 二、與圖形有關(guān)的規(guī)律探究 2 2015西城一模 如 圖 5， 數(shù)軸上點 A 的初始位置表示的數(shù)為 1， 現(xiàn)點 A 做如下移 動：第 1 次點 A 向左移動 3 個單位長度至點 第 2 次從點 個單位長度至點 第 3 次從點 個單位長度至點 ， 按照這種移動方 式進行下去 ， 點 _， 如果點 0， 那么 n 的最小值是 _ 圖 5 3 2014延慶縣一模 如 圖 6， 點 E， D 分別是正三角形 四邊形 五邊形 點為頂點的一邊延長線和另一邊延長線上的點 ， 且 延長線交 點 F， 則圖 中 度數(shù)為 _；若將條件 “ 正三角形、正四邊形、正五邊形 ” 改為 “ 正 n 邊形 ” ， 其他條件不變 ， 則 度數(shù)為 _ (用含 n 的代數(shù)式表示 ， 其中 ， n 3 且 n 為整數(shù) ) 圖 6 4 2014昌平區(qū)一模 已知：四邊形 面積為 7 ， 取四邊形 邊的中點 ，則圖中陰影部分的面積為 _；如 圖 7 ， 取四邊形 邊的三 等分點 ， 則圖中陰影部分的面積為 _； ；取四邊形 邊的 n(n 為大于 1 的整數(shù) )等分點 ， 則圖中陰影部分的面積為_ 圖 7 三、平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律探究 5 2014石景山 一模 在平面直角坐標(biāo)系 ， 已知直線 l： y x， 作 ， 0)關(guān)于直線 y x 的對稱點 將點 個單位得到點 作 y x 的對稱點 將點 個單位得到點 _， 點 _ 6 2015房山一模 如 圖 8， 在平面直角坐標(biāo)系中放置了 5 個正方形 ， 點 ， 2)在 y 軸上 ， 點x 軸上 ， 1， 0)， 1到 x 軸的距離是 _，點 x 軸的距離是 _， 點 x 軸的距離是 _ 圖 8 7 2015東城一模 在平面直角坐標(biāo)系 ， 記直線 y x 1 為 1是直線 l 與 y 軸的交點 ， 以邊作正方形 使點 x 軸正半軸上 ， 作射線 l 于點 以 2使點 x 軸正半軸上 ， 依次作下去 ， 得到如 圖 9 所示的圖形 則點 點 _ 圖 9 8 2014豐臺一模 如 圖 10， 已知直線 l： y 33 x， 點 0， 1)， 過點 y 軸的垂線交直線 l 于點 以原點 O 為圓心 ， y 軸于一點 過點 y 軸的垂線交直線 2， 以原點 O 為圓心 ， 為半徑畫弧交 y 軸 于點 ， 按此作法進行下去 ， 點 坐標(biāo)為(_， _)；點 _， _) 圖 10 9 2014順義一模 如 圖 11， 所有正三角形的一邊平行于 x 軸 ， 一頂點在 y 軸上 從內(nèi)到外 ， 它們的邊長依次為 2， 4， 6， 8， ， 頂點依次用 表示 ， 其中 x 軸與邊 邊 7 均相距一個單位長度 ， 則頂點 _， _， (n 為正整數(shù) )的坐標(biāo)為 _ 圖 11 10 2014通州一模 如 圖 12， 在反比例函數(shù) y 4x(x 0)的圖象上 ， 有點 ，Pn(n 為正整數(shù) ， 且 n 1)， 它們的橫坐標(biāo)依次為 1， 2， 3， 4， ， n(n 為正整數(shù) ， 且 n 1) 分別過這些點作 x 軸與 y 軸的垂線 ， 連接相鄰兩點 ， 圖中所構(gòu)成的陰影部分 (近似看成三角形 )的面積從左到右依次為 2， ， 1(n 為正整數(shù) ， 且 n 2)， 那么 _， 1 _(用含有 n 的代數(shù)式表示 ) 圖 12 11 2014燕山一模 如 圖 13， 在平面直角坐標(biāo)系中 ， 已知點 1， 0)， 將線段 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 45 ， 再將其長度伸長為 倍 ， 得到線段 將線段 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 45 ， 再將其長度伸長為 倍 ， 得 到線段 ， 這樣依次得到線段 ，2的坐標(biāo)為 _；當(dāng) n 4m 1(m 為自然數(shù) )時 ， 點 _ 圖 13 12 2014西城一模 如 圖 14， 在平面直角坐標(biāo)系 ， 點 A(1， 0)， B(2， 0)， 正六邊形 x 軸正方向無滑動滾動 ， 當(dāng)點 D 第一次落在 x 軸上時 ， 點 D 的坐標(biāo)為 _；在運動過程中 ， 點 _； 保持上述運動過程 ， 經(jīng)過點 (2014， 3)的正六邊形的頂點是 _ 圖 14 13 2015東城二模 如 圖 15， 已知 ， 1在 x 軸上 ， 且 1 1， 分別過點 ， 1作 x 軸的垂線交直線 y x 于點 ， 1， 連接 ， 1， 1， 依次相交于點 ， ， 1， ， 則 _， _ 圖 15 四、定義新運算 14 2014東城一模 現(xiàn)定義運算 “” ， 對于任意實數(shù) a， b， 都有 a b 3a b， 如： 3 532 3 3 5， 根據(jù)定義的運算求 2 ( 1) _ 若 x 2 6， 則實數(shù) x 的值是 _ 15 2015燕山一模 定義： 對于任意一個不為 1 的有理數(shù) a， 把 11 a 的差倒數(shù) ， 如 2 的差倒數(shù)為 11 2 1， 1 的差倒數(shù)為 11（ 1） 12.記 12， 倒數(shù) ， ， 依此類推 ， 則 _， _ 16 2015海淀一模 若三角形的某一邊長等于其外接圓半徑 ， 則將此三角形稱為等徑三角形 ， 該邊所對的角稱為等徑角 已 知 等徑三角形 ， 則等徑角的度數(shù)為 _ 17 2014海淀一模 在一次數(shù)學(xué)游戲中 ， 老師在 A， B， C 三個盤子里分別放了一些糖果 ， 糖果數(shù)依次為 記為 ( 游戲規(guī)則如下：若三個盤子中的糖果數(shù) 不完全相同 ， 則從糖果數(shù)最多的一個盤子中拿出兩個 ， 給另外兩個盤子各放一個 (若有兩個盤子中的糖果數(shù)相同 ， 且都多于第三個盤子中的糖果數(shù) ， 則從這兩個盤子字母序在前的盤子中取糖果 )， 記為一次操作 若三個盤子中的糖果數(shù)都相同 ， 則游戲結(jié)束 n 次操作后的糖果數(shù)記為 ( (1)若 (4， 7， 10)， 則第 _次操作后游戲結(jié)束； (2)小明發(fā)現(xiàn)：若 (4， 8， 18)， 則游戲永遠(yuǎn)無法結(jié)束 ， 那么 _ 18 2015海淀模擬 對于正整數(shù) n， 定義 F(n)n10f（ n） ， n 10， 其中 f(n)表示 n 的首位數(shù)字、末位數(shù)字的平方和 例如： F(6) 62 36， F(123) f( )123 12 32 10. 規(guī)定 F1(n) F(n)， 1(n) F(Fk(n)(k 為正整數(shù) ) 例如： )123 F( )123 10， 23) F(23) F(10) 1. (1)求： ) _， ) _； (2)若 ) 89， 則正整數(shù) m 的最小值是 _ 19 2015海淀二模 五子棋是一種兩人對弈的棋類游戲 ， 規(guī)則是：在正方形 棋盤中 ， 由黑方先行 ，白方后行 ， 輪流弈子 ， 下在棋盤橫線與豎線的交叉點上 ， 直到某一方首先在任一方向 (橫向、豎向或者是斜著的方向 )上連成五子者為勝 如 圖 16， 這一部分棋盤是兩個五子棋愛好者的對弈圖 觀察棋盤 ， 以點 O 為原點 ， 在棋盤上建立平面直角坐標(biāo)系 ， 將每個棋子看成一個點 ， 若黑子 A 的坐標(biāo)為 (7， 5)， 則白子B 的坐標(biāo)為 _；為了不讓白方在短時間內(nèi)獲勝 ， 此時黑方應(yīng)該下在坐標(biāo)為 _的位置處 圖 16 參考答案 北京 真題體驗 點確定一條直線 2 ( 3， 1) (0， 4) 1 a 1 且 0 b 2 解析 3， 1)， ， 4)， 3， 1)， ， 2)， ， 1)， ， 依此類推 ， 每 4 個點為一個循環(huán)組依次循環(huán) ， 2014 4 503 2， 點 2的坐標(biāo)相同 ， 為 (0， 4)； 點 a， b)， b 1， a 1)， a， b 2)， A4(b 1， a 1)， A5(a， b)， ， 以 此類推 ， 每 4 個點為一個循環(huán)組依次循環(huán) ， 對于任意的正整數(shù) n， 點 x 軸上方 ， a 1 0， a 1 0， b 2 0，b 0， 解得 1 a 1， 0 b 2. 3 32 13 0， 1 解析 當(dāng) 2 時 ， 12， 2的縱坐標(biāo)相同 ， 則 32， 2的橫坐標(biāo)相同 ， 則 23， 3的縱坐標(biāo)相同 ， 則 13， 3的橫坐標(biāo)相同 ， 則 3， 4的縱坐標(biāo)相同 ， 則 2， 4的橫坐標(biāo)相同 ， 則 12， 即當(dāng) 2 時 ， 32， 13， 2， 32， 12， 23， 3， 12， 23， 20133 671， 13； 點 y 軸上 (此時找不到 即 x 0， 點 x 軸上 (此時 y 軸上 ， 找不到 即 y x 1 0， 解得 x 1. 綜上可得 ， 1. 4 3 或 4 6n 3 解析 如圖： 當(dāng)點 B 在 (3， 0)點或 (4， 0)點時 ， 部 (不包括邊界 )的整點為點 (1， 1)， (1， 2)， (2， 1)， 共三個點 ， 所以當(dāng) m 3 時 ， 點 B 的橫坐標(biāo)的所有可能值是 3 或 4. 當(dāng)點 B 的橫坐標(biāo)為 8 時 ， n 2， 內(nèi)部 (不包括邊界 )的整點個數(shù) m （ 4 2 1 2） 3 32 9. 當(dāng)點 B 的橫坐標(biāo)為 12 時 ， n 3， 內(nèi)部 (不包括邊界 )的整點個數(shù) m （ 4 3 1 2） 3 32 15. 所以當(dāng)點 B 的橫坐標(biāo)為 4n(n 為正整數(shù) )時 ， m （ 4 n 1 2） 3 32 6n 3. 5 0 15 1 解析 由題意當(dāng) i j 時 ， j 0， 當(dāng) i j 時 ， j 1；由圖表中可以很容易知道等于 1的數(shù)有 15 個 由題意 ， 很容易發(fā)現(xiàn) ， 從 i 與 j 之間大小關(guān)系分析： 當(dāng) i j 時 ， j 0； 當(dāng) i j 時 ， j 1， 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 0 0 0 0 1. 北京專題訓(xùn)練 一、與數(shù)與式有關(guān)的規(guī)律探究 1)n 1 1解析 觀察分母的變化為 a 的 1 次冪、 2 次冪、 3 次冪、 、 n 次冪；分子的變化為： 2， 5， 10， 17， ， 1；分式符號的變化為： ， ， ， ， ， ( 1)n 1. 2a ( 1)2 12 1 5( 1)3 22 1 10( 1)4 32 1 第 7 個式子是 50 第 n 個式子為： ( 1)n 1 1 二、與圖形有關(guān)的規(guī)律探究 2 7 13 解析 序號為奇數(shù)的點在點 A 的左邊 ， 各點所表示的數(shù)依次減少 3， 序號為偶數(shù)的點在點A 的右側(cè) ， 各點所表示的數(shù)依次增加 3， 于是可得到 12表示的數(shù) ， 則可 判斷 0 時 n 的最小值 第 1 次點 A 向左移動 3 個單位長度至點 則 3 2； 第 2 次點 個單位長度至點 則 2 6 4； 第 3 次點 個單位長度至點 則 9 5； 第 4 次點 2 個單位長度至點 則 5 12 7. 第 5 次點 5 個單位長度至點 則 15 8； 則點 8 3 11， 點 11 3 14， 示的數(shù)為 14 3 17，17 3 20， 3 10， 0 3 13， 3 3 16， 63 19， 所以如果點 0， 那么 n 的最 小值是 13. 3 60 （ n 2） 180n 解析 (1)在 中的正三角形 ， 60 ， 120 ， 又 E D， 又 E D 60 . 由以上不難得到 中 進一步證出 中 得出 ， 中 度數(shù)等于 90 ， 同理可得 中 數(shù)等于 108 . (2)由正三角形、正四邊形、正五邊形時 ， 度數(shù)分別為 60 ， 90 ， 108 ， 可得出正 n 邊形中 ， 其他條件不變 ， 則 度數(shù)為 （ n 2） 180n . 9 1 2解析 如圖 ， 連接 點 B， 中點 ， 中位線 ， 12 S 14， S 14S 同理 ， S 14S S 14S S 14S S 陰影 S 四邊形 (S S S S 1 14(S S S S 124S 四邊形 11212. 如圖 同理可得 S 陰影 1 19(S S S S 1 29S 四邊形 1 29 79. 當(dāng)取四邊形 邊的 n(n 為大于 1 的整數(shù) )等分點時 ， 則 S 陰影 1 1 S S S 1 2邊形 1 2三、平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律探究 5 (3， 2) (2013， 2014) 解析 根據(jù)題意畫出圖象 ， 進而得出各點坐標(biāo)變化規(guī)律進而得出答案 如圖所示：點 3， 2)， ， 1)， ， 2)， ， 3)， B 點橫坐標(biāo)比縱坐標(biāo)小 1， 點 (2013， 2014) 故答案為： (3， 2)， (2013， 2014) 6 3 32 34 7 (15， 8) (2n 1， 2n 1) 解析 根據(jù)一次函數(shù) ， 得出點 繼而得知 從中找出規(guī)律 ， 進而可求出 把 x 0 代入 y x 1， 可得 y 1， 所以可得點 1， 1) 把 x 1 代入直線 y x 1， 可得 y 2， 所以可得點 3， 2)， 同理可得點 7， 4)；點 15， 8)； 由以上得出規(guī)律是 2n 1， 2n 1) 點評 本題考查了正方形的性質(zhì) ， 解此題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)的圖象上點的坐標(biāo)得出規(guī)律 ， 題目比較好 ， 但是一道比較容易出錯的題目 8 0 8 0 2n 1 解析 已知直線 y 33 x， 點 0， 1)， 過點 y 軸的垂線交直線 l 于點可知 3， 1)， 以原點 O 為圓心 ， y 軸于點 22， 點 0， 2)， 這種方法可求得 2 3， 2)， 故點 0， 4)， 點 標(biāo)為 (0， 8)， 此類推便可求出點 0， 2n 1) 9 (0， 1 3) ( 11， 11) ( n， n) 解析 從內(nèi)到外 ， 它們的邊長依次為 2， 4， 6， 8， ， 頂點依次用 表示 ， 其中 x 軸與邊 邊 47 均相距一個單位長度 ， 2， 1， 1， 1)， 3， 則 3 1， 則頂點 (0， 1 3) 同理可得出： 2， 2)， 3， 3)， 4 2 3 2， 7 3 3 2， 10 4 3 2， ， 31 11 3 2， ( 11， 11)， 2(n 為正整數(shù) )的坐標(biāo)為 ( n， n) 2n 解析 當(dāng) x 1 時 ， ， 當(dāng) x 2 時 ， ， 當(dāng) x 3 時 ， 3， 當(dāng) x 4 時 ， ， 當(dāng) x 5 時 ， 5， 則 12 1 (4 2) 1 2 1； 12 1 (2 43) 13 1 23； 12 1 (43 1) 16 23 24； 2 1 1 23 23 24 2 24 32； 12 1 (1 45) 110 24 25； 1 2n 1 2n； 1 2 1 1 23 23 24 2n 1 2n 2 2n. 故答 案為 32， 2 2n. 11 (0， 4) ( 2 2n 1， 2 2n 1)(m 為正奇數(shù) )或 ( 2 2n 1， 2 2n 1)(m 為 0 和正偶數(shù) ) 解析 根據(jù)點 然后分別求出 ， 再根據(jù)點 y 軸負(fù)半軸上寫出 n 是正奇數(shù)和 n 是 0 和正偶數(shù)兩種情況確定出點 限 ， 然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)寫出坐標(biāo)即可 ， 1， 0)， 1. 2， 2 2 22， 22 2 23， 23 2 24， ， 2n 1 2 2n. 每次旋轉(zhuǎn) 45 ， 點 x 軸正半軸上 ， 點 y 軸負(fù)半軸上 點 0， 4) m 為正奇數(shù)時 ， 點 m 為 0 和正偶數(shù)時 ， 點 綜上所述 ， 點 2 2n 1， 2 2n 1)(m 為 正奇數(shù) )， ( 2 2n 1， 2 2n 1)(m 為 0 和正偶數(shù) ) 12 (4， 0) 2 A 或 C 解析 點 A(1， 0)， B(2， 0)， 1， 2， 正六邊形的邊長為： 1， 當(dāng)點 D 第一次落在 x 軸上時 ， 2 1 1 4， 此時點 D 的坐標(biāo)為： (4， 0) 如圖所示：當(dāng)滾動到 AD x 軸時 ， E， F， A 的對應(yīng)點分別是 E， F ， A ， 連接 A D， 過點 F， E 作 FG A D， E H A D， 垂足分別為 G， H， 六邊形 正六邊形 ， A F G 30 ， A G 12A F 12， 同理可得： 12， A D 2， 在運動過程中 ， 點 A 的縱坐標(biāo)的最大值是 2. 正六邊形滾動 6 個單位長度時正好滾動一周 ， A 點從點 (1， 0)開始到點 (2014， 3)， 正六邊形正好滾動 2013 個單位長度 20136 335 3， 恰好滾動 335 周多 3 個 ， A 點的縱坐標(biāo)為 3， 會過點 (2014， 3)的是點 A， 當(dāng)點 E 在 (2014， 0)位置時 ， 則點 F 在 (2015， 0)位置 ， 此時 C 點在 E 點的正上方 ， 3， 所以 C 點也符合題意 2 解析 ， 1 是 x 軸上的點 ， 且 1 1， 分別過點 ， 1作 x 軸的垂線交直線 y x 于點 ， 1， 依題意得： ， 1)， ， 2)， ， 3)， ， Bn(n， n) 12， 2. 1， 3， S 13 1 12 16， 同理可得： S 25， S 914， 2. 故答案為 16， 2. 四、定 義新運算 14 3 1 或 4 解析 a b 3a b， x 2 6， 3x 2 6， 解得 x 1 或 x 4. 15 2 2 解析 首先根據(jù) 12， 可得 11 11 12 2， 11 11 2 1， 11 1（ 1） 12， ， 所以這列數(shù)是12， 2， 1，12， 2， 1， ， 每 3 個數(shù)是一個循環(huán) ， 然后用 2